MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ATA-MF PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula 1 Parte 2 1. Probabilidade Espaço Amostral Evento Probabilidade de Laplace Combinações de eventos Propriedades sobre probabilidades Exercícios Resolvidos Probabilidade Condicional Exercícios Mais questões ESAF Relação das questões comentadas Gabaritos Prof. Guilherme Neves 1

2 1. Probabilidade A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida desta probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis. Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para estudar experimentos aleatórios. Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições inúmeras vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos descrever o conjunto que abriga todos os resultados possíveis. Quando é possível fazer uma previsão do resultado de um experimento, ele é chamado de determinístico. Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de ganhar na Mega Sena? Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um experimento aleatório. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 2. Espaço Amostral Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este conjunto pela letra U. Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. Prof. Guilherme Neves 2

3 i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto: ={1,2,3,4,5,6} ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. ={, } Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever todos os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e calcular o número de elementos que pertencem a ele. Este conjunto é chamado de Espaço Amostral. 3. Evento Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Por exemplo, o subconjunto ={1,2,3,4,5,6} ={2,3,5} é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. B: ocorrência de número menor que 5. ={1,2,3,4}. C: ocorrência de número menor que 8. ={1,2,3,4,5,6}= D: ocorrência de número maior que 8. = (conjunto vazio). Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. Prof. Guilherme Neves 3

4 4. Probabilidade de Laplace Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do evento ={2,3,5} que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento de um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade das vezes. O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente prováveis. ii) O número de elementos do evento( ( =3 é justamente a metade dos elementos do espaço amostral( ( =6. Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma: ( = ( ( =3 6 =1 2 Como vimos o texto no início da aula, Laplace referia-se aos elementos do evento como os casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de casos possíveis. Desta forma: = ú á ú í 5. Combinações de eventos Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos conjuntos (eventos). União de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por e ocorre se e somente se ao menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que ocorre se e somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem. Interseção de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por e ocorre se e somente se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem). Complementar de um evento Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por e ocorre se e somente se não ocorre A. Prof. Guilherme Neves 4

5 Vejamos alguns exemplos: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Considere os seguintes eventos. ={1,2,3,4,5,6} A: ocorrência de um número ímpar. ={1,3,5}. B: ocorrência de um número par: ={2,4,6}. C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. ={1,2,3} Desta forma, temos os seguintes eventos. : ocorrência de um número ímpar ou número par. ={1,2,3,4,5,6} : ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3. ={1,2,3,5} : ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3. ={1,2,3,4,6} : ocorrência de um número ímpar e par. = O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e ímpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. : ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3. ={1,3} : ocorrência de um número par e menor ou igual a 3. : não ocorrer um número ímpar. ={2} ={2,4,6} : não ocorrer um número par. ={1,3,5} : não ocorrer um número menor ou igual a 3. Prof. Guilherme Neves 5

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7 É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que: Probabilidade do evento união 100%= =1 Se A e B forem dois eventos quaisquer, então ( = ( + ( ( Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos. O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B. O evento união é o representado abaixo. Quando somamos ( + ( as probabilidades dos eventos contidos em são computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para Prof. Guilherme Neves 7

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9 João colocar mais bolas pretas na urna. Vamos considerar que João acrescentou bolas pretas na urna. O nosso quadro com a quantidade de bolas ficará assim: bolas brancas. 2 + bolas pretas. 4 bolas vermelhas. Total de bolas: =7 + A probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. =0,5 = 1 2 Sabemos que probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. ú á ú í =1 2 Há um total de 2 + bolas pretas (número de casos favoráveis) e um total de 7 + bolas na urna (número de casos possíveis =1 2 O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 2 (2 + =1 ( =7 + 2 =7 4 =3 O número de bolas pretas acrescentadas por João é igual a3. Como o número de bolas brancas é igual a, então o número de bolas pretas acrescentadas por João é o triplo do número de bolas brancas. Letra D Prof. Guilherme Neves 9

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11 Resolução Há um total de relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino. De acordo com a tabela fornecida, há um total de =307 acidentes ocorridos com mulheres. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é: = ú á ú í = =0,218 22% A probabilidade pedida é inferior a 23% e o item está errado. 04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. Resolução Neste caso, o número de casos possíveis não é O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino. Devemos, portanto, desconsiderar os acidentes com pessoas do sexo feminino. O nosso espaço amostral (casos possíveis) está representado na tabela abaixo. Prof. Guilherme Neves 11

