PROBABILIDADE CAPÍTULO 4 PROBABILIDADE UFRGS A Teoria das s estuda os fenômenos aleatórios. Fenômeno Aleatório: são os fenômenos cujo resultado não pode ser previsto exatamente. Se o fenômeno se repetir, sob condições similares, o resultado não será sempre o mesmo. Experimento Aleatório: Qualquer fenômeno aleatório que possa ser executado pelo homem. 1 2 4.1. Espaço Amostral e Eventos 4.1. Espaço Amostral e Eventos Os resultados de um experimento aleatório podem ser representados em um espaço amostral ao qual chamaremos de S. O espaço S pode ser uni ou k-dimensional, discreto ou contínuo, finito ou infinito. A figura a seguir apresenta um espaço bidimensional onde aparecem os eventos A e B. Como pode ser visto, os eventos A e B estão completamente contidos em S e apresentam interseção, ou seja, a sua ocorrência simultânea é possível. Evento: É um conjunto de resultados possíveis do experimento. É um subconjunto de S. Exemplo: Em uma linha de produção, peças são fabricadas em série. Conte o nº de peças defeituosas em cada 200 peças produzidas. S = {0, 1, 2,..., 200}; Eventos: A: ocorrer 10 peças defeituosas. A = {10}; B: ocorrer entre 10 e 15 peças defeituosas. B = {10, 11, 12, 13, 14, 15}; 3 4
4.2. Operações com Eventos 4.3. Definição de Usando o símbolo para união e o símbolo para interseção, podemos definir os eventos C e D: C = A B conjunto de valores que pertence a A ou B ou a ambos; D = A B conjunto de valores que pertence simultaneamente a A e B; Usaremos o símbolo para representar o conjunto vazio, e uma barra sobre a letra, por exemplo A, para representar o complemento de A, isto é, o conjunto de pontos que não pertence a A. Um experimento será chamado aleatório se puder ser repetido um grande número de vezes sob condições similares e se o resultado de uma observação não pode ser exatamente previsto. Uma variável será chamada aleatória se descreve os resultados de um experimento aleatório. 5 6 4.3. Definição de 4.3. Definição de Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma função P tal que P represente a probabilidade que x pertença a E. Isto é: P(E = Pr (x E Alternativamente, pode ser enunciado: Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma função P tal que P represente a probabilidade de ocorrência de E. Isto é: P(E = Pr(ocorrência do evento E Essa função P deve satisfazer algumas propriedades: 1 0 P(E 1 2 Se E 1 e E 2 são tais que E 1 =, tem-se que E 2 = + P(E 2 3 A probabilidade de ocorrência de um ponto qualquer do espaço amostral S deve ser igual a 1: P(S=1 Essas propriedades são importantes para derivar várias regras de cálculo de probabilidades. 7 8
4.3 Definição de 4.4. Soma de s Para determinar a probabilidade de um evento, usaremos o ponto de vista das freqüências relativas: P(E = m(e / m(s onde m(e e m(s representam as medidas de E e S. Eventos mutuamente exclusivos E 1 =. Para eventos mutuamente exclusivos, a soma das probabilidades é dada pela generalização da propriedade 2. E 2... E k = Σ P(E i Se os eventos E 1 e E 2 não são mutuamente exclusivos, mas são independentes, pode-se demonstrar que: E 2 = + P(E 2-9 10 4.4. Soma de s 4.4. Soma de s Para o caso de três eventos, a generalização anterior é Exemplo: Um digestor químico é alimentado por material que vem de dois tanques independentes. E 2 E 3 = + P(E 2 + P(E 3 - [ + + E 3 + P(E 2 E 3 ] + E 3 O material do tanque 1 pode ser uma concentração de ácido que varia uniformemente entre 4 e 8, enquanto que o material do tanque 2 pode apresentar uma concentração de base entre 5 e 10. Sejam os seguintes eventos: A: material do tanque 1 com conc. superior a 6 B: material do tanque 2 com conc. inferior a 6 11 12
