ANÁLISE ESPECTRAL DE ÓRBITAS DO MAPA DE MANNEVILLE

ANÁLISE ESPECTRAL DE ÓRBITAS DO MAPA DE MANNEVILLE Daiela Mitie Kato e Marcio Eiecraft Ecola de Egeharia da Uiveridade Prebiteriaa Mackezie, São Paulo, Brail, daikato@yahoo.com Ecola de Egeharia da Uiveridade Prebiteriaa Mackezie e Ecola Politécica da Uiveridade de São Paulo, São Paulo, Brail, marcioft@mackezie.br Reumo: Nete trabalho ivetiga-e caracterítica da Deidade Epectral de Potêcia (DEP) de iai caótico itermitete gerado pelo mapa de Maeville. A aálie é realizada por meio de imulaçõe computacioai, iterpretadoe o iai gerado como fuçõe-amotra de um proceo etocático. Relacioa-e a bada eecial ao expoete de Lyapuov e ao parâmetro do mapa e relacioa-e também ete parâmetro ao tempo de retoro da itermitêcia. Palavra-chave: cao, pectral aalyi, itermitêcia Abtract: I thi work, we ivetigate characteritic of the Power Spectral Deity (PSD) of chaotic igal geerated by the Maeville map.the aalyi i performed via computatioal imulatio, iterpretig the igal a amplefuctio of a tochatic proce. We relate the eetial badwidth to the Lyapuov expoet ad to the map parameter. We alo relate thi parameter to the retur time of the itermittecie. Keyword: chao, pectral aalyi, itermittecy. INTRODUÇÃO Siai caótico ão iai aperiódico e que pouem Depedêcia Seível à Codiçõe Iiciai (DSCI) []. A DSCI igifica que a trajetória do iai com codiçõe iiciai muito próxima divergem ao logo da iteraçõe. A ecolha da família de mapa de Maeville deu-e pelo fato que ela gera iai caótico com itermitêcia. Ete tipo de iai ão utilizado para modelar feômeo a mai divera área, como por exemplo o etudo da epilepia [3], de circuito eletrôico [4], da fíica de plama [5] e em laer [6, 7]. Buca-e relacioar a caracterítica epectrai dete iai com a itermitêcia a fim de melhor modelar ete feômeo. Ete trabalho etá orgaizado da eguite forma: a Seção ão defiida a família de mapa de Maeville e ua pricipai caracvterítica. Na Seção 3 ão aaliada, umericamete, a caracterítica da Seqüêcia de Autocorrelação (SAC) e da DEP do iai gerado, relacioado a bada eecial com o itervalo etre a itermitêcia e o parâmetro da faília. Por fim, a cocluõe dete trabalho ão expota a Seção 4. Etudo emelhate a ete foram realizado para a família teda icliada, cujo reultado apreetado ão relevate, gerado trê artigo [8 ].. O MAPA DE MANNEVILLE O mapa de Maeville é defiido por [] em que ( + ) = (()), () (()) = (( + ɛ)() + ( ɛ) ()) (mod ), () edo ɛ um parâmetro fixo, defiido o domíio U = [, ) e a operação c (mod ) repreeta a parte fracioária de c. O parâmetro ɛ determia o tempo médio de ocorrêcia de rajada caótica o ial. Quato mai próximo de for o valor do ɛ, maior é o itervalo médio de retoro da itermitêcia. Para valore de ɛ próximo da uidade, o tempo médio etre a rajada tede a zero, obtedo-e um ial caótico em itermitêcia. Para ɛ =, tem-e o mapa dete de erra, cohecido como mapa de Beroulli [, 3]. Na Figura ão motrado gráfico de () para diferete valore de ɛ e trecho de ua repectiva órbita. Oberva-e que o itervalo etre a rajada dimiui com o aumeto de ɛ. Na imulaçõe computacioai, para ɛ =, devido a precião fiita do meio digital, a órbita que eriam caótica covergem para o poto fixo p =. Nete cao, para gerar órbita do mapa ( ) utiliza-e a técica decrita em [3]. Como dito ateriormete, iai caótico ão iai aperiódico e que pouem DSCI [].A DSCI é geralmete verificada por meio do expoete de Lyapuov. Ete expoete mede a taxa de divergêcia expoecial média etre dua órbita muito próxima. Se o valor do expoete é maior que zero, etão um ial aperiódico é caótico []. O expoete de Lyapuov h de uma órbita (, ) é calculado por meio de [] ( N ) h = lim l f ( ()), (3) N N =

