EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

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1 Minisério da Eduação Univrsidad Tnológia Fdral do Paraná Campus Curiiba Grênia d Ensino Psquisa Dparamno Aadêmio d Mamáia EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA Prof. a Paula Franis Bnvids

2 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Conúdo AULA INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO CLASSIFICAÇÃO Tipo: Ordm: Grau: Linaridad: ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: RESOLUÇÃO: Curvas Ingrais: Solução:....6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)....7 TEOREMA DA EISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO... AULA...4. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU...4. EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Rsolução:... 4 AULA...8. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Função Homogêna Equação Homogênas Rsolução:...9 AULA EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS..... O drminan.. O drminan a a a a b b b b é difrn d zro... é igual a zro AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EATAS Faor Ingran... 9 AULA EQUAÇÕES LINEARES: Faor Ingran: Subsiuição ou d Lagrang:... 4 AULA EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Equaçõs d Brnoulli:... 7 AULA Equação d Riai... 4

3 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM...4. ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES Dfiniçõs: Equação da Envolória Soluçõs Singulars Equação d Clairau AULA Equação d Lagrang: Ouros ipos d quação d a Ordm grau difrn d um: AULA EERCÍCIOS GERAIS...5 AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS MODELO MATEMÁTICO DINÂMICA POPULACIONAL MEIA VIDA DECAIMENTO RADIOTAIVO CRONOLOGIRA DO CARBONO RESFRIAMENTO MISTURAS DRENANDO UM TANQUE DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA CORPOS EM QUEDA CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR CORRENTE DESLIZANTE CIRCUITOS EM SÉRIE AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES Caso : Raízs Rais Disinas Caso : Raízs Múliplas Caso : Raízs omplas disinas AULA EULER - CAUCHY... 8 AULA EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS Solução por ofiins a drminar (Dsars):... 8 AULA Solução por variação d parâmros AULA Méodo do Oprador Drivada Dfinição Propridads Equaçõs Difrniais Oprador Anulador Cofiins indrminados - Abordagm por Anuladors Rsolução d Equaçõs Linars...9

4 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA EERCÍCIOS GERAIS...95 AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: Sisma Massa-Mola: Movimno Livr não amorido ED do Movimno Livr não amorido: Solução Equação do Movimno: Sisma Massa-Mola: Movimno Livr Amorido ED do Movimno Livr Amorido: Sisma Massa Mola: Movimno Forçado ED do Movimno Forçado om Amorimno: ED d um Movimno Forçado Não Amorido: Ciruio m Séri Análogo - Ciruios lérios RLC m séri EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO Dflão d uma viga: Soluçõs Não Triviais do Problma d Valors d Conorno: Dformação d uma Coluna Fina: Corda Girando:...8 AULA SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL:... AULA SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA... 5 AULA MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM Vor solução O Problma d Valors Iniiais Eisênia d uma únia solução Sismas homogênos Prinípio da Suprposição Indpndênia Linar Criério para Soluçõs Linarmn Indpndns Conjuno fundamnal d solução Solução Gral - Sismas Homogênos Sismas não homogênos Solução Gral - Sismas Não-Homogênos Uma Mariz Fundamnal Uma Mariz Fundamnal é Não-Singular Mariz Espial...6 Ψ é uma Mariz Fundamnal ( ) AULA SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Auovalors rais disinos Auovalors omplos Auovalors d Mulipliidad dois... 4 AULA SISTEMAS NÃO-HOMOGÊNEOS Cofiins Indrminados Variação d Parâmros... 8

5 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA SISTEMAS PLANOS AUTÔNOMOS E ESTABILIDADE Sismas auônomos, pono ríio soluçõs priódias Esabilidad d sismas linars O méodo do plano d fass... 5 AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: DEFINIÇÃO: Emplos d Equaçõs Difrniais Pariais: Ordm Grau d uma Equação Difrnial Parial: FORMAÇÃO: Eliminação d onsans arbirárias: EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM: Méodo d Lagrang AULA OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO COMPLETA:MÉTODO DE CHARPIT EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS EM RELAÇÃO APENAS A UMA DAS VARIÁVEIS AULA EQUAÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Equaçõs linars Solução Sparação d Variávis Prinípio da Suprposição Classifiação d Equaçõs... 7

6 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids. INTRODUÇÃO AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Ans d mais nada, vamos rordar o qu foi aprndido m Cálulo!!! A drivada d d d uma função ( ) nada mais é do qu uma oura função ( ) nonrada por uma rgra apropriada. Como por mplo, a função é difrniávl no inrvalo (, ), a sua drivada é d.. S fizrmos rmos: d d. () d Vamos supor agora qu su profssor lh dss a quação () prgunass qual é a função rprsnada por? Apsar d voê não fazr idia d omo la foi onsruída, voê sá a frn d um dos problmas básios dsa disiplina: omo rsolvr ssa quação para a dsonhida função ( )? O problma é smlhan ao familiar problma invrso do álulo difrnial, ond dada uma drivada, nonrar uma anidrivada. Não podmos diar d lado a difrnça nr a drivada a difrnial, pois, mbora a drivada a difrnial possuam as msmas rgras opraionais, sss dois opradors êm signifiados basan difrns. As difrnças mais marans são: a drivada m signifiado físio pod grar novas grandzas físias, omo por mplo a vloidad a alração; a difrnial é um oprador om propridads puramn mamáias; a drivada ransforma uma função m oura, manndo uma orrspondênia nr os ponos das duas funçõs (por mplo, ransforma uma função do sgundo grau m uma função do primiro grau); a difrnial é uma variação infinisimal d uma grandza; a drivada é uma opração nr duas grandzas; a difrnial é uma opração qu nvolv uma grandza; o rsulado d uma drivada não oném o infiniésimo m sua sruura; onsqunmn, não is a ingral d uma drivada; a ingral só pod sr apliada a um rmo qu onnha um difrnial (infiniésimo); s for fio o quoin nr os dois difrniais, m-s: d d m oal smlhança om a dfinição d drivada. A onsquênia dira dss fao é qu a drivada não é o quoin nr duas difrniais, mas ompora-s omo s foss ss quoin. Iso signifia qu a parir da rlação: d f ( ) d é possívl srvr: d f ( qu s dnomina quação difrnial. uma das apliaçõs mais imporans nvolvndo drivadas difrniais é a obnção da quação difrnial, apa fundamnal para a inrodução do Cálulo Ingral. )d 5

7 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids. DEFINIÇÃO Equação difrnial é uma quação qu rlaiona uma função suas drivadas ou difrniais. Quando a quação possui drivadas, sas dvm sr passadas para a forma são hamadas d auônomas. difrnial. As quaçõs difrniais da forma f ( ) Emplo : d ) d ) d d d d ) d d 4) "' ( " ) ' os 5) ( ") ( ') d d d d 6) 5 z z 7) z z 8) z. CLASSIFICAÇÃO.. TIPO: S uma quação onivr somn drivadas ordinárias d uma ou mais variávis dpndns m rlação a uma únia variávl indpndn, omo m () a (6), as drivadas são ordinárias a quação é dnominada quação difrnial ordinária (EDO).Uma ED pod onr mais d uma variávl dpndn, omo no aso da quação (6) Uma quação qu nvolv as drivadas pariais d uma ou mais variávis dpndns d duas ou mais variávis indpndns, omo m (7) (8), a quação é dnominada quação difrnial parial (EDP)... ORDEM: A ordm d uma quação difrnial é a ordm d mais ala drivada qu nla apar. As quaçõs (), () (7) são d primira ordm; (), (5) (6) são d sgunda ordm (4) é d rira ordm... GRAU: O grau d uma quação difrnial, qu pod sr sria, onsidrando a drivadas, omo um polinômio, é o grau da drivada d mais ala ordm qu nla apar. Todas as quaçõs dos mplos aima são do primiro grau, o (5) qu é do sgundo grau. As quaçõs difrniais pariais srão visa mais adian. 6

8 Equaçõs Difrnias Emplo : d d d d d d d d a ordm o grau Prof a Paula Franis Bnvids d d ln ln d d ln d. d d d a ordm o grau Obsrv qu nm smpr à primira visa, pod-s lassifiar a quação d imdiao quano a ordm grau...4 LINEARIDADE: Dizmos qu uma quação difrnial ordinária d n d n d a n( ) an ( ) a ( ) a ( ) g( ) d n K d n d d ordm n é linar quando são saisfias as sguins ondiçõs: ) A variávl dpndn odas as suas drivadas ', ",... n são do primiro grau, ou sja, a poênia d ada rmo nvolvndo é um. ) Os ofiins a, a,... a n d, ',... n dpndm quando muio da variávl indpndn. Emplo : ) ( )d 8 d d d ) 7 d d d d ) 5 4 d d são rspivamn quaçõs difrniais ordinárias linars d primira, sgunda rira ordm..4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Uma rlação nr as variávis, nrrando n onsans arbirárias ssniais, omo 4 C ou A B, é hamada uma primiiva. As n onsans, rprsnadas smpr aqui, por lras maiúsulas, srão dnominadas ssniais s não pudrm sr subsiuídas por um númro mnos d onsans. Em gral uma primiiva, nrrando n onsans arbirárias ssniais, dará origm a uma quação difrnial, d ordm n, livr d onsans arbirárias. Esa quação apar liminando-s as n onsans nr as (n ) quaçõs obidas junando-s à primiiva as n quaçõs provnins d n drivadas sussivas, m rlação a variávl indpndn, da primiiva. 7

9 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Emplo 4: Obr a quação difrnial assoiada às primiivas abaio: a) 6 b) C sn C os ) C d) C C 8

10 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) a os( b) ond a b são onsans f) C C -.5 RESOLUÇÃO: Rsolvr uma ED é drminar odas as funçõs qu, sob a forma finia, vrifiam a quação, ou sja, é obr uma função d variávis qu, subsiuída na quação, ransform-a numa idnidad. A rsolução d uma quação difrnial nvolv basiamn duas apas: a primira, qu é a prparação da quação, qu onsis m fazr om qu ada rmo da quação nha, além d onsans, um únio ipo d variávl. A sgunda apa é a rsolução da quação difrnial onsis na apliação dos méodos d ingração..5. CURVAS INTEGRAIS: Gomriamn, a primiiva é a quação d uma família d urvas uma solução pariular é a quação d uma dssas urvas. Esas urvas são dnominadas urvas ingrais da quação difrnial. Emplo 5: d d 9

11 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.5. SOLUÇÃO: É a função qu quando subsiuída na quaçãodifrnial a ransforma numa idnidad. As soluçõs podm sr: Solução gral: A família d urvas qu vrifia a quação difrnial, (a primiiva d uma quação difrnial)onm anas onsans arbirárias quanas form as unidads d ordm da quação. Solução pariular: solução da quação dduzida da solução gral, impondo ondiçõs iniiais ou d onorno.gralmn as ondiçõs iniiais srão dadas para o insan iniial. Já as ondiçõs d onorno aparm quando nas quaçõs d ordm suprior os valors da função d suas drivadas são dadas m ponos disinos. Solução singular: Chama-s d solução singular d uma quação difrnial à nvolória da família d urvas, qu é a urva angn a odas as urvas da família.a solução singular não pod sr dduzida da quação gral. Algumas quaçõs difrniais não aprsnam ssa solução. Ess ipo d solução srá viso mais adian. Emplo 6: As soluçõs ainda podm sr: Solução plíia: Uma solução para uma EDO qu pod sr sria da forma f ( ) é hamada solução plíia. Solução Implíia: Quando uma solução pod apnas sr sria na forma G (, ) raa-s d uma solução implíia. Considrmos a rsolução da sguin EDO: d ( ) d d d A solução gral obida é obviamn uma solução pliia. Por ouro lado, pod-s dmonsrar qu a EDO: d m omo solução: C, ou sja, uma solução implíia. d Emplo 7: 4 Vrifiqu qu é uma solução para a quação d no inrvalo (, ). 6 d Rsolução: Uma manira d omprovar s uma dada função é uma solução é srvr a quação difrnial omo d d vrifiar, após a subsiuição, s a difrnça aima é d zro paraodo no inrvalo. d d 4 6 d d 4 Subsiuindo na E.D., mos Esa ondição s vrifia para odo R 4 4 d

12 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) Sja a quação difrnial d primira ordm d f (, ) sujia a ondição iniial d ( ), m qu é um númro no inrvalo I é um númro ral arbirário, é hamado d problma d valor iniial. Em rmos gomérios, samos prourando uma solução para a quação difrnial dfinida m algum inrvalo I al qu o gráfio da solução pass por um pono ( o, o ) drminado a priori. Emplo 8: Sja. a família a um parâmro d soluçõs para ' no inrvalo (, ). S spifiarmos qu (), não subsiuindo na família, mos:.. S spifiarmos qu (), não mos:... Srá qu a quação difrnial f (, ) plo pono ( o, o )? Ainda, s sa solução isir, é únia? d possui uma solução ujo gráfio passa plo d Emplo 9: 4 d As funçõs são soluçõs para o problma d valor iniial 6 d ( ) Podmos obsrvar qu o gráfio dsas soluçõs passam plo pono (,). Dsa forma, dsja-s sabr s uma solução is, quando is, s é a únia solução para o problma..7 TEOREMA DA EISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO Sja R uma rgião rangular no plano dfinida por a b, d, qu df f d oném o pono (, ) m su inrior. S (, ) são onínuas m r, não is um inrvalo I, nrado m uma únia função () dfinida m I qu saisfaz o problma d valor iniial f (, ) d, sujio a ( ) d.

13 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Três prgunas imporans sobr soluçõs para uma EDO.. Dada uma quação difrnial, srá qu la m solução?. S ivr solução, srá qu sa solução é únia?. Eis uma solução qu saisfaz a alguma ondição spial? Para rspondr a sas prgunas, is o Torma d Eisênia Uniidad d solução qu nos garan rsposa para algumas das qusõs dsd qu a quação nha algumas ararísias. d p( ) q( ) Torma: Considr o problma d valor iniia d ( ) S p() q() são oninuas m um inrvalo abro I onndo, não o problma d valor iniial m uma únia solução nss inrvalo. Alramos qu dsobrir uma solução para uma Equação Difrnial é algo similar ao álulo d uma ingral nós sabmos qu ism ingrais qu não possum primiivas, omo é o aso das ingrais lípias. Dssa forma, não é d s sprar qu odas as quaçõs difrniais possuam soluçõs. Rsolva as quaçõs difrniais abaio. ) C ) C ) C ( ) 4) C os C sn 5) (C C ) C 6) C C - 7) Lg a AULA - EERCÍCIOS 8) 5 C 9) A B C ) A B C ) C C C ) ln A B ) Obr a quação difrnial da família d írulos d raio, ujos nros sjam sobr o io. é uma solução para a quação " ' 4) Vrifiqu qu no inrvalo (, ). 5) Vrifiar qu para qualqur valor d a função é uma solução da d quação difrnial d a ordm no inrvalo (, ). d 6) Vrifiar qu,, C C são odas soluçõs da quação difrnial ". 7) Vrifiar qu 4 C 4, < são soluçõs d ' 4. 4,

14 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Rsposas: ) d d d ) d d ) d d d 4) 4 d d d 5) d d d d d 6) d d d d d d 7) ln 8) d 5 d d 9) d ) d d d d d d ) d d d 6 6 ) d d d " ' ( ') ) d d 4) Esa ondição s vrifia para odo númro ral. 5) Variando o parâmro C, podmos gra uma infinidad d soluçõs. Em pariular, fazndo, obmos uma solução onsan. Logo a função é uma solução m qualqur inrvalo qu não onnha a origm. 6) No qu C, mas C, C não saisfaz a quação, pois, para sa família d função mos " - - C

15 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São quaçõs d a ordm o grau: d F (, ) Md Nd d ou m qu M M(,) N N(,). Esas funçõs êm qu sr onínuas no inrvalo onsidrado (-, ). EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS A quação difrnial M(,).d N(,).d srá d variávis sparávis s: M N form funçõs d apnas uma variávl ou onsans. M N form produos d faors d uma só variávl. Iso é, s a quação difrnial pudr sr oloada na forma P().d Q().d, a quação é hamada quação difrnial d variávis sparávis... RESOLUÇÃO: Para rsolvrmos al ipo d quação difrnial, omo o próprio nom já diz, dvrmos sparar as variávis, iso é, dvrmos diar o ofiin da difrnial d omo sndo uma função lusivamn da variávl, não ingramos ada difrnial, da sguin forma: P ( ).d Q( ).d C Emplos: Rsolvr as sguins quaçõs: d ) d 4

16 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) d d 4 ) d d 4) g. s d g s d 5) ( ) d d 5

17 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids 6) d d ( ) 7) d d d d 8) Rsolva o problma d valor iniial 4, ( ) 6

