ENADE 2005 e 2008 Nas opções abaixo, representa o condicional material (se...então...), v representa a disjunção (ou um, ou outro, ou ambos) e ~ representa a negação (não). Com o auxílio de tabelas veritativas, examine a seguinte fórmula: (p q) v (~ q v p) e, a seguir, assinale a opção correta. A A fórmula é uma contingência, e ~ q v p só é falsa na 3.ª linha, de cima para baixo. B A fórmula é uma tautologia, e p q só é falsa na 2.ª linha, de cima para baixo. C A fórmula é uma disjunção tautológica cujos membros são ambos tautológicos. D A fórmula é uma contradição. E A fórmula é mal formada. Considere que, e são, respectivamente, símbolos para a negação ( não ), conjunção ( e ) e condicional material ( se..., então... ) e que p e q são variáveis proposicionais. Ao se empregar os procedimentos das tabelas veritativas e, em seguida, do cálculo proposicional, pode-se concluir que a fórmula (p q) v (p q). I é uma contingência. II é uma contradição. III é uma tautologia. LÓGICA PROPOSICIONAL A lógica proposicional clássica é um dos exemplos mais simples de lógica formal. O cálculo proposicional só é possível de ser elaborado partindo de proposições declarativas, pois são as únicas a que se pode atribuir verdade e falsidade (ex: a engenharia é a ciência que estuda a construção de obras de grande porte ; todo metal submetido à alta temperatura dilata, etc.). Proposições exclamativas (ex: que lindo dia! ), imperativas (ex: você deve respeitar seu semelhante ), interrogativas (ex: todo metal submetido à alta temperatura dilata? ) não são passíveis de atribuição valorativa (verdade e falsidade). A lógica proposicional (ou cálculo sentencial) é um sistema formal no qual símbolos (p, q, r, etc.) representam proposições simples (ou atômicas) que são combinadas entre si usando conectivos lógicos (~, v, ^, etc.). As proposições simples são aquelas compostas de sujeito e predicado e que não podem ser divididas em outras proposições com sentido completo. Em linguagem natural, um exemplo de proposição simples pode ser: "O cobre conduz eletricidade", ou "X é um número". Se fizermos a decomposição da primeira teremos o sujeito cobre (que, sozinho, não tem sentido completo, afinal o cobre o que?) e o predicado conduz eletricidade (que, sozinho, também não tem sentido completo, afinal o que conduz eletricidade?). Na segunda proposição o caso é o mesmo. As proposições complexas, por sua vez, são aquelas que podem ser decompostas em outras proposições, por exemplo: "O cobre conduz eletricidade e o cobre é um metal", é uma proposição complexa construída juntando duas outras O cobre conduz eletricidade e O cobre é um metal" com um conectivo lógico, o e, cujo símbolo lógico é ^. Assim, uma boa regra para saber se a proposição em questão é simples ou complexa é verificar se ela apresenta algum conectivo lógico. alemos, então, sobre os conectivos. Os principais conectivos lógicos e suas funções: Negação (~). Lê-se não é o caso de. A negação inverte o valor-verdade da proposição. Conjunção (^). Lê-se e. A conjunção entre duas proposições é verdadeira somente se ambas forem verdadeiras. Disjunção inclusiva (v). Lê-se e/ou. A disjunção inclusiva só é falsa se ambas forem falsas. Disjunção exclusiva (w). Lê-se ou... ou.... A disjunção exclusiva é verdadeira se os valores-verdade forem diferentes. Condicional ( ). Lê-se se..., então.... O condicional só será falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente falso. Bi-condicional (). Lê-se se e somente se. O bi-condicional é verdadeiro se os valores-verdade forem iguais. EXERCÍCIOS: 1. Considerando as convenções abaixo, dizer qual o valor de verdade dos enunciados: Convenção: P = ; Q = V; R = V. a) (Q P) ^ ~ P b) Q (P v ~ R) c) (Q w R) R