.7.65.6 5 h M.45.4 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (), = (), =. (), =. (), =. (), = (), =..4.6.8..4.6.8..4.6.8..4.6.8..4.6.8..4.6.8 () () () () () () 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 Figura Mapa e trecho de órbita do mapa de Maeville para (a) ɛ =, (b) ɛ =., (c) ɛ =., (d) ɛ =., (e) ɛ = e (f) ɛ =..35 Figura Expoete de Lyapuov para a família de mapa de Maeville. em que f () é a derivada de f(). Na Figura é motrada uma curva do expoete de Lyapuov h M, calculada umericamete utilizado a Eq. (3 com N =, em fução de ɛ para eta família de mapa. Oberva-e que o expoete de Lyapuov é poitivo para todo o valore de ɛ admiívei, motrado que família de mapa de Maeville gera iai caótico. Nota-e que para ɛ =, que equivale ao mapa de Beroulli, o valor do expoete é máximo e igual a l. Ete valor é jutificado pelo fato de que o mapa de Beroulli é compoto de doi egmeto de reta de icliação igual a... Deidade ivariate Outro atributo que pode er utilizado para caracterizar iai caótico é a deidade ivariate. Pelo fato do iai caótico apreetarem a DSCI, ão e cohecedo a codição iicial exata ão é poível prever o ial apó um curto itervalo de tempo [4]. Dete modo, em itema prático, é itereate etudar ete iai como um proceo etocático, por meio de média, variâcia e correlaçõe etre o iai [5, 6]. Para ito, tem grade valor aber a probabilidade de ocorrêcia de cada poto, ou eja, aber a deidade ivariate do ial o domíio U. Na Figura 3(a) ão ilutrado gráfico da evolução da ditribuição da deidade para o mapa de Maeville para ɛ =. Na Figura 3(b) ão apreetado gráfico para ɛ =. e a Figura 3(c), para ɛ =.. Da mema forma, a Figura 3(d) é motrada a evolução da ditribuição para ɛ =. e a Figura 3(e), para ɛ =. Por fim, a Figura 3(f) ão ilutrado o gráfico para ɛ =. Neta imulaçõe, para cada valor de ɛ foram tomada 5 codiçõe iiciai, uiformemete ditribuída o domíio U = [, ) e aplicou-e o mapa uceiva veze obre ete cojuto de poto, até que ua ditribuição e mativee apó a demai iteraçõe, ou eja, até que ua deidade foe ivariate. Oberva-e que para ɛ, a ditribuição e cocetra em valore próximo de. Eta relação etá de acordo com

o gráfico da órbita motrado a Figura. Para ɛ, o itervalo etre a itermitêcia o ial é maior e aim, a ditribuição do poto da trajetória cocetra-e próximo de. Coforme aumeta-e ɛ, o itervalo etre a itermitêcia dimiui e a ditribuição e epalha o domíio U, até que para ɛ =, tem-e um ial caótico em itermitêcia. Nete cao, ua deidade ivariate é uiforme. (a) (b) (c) (d) (e) (f) = p() =. p() =. p() =. p() = p() = p().5.5.5.5.5.5 P(p()) P(p()) P(p()) P(p()) P(p()) P(p()).5.5.5 () () ().6.4. ().8.4. ().8.5 ().5.5.5.5.5.5.5.5.4..8.5 Figura 3 Evolução da ditribuição da deidade para o mapa de Maeville para (a) ɛ =, (b) ɛ =., (c) ɛ =., (d) ɛ =., (f) ɛ = e (d) ɛ =. 