18 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA EERCÍCIOS Rsolvr as sguins quaçõs difrniais. d ) g. d ) 4 d ( ) d ) ( ) d - ( ) d 4) d ( ) d 5) d d 4 6) ( ) d ( ) d d d 7) a d d 8) s g d s g d 9) ( a )( b )d ( a )( b )d ) ( ) d d ) ( )d d ) d os d ) d os d 4) 4 d ( ) d 5) d d Rsposas: ) os C ) ln( ) C ) ( )( ) C 4) C 5) arg C 6) ln C k a ln a 7) 8) g. g C a 9) a ln b.arg C a b ) ( ) ). C ) K sn ) sn C 4) 9 6 ( ) C 5) ( ) k 7

19 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS.. FUNÇÃO HOMOGÊNEA Uma função f f(, ) é dnominada homogêna d grau k s, para odo R, val a rlação f(, ) k f(, ). Uma função f f(, ) é homogêna d grau s, para odo R, val a rlação f(, ) f(, ) Emplos: ) A função f(, ) é homogêna d grau, pois f (, ) ( ) ( ) ( ) g(, ) 4 é homogêna d grau zro pois, ( ) g(, ) ( ) ) f(,) 5 é homogêna d grau rês pois, f (, ) ( ) 5( ) 5 ( 4 ) 5 f (, ) f (, ) ) f (, ) S f(, ) for uma função homogêna d grau n, no qu podmos srvr n n f (, ) f, f (, ) f, são ambas homogênas d grau zro. Emplo: Sja f (, ) f (, ) f (, ) homogêna d grau. Logo,. f, f,.. EQUAÇÃO HOMOGÊNAS A quação M (, )d N(, )d srá hamada d quação difrnial homogêna s M N form funçõs homogênas d msmo grau. Emplos: ) ) d d ' 8

20 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) ' arg... Rsolução: Sja a quação homogêna Md Nd Tm-s: d M d N Dividindo-s o numrador o dnominador do sgundo mmbro por lvado a ponia igual ao grau d homognidad da quação, rsulará uma função d /. d d F () É nssário, no nano, subsiuir a função / por uma oura qu prmia sparar as variávis. Dssa forma, subsiui-s. u () por u. Drivando.u m rlação a m-s d d du u () d Subsiuindo () () m (), mos: du u F( u) d du F( u) u d du d F( u) u Qu é uma quação d variávis sparávis. Em rsumo: Pod-s rsolvr uma Equação Difrnial Homogêna, ransformando-a m uma quação d variávis sparávis om a subsiuição.u, ond u u() é uma nova função inógnia. Assim, d du ud é uma quação da forma f(,) pod sr ransformada m uma quação sparávl. 9

21 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: ( ) d d

22 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Rsolva as sguins quaçõs: ) ( ) d ( ) d ) ( ) d ( 4) d ) ( ) d ( ) d 4) ( ) d ( ) d 5) ( ) d d AULA EERCÍCIOS d d 6) 4 4 d d 7) Drmin a solução d ( )d d sujia a ondição iniial ( ). 8) Drmin a solução d ( )d 6 d sujia a ondição iniial () Rsposas: ) K ) 4 K ) k 4) 5) 6) ln C arg k ± C 7) 8 8) 9

23 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 4. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS São as quaçõs qu mdian drminada roa d variávis s ransformam m quaçõs homogênas ou m quaçõs d variávis sparávis. São quaçõs da forma: d d a b F a b ond a, a, b, b, são onsans. Obsrvmos qu a quação aima não é d variávis sparávis porqu mos uma soma das variávis ambém não é homogêna pla isênia d rmos indpndns, porano dvrmos liminar ou a soma ou o rmo indpndn. O qu quival a fuar uma ranslação d ios. Para ss ipo d quação m dois asos a onsidrar:.. O DETERMINANTE Rsolução: Sja o sisma () a a b b a b a b A subsiuição a sr fia srá: u α v β É DIFERENTE DE ZERO uja solução é dada plas raízs d du d dv α β. Obsrva-s qu, gomriamn, quivalu a uma ranslação dos ios oordnados para o pono ( α, ) qu é a inrsção das ras omponns do sisma (), o β qu é vrdadiro, uma vz u o drminan onsidrado é difrn d zro.

24 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Assim sndo, a quação ransformada srá: b a v b u a b a b v u a F du dv β α β α Como α β são as raízs do sisma: v b u a b v u a F du dv qu é uma quação homogêna do ipo viso anriormn. Emplo: Rsolvr a quação d d

25 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.. O DETERMINANTE a a b b É IGUAL A ZERO. Assim, obsrv-s qu o méodo apliado no o aso não fará snido, d vz qu as ras no sisma sriam parallas sua inrsção sria vrifiada no infinio (pono impróprio). A quação s rduzirá a uma d variávis sparávis. srvr: Como a a b b a b a b, os ofiins d são proporionais, d modo qu s pod a b () a b Chamando a rlação onsan () d m, pod-s srvr: a a b b m Assim: d d a b F m( a b ) a ma b mb Fazndo a b, sndo f(), m-s: ( a) b Drivando m rlação a : d d Equação ransformada: b d d d a b d a F m d a bg( ) d qu é uma quação d variávis sparávis. 4

26 Equaçõs Difrnias Emplo: Rsolvr a quação d d 6 Prof a Paula Franis Bnvids 5

27 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 4 - EERCÍCIOS ) ( )d ( )d ) ( 4 )d ( 5 )d ) ( )d ( 5 8 )d 4) ( )d ( )d 5) d d ( )d ( 6 )d d d 4 6) 7) Rsposas: ) 6 K ) ( ) K( ) ln 5( 4 ) 4( )( 4 ) ( ) 5( 4 ) arg ) [ ] k 4) - 9ln( 7) C 5) ln(- ) K 6) - 7ln( - - ) C 7) K 6

28 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EATAS Uma quação do ipo M(,)d N(,)d () é dnominada difrnial aa, s is uma função U(,) al qu du(,) M(,)d N(,)d. A ondição nssária sufiin para qu a quação () sja uma difrnial aa é qu: M N Dada a quação difrnial aa MdNd () sja uf(,)c sua solução, uja difrnial dada por: u u du d d (). Enão, omparando () () rmos: u M (, ) () u N(, ) (4). Para obrmos a sua solução uf(,) dvrmos ingrar, por mplo,a prssão (), m rlação à variávl, da qual rmos f (, ) M (, ) d g( ) (5). Drivando parialmn (5) m rlação à rmos: f M (, ) d g' ( ) (6). Igualando (6) (4) rsula: M (, ) d g' ( ) N(, ). Isolando g () ingrando m rlação a aharmos: M (, ) d g ( ) N(, ) d C (7). Subsiuindo (7) m (5) rmos a solução gral da quação aa, qu é: M d f M d (, ) (, ) N (, ) (, ) d C. Logo, a solução é da forma ond osuma-s dnoar P Md P U (, ) Md N d C 7

29 Equaçõs Difrnias Emplos: ) ( )d d Prof a Paula Franis Bnvids ) ( ) d ( ) d 8

30 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids 9.4. FATOR INTEGRANTE Nm smpr a ED é aa, ou sja, Md Nd não saisfaz, isso é: N M. Quando isso oorr vamos supor a isênia d uma função F(, ) qu ao mulipliar oda a ED pla msma rsula m uma ED aa, ou sja, F(,)[Md Nd], sa é uma ED aa. S la é aa, is u(, ) M F d u. N F d u. FN FM N M u Tomando a ondição d aidão FN d FM F N N F F M M F ahar F por aqui é louura!!!!!!! Vamos supor não qu F(,) F() N F N F M F dividindo udo por FN organizando, mos: N N F F M N N N M N F F N M N F F rsrvndo: d N M N df F ingrando: C d R F ) ( ln d R F ) (. ) ( ond: N M N R ) ( analogamn, supondo F(,) F() qu orn aa FMd FNd rmos: d R F ) (. ) ( ond: N M M R ) (

31 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Em rsumo: M N Quando a prssão Md Ndnão é difrnial aa, iso é,, mosra-s qu há uma infinidad d funçõs F (, ), ais qu F ( Md Nd) é uma difrnial aa. A sa função F (, ), dá-s o nom d faor ingran. F(): F(): M N M N R( ) R( ) N M F ( ) R( )d F ( ) R( ) d Emplos: Rsolvr as sguins quaçõs difrniais ransformando m aas aravés do faor ingran. ) d ( ) d

32 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids ) ( ) d d

33 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5 EERCÍCIOS ) ( ) d ( os ) d ) d ( ) d ) d d 4) snh.os d osh.sn d θ 5) ( rdr r dθ ) d d d 6) 7) (os 4 ) d sn d 8) g d s d 9) sn d os d ) Enonr a solução pariular d d ( ) d ) ( )d d ) ( )d ln d para ( ) Rsposas: 4 4 ) sn K ) C ) K 4) oshos K 5) θ r K 6) K 7) os 4 C 8) g C 9) sn. C ) ) 5 k 5 ) ln k

34 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 6.5 EQUAÇÕES LINEARES: Uma quação difrnial linar d a ordm o grau m a forma: d P( ) Q( ) () d S Q(), a quação é dia homogêna ou inompla; nquano, s Q(), a quação é dia não-homogêna ou ompla. Analisarmos dois méodos d solução d quaçõs difrniais dss ipo a sabr:.5. FATOR INTEGRANTE: Es méodo onsis na ransformação d uma quação linar m ouro do ipo difrnial aa, uja solução já sudamos anriormn. Poso iso, vamos rornando à quação original d nosso problma: d P Q d Vamos rsrvr sa úlima sob a forma ( P Q) d d Pd Mulipliando ambos os mmbrospor Pd ( P Q) d d Pd. Aqui, idnifiamos as funçõs M N : Drivando M om rlação a N om rlação a, obmos: (faor ingran) obmos a prssão M N Pd Pd ( P Q) M P Pd N P Pd onfirmando assim, qu a quação ransformada é uma quação difrnial aa.

35 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.5. SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: Ess méodo foi dsnvolvido por Josph Louis Lagrang (mamáio franês: 76-8) riador da Mânia Analíia dos prossos d Ingração das Equaçõs d Drivadas Pariais. O méodo onsis na subsiuição d por Z. na quação (), ond φ () Z (), sndo Z a nova função inógnia a função a drminar, assim Z.. ψ Drivando m rlação a, m-s: d dz Subsiuindo () m () vamos obr: d dz Z () d d d dz Z PZ Q d d d dz Z P Q () d d sabr: Para ingral a quação (), amina-s dois asos pariulars da quação () a i) P, não d Q, logo, Qd C (4) d ii) Q, não P (quação homogêna) qu rsula m d Pd qu d d é d variávis sparávis. Daí, Pd. Ingrando ssa úlima, rsula m ln C Pd. Apliando a dfinição d logarimo, passamos a srvr a solução C Pd C Pd C. Fazndo k, mos Pd k (5) qu rprsna a solução da quação homogêna ou inompla. Agora, vamos psquisar na quação () valors para Z, uma vz qu Z., rmos a solução da quação () qu uma quação linar ompla (não-homogêna). S igualarmos os ofiins d Z a um ro faor, o valor daí obido podrá sr lvado ao rso da quação, possibiliando a drminação d Z uma vz qu pod sr drminado a parir dsa ondição. Assim, vamos impor m (), qu o ofiin d d Z sja nulo. Fio iso, P (6), qu é da msma forma já sudada no aso ii. d Assim, Pd dz dz k. Subsiuindo s rsulado m Q obmos k Pd Q. Daí, d d dz Pd Q dz Pd Qd. Ingrando s úlimo rsulado, mos d k k Pd Z Qd C k (7). Lmbrando qu Z., vamos obr, subsiuindo Z : Pd Pd k Qd C, ond rsula, finalmn m: k (Turim, 5 d janiro d 76 Paris, d abril d 8)foi um mamáio franês d origm ialiana riador da Mânia Analíia dos prossos d Ingração das Equaçõs d Drivadas Pariais 4

36 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Pd Pd.Q.d C (8) qu é a solução gral da quação () d Emplos: Rsolvr a quação d por: a. Faor ingran b. Lagrang 5

37 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids d o g ) d d ) ( ) arg d d ) g. os d d 4) d d 5) d d 6) g sn d AULA 6 EERCÍCIOS 7) Ahar a solução pariular para ( ) m d d.g os d 8) Rsolvr o problma d valor iniial, ( ) d Rsposas: arg ) arg C. ) sn Cs 4 4) C 4 C 5) 6 sn 6) s C 7) os 7 8) ) [ ln( sn) C] 6

38 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 7.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Rsolvr quaçõs difrniais não linars é muio difíil, mas ism algumas dlas qu msmo sndo não linars, podm sr ransformadas m quaçõs linars. Os prinipais ipos d ais quaçõs são:.6. EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equação da forma: d d n P( ) Q( ) () para n n, ond P() Q() são funçõs oninuas onhidas omo quação d Brnoulli. Nss aso, a idéia é ralizar uma subsiuição na quação aima, dmodo a ransformá-la m uma EDO linar. Pois, s: n n P() g() aso anrior [P() g()] aso anrior homogêna Solução: Transformação d variávl: Subsiui por n Driva-s m rlação a : Subsiuindo (), qu é: m () mos: ( n d d ( n) () d d n) n d d d d n P Q Q n P n ( Q P) n ( n)( Q P ) d d d d Jakob Brnoulli, ou Jaob, ou Jaqus, ou Jaob I Brnoulli (Basilia, 7 d Dzmbro d 65 - Basilia, 6 d agoso d 75), foi o primiro mamáio a dsnvolvr o álulo infinisimal para além do qu fora fio por Nwon Libniz, apliando-o a novos problmas. 7

39 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids omo n, mos: ( n )( Q P) d d d d [( n) P] ( n) Q Emplo: Tornando-s assim uma quação linar a sr rsolvida plo méodo anrior. d d 8

40 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 7 EERCÍCIOS ) d d d ) d d ) d d 4) 4 d d 5) d d 6) d d 7) d Rsposas: C. ln(. ) C ) ) ) C. 4 4) ln C C 5). ln 6) 7) K C 9

41 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 8.6. EQUAÇÃO DE RICATTI A quação d Jaopo Franso Riai é da forma: d P( ) Q( ) R( ) d () ond P, Q R dsignam funçõs d. Obsrvamos qu, quando P() mos a quação linar, quando R() mos a quação d Brnoulli. Josph Liouvill 4 mosrou qu a solução da quação d Riai só é possívl quando s onh uma solução pariular. Caso onrário, la só é ingrávl aravés d uma função ransndn 5. Rsolução: Conhndo-s uma solução pariular da quação (), pod-s rsolvr failmn a quação fazndo a sguin mudança d variávl: z () ond z dpndm d. Como é solução, mos: d d P Q R () Por ouro lado, drivando () m-s: d d d d dz d (4) Subsiuindo () (4) na quação () : d d dz P( z) Q( z) R d Dsnvolvndo agrupando os rmos: d d dz Pz d ( P Q) z P Q R (5) (Vnza, 8 d Maio d Trviso, 5 d Abril d 754) foi um mamáio físio ialiano qu fuou rabalhos sobr hidráulia qu foram muio imporans para a idad d Vnza. El próprio ajudou a projar os diqus ao longo d vários anais. Considrou divrsas lasss d quaçõs difrniais mas é onhido prinipalmn pla Equação d Riai, da qual l faz um laborado sudo du soluçõs m alguns asos spiais. 4 (Sain-Omr, Pas-d-Calais, 4 d Março d 89 - Paris, 8 d smbro d 88) foi um mamáio franês. 5 Uma função é hamada d ransndn quando não é algébria (pod sr prssa m rmos d somas, difrnças, produos, quoins ou raízs d funçõs polinomiais). As funçõs rigonomérias, ponniais logarímias são mplos d funçõs ransdns. 4

42 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Subsiuindo () m (5) ragrupando, rsula m: dz d ( P Q) z Pz (6) qu é uma quação d Brnoulli na variávl z, uja solução já foi dsnvolvida. Em rsumo: Para sua rsolução algébria dvrmos onhr uma solução pariular qualqur d (), na qual a mudança d variávis z, irá liminar o rmo indpndn R() ransformando a quação d Riai numa quação d Brnoulli. Emplo: Mosrar qu - é solução pariular da quação ( ) prourar a solução gral. d d 4

43 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 8 EERCÍCIOS ) Vrifiar s é solução pariular da quação. Em aso afirmaivo, alular a solução gral d ) Mosrar qu é solução pariular da quação alular a sua d solução gral. d ) Sabndo qu é solução pariular da quação ( ) alular d a sua solução gral. d 4) Calular a solução da quação sabndo qu é d solução pariular. d 5) Dar a solução gral da quação sabndo qu - é solução d pariular. d d Rsposas: 5 K ) K 4 ) k ( ) C ) ( ) C k 4) k C 5) C 4