d) ~ (P R) ^ R e) (P w ~ P) (R Q) f) P v (Q ~ R) TABELA VERDADE Se na análise de um argumento os valores são dados (exercícios com convenção de valoração dada) é simples: substituímos as variáveis pelos valores dados e calculamos. Mas e quando não sabemos os valores (verdadeiro ou falso) das proposições que compõem o argumento? Como analisá-los então? As tabelas verdade serão necessárias neste caso. Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração (a regra para saber quantas linhas teremos, é a seguinte: 2 n (em que 2 significa V, e n o número de sentenças envolvidas). Assim, se uma fórmula contém 2 proposições diferentes, como P e Q, o número de linhas será 4. Se a fórmula contiver 3 proposições diferentes, o número de linhas será 8. Desta forma como ficaria a tabela verdade de uma proposição complexa do tipo (P ^ Q)? Primeiro montamos a tabela com base no número de proposições, neste caso temos duas proposições diferentes P e Q. Pela fórmula 2 2 temos uma tabela de quatro linhas. Em seguida, para saber quantas colunas a tabela terá, preenchemos as duas primeiras com os valores padrão para P e Q. eito isso, é só colocar a proposição complexa na tabela, separando cada proposição atômica e conectivos em uma coluna. Agora é só preencher os valores de P e Q nas colunas de P e Q. E, para finalizar, a parte mais importante: calcular o valor da coluna do conecvtivo em questão, no caso a conjunção, apresentando o resultado para cada uma das quatro linhas. Sempre que a coluna final de uma tabela verdade for em todas as linhas verdadeira, dizemos que a proposição é uma tautologia. Se, por outro lado, o resultado da coluna final de uma tabela verdade for em todas as linhas falso, então temos uma contradição. Por outro lado, se tivermos ao menos um resultado verdadeiro e ao menos um resultado falso, então a fórmula é uma contingência. Exercícios: 1. Determinar se as proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências: a) P Q (P w Q) (Q Q) V V b) P Q (P ^ Q) v (Q ~ P) V V c) P Q R [(R v Q) (~ P ^ ~ Q)] R V V V V V V
8. Determinar se a proposição abaixo é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência e assinalar apenas uma alternativa: P Q R [(P v Q) ^ (~ R ^ ~ P)] (Q w R) linhas V 1a. 2a. V V 3a. V 4a. 5a. V 6a. V 7a. 8a. Alternativas: a) a proposição é uma tautologia, e (P v Q) só é falsa nas duas últimas linhas; b) a proposição é uma contingência, e (~ R ^ ~ P) só é verdadeira na 6ª. e na 8ª. linha; c) a proposição é uma contingência, e (P v Q) ^ (~ R ^ ~ P) só é verdadeira na 1ª. e na última linha; d) a proposição é uma contradição. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PREDICADOS A linguagem do Cálculo de Predicados de 1 a Ordem inclui predicados, quantificadores, conectivos lógicos e regras de inferência que, como veremos, fazem parte do Cálculo de Predicados. Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e os parênteses, os seguintes novos símbolos: variáveis (representam indivíduos indeterminados ("alguém", "algo", etc.)): x,y,z. constantes (representam os indivíduos determinados nomes ou descrições definidas - ex: "João", "Maria", Aristóteles, O autor de A crítica da razão pura, O compositor de As quatro estações...): a,b,c,...t. (vamos convencionar que isso é possível até a letra t ) símbolos de predicados (representam o predicado lógico das sentenças, propriedades ou relações entre os indivíduos ou sujeitos lógicos): A, B, C, D... Z. quantificadores (representam a quantidade dos sujeitos lógicos da sentença, ex: todo, algum, pelo menos um...) : (universal), (existencial) O cálculo de predicados analisa as sentenças internamente. Há que se verificar os termos, separando o que é sujeito do que é predicado (daí a expressão cálculo de predicados ) e os quantificadores. Começamos simbolizando esses termos com uma notação apropriada e eliminar as ambigüidades da linguagem natural. Exemplos: "Maria é inteligente" = Im ; onde "m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente". Para todo A é B temos x (Ax Bx), que poderíamos ler por extenso da seguinte forma: Para todo x, se x é A, então x é B, ou, simplesmente Todo A é B. Assim, a sentença João é brasileiro pode ser simbolizada por Bj. É importante notar que o predicado, nesta convenção, aparece antes do sujeito. Outros exemplos: Alguém é brasileiro = Bx (ainda não estamos usando os quantificadores) Ana dorme = Da Pedro é alto = Ap O autor da República era grego = Ga Deodoro conspirou = Cd Alguma coisa é verde = Vx (continuamos não usando os quantificadores) O professor de Lógica da Unisinos é organizado = Op Temos dois quantificadores: (universal), (existencial), que significam, respectivamente, para todo e existe pelo menos um. Eles só são utilizados nos casos em que a sentença apresenta ao menos uma variável, ex: Alguém é brasileiro. Nessa sentença, não sabemos a quem se refere alguém. Daí a simbolização ser Bx. Mas para simbolizarmos de forma mais completa, teríamos que acrescentar o quantificador existencial que serve para simbolizar quantidades como: alguém, alguns, algo, pelo menos um, muitos, poucos, vários... (perceba que é o mesmo caso de possibilidades que tínhamos no quantificador particular do silogismo aristotélico. Assim, nossa sentença inicial Alguém é brasileiro completamente simbolizada ficaria: x (Bx). Que pode ser lida das seguintes formas: Existe pelo menos um x tal que x é brasileiro ou existe pelo menos alguém que é brasileiro ou ainda simplesmente