3. SEQUÊNCIA DE AUTOCORRELAÇÃO E DENSI- DADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA Neta eção ão apreetado reultado umérico, obtido por meio de imulaçõe computacioai, da caracterítica epectrai de iai caótico gerado pela família de mapa de Maeville. Relacioa-e o parâmetro da família com o itervalo etre a itermitêcia e com a bada eecial do ial. O etudo umérico dete iai foi realizado aumidoo como fuçõe-amotra de um proceo etocático, em que a SAC, a DEP e a bada eecial do itema ão aaliada. Na Seção 3. é etudada a relação etre o parâmetro da família, o itervalo etre a itermitêcia e a bada eecial. 3.. Etudo do iai gerado como fuçõe-amotra de um proceo etocático Na Seção foi vito que a família de mapa de Maeville é defiida o domíio U = [, ) e dada por (()) = (( + ɛ)() + ( ɛ) ()) (mod ), (4) em que ɛ [, ]. Ecolhido um ɛ, dada uma codição iicial U e fazedo a iteraçõe do mapa, defie-e uma órbita. Tratado-e ete itema como um proceo etocático ergódico, eta órbita gerada repreeta uma fução-amotra do itema. Sedo o domíio U = [, ) para eta família e obervado a Figura e 3, ota-e que o ial gerado por uma mapa deta família poui um valor médio, ou ível DC, que aumeta com ɛ, como ilutrado a Figura 4. Sabedo-e que a difereça etre a potêcia do ial reultate P e o eu valor médio ao quadrado reulta a variâcia σ do ial [6], realizado-e alguma imulaçõe computacioai, otou-e que para todo ɛ admiível, ea variâcia é praticamete cotate, aumido valore ligeiramete iferiore para ɛ, como é motrado a Figura 5. Na área de Telecomuicaçõe é comum que e empregue iai com média ula em eu itema. Nete trabalho, coidera-e o iai gerado pela família de Maeville decotado de eu valor médio, edo ele, a partir dete mometo, repreetado apea por (). A SAC dete proceo R P (k) é calculada por meio da Eq. (??) R P (k) = E [R(k)] = E [ lim N N N = () ( k) ], (5)

.9.8.7.6 = =. =. =. = =.45.4.35 R P (k).5.4.3...3.5.. 5 5 5 5 k Figura 6 SAC para iai do mapa de Maeville para algu valore de ɛ. Figura 4 Valor médio do iai gerado pela família de Maeville. Potêcia.4.35.3.5.. P = σ + σ.5 Figura 5 Potêcia média de iai com e em ível DC gerado pela família de Maeville. Figura 7 SAC para iai do mapa de Maeville para valore de ɛ o itervalo [, ]. em que a eperaça é tomada obre toda a codiçõe iiciai que geram órbita caótica. Na Figura 6 ão motrado gráfico de R P (k) para algu valore de ɛ. A SAC foram etimada utilizado a Eq. (5), tomado-e uma média de 5 fuçõe-amotra, cuja codiçõe iiciai foram uiformemete ditribuída o domíio U e cada uma com N = iteraçõe do mapa. Na Figura 7 ão motrada a SAC para todo o valore admiívei de ɛ. Oberva-e que para ɛ a SAC decai de forma leta e o iai gerado pouem potêcia mai baixa. Com o aumeto de ɛ, o decaimeto da SAC paa a er mai abrupto e o iai reultate pouem potêcia maior. A DEP do proceo P P (ω) é obtida coforme a Eq. (??) P P (ω) = k= R P (k)e jωk = lim N N E [ S tr (ω) ]. (6) Na Figura 8 ão ilutrada etimativa da DEP para difer-