44 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9. EQUAÇÕES DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM. ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES.. DEFINIÇÕES: Curvas ingrais:família d urvas qu rprsna a solução gral d uma quação difrnial. Envolvida: É ada uma das urvas ingrais. Rprsna gomriamn uma solução pariular da quação. Envolória:Tomando-s omo mplo a família d urvas dpndns d um parâmro f (,,α ), dfin-s omo nvolória a urva angn a odas as linhas qu onsium a família d urvas ingrais. Assim sndo, pod-s afirmar qu is uma ou mais nvolórias para uma msma família, omo ambém podrá não havr nnhuma. Por mplo, uma família d irunfrênias onênrias não aprsna nvolória. 4

45 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids.. EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA Sja f (,,α ) uma família d urvas dpndns do parâmro α. Dfin-s omo nvolória a urva qu é angn a oda a linha qu onsium a família d urvas. Pod-s isir uma ou mais nvolórias para uma msma família d urvas, omo ambém podrá não havr nnhuma. As urvas qu forma a família são hamadas nvolvidas. Gralmn, a nvolória é dfinida plo sisma: f (,, α) f (,, α) () α uja quação pod sr obida pla liminação do parâmro α m (). Também podmos obr a quação da nvolória sob a forma paraméria, rsolvndo o sisma para. Emplo: Obr a nvolória d uma família d irunfrênia om nro sobr o io raio igual a 5. 44

46 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids.. SOLUÇÕES SINGULARES Uma quação difrnial não linar d a ordm pod s sria na forma alrnaiva d F,, d Foi viso qu uma quação difrnial pod aprsnar rês ipos d solução: gral pariular singular (vnualmn) A solução gral é do ipo f (,,C ), qu rprsna uma família d urvas (urvas ingrais), a ada uma das quais sá assoiada uma solução pariular da quação dada. A nvolória dssa família d urvas (aso isa) rprsna a solução singular da quação original. D fao, o ofiin angular da ra angn m um pono d oordnadas (, ) da nvolória da urva ingral orrspond a d. Além disso, m-s qu os lmnos, d d d ada pono da nvolória saisfazm à quação aima, pois são lmnos d uma d urva ingral. Porano, a nvolória é uma solução da quação qu não rsula da fiação da onsan C, por sa razão, é uma solução singular. Emplo: Drminar a solução gral a solução singular da quação d d d d 45

47 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids..4 EQUAÇÃO DE CLAIRAUT A Equação d Clairau 6 m a forma d d φ. d d Rsolução: Chamando d d p a quação d Clairau fia p φ( p) Drivando a quação anrior m rlação a, rmos: () d d dp d dp d dp d p. φ'( p) ( '( p) ) dp d φ () p C A solução gral é dada subsiuindo-s m () p plo su valor C φ Assim, C (C) é a solução gral da quação d Clairau (família d ras) D (), m-s: φ '( p) () '( p) φ Eliminando-s p nr () () m-s uma rlação F(,) qu rprsna a solução singular. Emplos: Drminar a solução gral a solução singular da sguin quaçõs d Clairau: d d d d 6 (Paris, d Maio d 7 Paris, 7 d Maio d 765) foi um mamáiofranês.prursor da gomria difrnial, ralizou sudos fundamnais sobr urvas no spaço. 46

48 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9 EERCÍCIOS ) Dar a nvolória das sguins famílias d urvas: a) 4α α ( α ) α b) d ) Obr a solução singular da quação d d d ) Ahar a solução gral a solução singular da quação: d d 4) Drminar a solução gral a solução singular das sguins quaçõs d Clairau: d d a. ln d d Rsposas b. d d d d d d. d d d d d. 5 4 d d. d d d 4 d ) a ) 7 b) 4 ) ± ) C C (solução gral) (solução singular) 4 4) a. C ln C (gral) ln (singular) b.. C (gral) C C (gral) C (singular) 4 7 (singular) C ( 5 C ) 4 d. (gral). ( 5 ) 6 (singular) C 4 C (gral) 4(± ) (singular) 47

49 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids..5 EQUAÇÃO DE LAGRANGE: AULA s A quaçõs da Lagrang m aforma d d F φ () d d Obsrvamos qu a quação d Clairau é um aso pariular da quação d Lagrang, d d F. d d Rsolução: A solução da quação d Lagrang, gralmn é dada sob a forma paraméria. Chamando d p a quação d Lagrang fia F( p) φ ( p ). d Drivando a quação anrior m rlação a, rmos: dp dp p F ( p) F' ( p) φ' ( p) d d dp dp p F( p) F' ( p) φ' ( p) d d d Mulipliando por dividindo por [p F(p)], m-s: dp D ond s pod srvr d P Q dp d dp F' ( p) p F( p) φ'( p) p F( p) Como m gral não srá possívl isolar p na solução da quação linar anrior, a solução gral da quação d Lagrang srá dada na forma paraméria: ( p) ( p) Emplo: Rsolvr a quação d d d d 48

50 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids..6 OUTROS TIPOS DE EQUAÇÃO DE A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM: Rsolvr as sguins quaçõs: a) d 4 d 49

51 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids b) d sn d ln d d ) ) ) 4) d d d d d d d d d d d d d d d d d d 5) d 6) 7). d d d ln d d d d d d AULA - EERCÍCIOS 5

52 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5 Rsposas ) [ ] ( ) [ ] p C p p p C p p p p ln ) ln( ) ln ln p C p p K p ) C p C p C 4) arsnp p p p ln 5) p p p p p 6) p p p ln p 7) p arg p p p ln ln

53 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4. EERCÍCIOS GERAIS Calul as Equaçõs Difrniais abaio: ) d ( ) d ) d d ) ( ) d d 4) os snd sn os d d 5) os( ) d 6) ( ) d ( ) d 7) d d d 8) ( ) d d 9) d ( ) d ) ( 4) d ( 5) d d ) d 4 ) ( ) d (9 ) d AULA ) os( ) d os( ) d d d 4 4) 5) ( 6 ) d (6 4 ) d 6) d d ( sn ) d ( os ) d (s. g ) d (s. g ) d 7) 8) 9) ( os ) d snd, drminar a solução pariular para. ) d d d ) d d d ) d ( ln ) d d )Ahar a solução pariular para b a m d 4) d ( ) d d 5) d 6) d ( ) d d 7) ( ) d 5

54 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 8)Conhndo-s a solução pariular da quação sua solução gral. d ( ) d alular Calular a solução gral a singular das sguins quaçõs: 9) d d d ) d d ) d ) d d d d d d d sn d d d Rsolvr as sguins quaçõs d Lagrang: d d ) d d d d 4) d d ) 6 ln( C) ) C ln C( ) ln s s os s( ) o g( ) ) 4) C 5) C 6) C 7) C 8) ln( ) C 9) ln C ) ( ) C( ) ) ln( 4 8 5) 8 4 C ) 6 C ln(6 ) ) sn ( ) ln C 4) C 4 5) C 6) ( ) C 7) os C 8) s s ( - ) C Rsposas: 5

55 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9) os ) C ) C ) ln C ) 4) ab C 5) C C C C C C C C 7 4 6) 7) 8) 9) ) C ± ( ) C ) C a C Não há solução singular ) ) 4) C snc aros ( Cp p) ( Cp p 6 C p p C p p 54

56 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS 5. MODELO MATEMÁTICO É frqunmn dsjávl dsrvr o omporamno d algum sisma ou fnômno da vida ral m rmos mamáios, qur sjam ls físios, soiológios ou msmo onômios. A dsrição mamáia d um sisma ou fnômno, hamada d modlos mamáios é onsruída lvando-s m onsidração drminadas mas. Por mplo, alvz quiramos omprndr os manismos d um drminado ossisma por mio do sudo do rsimno d populaçõs animais nss sisma ou daar fóssis por mio da anális do daimno radioaivo d uma subsânia qu sja no fóssil ou no rao no qual foi dsobra. A onsrução d um modlo mamáio d um sisma omça om: i. a idnifiação das variávis rsponsávis pla variação do sisma. Podmos a prinipio opar por não inorporar odas ssas variávis no modlo. Nsa apa, samos spifiando o nívl d rsolução do modlo. A sguir, ii. laboramos um onjuno d hipóss razoávis ou prssuposiçõs sobr o sisma qu samos nando dsrvr. Essas hipóss dvrão inluir ambém quaisqur lis mpírias apliávis ao sisma. Para alguns propósios, pod sr prfiamn razoávl nos onnarmos om um modlo d baia rsolução. Por mplo, voê provavlmn já sab qu, nos ursos básios d Físia, a força rardadora do ario om o ar é às vzs ignorada, na modlagm do movimno d um orpo m quda nas proimidads da suprfíi da Trra, mas voê for um inisa ujo rabalho é prdizr prisamn o prurso d um projéil d longo alan, rá d lvar m ona a rsisênia do ar ouros faors omo a urvaura da Trra. Como as hipóss sobr um sisma nvolvm frqünmn uma aa d variação d uma ou mais variávis, a dsrição mamáia d odas ssas hipóss pod sr uma ou mais quaçõs nvolvndo drivadas. Em ouras palavras, o modlo mamáio pod sr uma quação difrnial ou um sisma d quaçõs difrniais. Dpois d formular um modlo mamáio, qu é uma quação difrnial ou um sisma d quaçõs difrniais, sarmos d frn para o problma nada insignifian d nar rsolvê-lo. S pudrmos rsolvê-lo, julgarmos o modlo razoávl s suas soluçõs form onsisns om dados primnais ou faos onhidos sobr o omporamno do sisma. Porém, s as prdiçõs obidas pla solução form pobrs, podrmos lvar o nívl d rsolução do modlo ou lvanar hipóss alrnaivas sobr o manismo d mudança no sisma. As apas do prosso d modlagm são não rpidas, onform disposo no sguin diagrama. 55

57 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Nauralmn, aumnando a rsolução aumnarmos a omplidad do modlo mamáio, assim, a probabilidad d não onsguirmos obr uma solução plíia. Um modlo mamáio d um sisma físio frqunmn nvolv a variávl mpo. Uma solução do modlo ofr não o sado do sisma; m ouras palavras, os valors da variávl (ou variávis) para valors apropriados d dsrvm o sisma no passado, prsn fuuro. 5. DINÂMICA POPULACIONAL Uma das primiras naivas d modlagm do rsimno populaional humano por mio d mamáia foi fio plo onomisa inglês Thomas Malhus, m 798. Basiamn, a idéia por rás do modlo malhusiano é a hipós d qu a aa sgundo a qual a população d um pais rs m um drminado insan é proporional a população oal do pais naqul insan. Em ouras palavras, quano mais pssoas houvr m um insan, mais pssoas isirão no fuuro. Em rmos mamáios, s P() for a população oal no insan, não ssa hipós pod sr prssa por: d k d, ( ) k. () ond k é uma onsan d proporionalidad, srv omo modlo para divrsos fnômnos nvolvndo rsimno ou daimno. Conhndo a população m algum insan iniial arbirário, podmos usar a solução d () para prdizr a população no fuuro, iso é, m insans >. O modlo () para o rsimno ambém pod sr viso omo a quação ds d rs, a qual dsrv o rsimno do apial S quando uma aa anual d juros r é omposa oninuamn. Emplo: Em uma ulura, há iniialmn baérias. Uma hora dpois,, o númro d baérias passa a sr /. S a aa d rsimno é proporional ao númro d baérias prsns, drmin o mpo nssário para qu o númro d baérias ripliqu. Rsolução: ( o ) ( ) o d k d d kd Ingrando om rlação a a quação aima,mos: d kd ln k ln ln k ln k k. k 56

58 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ( ) quação anrior fia da sguin forma: Para Volando para a quação subsiuindo o valor d k Para dsobrirmos o valor d k, uilizamos (). k ln k k,455 k. volando novamn a quação, mos para qu o númro d baérias ripliqu, k,455 ln,455,455,986,455,455, 79 srão nssários,7 horas aproimadamn. 5. MEIA VIDA Em físia, mia-vida é uma mdida d sabilidad d uma subsânia radioaiva. A mia-vida é simplsmn o mpo gaso para mad dos áomos d uma quanidad A s dsingrar ou s ransmuar m áomos d ouro lmno. Quano maior a mia-vida d uma subsânia, mais sávl la é. Por mplo, a mia do ulra radioaivo rádio, Ra-6, é ra d 7 anos. Em 7 anos, mad d uma dada quanidad d Ra-6 é ransmuada m Radônio, Rn-. O isóopo d urânio mais omum, U-8, m uma mia-vida d aproimadamn d anos. Nss mpo, mad d uma quanidad d U-8 é ransmuada m humbo, Pb-6. da K.A () d A() A A ( ) A A A. k 57

59 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: Um raor onvr urânio 8 m isóopo d pluônio 9. Após 5 anos foi dado qu,4% da quanidad iniial A d pluônio s dsingrou. Enonr a mia vida dss isóopo s a aa d dsingração é proporional à quanidad rmansn. Rsolução: 5 A A,4 A,99957 A Rsolvndo a quação: Sabndo qu da ka d da kd A ln A k A ln k A k A. k A ( ) A, mos: k A A A A (5 ),99957A, logo Para drminar k, usamos o fao d qu qu A() A. k A(5) A. 5k A() ( ),99957 A A. 5k,8867. A A Ln,99957 ln 5, 867 A A. A.,867 -,4 5 k K -, ,69 -,867 4,8 4,8 anos 5 Volando a quação, mos qu: A A( ) A( ) A 5,

60 Equaçõs Difrniais Para dsobrir a mia vida basa fazr: A A,5 5,8667 ln,5,8667,695, ,7, Prof a Paula Franis Bnvids 5 5 Logo o mpo d mia vida é d aproimadamn 4.8 anos 5.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO O núlo d um áomo onsis m ombinaçõs d próons nêurons. Muias dssas ombinaçõs são insávis, iso é, os áomos dam ou ransmuam m áomos d oura subsânia. Esss núlos são hamados d radioaivos. Por mplo, ao longo do mpo, o alamn radioaivo lmno rádio, Ra-6, ransmua-s no gás radônio radioaivo, Rn-. Para modlar o fnômno d daimno radioaivo, supõ-s qu a aa d da/d sgundo a qual o núlo d uma subsânia dai é proporional a quanidad (mais prisamn, ao númro d núlos) A() d subsânias rmansn no insan : da K.A () d Nauralmn as quaçõs () () são iguais, a difrnça rsid apnas na inrpração dos símbolos nas onsans d proporionalidad. Para o rsimno, onform spramos m (), k>, para o daimno, omo m (), k<. O modlo () para o daimno ambém oorr om apliaçõs biológias, omo a drminação d mia vida d uma droga o mpo nssário para qu 5% d uma droga sja liminada d um orpo por rção ou mabolismo. Em químia, o modlo d daaimno () apar na dsrição mamáia d uma ração químia d primira ordm, iso é, uma ração uja aa ou vloidad d/d é diramn proporional à quanidad d uma subsânia não ransformada ou rmansn no insan. A qusão é qu: Uma únia quação difrnial pod srvir omo um modlo mamáio para vários fnômnos difrns. 5.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO Por vola d 95, o químio Willard Libb 7 invnou um méodo para drminar a idad d fóssis usando o arbono radioaivo. A oria da ronologia do arbono s basia no fao d qu o isóopo do arbono 4 é produzido na amosfra pla ação d radiaçõs ósmias no nirogênio. A razão nr a quanidad d C-4 para arbono ordinário na amosfra para sr uma onsan, omo onsquênia, a proporção da quanidad d isóopo prsn m odos os organismos é a msma proporção da quanidad na amosfra. Quando um organismo morr, a absorção d C-4, aravés da rspiração ou alimnação, ssa. Logo, omparando a quanidad proporional d C-4 prsn, 7 Willard Frank Libb(Grand Vall, 7 d Dzmbro d 98 Los Angls, 8 d Smbro d 98) foi um químiosadunidns.é ronhido pla dsobra do méodo d daamno onhido por daação por radioarbono (arbono-4), rbndo por iso o Nobl d Químia d