4.4. Soma de s 4.4. Soma de s P(A = m(a / m(s P(A = 10 / 20 = 0,5 P(A = 1 - P(A = 0,5 Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, e sabendo que o processo apresenta problemas quando a concentração de ácido supera a concentração de base, calcule a probabilidade disso acontecer. P(B = 4 / 20 = 0,20 P(B = 1 - P(B = 0,80 P(A B = 2/20 = 0,10 P(A B = P(A + P(B - P(A B = 0,50 + 0,20-0,10 = 0,60 Solução: = m(e 1 / m(s = [(3x3/2] / 20 = 0,225 13 14 4.5. Produto de s 4.5. Produto de s A probabilidade de um evento A foi definida como a medida do conjunto A dividida pela medida de S. Poderíamos, então, escrever P(A/S para indicar de forma explícita que a probabilidade de A está referida a todo o espaço amostral S. Assim: P(A = P(A/S = m(a / m(s Algumas vezes, no entanto, estaremos interessados em calcular a probabilidade de um evento E 1 referida a um sub-espaço de S, por exemplo, ao espaço definido por E 2 : /E 2 = m (E 1 / m(e 2 Dividindo-se numerador e denominador por m(s: /E 2 = [m (E 1 / m(s] / [m(e 2 / m(s] /E 2 = / P(E 2 Essa expressão define a probabilidade de E 1 dado E 2 ou referida a E 2. A partir dessa expressão, obtém-se: = /E 2. P(E 2 (eq. 2 15 16
4.5. Produto de s 4.5. Produto de s Da mesma forma, poderíamos escrever: P(E 2 /E 1 = / e então obter: Exemplo: Para o exemplo do digestor químico calcule a probabilidade da concentração de ácido superar a concentração de base quando sabe-se que a concentração de ácido é superior a 6,0. = P(E 2 /E 1. (eq. 3 As expressões (2 e (3 são análogas e definem a probabilidade do produto, ou seja, da ocorrência simultânea de E 1 e E 2. Para três eventos tem-se: E 3 =. P(E 2 /E 1. P(E 3 /E 1 ou expressões equivalentes usando P(E 2 ou P(E 3. Solução: O que se pede é a dado A. Essa probabilidade é: m(e A/m(S 4/20 P(E /A 1 = = m(a/m(s 10/20 1 = 0,40 17 18 4.6. Eventos Independentes 4.6. Eventos Independentes Dois eventos, E 1 e E 2 são ditos independentes se: /E 2 = nesse caso, Exemplo: Um construtor se submete a licitação para duas obras independentes, A e B. Baseado na experiência, os engenheiros estimam que a probabilidade de ganhar a obra A é 0,25; e a probabilidade de ganhar a obra B é 0,33. Pede-se: =. P(E 2 Para k eventos independentes, tem-se:... E k = Σ P(E i a Estimar a probabilidade de ganhar ao menos uma das duas obras: P(A B = P(A + P(B - P(A B = = 0,25 + 0,33 - (0,25. 0,33 = 0,5 19 20
4.6. Eventos Independentes 4.6. Eventos Independentes b Estimar a probabilidade de ganhar a obra A, sabendo-se que o construtor irá ganhar ao menos uma obra: P(A (A B 0,25 P(A/A B = = = 0,50 P(A B 0,50 Note que P(A (A B é obviamente o mesmo que A, já que A está completamente contido em (A B. c Se o construtor submete-se a outra licitação para uma obra C, com probabilidade de ganhar igual a 0,25, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma obra? P(A B C = 0,25 + 0,33 + 0,25 - (0,25. 0,33 + 0,25. 0,25 + 0,33. 0,25 + (0,25. 0,33. 0,25 = 0,625 Note que para o caso de eventos independentes vale também: P(A B C = 1 - P( A B C = 1 - (0,75. 0,67. 0,75 = 0,625 21 22 4.7. Total 4.7. Total Seja que no campo amostral S exista um evento B que consiste de k componentes mutuamente exclusivos: B = B 1 B 2... B k ; B i B j = E dado que no campo do evento B exista um outro evento A que pode ou não ocorrer simultaneamente com todos os componentes de B. Nesse caso, podemos escrever: A = (A B 1 (A B 2... (A B k Isso quer dizer que o evento A está descrito em forma total pelos componentes B 1...B k do evento B, os quais são mutuamente exclusivos. Então usando-se (1 e (2 tem-se: 23 24