12 Desta forma, o número de casos possíveis será igual a = Queremos calcular a probabilidade de que o acidente mencionado no relatório tenha ocorrido no estado do Paraná. Lembre-se que devemos olhar apenas para os acidentes ocorridos com vítimas do sexo masculino!! O número de casos desejados (favoráveis) é, portanto, igual a 532. A probabilidade pedida é igual a: =0,48 Que é inferior a 0,5. Portanto, o item está errado. 05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27. Resolução O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná. Desta forma, o nosso espaço amostral será reduzido. Eis o nosso espaço amostral: Prof. Guilherme Neves 12

13 O total de elementos do nosso espaço amostral (casos possíveis) é igual a. =. Estamos interessados em calcular a probabilidade de o acidente ser com uma vítima do sexo masculino no estado do Maranhão. Eis o nosso evento (em verde). A probabilidade pedida é igual a: =0,3 A probabilidade calcular é superior a 0,27 e o item está certo. 06. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. Resolução Voltamos a considerar o nosso espaço amostral com relatórios. Queremos calcular a probabilidade de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela. Vamos selecionar as vítimas do sexo feminino. Prof. Guilherme Neves 13

14 Vamos agora selecionar as vítimas da região Sul. Queremos calcular a probabilidade do evento união (ou). Há um total de =1.027 casos desejados. A probabilidade pedida é igual a: Poderíamos ter utilizado a fórmula da probabilidade do evento união. Onde: ( = ( + ( ( ( = = ( = ( ã 3. ( = = Desta forma: ( = = Prof. Guilherme Neves 14

15 A fórmula não foi útil na questão, por haver cálculos em demasia. Bom, a probabilidade é pedida é: Portanto, o item está errado =0,73 73% 07. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% Resolução Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total 100 O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes. Logo, temos 40 fumantes. 40% 100= =40 40% dos fumantes são mulheres. São 16 mulheres fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total % 40= =16 Prof. Guilherme Neves 15

16 Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 Total Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 Total O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres. Ao todo, temos 52 mulheres. 60% 60= 60 60=36 h ã 100 Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total Fumantes Nãofumantes Total Homem Mulher Total Como estamos considerando que a cidade possui 100 adultos, então o número de casos possíveis é igual a 100. Queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma mulher. Como há 52 mulheres, então o número de casos desejados é igual a 52. = ú á ú í = =52% Letra B (SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinião revela que eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos isto é, que, apesar de não terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos, que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele Prof. Guilherme Neves 16

17 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% 09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. Resolução Vamos analisar o enunciado e, em seguida, avaliar cada um dos itens. Há um total de eleitores. Como eleitores não votariam nos candidatos A e B, então os dois candidatos juntos computarão um total de =8.500 votos. A quantidade de candidatos indecisos, dos que votarão em A e dos que votarão em B são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Se a constante de proporcionalidade for igual a, então: 2 pessoas estão indecisas. 3 pessoas votarão em A. 5 pessoas votarão em B. Somando estas quantidades temos pessoas. Desta forma: = =8.500 =850 2 =2 850=1.700 pessoas estão indecisas. 3 =3 850=2.550 pessoas votarão em A. 5 =5 850=4.250 pessoas votarão em B. É correto afirmar que a probabilidade dele 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% Sabemos que pessoas votarão nos candidatos A e B. Temos casos favoráveis e casos possíveis. A probabilidade pedida é igual a O item está certo =0,85=85% Prof. Guilherme Neves 17

18 09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. Sabemos que pessoas estão indecisas. Como há um total de eleitores, a probabilidade pedida é igual a: =0,17=17% O item está errado. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. Sabemos que pessoas votarão em A e pessoas votarão em B. O total de decididos é igual a = A probabilidade pedida é igual a O item está certo =0,68=68% 11. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 % Resolução Vamos listar todas as comissões, excluindo Denílson: - Arnor, Bruce, Carlão - Arnor, Bruce, Eleonora - Arnor, Carlão, Eleonora - Bruce, Carlão, Eleonora São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão. São 3 casos favoráveis em 4 possíveis. 3 Logo: P= = 75% 4 Prof. Guilherme Neves 18