61 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids digamos,m um fóssil om a razão onsan na amosfra, é possívl obr uma razoávl simaiva da idad do fóssil. O méodo s basia no onhimno da mia-vida do arbono radioaivo C-4, ra d 5.6 anos. O méodo d Libb m sido usado para daar móvis d madira m úmulos gípios, o ido d linho qu nvolvia os prgaminhos do Mar Moro o ido do nigmáio sudário d Turim. Emplo: Um osso fossilizado oném um milésimo da quanidad original do C-4. Drmin a idad do fóssil. Rsolução: A() A. k A A. ln ln 56k k.56 56k -,69 K -,776 A quação fia da sguin forma: A() A. -,776,776 A A.,776 ln ln -,776-6, A idad do fóssil é d aproimadamn anos. 5.6 RESFRIAMENTO D aordo om a Li mpíria d Nwon do sfriamno/rsfriamno, a aa sgundo a qual a mpraura d um orpo varia é proporional a difrnça nr a mpraura d um orpo varia proporionalmn a difrnça nr a mpraura do orpo a mpraura do mio qu o rodia, dnominada mpraura ambin. S T() rprsnar a mpraura d um orpo no insan, T m a mpraura do mio qu o rodia dt/d a aa sgundo a qual a mpraura do orpo varia, a li d Nwon do sfriamno/rsfriamno é onvrida na snnça mamáia dt K(T Tm ) () d k T Tm ond k é uma onsan d proporionalidad. Em ambos os asos, sfriamno ou aquimno, s T m for uma onsan, é lógio qu k<. 6

62 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: Um bolo é rirado do forno, sua mpraura é d ºF. Três minuos dpois, sua mpraura passa para ºF. Quano mpo lvará para sua mpraura hgar a 75 graus, s a mpraura do mio ambin m qu l foi oloado for d aamn 7ºF? Rsolução: T() F dt k( T Tm ) d T() F dt k( T 7) d dt kd ( T 7) ln( T 7) k ( T 7 ln k T 7 k T(?) 75 T m 7 A solução gral da ED é dada por: Sabndo qu T ( ) mos qu: T k. 7 Logo: T. k 7 T() C. k. 7 C Tmos ainda qu T ( ), om isso: A quação fia da sguin forma:. k 7 k k ln k ln k, k,9869 T( ) Para qu a mpraura do bolo hgu m 75 graus,,98 7 ], , ,98 ln om isso, srá nssário, minuos., 6

63 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5.7 MISTURAS A misura d dois fluidos algumas vzs dá origm a uma quação difrnial d primira ordm para a quanidad d sal onida na misura. Vamos supor um grand anqu d misura onnha galõs d salmoura (iso é, água na qual foi dissolvida uma drminada quanidad d libras d sal). Uma oura salmoura é bombada para dnro do anqu a uma aa d rês galõs por minuo; a onnração d sal nssa sgunda salmoura é d libras por galão.quando a solução no anqu sivr bm misurada, la srá bombada para fora a msma aa m qu a sgunda salmoura nrar. S A() dnoar a quanidad d sal (mdida m libras) no anqu no insan, a aa sgundo a qual A() varia srá uma aa liquida: da d Taa d nrada Taa d saída d sal d sal R R s (4) A aa d nrada R d sal (m libras por minuo) é: Taa d nrada d salmoura Connraç ão d sal no fluo d nrada aa d nrada d sal R ( gal / min). ( kb / gal ) 6lb / min Uma vz qu a soluçãoo sá sndo bombada para fora para dnro do anqu a msma aa, o númro d galõs d salmoura no anqu no insan é onsan igual a galõs. Assim sndo, a onnração d sal no anqu no fluo d saída é d A()/ lb/gal, a aa d saída d sal R s é: Taa d saída d salmouraa Connração d sal no fluo d saída aa d saida d sal R s (gal / min). A lb / gal A lb / min Emplo: A quação (4)orna-s não: da A 6 d (5) Dos dados do anqu aima onsidrado da quação (4), obmos a quação(5). Vamos oloar agora a sguin qusão: s 5 libras d sal fossm dissolvidas nos galõs iniiais, quano sal havria no anqu após um longo príodo? 6

64 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Rsolução: da A 6 d da A 6 d Pd Pd A. Qd C A.6d C A 6 C A 6 C. Para A ( ) 5 mos: 5 6 C. C 55 Logo, a solução fia da sguin forma: A 6 55 A solução aimafoi usada para onsruir a sguin abla: Além disso podmos obsrvar qu A 6 quando. Nauralmn, isso é o qu spraríamos nss aso; duran um longo príodo, o númro d libras d sal na solução dv sr ( gal).(lb/gal) 6 lb. Ns mplo supusmos qu a aa sgundo a qual a solução ra bombada para dnro ra igual à aa sgundo a qual la ra bombada para fora. Porém isso não prisa sr assim; a misura salina podria sr bombada para fora a uma aa maior ou mnor do qu aqula sgundo a qual é bombada para dnro. Por mplo, s a solução bm misurada do mplo aima for bombada para fora a uma aa mnor, digamos d gal/min, o liquido aumulará no anqu a uma aa d ( ) gal/min gal/min. Após minuos, o anqu onrá galõs d salmoura. A aa sgundo a qual o sal sai do anqu é não: A R gal lb gal s ( / min). / (min) A(lb) 5 66,4 97, ,7 55,57 57, ,9 Logo, a Equação (4) orna-s: da A da 6 ou A 6 d d Voê dv vrifiar qu a solução da úlima quação, sujia a A()5, é: A ( ) 7 6 (4,95 )( ) 6

65 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5.8 DRENANDO UM TANQUE Em hidrodinâmia, a Li d Torilli sabl qu a vloidad v do fluo d água m um burao om bordas na bas d um anqu hio aé a uma alura h é igual a vloidad om qu um orpo (no aso, uma goa d agua) adquiriria m quda livr d uma alura h, iso é, v gh, ond g é a alração dvida a gravidad. Essa úlima prssão origina-s d mv om a nrgia ponial mgh rsolvr para v. Suponha qu igualar a nrgia inéia um anqu hio om água sja drnado por mio d um burao sob a influênia da gravidad. Gosaríamos d nonrar a alura h d água rmansn no anqu no insan. Considr o anqu ao lado: S a ára do burao for A h (m pés quadrados) a vloidad d saída da água do anqu for v gh (m pés/s), o volum d saída d água do anqu por sgundo é A h gh (m pés úbios/s). Assim, s V() dnoar o volum d água no anqu no insan, dv d A gh (6) ond o sinal d subração india qu V sá drsndo. Obsrv aqui qu samos ignorando a possibilidad d ario do burao qu possa ausar uma rdução na aa d fluo. Agora, s o anqu for al qu o volum d água m qualqur insan possa sr srio omo V ( ) Awh, ond A w (m pés quadrados) é a ára onsan da suprfíi d água, não dv dh Aw. d d Subsiuindo ssa úlima prssão m (6), obmos a quação difrnial dsjada para a alura d água no insan : dh d h Ah gh (7) A É inrssan noar qu (7) prman válida msmo quando A w não for onsan. Nss aso, dvmos prssar a suprfíi suprior da água omo uma função d h, iso é, A w A(h). 5.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA Uma donça onagiosa, por mplo, um vírus d grip, spalha-s m uma omunidad por mio do onao nr as pssoas. Sja () o númro d pssoas qu onraíram a donça () o númro d pssoas qu ainda não foram posas. É razoávl supor qu a aa d/d sgundo a qual a donça s spalha sja proporional ao númro d nonros ou inraçõs nr sss dois grupos d pssoas. S supusrmos qu o númro d inraçõs é onjunamn proporional a () a (), iso é, proporional ao produo, não: d k (8) d w 64

66 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ond k é a onsan d proporionalidad usual. Suponha qu uma pquna omunidad nha uma população fia d n pssoas. S uma pssoa infadaa for inroduzida na omunidad, pod-s argumnar qu () () são rlaionadas por n. Usando ssa úlima quação para liminar m (8), obmos o modlo d k( n ) (9) d Uma ondição óbvia qu aompanha a quação (9) é (). 5. CORPOS EM QUEDA Para onsruir um modlo mamáio do movimno d um orpo m um ampo d força, m gral iniiamos om a sgunda li do movimno d Nwon. Lmbr-s da físia lmnar qu a primira li do movimno d Nwon sabl qu o orpo prmanrá m rpouso ou oninuará movndo-s a uma vloidad onsan, a não sr qu sja agindo sobr l uma força rna. Em ada aso, isso quival a dizr qu, quando a soma das forças F F iso é, a força liquida ou rsulan, qu ag sobr o k orpo for difrn d zro, ssa força líquida srá proporional a sua alração a ou, mais prisamn, F m.a, ond m é a massa do orpo. Suponha agora qu uma pdra sja jogada par aima do opo d ilusrado na figura abaio: um prédio, onform Qual a posição s() da pdra m rlação ao hão no insan? A alração da pdra é a drivada sgunda d s d S assumirmos omo posiiva a dirção para ima qu nnhuma oura força além da gravidad ag sobr a pdra, obrmos a sgunda li d Nwon d s m d d s mg ou d g () Em ouras palavras, a força liquida é simplsmn o pso F F - Wda pdra próimo á suprfíi da Trra. Lmbr-s d qu a magniud do pso é W mg, ond m é a massa g é a alração dvida a gravidad. O sinal d subração foi usado m (), pois o pso da pdra é uma força dirigida para baio, oposa a dirção posiiva. S a alura do prédio é s a vloidad iniial da pdra é v, não s é drminada, om bas no problma d valor iniial d sgunda ordm d s d g s ( ) s, s' () v (), Embora não sjamos nfaizando a rsolução das quaçõs obidas, obsrv qu () pod sr rsolvida ingrando-siniiais drminam as duas onsans d ingração. Voê podrá ronhr a solução d a onsan g duas vzs m rlação a. As ondiçõs (), da físia lmnar, omoo a fórmula s ( ) g v s. 65

67 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5. CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR Ans dos famosos primnos d Galilu na orr inlinada d Pisa, ardiava-s qu os objos mais psados m quda livr, omo uma bala d anhão, aíam om uma alração maior do qu a d objos mais lvs, omo uma pna. Obviamn, uma bala d anhão uma pna, quando largadas simulanamn da msma alura, am a aas difrns, mas isso não s dv ao fao d a bala d anhão sr mais psada. A difrnça nas aas é dvidaa rsisênia do ar. A força d rsisênia do ar foi ignorada no modlo dado m (). Sob algumas irunsânias, um orpo m quda om massa m, omo uma pna om baia dnsidad formao irrgular, nonra uma rsisênia do ar proporional a sua vloidad insanâna v. S nssas irunsanias, omarmos a dirção posiiva omo orinada para baio, a força liquida qu ag sobr a massa srá dada por F F F mg kv, ond o pso F m. g do orpo é a força qu ag na dirção posiiva a rsisênia do ar F k. v é uma força hamada amorimno visoso qu ag na dirção oposa ou para ima. Vja a figura abaio: Agora, omo v sa rlaionado om a alração a aravés d a dv/d, a sgunda li d Nwon orna-s dv F m.a m.. Subsiuindo a força liquida nssa forma d da sgunda li d Nwon, obmos a quação difrnial d primira ordm para a vloidad v() do orpo no insan. dv m d mg kv () Aqui k é uma onsan d proporionalidad posiiva. S s() for a disania do orpo ds dv d s m quda no insan a parir do pono iniial, não v a. Em rmos d s, d d d () é uma quação difrnial d sgunda ordm: d s m d mg k ds d ou d s ds m k mg d d () 5. CORRENTE DESLIZANTE Suponha qu uma orrn uniform d omprimno L m pés sja pndurada m um pino d mal prso a uma pard bm aima do nívl do hão. Vamos supor qu não haja ario nr o pino a orrn qu a orrn ps ρ libras/pés. A figura abaio (a) ilusra a posição da orrn quando m quilíbrio; s foss dsloada um pouo para a diria ou para a squrda, a orrn dslizaria plo pino. Suponha qu a dirção posiiva sja omada omo sndo para baio qu () dno a disania qu a rmidad diria da orrn ria aído no mpo. A posição d quilíbrio orrspond a. Na figura (b), a orrn é dsloada m pés é manida no pino aé sr sola m um mpo iniial qu dsignarmos por. Para a orrn m movimno, onform mosra a figura (), mos as sguins quanidads: 66

68 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Pso da orrn: Massa da orrn: Força rsulan: W m W/g L ρ / F (L pés). ( ρ lb/pés) L ρ L L ρ ρ p Uma vz qu a d d m a F orna-s Lρ d d ρ ou (4) d 64 d L 5. CIRCUITOS EM SÉRIE Considr o iruio m séri d malha simpls mosrado ao lado, onndo um induor, rsisor apaior. A orrn no iruio dpois qu a hav é fhada é dnoada por i(); a arga m um apaior no insan é dnoada por q(). As lras L, C R são onhidas omo induânia, apaiânia rsisênia, rspivamn, m gral são onsans. Agora, d aordo om a sgunda Li d Kirhhoff, a volagm apliada E() m uma malha fhada dv sr igual à soma das qudas d volagm na malha. 67

69 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids A figura abaio mosra os símbolos as fórmulas para a rspiva quda d volagm m um induor, um apaior um rsisor. Uma vz qu a orrn i() sá rlaionada om a arga q() no apaior por i dq/d, adiionando-s as rês qudas d volagm. induor di L d d q L, d rsisor apaior dq ir R q d quaionando-s a soma das volagns apliadas, obém-s uma quação difrnial d sgunda ordm d q dq L R q E( ) d d Para um iruio m séri onndo apnas um rsisor um induor, a sgunda li d Dirhhoff sabl qu a soma das qudas d volagm no induor (L(di/d)) no rsisor (ir) é igual a volagm apliada no iruio (E()). Vja a figura abaio. Obmos, assim, a quação difrnial linar para a orrn i(). di L Ri E() d ond L R são onsans onhidas omo a induânia a rsisênia, rspivamn. A orrn i() é ambém hamada d rsposado sisma. A quda d volagm m um apaior om apaiânia C é dada por q()/ci, ond q é a arga no apaior. Assim sndo, para o iruio m séri mosrado na figura (a), a sgunda li d Kirhhoff nos dá Ri q E( ) C 68

70 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids mas a orrn i a arga q são rlaionadas por i dq/d, dssa forma, a quação aima ransforma-s na quação difrnial linar Emplo: R dq q E( ) d C Uma baria d vols é onada a um iruio m séri no qual a induânia é ½ Hnr a rsisênia é ohms. Drmin a orrn i s a orrn iniial for. Rsolução: L induânia ½ di L Ri E d Para i() R rsisênia di 6 i d 5 i orrn di 6 i 4 d 5 E volagm apliada P Q 4 Logo: d Pd [ 4d ] i 4 i 6 i i 5 5 AULA - EERCÍCIOS ) Enonr uma prssão para a orrn m um iruio ond a rsisênia é Ω, a induânia é 4 H, a pilha forn uma volagm onsan d 6 V o inrrupor é ligado quano. Qual o valor da orrn? ) Uma força lromoriz é apliada a um iruio m séri LR no qual a induânia é d, hnr a rsisênia é d 5 ohms. Ah a urva i() s i(). Drmin a orrn quano. Us E V. ) Uma força lromoriz d V é apliada a um iruio m séri RC no qual a rsisênia é d Ω a apaiânia é d - 4 farads. Ah a arga q() no apaior s q(). Ah a orrn i(). 69