4.7. Total 4.7. Total P(A = P(A B 1 +...+ P(A B k Exemplo P(A = P(B 1. P(A/B 1 +...+ P(B k. P(A/B k P(A = Σ P(B i. P(A/B i Na construção de um edifício usa-se 1000 Kg de material por dia; desse total, 600 Kg são adquiridos do fornecedor B 1 e 400 Kg do fornecedor B 2. Assim B = B 1 B 2, onde B é a provisão de 1000 Kg/dia O material pode ser defeituoso e por experiência prévia sabe-se que B 1 e B 2 têm as probabilidades de 0,03 e 0,01, respectivamente, de serem defeituosos. 25 26 4.7. Total Chamando A o evento material defeituoso tem-se: A = (A B 1 (A B 2 Isto é, se o material é defeituoso, pode vir de B 1 ou B 2. Então A pode ser calculado a partir de: P(B 1 = 0,6; P(B 2 = 0,4 P(A/B 1 = 0,03; P(A/B 2 = 0,01 P(A = P(B 1.P(A/B 1 + P(B 2.P(A/B 2 P(A = (0,6.(0,03 + (0,4.(0,001 = 0,018 + 0,004 = 0,022 Assim a probabilidade total de que o material seja defeituoso, vindo de B 1 ou B 2, é igual a 0,022. O Teorema de Bayes permite calcular a probabilidade posterior de um evento B j, P(B j /A, baseada em nova informação referente ao evento A e conhecendo-se a probabilidade anterior B j, P(B j. Usando o conceito de probabilidade condicional, temse: P(B j /A = P(B j A / P(A Como A está descrito em termos de B 1,...,B k, tem-se o Teorema de Bayes: P(B j /A = P(B j A / Σ P(B j. P(A/B j P(B j /A = P(B j. P(A/B j / [ Σ P(B j. P(A/B j ] 27 28
Nota-se que o Teorema de Bayes determina a probabilidade posterior de um evento B j, em função de um evento A e da probabilidade anterior de B j. Exemplo: A medição da espessura é feita usando um aparelho ultra-sônico, cuja confiabilidade é de 80%, ou seja, há uma probabilidade de 80% que a conclusão baseada neste aparelho seja correta. Uma seção de pavimento de concreto é aceita se sua espessura for superior a 7,5 cm. A experiência prévia indica que 90% das seções construídas são aceitas. Pede-se: a Qual a probabilidade que a seção esteja bem construída e seja aceita na inspeção? 29 30 Solução: Seja A: seção bem construída, isto é, e > 7,5 cm. P(A =? Seja B: O aparelho indica que a seção está bem construída, ou seja, indica que e > 7,5 cm. P(B=0,90 c A probabilidade que a seção seja aceita quando se sabe que a seção está bem construída. Essa probabilidade pode ser estimada usando o Teorema de Bayes. O que se pede é a P(B/A. Ainda, P(A/B = 0,80 Assim, o que se pede é a P(A B: P(A B = P(B. P(A/B = (0,90. (0,80 = 0,72 b A probabilidade que a seção não esteja bem construída e seja aceita: P(A B = P(B.P(A / B = (0,90.(0,20 = 0,18 Como somente podemos dizer que a seção está bem construída baseado nas medições temos: A = (B A (B A Assim, P(A = P(B. P(A / B + P(B. P(A / B P(A = (0,90. (0,80 + (0,10. (0,20 = 0,74 P(B. P(A / B P(B / A = (0,90. (0,80 P(A = 0,74 =0,973 31 32