19 Letra E MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ATA-MF Prof. Guilherme Neves 19

20 8. Probabilidade Condicional Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os espectadores. Desta forma, como há pessoas na platéia, então a probabilidade de um homem ser sorteado é igual a =0,4=40% e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a =0,6=60% Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de =0,001=0,1% Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!! Ora, não temos mais concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de: =0,0025=0,25% A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi reduzido. Isto já foi trabalhado um pouco nas questões 05 e 06. Vejamos outro exemplo. Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço amostral ={1,2,3,4,5,6} e os eventos ={2,4,6} e ={1,2,5}. Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a: = =3 6 =1 2 Prof. Guilherme Neves 20

21 Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a ocorrência do evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o resultado do experimento tiver sido o número 2. Esta opinião é quantificada com a introdução de uma probabilidade a posteriori ou, como vamos chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por. = = 1 3 Vamos ilustrar esta situação com um diagrama. Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U e passa a ser A. í = Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha. O número de casos possíveis agora é igual a 3. = = í Prof. Guilherme Neves 21

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23 CUIDADO!!! O problema nos informou que o resultado é um número ímpar. Devemos descartar os números pares. Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Nosso novo espaço amostral (casos possíveis) é {1, 3, 5}. Queremos calcular a probabilidade de se obter um número menor que 5. Há 2 casos desejados. Portanto, a probabilidade pedida é igual a O item está certo. = 2 3 (Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa. Desempenho Tipo de deficiência Total Surdez Cegueira Outras Sem deficiência Bom Regular Total Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 13. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho será igual a 0, Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0, Considere A o evento o empregado é surdo e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A B), será igual a P(A) P(B) = 0, Considere C o evento o empregado é cego e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade P( B C) condicional será P ( B C) = = 0, 1. P( B) 17. Considere B o evento o empregado tem desempenho regular e D o evento o empregado tem desempenho bom. Os eventos B e D são independentes, pois P ( B D) = 0. Resolução Prof. Guilherme Neves 23

24 13. O objetivo é calcular a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, ter bom desempenho. Há um total de 400 funcionários com a mesma probabilidade de serem escolhidos. Como estamos interessados em um dos 200 empregados que têm bom desempenho, então são 200 casos favoráveis. O item está certo. = á í = =0,5 14. Estamos considerando apenas os empregados com bom desempenho (este é o nosso espaço amostral). Dessa forma, o número de casos possíveis é igual a 200. Destes 200 empregados com bom desempenho, 40 são cegos. Assim sendo, o número de casos favoráveis é igual a 40. = á í = =0,2 O item está certo. 15. O objetivo é calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos. O empregado simultaneamente deve ser surdo e ter desempenho regular. De acordo com a tabela, há 5 funcionários surdos e com desempenho regular. O item está errado. = á í = =0, Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu. Trata-se de cálculo de probabilidade condicional. Vejamos: é lido como probabilidade de ocorrer B sabendo que C ocorreu. Se C ocorreu, então o nosso espaço amostral é C e não B. O denominador deveria ser. A fórmula dada no enunciado está errada!! O correto seria: = Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente. Cegos com desempenho regular são apenas 20. Prof. Guilherme Neves 24

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26 18. (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se: a) P ( A B) = P( A) + P( B) b) P ( A B) = P( A) P( B) c) P( A B) = P( A) P( B) d) P ( A B) = P( A) + P( BA) e) P ( A B) = P( A) P( B) Resolução Aplicação direta da fórmula vista. Letra E 19. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. Resolução Aplicação direta dos conceitos vistos acima. Letra D 20. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3 Resolução Se o indivíduo tem o vírus X, a probabilidade deser na forma X1 é 3/5. ( = 3 5 Prof. Guilherme Neves 26

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28 Temos os seguintes dados: ( é = 3 8 = 5 8 é = 1 5 E queremos calcular: P( Jose Carlos) =? Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos: P( Jose Carlos) = P( Carlos) P( JoseCarlos) O item está certo. 5 1 P( Jose Carlos) = = (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A B)? (A) 0,5 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 (E) 0,9 Resolução. Vimos anteriormente que quando dois eventos são independentes: Aplicando a fórmula da união... Letra C ( = ( ( =0,5 0,4=0,2 ( = ( + ( ( ( =0,5+0,4 0,2=0,7 23. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 Prof. Guilherme Neves 28