71 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4) Uma força lromoriz d V é apliada a um iruio m séri RC no qual a rsisênia é d Ω a apaiânia é 5-6 farads. Ah a arga q() no apaior s i(),4. Drmin a arga da orrn m,5s. Drmin a arga quando. 5) Sab-s qu a população d uma ra omunidad rs a uma aa proporional ao númro d pssoas prsns m qualqur insan. S a população dupliou m 5 anos, quando la ripliará? 6) Suponha qu a população da omunidad do problma anrior sja após anos. Qual ra a população iniial? Qual srá a população m anos? 7) A população d uma idad rs a uma aa proporional à população m qualqur mpo. Sua população iniial d 5 habians aumna 5% m anos. Qual srá a população m anos? 8) O isóopo radioaivo d humbo, Ph 9, drs a uma aa proporional à quanidad prsn m qualqur mpo. Sua mia vida é d, horas. S grama d humbo sá prsn iniialmn, quano mpo lvará para 9% d humbo dsaparr? 9) Iniialmn havia miligramas d uma subsânia radioaiva prsn. Após 6 horas a massa diminui %. S a aa d drsimno é proporional à quanidad d subsânia prsn m qualqur mpo, drminar a mia vida dsa subsânia. ) Com rlação ao problma anrior, nonr a quanidad rmansn após 4 horas. ) Em um pdaço d madira quimada, ou arvão, vrifiou-s qu 85,5% do C-4 inha s dsingrado. Qual a idad da madira? ) Um rmômro é rirado d uma sala, m qu a mpraura é 7 º F, oloado no lado fora ond a mpraura é º F. Após,5 minuo o rmômro marava 5 º F. Qual srá a mpraura marada plo rmômro no insan minuo? Quano lvará para marar 5 º F? ) Sgundo a Li d Nwon, a vloidad d rsfriamno d um orpo no ar é proporional à difrnça nr a mpraura do orpo a mpraura do ar. S a mpraura do ar é o C o orpo s rsfria m minuos d o C para 6 o C, dnro d quano mpo sua mpraura dsrá para o C? 4) Um indivíduo é nonrado moro m su sriório pla srária qu liga imdiaamn para a políia. Quando a políia hga, horas dpois da hamada, amina o adávr o ambin, irando os sguins dados: A mpraura do sriório ra d o C, o adávr iniialmn inha uma mpraura d 5 o C. Uma hora dpois mdindo novamn a mpraura do orpo obv 4. o C. O invsigador, supondo qu a mpraura d uma pssoa viva é d 6.5 o C, prnd a srária. Por qu? No dia sguin o advogado da srária a libra, algando o qu? 5) Sob as msmas hipóss subjans ao modlo m (), drmin a quação difrnial qu govrna o rsimno populaional P() d um país quando os indivíduos m auorização para imigrar a uma aa onsan r. 6) Usando o onio d aa liquida, qu é a difrnça nr a aa d naalidad a aa d moralidad na omunidad, drmin uma quação difrnial qu govrn a volução da população P(), s a aa d naalidad for proporional a população prsn no insan, mas a d moralidad for proporional ao quadrado da população prsn no insan. 7) Suponha qu um sudan porador d um vírus da grip rorn para um ampus univrsiário fhado om mil sudans. Drmin a quação difrnial qu dsrv o númro d pssoas () qu onrairão a grip, s a aa sgundo a qual a donça for spalhada for proporional ao numro d inraçõs nr os sudans gripados os sudans qu ainda não foram posos ao vírus. 8) Suponha um grand anqu para misuras onnha iniialmn galõs d água,no qual foram dissolvidas 5 libras d sal. Água pura é bombada pra dnro do anqu uma aa d gal/min, não, quando a solução sa bm misurada, la é bombada para fora sgundo a msma aa. Drmin uma quação difrnial para a quanidad d sal A() no anqu no insan. 9) Suponha qu a água sa saindo d um anqu por um burao irular m sua Bs d ára A h. Quando a água vaza plo burao, o ario a onnração da orrn d água nas proimidads do burao rduzm o volum d água qu sa vazando do anqu por sgundo para A h gh, ond (<<) é uma onsan mpíria. Drmin uma 7

72 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids quação difrnial para a alura h d água no insan para um na figura abaio, O raio do burao é pol g pés/s. anqu úbio, omo ) Para um movimno m ala vloidad no ar al omo o paraqudisa mosrado na figura abaio, aindo ans d abrir o paraqudas a rsisênia do ara sa próima d uma ponia da vloidad insanâna. Drmin a quação difrnial para a vloidad v() d um orpo m quda om massa m, s a rsisênia do ar for proporional ao quadrado d sua vloidad insanâna. ) Uma pquna barra d mal, uja mpraura iniial é d C, é oloada m um ripin om água frvndo. Quano mpo lvará para a barraa aingir 9 C s sua mpraura aumnar m sgundo? Quano mpo lvará para a barra aingir 98 C? ) Um anqu oném liros d fluido no qual foram dissolvidos gramas d sal. Uma salmoura onndo grama d sal por liro é não bombada paraa dnro do anqu a uma aa d 4 L/min; a solução bm misurada é bombada paraa fora à msma aa. Ah o númro A() d gramas d sal no anqu no insan. ) Um grand anqu oném 5 galõs d água pura. Uma salmoura onndo libras por galão é bombada para dnro do anqu a uma aa d 5 gal/min. A solução bm misurada é bombada para fora à msma aa. Ah a quanidad A() d libras d sal no anqu no insan. Qual é a onnração da solução no anqu no insan 5 min? 4) Um grand anqu sa parialmn hio om galõs d um fluido no qual foram dissolvidas libras d sal. Uma salmoura onndo ½ libra d sal por galão é bombada para dnro do anqu a uma aa d 6 gal/min. A solução bm misurada é não bombada para fora a uma aa d 4 gal/min. Ah a quanidad d libras d sal no anqu após minuos. 7

73 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids RESPOSTAS: ) I ( ) 5 5 ) ) 5 i lim i( ) q ond C -/ i 4) q i C 5 q(,5), oulombs i(,5), 47amp q 5) 7,9 anos. 6) ) 66,66 N () 6.96,4 7) N () 76 8) horas 9) 6,7 horas ) 88,5 gramas. ) 56 anos ) T () 6,66ºF,6 min ) 6 min 4) jusifiaiva pssoal. 5) dp dp kp r, kp r d d 6) dp kp k P d 7) d k( ) d 8) da A d 9) dh π d 45 h ) dv m mg kv d ) Aproimadamn 8, s Aproimadamn 45,7 s ) A() 7 -/5 ) A() -/,975 lb/gal 4) 64,8lb 5 7

74 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE A ORDEM E ORDEM SUPERIOR As quaçõs linars d ordm n são aqulas da forma: n n n d d d A A A... A/ n B n n n d d d Ond B, A, A, A,..., A n dpndm apnas d ou são onsans. Para omçarmos s sudo vamos uilizar omo padrão d uma EDO- linar (Equação Difrnial Ordinária Linar d ordm ) a sguin quação: p() q() r() ond: p() q() são os ofiins rprsnam parâmros do sisma r() rmos d iação (inpu) () rsposa do sisma (L.I), iso é S r(), I Eq. Dif. Homogêna r() Eq. Dif. não homogêna A EDO- aima possui soluçõs, () () são linarmn indpndns ( ) h( ) ( ) Com isso, () () formam uma bas para a solução da EDO- homogêna (bas fundamnal). Emplo: " S propormos omo solução () sn() () os() ( ) sn( ) g( ) ( ) os( ) EDO- fia () C os() C sn()., logo, formam uma bas, om isso, a solução gral da S obmos as bass para a solução da homogêna, a solução da quação fia () C () C ()... Cn n () S mos uma solução () pod-s obr () mais failmn. Obida uma solução () da EDO-, pod-s obr ()plo onio d bas, ond () () são linarmn indpndns. ( ) h( ) ( ) ( ) h( ).( ) 7

75 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: Obr (), sabndo qu () ( ) 74

76 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 6. EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES n n n d d d São aqulas da forma: A A A... A/ n, ond A n n n, A, A,...,A n são onsans. d d d Rsolução: d Para n A A d d A A d d A d A A ln C A A C A A A C. Chamando A λ C λ K, mos. k A Para nos failiar a dmonsração, vamos usar a sguin quação: Ond a b são onsans. d a d d d b Vamos uilizar λ alulado anriormn omo solução proposa. λ λ ' λ " λ λ Subsiuindo na EDO mos: λ λ λ aλ b λ λ ( λ aλ b ). Como λ para qualqur valor d, mos λ aλ b,a qual irmos hamar d quação ararísia da EDO- dada. Em rlação a quação ararísia P ( ) mos rês asos a onsidrar: λ 75

77 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 6.. CASO : RAÍZES REAIS DISTINTAS. λ λ Assim a solução gral fia: C C λ λ C C E para uma quação d ordm n fia: λ λ λ λ C n C... Cn C 6.. CASO : RAÍZES MÚLTIPLAS. λ λ λ λ λ S, ond s apliarmos a rgra anrior rmos. Só qu é nssário nonrar soluçõs qu sjam linarmn indpndns, pois λ om as raízs sndo iguais mos onsan. λ Assim mos qu ahar uma sgunda solução qu sja linarmn indpndn. Supondo a quação a b uilizando o onio d bas m qu λ ( ) h( ).( ), ond, mos: ( ) h( ). ( ) λ h. λ λ ' h' λh λ λ " h" λh' Subsiuindo na quação dada: λ λ λ h" λh' λ h Rordnando: λ h" (λ a) h' ( λ aλ b) h Como λ a λ b Enão: Logo: h" h' C h C K h. Solução gral: [ ] ( C K). C C ( C λ λ h ah' λ λ λ λ aλh bh λ, pois omo já vimos anriormn ( λ) C λ C ( C K) C K) λ C λ C λ fazndo C C k C C C C P. mos: 76

78 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids C λ C ( C C ) λ λ A propridad s snd para quaçõs d ordm suprior: ( C n λ C C... Cn ) 6.. CASO : RAÍZES COMPLEAS DISTINTAS. Sjam λ a bi λ a bi as raízs da quação ararísia. Apliando a ondição para raízs rais disinas ríamos omo solução: Das fórmulas d Eulr mos: iθ iθ Com isso: Fazndo a a osθ isnθ osθ isnθ C C ( a bi ) a bi. a [ C( osb isnb) C( osb isnb) ] [( C C ) osb i( C C ) snb] C C ( abi ) a bi. bi bi ( C C ) mos: C C C i(c C ) C a [ C os b C snb ] 77

79 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplos: 4 d 4 d d d ) 6 ) 4, om () (π /) - ) - 78

80 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA - EERCÍCIOS ) Obr () nos ríios abaio. a) " 5' 9, om ( ) 4 " om ( ) b) ) " ' om ( ) os 4 ) 5 6 ) 4 4),om () (π /) 5) 5 om () () 6) om () -4 () -7 7) -9π 8) 9 6 om () 4 () 9) k k ) 8 om (), (),5 ) 4 4 -, om (-) (-) ) 7 ) ) 5 7 5) Rsposas ) a. ( ) ln ( ) b. ) C C ) C C C 4) - os 5) ) - 7 π π 7) C C 8) ( 4 ) k ( C 9) C ) 4 ),,5,5 ) 4 C ) C ) C ( C os Csn ) 5 C 4) C os Csn ( C 5) C ). ( ) sn 79

81 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 4 6. EULER - CAUCHY A quação d Eulr-Cauh m a sguin forma: n A n d d d n (a b) L A (a b) A (a b) A B n d d d ond A, A,..., A n, a b são onsans. Para rsolvr al quação farmos qu irá liminar os ofiins variávis. a b a. No aso da quação r a forma: Farmos: " a' b m m m- m(m-) m- Subsiuindo, na EDO-, mos qu: (m (a ) m b) m omo () m m qu sr difrn d zro, mos m (a ) m b, qu é uma quação do sgundo grau om duas raízs. Caso : m m são rais difrns. m ( ) C C m Caso : m m são rais iguais ( ) m C C ( ) (C m ln( ) m C ln()) Caso : m m são omplas onjugadas ( a ± bi) a ( ) [C os(bln ) Csn( bln )] 8

82 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplos: d d ) ( ) d d ( 8

83 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Rsposas ) ) AULA 4 - EERCÍCIOS ) - ) () 9() 8() 6 ) 46,4 4) 5) 4 4 5, om () () - 6 6) - 4, om () () 4 5 C C C C ( ) C ( ),8 ) ( C C ln ) 4) C os(ln ) Csn(ln ) 5 5) ( ln ) 6) ln 8

84 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 5 6. EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS " p( ) ' q( ) r( ) P. V. I ( ) K '( ) K (). () bas para a solução da EDO- homogêna h () solução da EDO- homogêna h () C () C () p () solução pariular, função qualqur qu saisfaz a EDO- não-homogêna A solução gral d uma quação linar não homogêna m a forma: ( ) ( ) ( ) h p Torma da isênia da Uniidad:S p() q() são funçõs onínuas sobr o inrvalo abro I I, não o P.V.I. possuiu uma únia solução () sobr I. Para drminarmos p, dnominada solução pariular, dispomos dos sguins méodos: i. Méodo dos ofiins a drminar ou méodo d Dsars ii. Méodo da variação d parâmros ou méodo d Lagrang iii. Méodo do oprador drivada D. 6.. SOLUÇÃO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES): Val somn para EDO- om ofiins onsans Padrão para solução pariular: Trmo m r() α k k n ( n K osα Ksnα k k α α,,...) osβ snβ C α Proposa para p () n n C n Cn... C C C osα Csnα α ( C osβ Csnβ ) obs:. s r() é omposição d funçõs da o oluna, p () é omposição das rspivas funçõs na o oluna.. s r() oinid om uma função qu ompõs h (), mulipliqu por (ou por ) para onsidrar raiz dupla da quação ararísia. 8

85 Equaçõs Difrniais Emplo: " ' () '() Prof a Paula Franis Bnvids 84

86 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA5 - EERCÍCIOS ) 4 sn ) 5 ) sn 5 4) 5 6 5) 4 6) 7) 7 8) 7 8 9) ) 4 4 ) 4' sn 4 d d ) 4 8sn4 4 d d ) 4 sn 4) 4sn 4 d d 5) 4sn 4 d d 6),5 6 4, para () 4 () - 8 7) 4 -, para () () Rsposas ) Aos Bsn sn 5 ) 5 ( C os Csn ) ) C C,os 5,6 sn5 4) 5 5 C C 9 7 5) C C C 8 4 6) 4 C C C 8 8 7) 4 C C 8) 5 8 C C 9) C C 4 ) 4 C os Csn ) C C ( sn 8os ) 65 ) sn4 C C C C4 4 ) C C C os 4 4) C os Csn os 5) sn ( C C )os ( C C4 ) sn 6) 7)

87 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Qualqur ipo d iação r() Qualqur ofiin P n () dsd qu onínuos. n P n- () n-... P () P () r() A solução gral da EDO é h p omo na rsolução por ofiins a drminar. mas a solução da pariular fia p ().u ().u... n () n, ond,,..., n são as bass para a EDO homogêna. A idia é onsiuir a solução pariular om uma ombinação dsas bass uilizando parâmros variávis. Ond W r, u ( ). ( ) Wn ( ). r( ) d,... un W ( ) d W ( ) W r u ( ). ( ) d W ( ) Sndo qu W W(,,..., n ), qu é o Drminan d Wronski (Wronskiano) ' ' ' L n W (,,..., n ) W ( ) M M L M n n L L Para alularmos W (), subsiuirmos a primira oluna plo vor (,,,...,), para alularmos W () subsiuirmos a sgunda oluna assim sussivamn: n n n W M ' M n L L L L n ' n M n n, W ' M n M L L L L n ' n M n n,..., W n ' M n ' M n L L L L M Cuidado: Ans d apliar o méodo, vrifiar o qu aompanha n. S ivr f(). n, não s squça d dividir r() por f(). S a Equação Difrnial for d ordm, mpos omo solução da pariular p () u() () v() () ond, ( )r( ) ( ) d w( ) u ( )r( ) v( ) d w( ) () () são as bass da homogêna. 86

88 Equaçõs Difrniais Emplo: '" " ' Prof a Paula Franis Bnvids 87

89 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Rsposas ) 4 65 ) os ) ) ) ln 6) 4 d d 7) 4 4 d d 8) 4 4-9) ' ) C C 9 ) C C os 4 ) ( ) 4) C C 4 5) C C C ln 6 6 6) C C C AULA 6 - EERCÍCIOS 88

90 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 6... Dfinição Os opradors são símbolos sm nnhum signifiado isolado qu indiam, d modo abrviado, as opraçõs qu dvm sr fuadas. Uma dada função dfinida por f ( ) hama-s oprador drivada, dnoado por D, a d D, d d D, d d D,... d 6... Propridads Sjam uu() v v(): P. D(uv)DuDv (propridad disribuiva) P. D(m.u)m.Du, (propridad omuaiva, sndo m uma onsan) P.D m (D n u)d mn u, (sndo m n onsans posiivas) a P4. O oprador invrso a.., a R. u D a u d du d P5. O oprador diro ( D a )u Du a. u au, a R Equaçõs Difrniais Qualqur quação difrnial pod sr prssa m rmos d D. Emplo: a" b' g() ad bd g() (ad bd ) g() n n Um oprador difrnial linar d n-ésima ordm L An D An D K A D A om ofiins onsans pod sr faorado quando o polinômio ararísio n n A nr An r K A ambém s faora. Emplo: " 4 ' 4 pod sr srio omo ( D 4D 4 ) ou ( D )( D ) ou ( D ) Oprador Anulador S L é um oprador difrnial om ofiins onsans f ( ) é uma função L ( ), não dizmos qu L é um anulador da função. sufiinmn difrniávl, al qu O oprador difrnial n D anula ada uma das funçõs n polinômio n n maior ponia d ( D ).,, K,, n. Enão, um K é anulado por um oprador qu anula a 89

91 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo:Enonr um oprador drivada qu anula 5 8 Solução: 4 O oprador é D pois n n 4 4 D ( 5 O oprador difrnial α, α, 8 α n α K.,, ) n ( D α ) anula ada uma das funçõs Emplo: Enonr um oprador anulador para 4 6 Solução: Para o rmo ( 4 ),mosα n ( D ) Para o rmo ( 6 ), mos α n Logo o oprador qu anulará a prssão srá Vamos vrifiar: ( D ) ( 4 6 ) ( D )( D )( 4 6 ) ( D )[ D( 4 ) 8 6 D( ) ] ( D )[ ] ( D )( 6 ) 6D ( D ( D ) ) n O oprador difrnial [ D αd (α β )] anula ada uma das funçõs α α aα n α, osβ, osβ, osβk, osβ, α α α n α,snβ, snβ, snβk, snβ Emplo: Enonr um oprador anulador para Solução: ( D α, β, [ D Vamos vrifiar: D.D( D( D[ D 5 )( sn ) D sn sn n.( ).D ( 4 )] sn ) D ( sn os )] ( sn os ) os sn 5 os ) ( ( os D 4 n sn ) D sn sn sn 4 sn. D 5 os 5 ( os 4sn ) sn sn 5 os ) 5 sn 4 sn sn sn 4 Obs.: O oprador difrnial ( D β ) anula as funçõs os β sn β.. sn os os S L L são opradors difrniais linars om ofiins onsans ais qu, ( ) L ( ),mas L( ) L( ), não o produo dos opradors L. L ( ) ( L anula a soma ), pois: 9

