MESTRADO EM MACROECONOMIA FINANÇAS Disiplina d Compuação Aula 7 Prof. Dr. Maro Anonio Lonl Caano
Guia d Esudo para Aula 7 Vors Linarmn Indpndns - Vrifiação d vors LI - Cálulo do Wronsiano Equaçõs Difrniais - Inrodução a EDO d ª. Ordm. - Inrodução a EDO d ª. Ordm. - Uilização do Wronsiano para drminação d soluçõs. - Uso do ODE45 do Malab. - Uso d funions rnas no Malab. Eríios -EDO - Funions Objivos da Aula - Enndr vors LI. - Drminar solução d EDO om o programa ODE45. - Aprndr a usar funions rnas.
Vors Linarmn Dpndns (LD).8.6.4..8 V(,) V(4,) O vor v é LD d v pois pod sr obido d v por uma simpls mulipliação d onsan r v r v.6.4..5.5.5 3 3.5 4 No aso 4 3
Dfinição (LD) Dois vors são dios LD s is uma ombinação d valors difrns dos valors nulos para os ofiins al qu Emplo r r v v No mplo anrior são soluçõs pois: 4 Mas - ambém são soluçõs pois: 4 Logo v v são Linarmn Dpndns ( LD) 4
Vors Linarmn Indpndns (LI).8 Não is omo obr v do vor v somn om mulipliação d salar..6.4. V(,) Para a quação, r r v v.8.6 V(,) A únia solução é.4. (vrifiação) --...3.4.5.6.7.8.9 5
6 Vrifiação d vor LI Isolando da primira quação, Subsiuindo na sgunda quação, E não
7 Uilização d Drminan DEFINIÇÃO: Dois vors são dios Linarmn Indpndns s somn s O drminan dos ofiins do sisma linar for DIFERENTE d zro. Dados srão dios LI s somn s onsidrando o sisma O drminan sguin NÃO for nulo. v v r r v v r r
Emplo Sndo r r v v Difrn d zro. Logo v v são LI 8
9 Eríio Us o malab para vrifiar s os rês vors são LI ou LD. 3 5 3 3 4 3 v v v r r r O drminan riado a parir dos vors é: 3 3 5 3 4 Logo, os vors são LD
Apliaçõs d LI LD m Equaçõs Difrniais Ordinárias
Equaçõs Difrniais Ordinárias ( EDO ) Emplo d() d Solução d () d d d supondo ( ) () d d ()
Rsulado ()
Ouro Emplo d() d () Solução d d d d supondo ( ) () d ln d ln( ) ln() () usando propridad log Condição iniial 3
Rsulado () () 4
Rsolução Numéria - Méodo d Eulr f (, h ) Passo d Ingração Funion 5
6 Rsolução Numéria Rung-Kua d Sgunda Ordm ( ) ), ( ), ( h h f f h
7 Rsolução Numéria - Rung-Kua d Quara Ordm ( ) ) h h, f ( ) h, h f ( ) h, h f ( ), f ( 6 h 3 4 3 4 3
No Malab... Função od45 Erro rlaivo Erro absoluo Rung-Kua 4a./5a. Ordm, passo h variávl Funion ond sá o modlo 8
Programa Prinipal - Emplo d() d () Tmpo iniial Tmpo final Condição iniial () 9
Criando a funion do modlo Msmo nom da funion do programa prinipal
Rsulado
d() d Emplo () ()
Rsulado 3
Modlo Daimno Eponnial d() () d () 4
Rsulado 5
Modlo d Crsimno Limiado d() d r( ()) () Emplo: r. ; {vloidad d rsimno}.5; {faor limian} final 5; {mpo final d ingração} 6
O Programa 7
Rsulado 8
A vloidad d rsimno do modlo r..5 r.5 r. r. 9
Modlo d Crsimno Logísiio d() d r()( () ) K ().5 Emplo: r. ; {vloidad d rsimno} K 3; {faor limian} final 6; {mpo final d ingração} 3
O Programa 3
Rsulado 3
Equação Difrnial d Sgunda Ordm Sja a quação difrnial ( ) ( ) Como s nonra a solução? Admi-s qu a solução srá da forma: ( ) p Essa solução dv rspiar a quação difrnial aima, ou sja, ( ( p ( p p p ) ) p ) p p p p Como ponnial nuna é zro, não: p ± 33
Quais as soluçõs? Quando p êm-s ( ) Quando p- êm-s ( ) Pod-s r uma solução gral? 34
Torma: S as soluçõs d EDO são linarmn Indpndns (LI), não a solução gral srá: ( ) ( ) ( ) Como sabr s as soluçõs obidas são LI? Enonra-s o drminan WRONSKIANO ( ) ( ( ) ( ) ) S l for DIFERENTE d zro as soluçõs são LI êm-s uma solução gral. 35
Emplo: Supor para a EDO ( ) ( ) As sguins ondiçõs iniiais: () () final Eis uma solução gral? 36
Sndo as soluçõs O Wronsiano srá: ( ) ( ) () () () () Como o drminan é difrn d zro, as soluçõs são LI. Eis porano uma Solução gral. 37
38 Sndo a forma da solução gral: A drivada é: Para o mplo m qusão: Para as ondiçõs iniiais: Subsiuindo o valor d () () ou ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () ()
Rsolvndo o sisma linar: C ½ C ½ Solução gral ( ) 39
4 No Malab Passo-: Dv-s fazr a sguin mudança d variávl : Passo-: Dv-s apliar a drivada para ambas quaçõs: Passo-3: Insrir o novo sisma d quaçõs na funion:
Tmpo final Duas ondiçõs iniiais 4
4 Problma EDO a. ordm 3.5 3.5 SOLUÇÃO GERAL ().5 ().5 () SOLUÇÃO DA DERIVADA ()..4.6.8..4.6.8 4
Eríio: Supor para a EDO ( ) ( ) As sguins ondiçõs iniiais: () () final Eis uma solução gral? Qual a solução via malab? 43
44 Solução Solução pariular ) ( p p p p p Enão ) ( ) ( Wronsiano Eis solução gral pois as pariulars são LI. 3
45 Enonrando a solução gral 3 3 () () 3 3 ) ( SOLUÇÃO GERAL
46 No Malab Passo-: Dv-s fazr a sguin mudança d variávl : Passo-: Dv-s apliar a drivada para ambas quaçõs: Passo-3: Insrir o novo sisma d quaçõs na funion:
No Malab 5 Problma EDO a. ordm 4.5 4 3.5 3.5 Y() X ().5.5 Y () X ()..4.6.8..4.6.8 47