29 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ATA-MF Resolução Seja R o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra Ricardo. Seja F o evento que ocorre quando Paulo encontra Fernando. Temos: P( R) = 0,4 P( F) = 0,1 P( R F) = 0,05 Queremos calcular a probabilidade da união: ( Basta aplicar a fórmula diretamente: ( = ( + ( ( ( =0,4+0,1 0,05=0,45 Letra D 24. (Ministério da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% Resolução. A probabilidade de sair 6 é 20% (6 =20%=0,2 Sobram 80%. Para calcular a probabilidade de sair cada um dos números restantes, devemos dividir os 80% por 5. 80% = 16% = 0,16 5 Prof. Guilherme Neves 29

30 Queremos calcular a probabilidade de, em um dado lançamento, sair par. ( = (2 4 6 Os eventos sair 2, sair 4 e sair 6 são mutuamente excludentes. A probabilidade da união é a soma das probabilidades. ( = (2 + (4 + (6 =0,16+0,16+0,2=0,52 Queremos que dois números pares ocorram em dois lançamentos. Seja A o evento que ocorre quando, no primeiro lançamento, o resultado é par. Seja B o evento que ocorre quando, no segundo lançamento, o resultado é par. Para que tenhamos dois números pares, A e B devem ocorrer. P( A B) =? Ora, o resultado do primeiro lançamento não interfere no resultado do segundo lançamento, portanto os eventos são independentes. Como os dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades. Letra B ( = ( ( =0,52 0,52=0,2704=27,04% 25. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repõe-se a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anota-se sua cor. Nessas condições, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis é 1/4. Resolução Como a primeira bola retirada é colocada de volta na urna, então os eventos são independentes (a cor da bola retirada na primeira vez não vai influenciar na cor da bola retirada na segunda vez). Neste caso, O item está errado. (1ª 2ª = ( ( = = 4 64 = (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. b) 100/243. c) 10/27. d) 115/243. Prof. Guilherme Neves 30

31 e) 25/81. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ATA-MF Resolução Suponha que temos apenas uma bola vermelha. O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, logo temos 5 bolas amarelas. O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas, logo temos 10 bolas azuis. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo temos 20 bolas pretas. Total de bolas: = 36 bolas. 20 bolas pretas e 16 não-pretas. Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? Temos as seguintes possibilidades: - não preta, preta, preta. - preta, não preta, preta - preta, preta, não preta Seja X uma bola de cor não-preta. Letra B XPP,PXP,PPX = = (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda: A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%. Prof. Guilherme Neves 31

32 Resolução O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma: =1 8 =1 = 1 8 A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a Letra C =6 =6 1 8 =6 8 =3 4 =0,75=75% 28. (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3 Resolução Vamos resumir os dados do problema. Mãe 4 blusas pretas e 5 brancas. Pai 4 blusas pretas e 2 blusas brancas. Namorado 2 blusas brancas e 3 blusas pretas. Na gaveta de Ana há, portanto, 20 blusas. Como queremos calcular a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai, então o número de casos desejados é igual a 6. ( )= 6 20 = 3 10 Letra D 29. (Técnico MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com Prof. Guilherme Neves 32

33 João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5. Resolução Pulseiras de João 4 de prata e 5 de ouro. Pulseiras de Pedro 8 de prata e 3 de ouro. Maria retirou uma pulseira de prata. Ela tem 12 pulseiras de prata (casos possíveis). Queremos saber a probabilidade de essa pulseira ser uma das que ganhou de João. Ela ganhou 4 pulseiras de prata de João (casos desejados) Assim, a probabilidade pedida é ( )= 4 12 =1 3 Letra A 30. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 Resolução Se os eventos são independentes, a probabilidade de os dois eventos acontecerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades. Lembre-se que ( )+ ( )=1, onde é o evento complementar do evento. Por exemplo, se a probabilidade de chover é 40% = 0,4, então a probabilidade de não chover é 60% = 0,6, pois 0,4+0,6 =1. Calcular a probabilidade de somente o cão estar vivo é o mesmo que calcular a probabilidade de o cão estar vivo e o gato estar morto (coitado!). Se a probabilidade de o gato estar vivo daqui a 5 anos é igual a 3/5, então a probabilidade de ele não estar vivo é igual a 2/5. Assim, ( ã )= = Letra B 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de: Prof. Guilherme Neves 33