f = =. (a).8.6 =. =. B/π.4. P P (ω) = = (b).8 B/π.6.4. 3 3 ω / π..5.3.35.4.45 5.6.65.7 h M Figura 8 DEP para iai do mapa de Maeville para algu valore de ɛ. Figura Bada eecial em fução (a) de ɛ e (b) do expoete de Lyapuov h M..9.8.7.6.4.3....4.6.8 Figura 9 DEP ormalizada para iai do mapa de Maeville para valore de ɛ o itervalo [, ]. ete valore de ɛ, utilizado 5 fuçõe-amotra com codiçõe iiciai uiformemete ditribuída o domíio U, cada uma com N =. Em outra palavra, para cada codição iicial foram calculada iteraçõe do mapa, defiido-e a trajetória. Para cada uma dea trajetória foi aplicada a Eq. (??), dada a págia??, calculado a DEP de cada uma dela. Por fim, tirou-e a média etre a 5 DEP obtida, reultado a DEP do proceo. Na Figura 9 é ilutrado o comportameto geral da DEP do proceo, de forma ormalizada, para todo o valore admiívei de ɛ. Pode-e iferir que o iai reultate cotituem um proceo com a maior parte de ua potêcia cocetrada a baixa freqüêcia. Quato mai próximo de zero for o parâmetro da família, mai etreita é a bada do ial reultate e ela e alarga com o aumeto de ɛ. Para quatificar ea ditribuição de potêcia a freqüê-.9.8.7.6.4.3.. cia por meio da bada eecial, a Figura ão apreetado gráfico da bada eecial B em fução do parâmetro ɛ e em fução do expoete de Lyapuov h M. Oberva-e a Figura (a), que a bada eecial do ial reultate é mai etreita para ɛ e aumeta coforme ɛ e aproxima de, porém, diferetemete da família teda icliada, ão e chega a uma DEP plaa para iai gerado pelo mapa de Maeville. Pelo fato da itermitêcia erem uma da pricipai caracterítica do iai gerado pela família de mapa de Maeville, é relevate relacioar o itervalo etre a ocorrêcia da itermitêcia com o parâmetro da família e com a bada eecial, o que é dicutido a eguir. 3.. Relação etre bada eecial, itervalo etre itermitêcia e parâmetro da família Foi vito a Seção que a família de mapa de Maeville gera iai com itermitêcia e que o itervalo etre a ocorrêcia da mema varia com o parâmetro da família. Neta eção buca-e relacioar ete itervalo com o parâmetro ɛ e com a bada eecial. Para io, por meio de imulaçõe computacioai, calculou-e o úmero médio de amotra etre a ocorrêcia de itermitêcia, τ, para cada valor de ɛ. Toma-e uma trajetória loga gerada por um mapa da família determiado por ɛ. Sedo U = [, ), em toda a trajetória cota-e o úmero de amotra ubeqüete em que e obtém uma traição etre () < e ( + ) >, em que é o valor médio do domíio do mapa. Toma-e uma média etre ee úmero de amotra, obtedo-e τ. Repetido-e ete proceo para cada ɛ admiível, obtém-e a relação motrada a Figura. De acordo com o que foi motrado a Figura, oberva-e aqui também que, quato meor o ɛ, maior o itervalo etre a itermitêcia e quado ɛ e aproxima de, ete itervalo dimiui até que o ial e tora caótico em itermitêcia. Na eção aterior, relacioou-e a bada eecial do iai reultate com o parâmetro da família e com o ex-