92 Equaçõs Difrniais LL ( ) LL ( ) LL ( ) LL ( ) L L ( ) L L 44 ( ) zro zro Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: Enonr um oprador difrnial qu anula 7 6sn( ). Solução: Para o rmo 7 mos o oprador D Para o rmo 6 sn( ), mos β, não ( D ) Logo: D ( D 9 )(7 6sn ) Cofiins indrminados - Abordagm por Anuladors n n S L dnoa um oprador difrnial linar da forma A n D An D K A D A, não uma quação difrnial linar não-homogêna pod sr sria omo k L ( ) g( ) Para sa abordagm, uilizarmos g() omo ombinação linar d funçõs da forma m m α m α m α ond m é um iniro não ngaivo α β são ( s),,, osβ númros rais. Rsumo do Méodo: snβ, para a quação homogêna i. Enonr a solução ararísia L ( ). ii. Opr m ambos os lados da quação não-homogêna L ( ) g( ) om um L, qu anula a função ) oprador difrnial g (. iii. Enonr a solução gral para a quação difrnial homogêna d maior ordm L. L ( ). iv. Dsonsidr odos os rmos da solução nonrada m (iii) qu são dupliados na solução omplmnar, nonrada m (i). Form uma ombinação linar p dos rmos rsans. Essa é a forma d uma solução pariular para L ( ) g( ). v. Subsiua p nonrada m (iv) na quação L ( ) g( ). Agrup os ofiins das funçõs m ada lado da igualdad rsolva o sisma rsulan d quaçõs para os ofiins indrminados m p. vi. Com a solução pariular nonrada m (v), form a solução gral para a quação difrnial dada. p Rsolução d Equaçõs Linars d d d d ) Rsolvr, mprgando opradors: 7 9

93 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids d d d d ) 4 4 d d ) Rsolvr uilizando oprador diro, invrso por anuladors 4. d d 9

94 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids 9

95 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 7 - EERCÍCIOS Rsolva as quaçõs abaio uilizando um dos méodos d oprador drivada. ) (D D ) d d ) 5 6 sn d d d d ) sn d d 4) (D -6D) 4 5) (D 7D) 5 6) (D D ) - 7) ( ) ( ) D D 8) ( D 4) 9) ( ) D 5D 6 ) " ' 8 4sn ) d d Rspoas: ) C 4 C - ) C C sn os ) C C ( os sn) ) C C C 6 4 5) C C 5 6) C C C 7 8 7) A B C 6 8) A B 4 4 9) C C 8 6 ) C C os sn 5 5 ) C C 94

96 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids 7. EERCÍCIOS GERAIS AULA 8 Calul as Equaçõs Difrniais abaio: d d d d ) 4 sn ) d d d 5 6 d d d d d ) sn d d 4) 4 8 d d d d d d 5) d d d d 4 6) 4 4 7) 8) 9) d d d d d 4 4 d d d 4 4 d d 6) d d 4 4 d d d d d d 7) 8 8os 8) 9) ) ) d d 4 4 d d d d d d d d d d sn ) " ' ) "' " ' 4) "' ' d d os d d d d 5) ( ) 9( ) 8( ) 6 ln( ) ) d d d d d d ) sn d d d d d d ) 4 os d d 4 ) 6 sn 4 d d 4) 4 5os d d d d 5) 5 95

97 Equaçõs Difrniais ) ) RESPOSTAS: C C os C sn 6 8 C C C 6 sn 5 8 ) C C 4 4) C C 4 5) C C C sn 4 Prof a Paula Franis Bnvids ) C os Csn os snln sn ) C C ln ) C C Cln 4) C [ C ) C sn(ln )] 5) os(ln C C C ln( ) ( ) ( ) 6 6 6) 7) C C C C C C ) C C 9) C C ) ( C C ) ) C C os sn C C (os 4sn 7 ) ) ) 4) 5) 6) C C C C os C os C4sn 5os 8 5 C C C C ) C C (os sn) 5 8) ( C C ) 8 9) ( C C ) ln ) C os Csn os ln os sn 96

98 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9 8. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Vimos qu uma únia quação pod srvir omo modlo mamáio para fnômnos divrsos. Por ssa razão, aminamos uma apliação, o movimno d uma massa onada a uma mola, dalhadamn na sção 8. abaio. Vrmos qu, o pla rminologia plas inrpraçõs físias dos quaro rmos na quação linar a b g(), a mamáia d um iruio lério m séri é idênia à d um sisma vibraório massa-mola. Formas dssa quação difrnial linar d sgunda ordm aparm na anális d problmas m várias áras da iênia da ngnharia. Na sção 8., onsidramos lusivamn problmas d valor iniial, nquano na sção 8. aminamos apliaçõs dsrias por problmas d onorno onduzm-nos aos onios d auovalor auofunção. A sção 8. omça om uma disussão sobr as difrnças nr mola linar mola não-linar; m sguida, mosrarmos omo um pêndulo simpls um fio suspnso lvam a modlos nãolinars. 8. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: 8.. SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO Li d Hook: Suponha qu uma mola flívl sja suspnsa vrialmn m um supor rígido qu não uma massa m sja onada à sua rmidad livr. A disnsão ou longação da mola nauralmn dpndrá da massa; massas om psos difrns disndrão a mola difrnmn. Pla li d Hook, a mola r uma força rsauradora F oposa à dirção do alongamno proporional à disnsão s. Enuniado d forma simpls, F ks, ond k é a onsan d proporionalidad hamado onsan da mola. A mola é ssnialmn ararizada plo númro k. Por mplo, s uma massa d libras alonga m ½ pé uma mola, não k(½) implia qu k lb/pés. Enão uma massa d, digamos, 8 lb nssariamn sia a msma mola somn /5 pé. Sgunda Li d Nwon: Dpois qu uma massa m é onada a uma mola, provoa uma disnsão s na mola aing sua posição d quilíbrio no qual su pso W é igual à força rsauradora ks. Lmbr-s d qu o pso é dfinido por W mg, ond g pés/s, 9,8m/s ou 98 m/s. osição P i K Conform indiado na figura aima, a ondição d quilíbrio é mg ks ou mg ks. S a massa for dsloada por uma quanidad d sua posição d quilíbrio, a força rsauradora da mola srá não k( s). Supondo qu não haja forças d rardamno 97

99 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids sobr o sisma supondo qu a massa vibr sm a ação d ouras forças rnas movimno livr podmos igualar F om a força rsulan do pso da força rsauradora: d m k( s ) mg k mg ks k d 44 O sinal ngaivo india qu a força rsauradora da mola ag no snido oposo ao do movimno. Além disso, podmos adoar a onvnção d qu os dsloamnos mdidos abaio da posição d quilíbrio são posiivos. zro () 8... ED do Movimno Livr não amorido: Dividindo a quação () pla massa m obmos a quação difrnial d sgunda ordm ond ω k / m d d ω () A quação () dsrv um movimno harmônio simpls ou movimno livr não amorido. Duas ondiçõs iniiais óbvias assoiadas om () são () (), rprsnando, rspivamn, o dsloamno a vloidad iniiais da massa. Por mplo, s >, <, a massa omça d um pono abaio da posição d quilíbrio om uma vloidad iniial dirigida para ima. Quando, dizmos qu la pariu do rpouso. Por mplo, s <,, a massa pariu do rpouso d um pono unidads aima da posição d quilíbrio Solução Equação do Movimno: Para rsolvr a Equação (), obsrvamos qu as soluçõs da quação auiliar m ϖ são númros omplos m ϖ i, m - ϖ i. Assim, drminamos a solução gral d () omo: ( ) C osω C snω () O príodo das vibraçõs livrs dsrias por () é T π / ω a frquênia é f / T ω / π. Por mplo, para ( ) os 4 sin, o príodo é π / a frquênia é /π unidads; o sgundo númro signifia qu há rês ilos do gráfio a ada π unidads ou, quivalnmn, qu a massa sá sujia a /π vibraçõs omplas por unidad d mpo. Além disso, é possívl mosrar qu o príodo π /ϖ é o inrvalo d mpo nr dois máimos sussivos d (). Lmbr-s d qu o máimo d () é um dsloamno posiivo orrspondn à disânia máima d () é um dsloamno posiivo orrspondn à disânia máima aingida pla massa abaio da posição d quilíbrio, nquano o mínimo d () é um dsloamno ngaivo orrspondn à alura máima aingida pla massa aima da posição d quilíbrio. Vamos nos rfrir a ada aso omo dsloamno rmo da massa. Finalmn, quando as ondiçõs iniiais form usadas para drminar as onsans C C m (), dirmos qu a solução pariular rsulan ou a rsposa é a quação do movimno. 98

100 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo: Uma massa d libras disnd uma mola m 6 polgadas. Em, a massa é sola d um pono 8 polgadas abaio da posição d quilíbrio, a uma vloidad d 4 pés/s para ima. Drmin a quação do movimno livr. Solução: Convrndo as unidads: 6 polgadas ½ pé 8 polgadas / pé Dvmos onvrr a unidad d pso m unidad d massa M W/g / /6 slug Além disso, da li d Hook, k(½) implia qu a onsan d mola é k 4 lb/pé, Logo, () rsula m: d 4 6 d d 64 d ϖ - 64 ϖ 8i () C os 8 C sm 8 O dsloamno a vloidad iniiais são () / () - 4/, ond o sinal ngaivo na úlima ondição é uma onsqüênia do fao d qu é dada à massa uma vloidad iniial na dirção ngaiva ou para ima. Apliando as ondiçõs iniiais a () a (), obmos C / C - /6, assim, a quação do movimno srá: ( ) os8 sn SISTEMA MASSA-MOLA: MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO O onio d movimno harmônio livr é um ano quano irral, uma vz qu é dsrio pla Equação () sob a hipós d qu nnhuma força d rardamno ag sobr a massa m movimno. A não sr qu a massa sja suspnsa m um váuo prfio, havrá plo mnos uma força onrária ao movimno m dorrênia do mio ambin ED do Movimno Livr Amorido: No sudo d mânia, as forças d amorimno qu auam sobr um orpo são onsidradas proporionais a uma poênia da vloidad insanâna. Em pariular, vamos supor duran oda a disussão subsqün qu ssa força é dada por um múliplo onsan d d/d. Quando não houvr ouras forças rnas agindo sobr o sisma, sgu na sgunda li d Nwon qu d m d d k β d (4) ond β é posiivo hamado d onsan d amorimno o sinal ngaivo é uma onsqüênia do fao d qu a força amordora ag no snido oposo ao do movimno. 99

101 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Dividindo-s (4) pla massa m, obmos a quação difrnial do movimno livr amorido ou ond d β d k d m d m d d ω d d β λ ω m λ (6) k m (5) é: O símbolo λ foi usado somn por onvniênia algébria, pois a quação auiliar m λ m ω as raízs orrspondns são, porano, m λ λ ω m λ λ ω λ ω Podmos agora disinguir rês asos possívis, dpndndo do sinal algébrio d. Como ada solução oném o faor d amorimno massa fia dsprzívl após um longo príodo. λ, λ >, o dsloamno da CASO I:Supramorido λ ω > m m ( ) C C (7) Essa quação rprsna um movimno suav não osilaório. CASO II:Amorimno Críio λ ω ( C C ) ( ) λ (8) Obsrv qu o movimno é bm smlhan ao sisma supramorido. É ambém vidn d (8) qu a massa pod passar pla posição d quilíbrio no máimo uma vz. Qualqur drésimo na força d amorimno rsula m um movimno osilaório. CASO III:Subamorido λ ω < Como as raízs m m agora são omplas, a solução gral da Equação (6) é: ( C Csn ) os ω λ ω ( ) λ λ (9)

102 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids O movimno dsrio m (9) é osilaório; mas, por ausa do faor ampliuds d vibração quando. λ, as Emplos: ) Um pso d 8 libras alonga uma mola m pés. Supondo qu uma força amordora igual a duas vzs a vloidad insanâna aja sobr o sisma, drmin a quação d movimno s o pso for solo d uma posição d quilíbrio a uma vloidad d pés/s para ima. Solução: Com bas na li d Hook, vmos qu 8 k() nos dá k 4 lb/pés qu nos dá m 8//4 slug. A quação difrnial do movimno é não: W m. g Rsolvndo a quação mos: d d 4 4 d d d d 8 6 d d () C 4 C - 4 (amorimno ríio) Apliando as ondiçõs iniiais () () -, obmos -, logo, a quação do movimno é: () - -4 ) Um pso d 6 lb é aado a uma mola d 5 pés d omprimno. Na posição d quilíbrio, o omprimno da mola é d 8, pés. S o pso for puado para ima solo do rpouso, d um pono pés aima da posição d quilíbrio, qual srá o dsloamno () s for sabido ainda qu o mio ambin ofr uma rsisênia numriamn igual à vloidad insanâna. Solução: O alongamno da mola dpois d prso o pso srá d 8, 5, pés; logo, sgu da li d Hook qu 6 k(,) ou k 5 lb/pés. Alm disso, m 6/ ½ slug. Porano, a quação difrnial é dada por: Rsolvndo a quação mos: d d 5 d d d d d d ( C os C sn ) ( ) (subamorido) Apliando as ondiçõs iniiais () - (), obmos - - /, logo a quação do movimno é: ( ) os sn

103 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 8.. SISTEMA MASSA MOLA: MOVIMENTO FORÇADO 8... ED do Movimno Forçado om Amorimno: Considrando agora uma força rna f() agindo sobr uma massa vibran m uma mola. Por mplo, f() pod rprsnar uma força qu gra um movimno osilaório vrial do supor da mola. A inlusão d f() na formulação da sgunda li d Nwon rsula na quação difrnial do movimno forçado ou induzido Dividindo () por m, obmos: d d m k β f ( ) () d d d d ω F( ) d d λ () Ond F() f()/m. Como no im anrior, λ β / m, k / m. Para rsolvr ssa úlima quação não homogêna, podmos usar ano o méodo dos ofiins a drminar quano o d variaçõs d parâmro. ω Emplo: Inrpr rsolva o problma d valor iniial ( ) ' ( ) d d, 5os 4,om 5 d d Solução: O problma rprsna um sisma vibran qu onsis m uma massa ( m /5 slug ou quilograma) prsa a uma mola (k lb/pés ou N/m). A massa é sola do rpouso ½ unidad (pé ou mro) abaio da posição d quilíbrio. O movimno é amorido (, ) sa sndo forçado por uma força rna priódia (T π β ) qu omça m. Inuiivamn, podríamos sprar qu, msmo om o amorimno, o sisma oninuass m movimno aé o insan m qu a força rna foss dsligada, aso m qu a ampliud diminuiria. Porém, da forma omo o problma foi dado, f()5os4 prmanrá ligada smpr. Em primiro lugar, mulipliarmos a quação dada por 5 rsolvmos a quação d d 6 mprgando os méodos usuais usando o méodo dos ofiins a d d drminar, prouramos uma solução pariular, ahando omo solução: ( ) ( C os Csn) 5 os sn4 Apliando as ondiçõs iniiais, mos qu a quação do movimno é: ( ) ( os sn) os 4 sn

104 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 8... ED d um Movimno Forçado Não Amorido: S houvr a ação d uma força rna priódia, nnhum amorimno, não havrá rmo ransin na solução d um problma. Vrmos ambém qu uma força rna priódia om uma frqüênia próima ou igual às das vibraçõs livrs não amoridas pod ausar danos svros a um sisma mânio osilaório. Emplo: Rsolva o problma d valor iniial: F é uma onsan γ ω. d ω F snγ, () (),, ond d Solução: A função omplmnar é () os ω sn ω. Para obr uma solução pariular, vamos primnar p () A os γ B snγ d al forma qu: " p ω p A( ω γ )osγ B( ω γ ) snγ F snγ Igualando os ofiins, obmos imdiaamn A B F (ω γ ). Logo: F ( ) p (ω γ snγ ) Apliando as ondiçõs iniiais dadas à solução gral, obmos a solução final qu srá: F ( ) ( γsnω ωsnγ ), om γ ω (ω γ ) 8..4 CIRCUITO EM SÉRIE ANÁLOGO - CIRCUITOS ELÉTRICOS RLC EM SÉRIE Apliando a sgunda Li d Kirhoff, hgamos a: d q dq q L R E( ) d d C () S E(), as vibraçõs lérias do iruio são onsidradas livrs. Como a quação auiliar da quação () é Lm Rm /C, havrá rês formas d solução om R, dpndndo do valor do disriminan R -4L/C. Dizmos qu o iruio é:

105 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4L Supramorido: R > C 4L Criiamn amorido: R C 4L Subamorido: R < C Em ada um dsss rês asos, a solução gral d () oném o faor -R/L, porano, q() quando. No aso subamorido, s q() q, a arga sobr o apaior osilará à mdida qu dair, m ouras palavras, o apaior é arrgado dsarrgado quano. Quando E() R, dizmos qu o iruio é não amorido as vibraçõs lérias não ndm a zro quando rs sm limiação; a rsposa do iruio é harmônia simpls. Emplos: Enonr a arga q() sobr o apaior m um iruio m séri LRC quando L,5 hnr(h), R ohms( Ω ), C, farad(f), E(), q() q oulombs(c) i(). Solução: Como /C, a quação () fia: q" q' q 4 q" 4q' 4q Rsolvndo a quação homogêna d manira usual, vrifiamos qu o iruio é subamorido q() - (C os6 C sn6). Apliando as ondiçõs iniiais, obmos: q( ) q (os 6 sn6 ) Quando há uma volagm imprssa E() no iruio as vibraçõs lérias são hamadas forçadas. No aso m qu R, a função omplmnar q () d () é hamada d solução ransin. S E() for priódia ou onsan, não a solução pariular q p () d () srá uma solução saionária. 8. EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 8.. DEFLEÃO DE UMA VIGA: Muias sruuras são onsruídas usando grands supors d aço ou vigas, as quais dflm ou disorm sob su próprio pso ou m dorrênia d alguma força rna. A dflão () é govrnada por uma quação difrnial linar d quara ordm rlaivamn simpls. 4

106 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Vamos supor uma viga d omprimno L sja homogêna nha sção ransvrsal uniform ao longo d su omprimno. Na ausênia d qualqur arga sobr a viga (inluindo o próprio pso), a urva qu liga os nróids d odas as suas sçõs ransvrsais é uma ra hamada io d simria. S for apliada uma arga à viga m um plano onndo o io d simria, la sofrrá uma disorção a urva qu liga os nróids d odas as sçõs ransvrsais srá hamada não d urva d dflão ouurva lásia. A urva d dflão aproima o formao da viga. Suponha agora qu o io oinida om o io d simria da viga qu a dflão (), mdida a parir dss io, sja posiiva s dirigida para baio. Na oria da lasiidad, mosra-s qu o momno flor M() m um pono ao longo da viga sá rlaionado om a arga por unidad d omprimno w() pla quação: d M d () w( ) Além disso, momno flor M() é proporional à urvaura k da urva lásia M ( ) EIk (4) ond E I são onsans; E é o módulo d lasiidad d Yang do marial d qu é fia a viga I é o momno d inéria d uma sção ransvrsal da viga (m orno d um io onhido omo o io nuro). O produo EI é hamado d rigidz dflora da viga. Agora, do álulo, a urvaura é dada por pquna, a inlinação, porano, [ ] k ". Quando a dflão () for [ ( ') ] ( ' ), S fizrmos k, a Equação (4) vai s ornar M El. A drivada sgunda dssa úlima prssão é: d M d d EL d 4 d " EL 4 d (5) Usando o rsulado dado m () para subsiuir d M/d m (5), vmos qu a dflão () saisfaz a quação difrnial d quara ordm 4 d EL w( ) (6) 4 d As ondiçõs d onorno assoiadas à Equação (6) dpndm d omo as rmidads da viga são apoiadas. Uma viga m balanço é ngasada ou prsa m uma rmidad livr d oura. Trampolim, braço sndido, asa d avião saada são mplos omuns d vigas, mas aé msmo árvors, masros, difíios o monumno d Gorg Washingon podm funionar omo vigas m balanço, pois são prsos m uma rmidad sujios à força flora do vno. Para uma viga m balanço, a dflão () dv saisfazr às sguins ondiçõs na rmidad ngasada : (), uma vz qu não há dflão (), uma vz qu a urva d dlão é angn ao io (m ouras palavras, a inlinação da urva d dflão é zro nss pono). Em L, as ondiçõs da rmidad livr são: (L), uma vz qu o momno flor é zro (L), uma vz qu a força d isalhamno é zro. 5

107 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids A Tabla abaio rsum as ondiçõs d onorno qu são assoiadas om a quação (6) Ermos da Viga Condiçõs d onorno Engasada, ' Livr ", " ' Simplsmn apoiada, ' 8... Soluçõs Não Triviais do Problma d Valors d Conorno: Rsolva o problma d valors d onorno λ, () (L) Considrmos rês asos: λ, λ < λ >. Caso I: Para λ, a solução d " é C C. As ondiçõs ( ) ( L ) impliam, sussivamn quc C. Logo, para λ, a únia solução do. problma d onorno é a solução rivial Caso II: Para λ <, mos qu C osh λ Csnh λ. Novamn ( ) nos dá C, porano, Csnh λ. A sgunda ondição ( L ) C snh λl. Como λ L, prisamos r C. Assim Obs.: - λ >. nos diz qu λ par um pouo sranho, mas nha m mn qu λ < é quivaln a Caso III: Para λ >, a solução gral d λ é dada por C os λ Csn λ.como ans, () nos dá qu, mas (L) implia C sn λl. S, não, nssariamn,. Porém, s, não sn λ L. A úlima ondição implia qu o argumno da função sno dv sr um múliplo iniro d π. n π λ L nπ ou λ, n,,... L Porano, para odo ral não nulo, sn(nπ /L) é uma solução do problma para ada n. Como a quação difrnial é homogêna, podmos, s dsjarmos, não srvr 4π L 9π L,. Em ouras palavras, para um dado númro na sqüênia,,,..., π π π orrspondn na sqüênia sn, sn, sn,... L L L problma original. π L a função é uma solução não rivial do 8... Dformação d uma Coluna Fina: No séulo VIII, Lonhard Eulr dói um dos primiros mamáios a sudar um problma d auovalor quando analisava omo uma oluna lásia fina s dforma sob uma força aial omprssiva. Considr uma longa oluna vrial fina d sção ransvrsal uniform d omprimno L. Sja () a dflão da oluna quando uma força omprssiva vrial 6

108 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids onsan ou arga P for apliada m su opo onform mosra a figura. Comparando os momnos flors m qualqur pono ao longo da oluna, obmos d EL d P ou d EL P d (7) ond E é o módulo d lasiidad d Yang I é o momno d inéria d uma sção ransvrsal m orno d uma ra vrial plo su nróid. Emplo: Drmin a dflão d uma oluna vrial fina homogêna d omprimno L sujia a uma arga aial onsan P, s a oluna for simplsmn apoiada m ambas as rmidads. Solução: O problma d onorno a sr rsolvido é: d EI P d () ( L) Obsrv primiramn qu é uma solução prfiamn aiávl dss problma. Essa solução m uma inrpração inuiiva simpls: s a arga P não for grand o sufiin, não havrá dflão. A qusão é sa, para qu valors d P a oluna vai dflir? Em rmos mamáios: para quais valors d P o problma d onorno dado m soluçõs não riviais? Esrvndo P EI λ, vmos qu: " λ () ( L) é idênio ao problma dado no im 8... Com bas no Caso III daqula disussão vmos qu as urvas d dflão são ( ) sn( nπ / L), orrspondns aos auovalors λ n / EI n π / L, n,,... P n n Fisiamn, isso signifia qu a oluna vai dformar-s ou dflir somn quando a força omprssiva assumir um dos valors n π EI / L, n,,... Essas forças são hamadas argas riias. A urva d dflão orrspondn a mnor arga ríia P π EI / L, hamada d arga d Eulr, é ( ) sn( π / L) é onhida omo o primiro modo d dformação. As urvas d dflão orrspondns a n, n n são aprsnadas na figura abaio. Obsrv qu, s a oluna original ivr algum ipo d rsrição físia m P n 7

109 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids L/,não a mnor arga ríia srá figura (b). S a rsrição for oloada na oluna m L/ L/, a oluna somn vai s dformar quando a arga riia P 9π EI L for apliada. Nss aso a urva d dflão srá aqula da figura (). P 4π EI / L a urva d dfl / lão srá aqula da 8... Corda Girando: A quação difrnial linar d sgunda ordm " λ (8) oorr muias vzs omo modlo mamáio. Já vimos nas formas d d q d (/ LC ) q omo modlos para, rspivamn, um movimno harmônio simpls um sisma massa-mola a rsposa harmônia simpls d um iruio m séri. É vidn qu o modlo para dflão d uma oluna fina dado m (6) quando srio omo d d ( P / EL), é igual ao qu foi dado m (8). Vamos nonrar a Equação (8) omo um modlo qu dfin a urva d dflão ou a onfiguração () assumida por uma orda girando. A siuação físia é análoga aqula d duas pssoas sgurando uma orda fazndo-a girar sinronizadamn. Vja as figuras (a) (b) abaio. d ( k / m) Suponha qu uma orda d omprimno L dnsidad linar onsan ρ (massa por unidad d omprimno) sja siada ao longo do io fiada m L. Suponha qu a orda sja não girada m orno do io a uma vloidad angular onsan ω. Considr uma par da orda sobr o inrvalo [,, ], ond é pquno. S a magniud T da nsão T, angnial a orda, for onsan ao longo dla, a quação difrnial dsjada pod sr obida igualando-s duas formulaçõs difrns da força liquida qu ag sobr a orda no inr,. Em primiro lugar, vmos na figura (), qu a força liquida vrial é: F Tsnθθ rvalo [ ] Tsn (9) θ 8

110 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids θ θ sn g S os ângulos θ θ (mdidos m radianos) form pqunos, rmos θ θ g θ g θ são, por sua vz, inlinaçõs das ras onndo sn. Alm disso, omo g os vors T T, podmos ambém srvr gθ '( ) g θ '( ) Assim sndo, (9) vai s ornar: F [ ' ( ) '( ) ] T () Em sgundo lugar, podmos obr uma forma difrn dssa msma força liquida usando a sgunda li d Nwon, F m.a. Aqui, a massa da orda no inrvalo é m ρ ; a alração nrípa d um orpo girando a uma vloidad angular ω m um irulo om raio r é a rω. Sndo pquno, podmos omar r. Assim sndo, a força liquida vrial é ambém aproimada por ( ρ ) ω F () ond o sinal d subração jusifia-s plo fao d a alração r o snido oposo ao do io. Igualando-s () (), mos: T [ ' ( ) ' ( ) ] ( ρ ) ω ou () T '( ) '( ) ρω '( ) '( ) Para próimo a zro, o quoin da difrnça m () é aproimado pla drivada sgunda d d /d. Finalmn hgamos ao modlo T d d ρω ou () d T ρω d Como a orda sa fia m ambas as rmidads, L, spramos qu a solução () da úlima quação m () ambém saisfaça as ondiçõs d onorno () (L). 9

111 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9 - EERCICIOS Movimno Livr não amorido ) Um pso d 4 lb é prso a uma mola uja onsan é 6 lb/pés. Qual é o príodo do movimno harmônio simpls? ) Um pso d 4 libras, prso a uma das rmidads d uma mola, disnd-a m 4 polgadas. Ah a quação d movimno, onsidrando qu o pso srá solo do rpouso, d um pono polgadas aima da posição d quilíbrio. ) Um pso d libras disnd uma mola m 6 polgadas. O pso é solo do rpouso 6 polgadas abaio da posição d quilíbrio. π π π π 9π a) Drmin a posição do pso m,,,, b) Qual srá a vloidad do pso quano π s? Qual srá o snido do 6 movimno do pso nss insan? ) Em qu insan o pso passa pla posição d quilíbrio Movimno Livr Amorido 4) Uma massa d quilograma é prsa a uma mola uja onsan é 6 N/m odo o sisma é não submrso m um líquido qu ofr uma força d amorimno numriamn igual a vzs a vloidad insanâna. Drmin as quaçõs do movimno, onsidrando qu: a) o pso é solo do rpouso mro abaio da posição d quilíbrio. b) O pso é solo mro abaio da posição d quilíbrio a uma vloidad d m/s para ima. 5) Um pso d libras é prso a uma mola, disndndo-a m pés. O pso sá prso a uma disposiivo d amorimno qu ofr uma rsisênia igual a ( > ) vzs a vloidad insanâna. Drmin os valors da onsan d amorimno β d al forma qu o movimno subsqün sja: a) supramorido b) riiamn amorido ) subamorido Movimno Forçado 6) Um pso d 6 libras disnd uma mola m 8/ pé. Iniialmn, o pso par do rpouso pés abaio da posição d quilíbrio. O movimno subsqün m lugar m um mio qu ofr uma força amordora numriamn igual a ½ da vloidad insanâna. Qual é a quação do movimno s o pso sofr a ação d uma força rna igual a f() os? 7) Quando uma massa d quilogramas é prsa a uma mola uja onsan d lasiidad é N/m, la hga ao rpouso na posição d quilíbrio. A parir d uma força igual a f()68 - os 4 é apliada ao sisma. Qual é a quação d movimno na ausênia d amorimno? Ciruio m Séri Análogo 8) Ah a arga no apaior m um iruio m séri LRC m,s quando L,5h, R Ω, C,f, E()V, q 5C i()a. Drmin a primira vz m qu a arga sobr o apaior é igual a zro. 9) Ah a arga no apaior, a orrn no iruio m séri LRC a arga máima no apaior quando:l 5/h R Ω, C/f, E()V, q()c, i()a. ) Drmin a arga no apaior m um iruio m séri LRC, supondo L ½ h, R Ω, C,f, E() 5V, q()c i() A. Qual é a arga no apaior após um longo príodo? β β

112 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Corda Girando ) Considr o problma d onorno inroduzido na onsrução do modlo mamáio para a forma d uma orda girando: Rsposas: d T ρω d (), ( L) π ) 8 ) ( ) os π π π ) a),, b)4 pés/s para baio 4) a) b) ( n )π 6 4 ( ) ( ) ), n,,, , π 4, 9π 4 5) a) β > 5/b) β 5/ ) < β < 5/ ) ( ) os 4 sn4 os 4 sn4 4 8) 4,78C;,59s 6) ( ) os sn ( os sn) 9) q() - (ossn) i() 6 - sn;,4 C nπ Wn L P ) q( ) (os sn ) ; C ) n,, nπ sn L

113 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9. SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 9. SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL: Dfin-s omo sisma d quaçõs difrniais o onjuno d quaçõs difrniais om as msmas funçõs inógnias qu s vrifiam para as msmas soluçõs. Ns im irmos sudar os sismas d quaçõs m qu o númro d funçõs inógnias d uma msma variávl é igual ou númro d quaçõs. Ns aso o sisma é dio anônio, dsd qu possa sr poso, na forma pliia, m rlação às drivadas d maior ordm. O sisma é dnominado normal quando pod sr rsolvido m rlação as drivadas primira pod sr srio sob a forma abaio: d F (,,,..., n ) d d F (,,,..., n ) d... dn Fn (,,,..., n ) d Ou sja, é o sisma anônio d quaçõs d a ordm. A solução gral ds sisma é um onjuno d n funçõs, (), (),..., n (), qu oném p onsans arbirárias (p n) qu vrifiam as quaçõs. A solução pariular é o onjuno d funçõs obidas aribuindo-s valors pariulars às onsans na solução gral. Todo sisma anônio d quaçõs d ordm suprior pod sr ransformado num sisma normal quando lh são arsnadas quaçõs difrniais om novas funçõs inógnias, qu são as drivadas nl onidas, luídas as d ordm mais lvada para ada função inógnia. Por razõs d ordm práia, srão sudados apnas os sismas qu onm no máimo drivadas d sgunda ordm, sm a dmonsração do prosso d rdução d um sisma anônio d n quaçõs a um sisma normal. Os sismas d quaçõs difrniais podm sr rsolvidos al omo os sismas d quaçõs algébrias, por prossos d liminação. Por isso é smpr onvnin srvr o sisma m função do oprador drivado D. Emplos: ) dz os sn d d z os sn d

114 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids d dz ) d d d dz z d d

115 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4 ) snu z du dz z du d z du d (s sisma dvrá sr nrgu, rsolvido passo a passo para sr nrgu na próima aula!!!) AULA - EERCÍCIOS ) z d dz d d z d dz d d ) z d dz d d z d dz d d 5 4 ) z d z d d d d dz d d 4) 4 z d d z d dz d d 5) z D D sn z D D os ) ( ) ( ) ( ) ( Rsposas ) C C C C z ) ( ) ( Ou C C z C C ) ( ) ( ) C C z ) C sn C C C sn C C C C z os os 4 4 4) sn C C C C z sn C C ) ( )os ( os 5) sn C C z sn C C 6 os 4 ) os (