34 a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% Resolução MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ATA-MF São 5 bolas das quais 2 são brancas e 3 são pretas. Queremos calcular a probabilidade de sacar ao acaso duas bolas e as duas serem brancas ou as duas serem pretas. ( ) A probabilidade de a primeira bola ser branca é igual a 2/5 (pois são 2 bolas brancas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser branca é igual a 1/4 (pois agora há apenas uma branca e 4 bolas no total). A probabilidade de a primeira bola ser preta é igual a 3/5 (pois são 3 bolas pretas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser preta é igual a 2/4 (pois agora há 2 bolas pretas e 4 bolas no total). Letra C ( )= = = 8 20 =0,4=40% 32. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara é 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, então a probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a 0,2. Resolução Vejamos a moeda A. Se a probabilidade de dar cara é 0,7, então a probabilidade de dar coroa deve ser 0,3, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1. O resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra moeda, portanto os eventos são independentes. A probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a: O item está errado. =0,3 0,5=0,15 (FUB 2009/CESPE-UnB) A probabilidade de um edifício desmoronar é de 0,5 nos primeiros três anos após a sua construção, caso o planejamento do arquiteto tenha sido incorreto. No caso de planejamento correto, a probabilidade é de 0,1. Considerando que, na construção de um edifício, a probabilidade de o arquiteto errar seja igual a 0,1, julgue o item a seguir. 33. A probabilidade do edifício em questão desmoronar nos primeiros três anos após a sua construção é de 0,05. Prof. Guilherme Neves 34

35 Resolução A probabilidade de o arquiteto errar o planejamento é de 0,1. Portanto, a probabilidade de o arquiteto acertar o planejamento é de 0,9 (a soma das probabilidades complementares deve ser igual a 1). Se o arquiteto erra o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é de 0,5. A chance de isto acontecer é igual a: ( é )=0,1 0,5=0,05 Se o arquiteto acerta o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é igual a 0,1. A chance de isto acontecer é igual a: ( é )=0,9 0,1=0,09 Portanto, a probabilidade de um prédio desmoronar nos seus três primeiros anos é igual a: O item está errado. 0,05+0,09=0,14 Mais questões ESAF Vamos agora resolver algumas questões interessantes que apareceram em provas anteriores da ESAF. 34. (MPU 2004/ESAF) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a a) 0,15. b) 0,25. c) 0,30. d) 0,20. e) 0,40. Resolução Prof. Guilherme Neves 35

36 No início deste tópico, comentamos que a probabilidade pode ser calculada como a relação entre casos possíveis e favoráveis. Mas isto só vale quando todos os casos têm a mesma chance de ocorrer (dizemos que são eventos equiprováveis), o que nem sempre ocorre. Vamos usar este exercício para visualizar a questão. São três cozinheiros que fazem a sopa. Se a chance de cada um deles fazer a sopa fosse igual, teríamos: Casos possíveis: José faz a sopa, João faz a sopa, Maria faz a sopa. Casos favoráveis: José faz a sopa. A probabilidade de José fazer a sopa seria de 3 1. Mas a chance de cada um deles ter feito a sopa, num dado dia, não é igual. Maria faz sopa menos vezes que João e José. Neste tipo de questão, em que os casos não têm a mesma chance de acontecer, não temos que nos preocupar muito. Isto porque o enunciado tem que dizer quais são as chances de cada evento. Ora, se eles não são equiprováveis (ou seja, não têm a mesma chance de acontecer), o enunciado tem que falar qual a probabilidade de cada um (ou então dar todas as informações para que possamos calcular tais probabilidades). Se o enunciado não desse nenhuma informação, nós teríamos que simplesmente adivinhar a probabilidade de cada evento, algo absurdo. Voltando à questão, podemos pensar que, a cada 100 dias em que o Carlos freqüente o restaurante, temos que: em 40 dias a sopa é feita por João, em 40 dias a sopa é feita por José, em 20 dias a sopa é feita por Maria. Para tornar o exemplo mais claro, vamos supor que o Carlos tenha freqüentado o tal restaurante do dia 01/01/07 até o dia 10/04/07, totalizando os 100 dias. Daí, pegamos o calendário e escolhemos um desses 100 dias aleatoriamente. A pergunta é: qual a chance de, no dia escolhido, a sopa ter sido feita por José, sabendo que estava salgada? Nestes 100 dias, vamos ver como cada cozinheiro se comporta. João fez a sopa 40 vezes. Em 10% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. José fez a sopa 40 vezes. Em 5% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. Maria fez a sopa 20 vezes. Em 20% dessas 20 vezes, ela salgou demais a sopa. Resumindo: Em 36 dias o João fez uma sopa normal. Em 4 dias o João fez uma sopa salgada. Em 38 dias o José fez uma sopa normal Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. Prof. Guilherme Neves 36