Como se vê, a probabilidade anterior P(B = 0,90 é agora modificada para P(B/A = 0,973 depois de se saber o evento: a seção está bem construída. 4.1. Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não tem elementos em comum, ou seja, se eles não podem ocorrer simultaneamente. E um grupo de eventos é dito coletivamente exaustivo se eles esgotam todos os resultados possíveis para o experimento em questão. Dê um exemplo de eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivo. 4.2. Qual a probabilidade de adivinhar o dia da semana em que nasceu Pedro Alvarez Cabral? Que suposição você fez para calcular essa probabilidade? 33 34 4.3. Seja P(A= 0,30 e P(B=0,80 e P(A B=0,15. Pedese: a A e B são mutuamente exclusivos? b Determine P(B c Determine P(A B 4.4. Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A=0,52 e P(B=0,27. Pede-se: a A e B são coletivamente exaustivos? b Determine P(A B c Determine P(A B 4.5. As falhas de diferentes equipamentos são independentes uma das outras. Se há três equipamentos e as suas respectivas probabilidades de falha em um determinado dia são 1%, 2% e 5%, indique: a a probabilidade de todos os equipamentos falharem em um mesmo dia b de nenhum falhar 4.6. Uma fábrica de azulejos tem um processo de inspeção em 3 etapas. A probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser detectado em uma dessas etapas é de aproximadamente 25%. Com base nessa informação, calcule a probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser detectado por todas as 3 etapas. 35 36
4.7. Há 99% de probabilidade de uma máquina fabricar uma peça sem defeitos. Supondo que a fabricação de peças sucessivas constitua eventos independentes, calcule as seguintes probabilidades: 4.9. Repita o exercício 4.8 para o caso em que o inspetor tivesse examinado a matriz e verificado que ela era defeituosa. a de duas peças em seqüência serem defeituosas b de dez peças em seqüência sem defeitos 4.8. Três máquinas A, B e C fabricam matrizes para estamparia. O histórico dessas máquinas revela que elas produzem respectivamente 1%, 2% e 3% de defeituosos. Um inspetor examina uma matriz e verifica que ela está perfeita. Sabendo que cada máquina é responsável por 1/3 da produção total, calcule a probabilidade de ela ser produzida por cada uma das máquinas. 4.10. Repita o exercício 4.8 para o caso em que as máquinas A, B e C fossem responsáveis, respectivamente, pelos seguintes percentuais da produção total: 20%, 40% e 40%. 37 38 4.11. Uma cidade tem 30 mil habitantes e três jornais X, Y, Z. Uma pesquisa de opinião revela que: 12 mil lêem X, 8 mil Y, 7 mil X e Y, 6 mil Z, 4.500 lêem X e Z, mil Y e Z e 500 lêem X,Y e Z. Qual a probabilidade de que um habitante leia: 4.12. Uma empresa exploradora de petróleo perfura um poço quando acha que há pelo menos 25% de chance de encontrar petróleo. Ela perfura 4 poços, aos quais são atribuídas probabilidades de 0,3 ; 0,4 ; 0,7 e 0,8. a pelo menos um jornal b só um jornal c ler o jornal X sabendo que ele lê o jornal Z a Determine a probabilidade de nenhum poço produzir petróleo, com base nas estimativas da empresa. b Determine a probabilidade de os quatro poços produzirem petróleo. c Qual a probabilidade de só os poços com probabilidades 0,3 e 0,7 produzirem petróleo? 39 40
4.13. Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves, enquanto que a incidência é de 50% entre as vítimas que não utilizam cinto de segurança. Estima-se que em 60% a porcentagem dos motoristas que usam o cinto. A polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do acidente. A pessoa que dirigia o outro carro não sofreu ferimentos graves. Calcule a probabilidade dela estar usando o cinto no momento do acidente. 41