alguém é brasileiro. Por outro lado, se o quantificador for universal como todos, qualquer ou nenhum, então usaremos a notação. Assim, para a sentença todos são brasileiros teríamos a seguinte simbolização: x (Bx). Tal notação pode ser lida das seguintes formas: para todo x, x é brasileiro ou todo o mundo é brasileiro ou ainda simplesmente todos são brasileiros. Outros exemplos: Nada é belo = x ~ (Bx). Ela é inteligente = x (Ix). Tudo é belo = x (Bx). Isto não é belo = x ~ (Bx). Alguém é um filósofo = x (x). Notamos que os símbolos de predicados (as letras maiúsculas do alfabeto) serão unários (propriedades), binários (relação entre dois indivíduos) ou ternários (relação entre três indivíduos) conforme o que representam envolver, respectivamente um, dois ou três objetos do universo. Um símbolo de predicados 0-ário identifica-se com um dos símbolos de predicado e com a ausência de sujeitos lógicos (nomes ou descrições definidas). Exemplos de predicados 0-ários: Chove = C Neva = N Exemplos de predicados unários: Sócrates é filósofo = s Cleo é um peixe = Pc O compositor da Marcha fúnebre é criativo = Cc Alguém é atrapalhado = x (Ax) Exemplos de predicados binários: João é mais alto que Maria = Ajm Pedro gosta de Ana = Gpa Marcos está ao lado de Cláudia = Lmc Todos gostam de Carlos = x (Gxc) Exemplos de predicados ternários: João está sentado entre Pedro e Bruno = Sjpb Alguém gosta de Maria e Carla = x (Gxmc) Paulo é primo de Denis e Cristina = Ppdc Exercícios: 1. Simbolizar as sentenças abaixo em linguagem de cálculo de predicados: a) João não é feliz b) João odeia Isabel c) Canoas fica entre São Leopoldo e Porto Alegre : x fica entre y e z d) Se João é mais alto do que Pedro, então Pedro é mais baixo do que João. A: x é mais alto que y / B: y é mais baixo que x 2. Simbolizar as sentenças abaixo em linguagem de cálculo de predicados com o uso de variáveis conforme o exemplo: Exemplo: João odeia alguém = x (Ojx) a) Alguém odeia João b) Alguém ama alguém c) Alguém odeia a si mesmo d) Todos odeiam a si mesmos e) João ama todos f) Todos odeiam João g) Alguém ama todos
3. Simbolizar as sentenças abaixo em linguagem de cálculo de predicados com o uso de variáveis conforme o exemplo lembrando que proposições universais são simbolizadas com o condicional e proposições particulares são simbolizadas com a conjunção: Ex: Todos os gregos são poderosos = x (Gx Px) e Alguns gregos são poderosos = x (Gx ^ Px) a) Nenhum grego é poderoso b) Alguns poderosos são gregos c) Alguns gregos não são poderosos d) Todos os gregos poderosos têm sorte e) Alguns pássaros são amarelos f) Todos os pássaros são amarelos g) Nenhuma baleia é mamífero h) As pessoas são prepotentes se, e somente se, não têm escrúpulos i) Nem tudo o que brilha é ouro 4. Na sentença Maria é mais baixa que Pedro, em linguagem de cálculo de predicados, o predicado é: a) zero-ário; b) unário ou monádico; c) binário ou diádico; d) ternário; e) uma descrição definida. 5. Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas: ( ) Os símbolos e são usados para quantificar as variáveis quando não temos nem nomes próprios nem descrições definidas nas sentenças; ( ) Chove é uma sentença que pode ser simbolizada por C ; ( ) Nem João nem Maria dormiram é uma sentença que pode ser simbolizada por ~ (Dj ^ Dm) ; ( ) Tanto Pedro quanto lávio não comeram a refeição é uma sentença complexa que pode ser simbolizada por ~ Cp ^ ~ Cf ; ( ) O Paraná fica entre o Rio Grande do Sul e Santa Catarina é uma sentença com predicado ternário; ( ) Os predicados binários sempre apresentam a relação entre dois indivíduos e os ternários denotam três propriedades a qualquer indivíduo. 6. Traduzir as seguintes sentenças para a linguagem do cálculo de predicados: Convenção: S = sistemático C = completo = filosófico a = o autor de Investigações filosóficas a) x (~ Sx) b) x (~ Sx) c) x (Sx ^ Cx) d) x (x (Sx ^ Cx)) e) x (x w Cx) f) (Sa a) g) x (x ~ Sx) h) x (Cx ~ Sx) i) (~ Ca ^ a) Sa)