37 Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. Com este artifício, contornamos o problema citado no começo da resolução. Quando listamos o que acontece em cada um dos cem dias, conseguimos levar em conta o fato de Maria fazer sopa menos vezes que João e José. Dentre os cem dias, selecionamos um ao acaso. Agora sim. Estamos focando nos dias, não nos cozinheiros. Todos os cem dias são equiprováveis. Todos têm a mesma chance de serem escolhidos. Esta é a chamada abordagem frequentista da probabilidade. Consideramos que a probabilidade corresponde à freqüência relativa que seria obtida num número grande de experimentos. Caso fosse possível analisar um número muito grande de dias, seria razoável esperar que João faria a sopa em 40% das vezes, José em 40% das vezes e Maria em 20% das vezes. Estas freqüências relativas seriam iguais às respectivas probabilidades. Continuemos com a resolução do problema. Se não soubéssemos que a sopa está salgada, teríamos: Casos possíveis: 100 dias, assim discriminados: 36 dias o João fez uma sopa normal. 4 dias o João fez uma sopa salgada. 38 dias o José fez uma sopa normal Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. Estamos interessados nos dias em que José faz a sopa. Estes dias são nossos casos favoráveis. Casos favoráveis: 40, assim discriminados: 38 dias em que o José fez uma sopa normal 2 dias em que o José fez uma sopa salgada. Contudo, temos a informação de que a sopa está salgada (condição!). Temos que rever nossa lista de casos possíveis e favoráveis. Casos possíveis: 10, assim discriminados: 36 dias o João fez uma sopa normal. Prof. Guilherme Neves 37

38 4 dias o João fez uma sopa salgada. 38 dias o José fez uma sopa normal Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. Casos favoráveis: 2, assim discriminados: 38 dias em que o José fez uma sopa normal 2 dias em que o José fez uma sopa salgada A probabilidade fica: = ú á ú í = 2 10 =0,2 Gabarito: D Poderíamos resolver todos os exercícios desta aula usando a abordagem frequentista da probabilidade. Para tanto, basta imaginar que o experimento seja realizado muitas vezes. A freqüência relativa dos casos favoráveis seria a probabilidade. Mas, às vezes, dá trabalho ficar listando todos os casos possíveis e favoráveis. Por isso é importante aprendermos algumas fórmulas, como a da probabilidade condicional, a da probabilidade da intersecção de dois eventos, da probabilidade da união, probabilidade do evento complementar, entre outras. 35. (MPOG 2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita? a) 1. b) 2/3. c) 1/2. d) 1/3. e) 1/4. Resolução. Prof. Guilherme Neves 38

39 O exercício não é propriamente de probabilidade condicional. Mas vamos usá-lo para praticar mais um pouco a abordagem frequentista da probabilidade. Imaginemos que vários viajantes passem regularmente por esta bifurcação, e que eles nunca saibam qual o caminho correto. Esta situação aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos ver como se comportam os meninos. Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre mente e C o menino que pode tanto dizer a verdade quanto mentir. As possíveis maneiras de escolhermos os dois meninos são: AB, AC, BA, BC, CA, CB. Todas estas combinações são equiprováveis. Nestes 60 dias, temos: - AB ocorreu 10 vezes - AC ocorreu 10 vezes - BA ocorreu 10 vezes - BC ocorreu 10 vezes - CA ocorreu 10 vezes - CB ocorreu 10 vezes Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, então, em 50% das vezes em que ele foi escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro menino escolhido. E, nas outras 50% das vezes, ele disse o contrário do que o outro menino escolhido. Vamos detalhar melhor então o que acontece nos dias em que C foi escolhido: - AB ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas contrárias. - AC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias - BA ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas contrárias. - BC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias - CA ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias - CB ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a probabilidade de duas respostas iguais é de: = =1 3 Prof. Guilherme Neves 39