τ 4 8 6 4 Figura Relação etre o parâmetro ɛ e o úmero médio de amotra etre a itermitêcia, τ. Figura Número médio de amotra etre a itermitêcia em fução (a) da bada eecial e (b) do expoete de Lyapuov h M. poete de Lyapuov h M. Aim, é poível relacioar o itervalo etre a itermitêcia com a bada eecial e com o expoete, apreetado a Figura. Verifica-e que quado ɛ, maior é o itervalo etre a itermitêcia e meor é a bada eecial do iai reultate, ou eja, ão iai bada etreita e, o cao deta família, com a maior parte de ua potêcia cocetrada a baixa freqüêcia. Além dio, o expoete de Lyapuov tem valore mai baixo, porém poitivo, idicado que o iai aperiódico ão caótico. Já para ɛ, em que o itervalo etre a itermitêcia é míimo, a bada eecial é maior, ma aida aim com a potêcia do iai reultate cocetrada a baixa freqüêcia e o expoete de Lyapuov é maior, o que implica que o iai gerado com codiçõe iiciai diferete ditaciam-e rapidamete. Com o etudo deta família, oberva-e mai uma vez que cao ão implica em bada larga e SAC impuliva, como cotuma-e ecotrar a literatura. 4. CONCLUSÕES Pôde-e verificar que o iai caótico gerado pela família de mapa de Maeville podem apreetar divera largura de bada, porém de forma equematizada e defiida. De maeira muito imple é poível ecolher uma bada eecial e ecotrar um mapa que gere iai que ocupem ea largura de bada deejada ou um mapa que gere iai com itermitêcia com itervalo etre a ocorrêcia cohecido. Além dio, em itema prático, exite maior facilidade em etimar a bada de um ial em vez de etimar o itervalo etre a itermitêcia. Dete modo, relacioado-e ete parâmetro, é poível idetificar ou modelar um ial por meio de ua bada eecial. Epera-e que o reultado iiciai apreetado aqui poam cotribuir em trabalho futuro e em aplicaçõe prática que coteham iai itermitete, como a fíica de plama e laer [5, 6]. ACKNOWLEDGMENTS O autore gotariam de agradecer ao Prof. Iberê L. Calda pela ugetão do uo do mapa de Maeville em eu etudo de aálie epectral de iai caótico. Referêcia [] K. T. Alligood, T. D. Sauer, e J. A. Yprke, Chao - a itroductio to dyamical ytem, New York: Spriger, 996. [] N. F. Ferrara, e C. P. C. Prado, Cao - uma itrodução, São Paulo: Edgard Blücher, 994. [3] J. L. P. Velazquez, H. Khoravai, A. Lozao, B. L. Bardakjia, P. L. Carle, e R. Weberg, Type iii itermittecy i huma partial epilepy, Europea Joural of Neurociece vol., No. 7, pp. 57-576, Março 999. [4] M. S. Baptita, e I. L. Calda, Type-II itermittecy i the drive double croll circuit, Phyica D: Noliear Pheomea vol. 3, pp. 35-338, Julho 999. [5] M. B. A. P. Heller, J. A. Stockel, Z. A. Brazilio, e I. L. Calda, Scrape-off layer itermittecy i the cator tokamak, Plama Phyic ad Cotrolled Fuio vol. 6, pp. 846Ű853, Março 999. [6] R. Harrio, I. Al-Saidi, e D. Biwa, Obervatio of itabilitie ad chao i a homogeeouly broadeed igle mode ad multimode midifrared rama laer, IEEE J. Quatum Electro, vol., No. 9, pp. 49Ű497, Setembro 985. [7] E. F. Mafra, I. L. Calda, R. L. Viaa, e H. J. Kaliowki, Type-I itermittecy ad crii-iduced itermittecy i a emicoductor laer uder ijectio curret modulatio, Noliear Dyamic, vol. 7, pp. 85-95, Jaeiro. [8] D. M. Kato, e M. Eiecraft, O the power pectral deity of chaotic igal geerated by kew tet map, ISSCS7 - Iteratioal Sympoium o Sigal, Circuit ad Sytem, 7, vol., pp. 5-8, Julho 7a. [9] D. M. Kato, e M. Eiecraft, Caracterização epectral de iai caótico, SBrT7 - XXV Simpóio Braileiro de Telecomuicaçõe, CD-ROM, Setembro 7b. [] D. M. Kato, e M. Eiecraft, Caracterização epectral de iai caótico: reultado aalítico, SBrT8 - XXVI Simpóio Braileiro de Telecomuicaçõe, CD- ROM, Setembro 8.

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