40 Gabarito: D MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ATA-MF 36. (MPU 2004/ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a a) 2/3 b) 1/7 c) 1/3 d) 5/7 e) 4/7 Resolução Primeiro vamos resolver sem a fórmula. Vamos imaginar a seguinte situação, bem esdrúxula. Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta. Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta. Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos é concurseiro. Ficou tanto tempo estudando para concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia é hoje. Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça também é 1/7. Idem para qualquer outro dia da semana. E mais. A probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça e quarta). A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis: quarta e quinta). A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável: quarta) Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris. Aí Carlos conclui: com certeza hoje só pode ser ou segunda, ou terça ou quarta. Ou seja, agora temos três casos possíveis: Segunda, terça, quarta. E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris. Só tem um caso favorável: quarta feira. Prof. Guilherme Neves 40

41 Caso favorável: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA ATA-MF Quarta. Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris, é: Gabarito: C 1 P= 3 Agora vamos usar a fórmula. Seja A o evento que ocorre quando, escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é um dia em que Ana está em Paris. Seja B o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está em Paris. O exercício disse que: E foi pedido: Usando a fórmula: P( A) = P( B) = 3/ 7 2 / 7 P( A B) = 1/ 7 P( BA) =? P( B A) 1/ 7 P( BA) = = = P( A) 3/ (ANA 2009/ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? a) 0,98% b) 1% c) 2,94% d) 1,30% e) 3,96% 1 3 Resolução Quais são as maneiras de exatamente 1 pessoa ter a variação genética? Podemos ter o seguinte: a primeira pessoa escolhida tem a variação; as outras duas não a primeira pessoa não tem a variação; a segunda tem; a terceira não a primeira e a segunda pessoas não têm a variação; a terceira tem Prof. Guilherme Neves 41

42 Vamos focar no primeiro caso. Seja E1 o evento que ocorre quando, escolhida a primeira pessoa, ela tem a variação. Seja E2 o evento que ocorre quando, escolhida a segunda pessoa, ela NÃO tem a variação. Seja E3 o evento que ocorre quando, escolhida a terceira pessoa, ela NÃO tem a variação. O exercício quer que estes três eventos ocorram simultaneamente. Ou seja, queremos calcular a probabilidade da intersecção dos três eventos. P( E1 E2 E3) =? Esses três eventos são independentes. Neste caso, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades. Substituindo as informações do enunciado: P ( E1 E2 E3) = P( E1) P( E2) P( E3) P( E1 E2 E3) = 0,01 0,99 0,99= 0,9801% Esta é a probabilidade de ocorrer o primeiro caso (a primeira pessoa escolhida tem a variação; as outras duas não). Para os demais casos, o cálculo é idêntico. A probabilidade total fica: Gabarito: C 3 0,9801% = 2,9403% 38. (ATRFB 2009/ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? a) 0,001. b) 0,0001. c) 0, d) 0,005. e) 0,008. Resolução Seja A o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente três teclas em seqüência, o cliente acerta a senha. Seja E1 o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente uma tecla, o cliente acerta a primeira letra da senha. Prof. Guilherme Neves 42

43 Sejam E2 e E3 eventos análogos, correspondentes aos acertos da segunda e da terceira letras da senha. Para que A ocorra, devemos ter, simultaneamente, E1, E2 e E3 ocorrendo. Ou seja: Portanto: A= E1 E2 E3 P( A) = P( E1 E2 E3) Os três eventos são independentes. A probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades. Vamos calcular a probabilidade de E1. P ( A) = P( E1) P( E2) P( E3) Na primeira vez em que as teclas são mostradas na tela, são cinco teclas possíveis e apenas uma é correta. Logo: Analogamente: Do que resulta: Gabarito: E 1 P( E1) = = 0,2 5 P( E2) = P( E3) = 0,2 P ( A) = P( E1) P( E2) P( E3) P ( A) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008 Ficamos por aqui. Espero você na próxima aula. Forte abraço, Guilherme Neves guilherme@pontodosconcursos.com.br Prof. Guilherme Neves 43

44 10. Relação das questões comentadas 01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. (PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 02. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0, A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. 04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0, Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27. Prof. Guilherme Neves 44