116 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA Dado o sisma: d F (,,,..., n ) d d F (,,,..., n ) d... dn Fn (,,,..., n ) d s pod sr srio na sguin forma: d d d... F F d F n n Esa é hamada forma siméria, na qual quaisqur das variávis pod sr omada por variávl indpndn. Considr-s por mplo, o sisma d F (,, z) d dz F (,, z) d () qu pod sr srio da sguin manira: d d dz F F ou, gnralizando, d d dz () M (,, z) P(,, z) R(,, z) Gnriamn, a solução d () rprsna uma família d urvas rvrsas dpndn d dois parâmros. Ess sisma pod sr rsolvido por ingraçõs simpls, o qu nm smpr oorrrá. Assim pod-s usar as funçõs l(,, z), m(,, z) n(,, z) omo mulipliadors. Para ano faz-s: d M d P dz R ld md ndz lm mp nr Esolh-s l, m n ais qu: o qu faz om qu ld md ndz lm mp nr Para dois onjunos d valors d l, m n irados da rlação (), obém-s duas quaçõs do ipo () qu fornm duas rlaçõs disinas nr as variávis,, z, as quais rprsnam a solução do sisma. 5

117 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplos: ) d d dz ) d z d dz z 6

118 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids d ) ( z ) d ( z ) dz z( ) OBS.: Obsrv-s qu há uma infinidad d soluçõs para lm mp nr. Plo riério adoado, hga-s aqulas onvnins. AULA - EERCICIOS ) ) ) 4) 5) d d dz a bz z a b d d ( z ) ( z ) d d dz z z d d d d dz z dz dz 4 z( 4 ) Rsposas: ) z C b az C ) 4 4 z 4 C z C ) z C z C 4) C zc 5) C z C 7

119 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM Sja o sisma d quaçõs difrniais linars d primira ordm qu pod sr srio omo: d a d d a d d n a d n ( ) ( ) ( ) a a a n ( ) ( ) M ( ) L a L a L a m m nm ( ) n ( ) ( ) n n f ( ) f ( ) f ( ) n d d M a( ) a( ) M an( ) n a a a n ( ) ( ) M ( ) L L O L a a a m m M nm ( ( ( ) ) ) ou ainda d d A( ) F( ) qu é um sisma não homogêno. Primiramn rabalharmos a solução para sismas homogênos. d d qu pod sr srio omo A( ) ' A Supondo qu a solução para s sisma sja do ipo λ ξ mos λ ' λξ subsiuindo no sisma, obém-s λ λξ λ Aξ λ ( A λι )ξ omo λ, mos qu ( A λι )ξ, qu nada mais é do qu um problma d auovalors auovors. 68

120 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplo : Em rmos d marizs, o sisma não homogêno pod sr srio omo d 5 d d 4 d ou d d 4 5 ' 4 5 ond 9.. VETOR SOLUÇÃO Um vor solução m um inrvalo I é qualqur mariz oluna n ( ) ( ) M ( ) ujos lmnos são funçõs difrniávis qu vrifiam o sisma no inrvalo. d d A( ) F( ) Emplo : ' Vrifiqu qu no inrvalo (, ) são soluçõs d Solução: Tmos ' ' A 5 5 9

121 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Agora A Grand par da oria dos sismas d n quaçõs difrniais linars d primira ordm é análoga a oria das quaçõs difrniais linars d ordm n. 9.. O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS Dnomos por um pono m um inrvalo I os γ i,i,, K,n, são onsans dadas. Enão o problma é um problma d valor iniial no inrvalo. ( ( ( ) M n( ) ) ) γ γ M γ n, ond d Rsolvr : A( ) F( ) d sujio a : ( ) 9... Eisênia d uma únia solução Suponhamos qu os lmnos das Marizs A() F() sjam funçõs onínuas m um inrvalo omum I qu onnha o pono. Enão is uma solução únia do problma d valor iniialno inrvalo. 9.. SISTEMAS HOMOGÊNEOS Esamos inrssados apnas nos sismas homogênos. Admiirmos smpr (sm mnionar pliiamn) qu os aij as f i sjam funçõs onínuas d m um inrvalo omum I Prinípio da Suprposição Sja K um onjuno d vors solução do sisma homogêno,,, k m um inrvalo I. Enão a ombinação linar K k k d d A( ). ond os i,i,, K, k, são onsans arbirárias, é ambém uma solução no inrvalo.

122 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Dorr ambém do Prinípio da Suprposição qu um múliplo onsan d qualqur vor solução d um sisma d quaçõs difrniais linars homogênas d primira ordm é ambém uma solução. Emplo : Uma solução do sisma ' é sn os sn os os Para qualqur onsan, o vor é ambém uma solução, pois os sn os sn sn d d os sn sn os sn sn os sn os os A As marizs rsulans mosram qu A. ' Emplo 4: Considrmos o sisma '. S, não ' ' A Vmos assim qu é ambém um vor solução do sisma. E plo prinipio da suprposição, a ombinação linar sn os sn os os é ainda oura solução do sisma INDEPENDÊNCIA LINEAR Sja k,,, K um onjuno d vors solução do sisma homogêno ). A( d d m um inrvalo I. Dizmos qu o onjuno é linarmn dpndn no inrvalo s ism onsans,,,, k K não simulanamn nulas, ais qu:

123 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids K k k para odo no inrvalo. S o onjuno d vors não é linarmn dpndn no inrvalo, dizmos qu é linarmn indpndn. O aso k é óbvio; dois vors são linarmn dpndns s um é múliplo onsan do ouro, riproamn. Para k >, um onjuno d vors solução é linarmn dpndn s pudrmos prssar ao mnos um dls omo uma ominação linar dos vors rsans Criério para Soluçõs Linarmn Indpndns Sjam M n, M n, K, n M n n nn n vors solução do sisma homogêno d A( ). m um inrvalo I. Uma ondição d nssária sufiin para qu o onjuno d soluçõs sja linarmn indpndn é qu o wronskiano Emplo 5: ' L n W(,, K, n ) M M O M n No mplo, vimos qu 5. Obviamn são linarmn indpndns m (, ) 5 nnhum dos vors é múliplo onsan do ouro. Alm disso, mos n K K n nn 6 são soluçõs do sisma, uma vz qu para odo ral. 6 4 W(, ) Emplo 6: Plo mplo 5 sabmos qu indpndns d '. m (, ) são soluçõs linarmn. Logo onsium um onjuno fundamnal d soluçõs no inrvalo. A solução gral do sisma no inrvalo é não

124 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUÇÃO Qualqur onjuno,, K, n d n vors solução linarmn indpndns do d sisma homogêno A( ). m um inrvalo I é hamado um onjuno fundamnal d d soluçõs no inrvalo Solução Gral - Sismas Homogênos Sja K um onjuno fundamnal d soluçõs do sisma homogêno,,, n d A( ). m um inrvalo I. Dfin-s a solução gral do sisma no inrvalo omo d K n n ond os i,i,, K, n, são onsans arbirárias. Emplo 7: os sn Os vors os sn,, sn os são do os sn sn os sisma ' no mplo. Agora, os sn os sn W(,, ) os sn sn os os sn sn os os sn sn os para odo ral. Conluímos qu, onsium um onjuno fundamnal d soluçõs m (, ). Assim a solução gral do sisma no inrvalo é os os sn os sn sn sn os sn os

125 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9..6 SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS Para sismas não-homogênos, uma solução pariular p m um inrvalo I é qualqur vor, sm parâmros arbirários, ujo lmnos são funçõs qu saisfazm o d d sisma A( ) F( ). Sja,, K, k um onjuno d vors solução do sisma homogêno d A( ). m um inrvalo I sja p um vor arbirário solução do sisma não- d,, K, k. homogêno no inrvalo, para quaisqur onsans Solução Gral - Sismas Não-Homogênos Sja d p uma solução dada do sisma não-homogêno A( ) F( ) d inrvalo I, dnomos por K n n m um a solução gral, no msmo inrvalo, do sisma homogêno Dfin-s a solução gral do sisma não-homogêno no inrvalo omo: d A( ). orrspondn. d p. A solução gral do sisma homogêno d d omplmnar do sisma não-homogêno A( ) F( ). d A( ). é hamada função d Emplo 8: p é uma solução pariular do sisma nãohomogêno ' no inrvalo (, ). 5 Vrifiqu qu o vor Solução: Tmos 4 p p ( 4 ) ( 5 6 ) 5( 4 ) ( 5 6 ) 4 ' p 5 4

126 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5 Emplo 9: Plo mplo 8 vrifiamos qu uma solução pariular do sisma não-homogêno 5 ' m ), ( é p No mplo 6, vimos qu a função omplmnar do sisma no msmo inrvalo, ou a solução gral d 5 ' é 6 5. Logo, pla dfinição dada p é solução gral d 5 ' m ), (. Como ra d s sprar, s é uma solução qualqur do sisma não-homogêno ) F( ) A( d d m um inrvalo I, não é smpr possívl ahar onsans apropriadas,,..., n ais qu possa sr obida da solução gral UMA MATRIZ FUNDAMENTAL Sja nn n n n n n,,, M K M M um onjuno fundamnal d n vors solução do sisma homogêno ). A( d d m um inrvalo I. A mariz nn n n n n ) ( K M O M M K K Φ é hamada d mariz fundamnal do sisma no inrvalo. Emplo : Já mosramos qu os vors onsium um onjuno fundamnal d soluçõs do sisma 5 ' m ), (. Φ ) ( é não uma mariz fundamnal do sisma no inrvalo.

127 Equaçõs Difrniais Emplo : A solução gral 6 sria omo Prof a Paula Franis Bnvids 6 dada no mplo 6 pod sr Além disso, dizr qu Φ( ). C é uma solução d ' A( ). signifia qu Φ ' ( )C A( ) Φ ( )C ou( Φ ' ( ) A( ) Φ ( ))C Como a úlima quação dv-s vrifiar para odo no inrvalo I para oda mariz oluna possívl d onsans C, dvmos r '( ) A( ) ( ) Φ Φ Φ' ( ) A( ) Φ( ) Uma Mariz Fundamnal é Não-Singular A indpndênia linar das olunas ( ) para odo no inrvalo; iso é, Φ ( ) é não-singular no inrvalo. Φ m um inrvalo I garan qu dφ ( ) Uma Mariz Fundamnal m uma Invrsa: Sja Φ ( ) uma mariz fundamnal do sisma homogêno no inrvalo. Emplo : d d Para a mariz fundamnal dada A( ). m um inrvalo I. Enão ( ) Φ ) 6 5 Φ is para odo valor d 6 ( no mplo, noamos qu T 4 a a a a φ ( ) 8. Dorr não d d A d A a a d a a qu: Φ ( ) Mariz Espial Em algumas insânias, é onvnin formar oura mariz spial n n, numa mariz m qu os vors oluna V i sjam soluçõs d A(). qu saisfaçam as ondiçõs 6

128 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 7 ( ) ( ) ( ),, M K M M V V V n Aqui, é um pono solhido arbirariamn no inrvalo m qu a solução gral do sisma é dfinida. Dnoamos ssa mariz spial om o símbolo ( ) Ψ. Obsrvamos qu ( ) Ψ aprsna a propridad ( ) Ι Ψ K M O M M M K L K ond Ι é a idnidad mulipliaiva n n. Emplo 4: Drmin a mariz ( ) Ψ qu saisfaz ( ) Ι Ψ para o sisma dado 5 '. Solução: Por 6 5, sabmos qu a solução gral do sisma aima é dada por 6 5. Quando, omçamos rsolvndo m rlação a onsans ais qu 5 ou 5 Obmos Dfinimos, pois, o vor V omo ombinação linar V Novamn, quano, dsjamos ahar ouro par d onsans para as quais 5 ou 5 Ns aso, obmos 8 8. Dfinimos não

129 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids V Dai, 5 Ψ( ) Obsrv qu Ψ( ) Ι Ns mplo noamos qu, omo as olunas d Ψ () são ombinaçõs linars das soluçõs Ψ d solução do sisma. ' A( ), sabmos, plo prinipio da suprposição, qu ada oluna é uma Ψ( ) é uma Mariz Fundamnal Por Ψ ( ) K Ι M K L M M O K M vmos qu d Ψ( ), assim, onluímos qu plo Criério para Soluçõs Linarmn Indpndns qu as olunas d Ψ () são linarmn indpndns no inrvalo onsidrado. Porano, Ψ () é uma mariz fundamnal. Dorr, ourossim, do Torma da. Eisênia d uma únia solução qu () Por ( ) Φ( ) Φ ( ) Ψ. Ψ Ψ é a únia mariz qu saisfaz a ondição ( ) Ι AULA - Eríios ) ) Nos problmas -, srva m forma mariial o sisma dado. d 5 d d 4 8 d d 4 9z d d 6 d d 4 z d 8

130 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9 ) z d dz z d d z d d Nos problmas4 5, srva o sisma dado sm uilizar marizs 4) 4 ' 5) z z d d Nos problmas 6-8, vrifiqu qu o vor é uma solução do sisma dado. 6) d d d d ; 5 7) ; 4 ' 8) 6 ; 6 d d Nos problmas 9 os vors dados são soluçõs d um sisma. ' A Drmin s os vors formam um onjuno fundamnal m ), (. 9) 6, ) 4 4 6, 4, 4 Nos problmas, vrifiqu qu o vor p é uma solução pariular do sisma dado. ) d d d d ; 5 p

131 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ) p ; 7 4 ' ) Prov qu a solução gral d 6 `,no inrvalo ), ( é: 5 6 Nos problmas 4 5, os vors oluna indiados formam um onjuno fundamnal d soluçõs, m ), (, para o sisma dado. Form uma mariz fundamnal ( ) Φ alul ( ) Φ. 4) 7, ; ' 5), ; 9 4 ' 6) Ah a mariz fundamnal ( ) Ψ qu saisfaz ( ) Ι Ψ para o sisma dado no problma4. 7) Ah a mariz fundamnal ( ) Ψ qu saisfaz ( ) Ι Ψ para o sisma dado no problma5. Rsposas: ), ' ond ), ' ond z ), ' ond z

132 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4) d d d d 4 5) z d dz z d d z d d ) É solução 7) É solução 8) É solução 9) Sim ) Não ) É solução ) É solução ) Dmonsração pssoal 4) ( ) Φ Φ ' ) ( 5) ( ) ( ) Φ Φ 6) ( ) Ψ ) ( ) Ψ 9

133 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 9.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Primiramn rabalharmos a solução para sismas homogênos. qu pod sr srio omo d A( ) d ' A Supondo qu a solução para s sisma sja do ipo λ ξ mos subsiuindo no sisma, obém-s λ ' λξ λξ λ Aξ ( A λι )ξ λ λ omo λ, mos qu ( A λι) ξ, qu nada mais é do qu um problma d auovalors auovors. Eism rês asos a srm raados: 9.4. AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS Sjam λ, λ,, λ K n,n auovalors rais disinos da mariz d ofiins A do sisma A, sja k, k,, k n os auovors orrspondns. Enão a solução gral do sisma no inrvalo (, ) é dada por: Emplo: λ λ k k K n k n λn Rsolva o Sisma ' '

134 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9.4. AUTOVALORES COMPLEOS Sja A a mariz dos ofiins, om lmnos rais do sisma A, sjam k, o auovor orrspondn ao auovalor omplo λ k São soluçõs do sisma. Ond Emplo: k λ λ α iβ, om α β rais. Enão α ( { k } osβ Im{ k } sin β ) R ( { k } osβ R{ k } sin β ) a Im Rsolva o sisma ' '

135 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS Na rsolução d um sisma, quando os auovalors m mulipliidad dois, dv-s vrifiar s o auovalor gra um onjuno (bas) d dois auovors, s isso não oorrr, dv-s obr as soluçõs rsans da sguin manira: k λ k k λ λ ondk dv sr drminado. No aso d auovalors d mulipliidad m, m-s m soluçõs para o sisma: m m m m k m k m k )! ( )! ( λ λ λ K ondk, k,, k m dvm sr drminados. Emplos: ) Rsolva o sisma z z z z ' ' '

136 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5 AULA Eríios ) Rsolva z d dz z 5 d d z 4 d d ) Rsolvr 8 ) Rsolvr 4) Rsolva o sisma 9 ' 8 ' Rsposas: ) ) sn sn os os sn os ) os sn sn os 4) Rsolva o sisma

137 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA SISTEMAS NÃO-HOMOGÊNEOS 9.5. COEFICIENTES INDETERMINADOS O méodo dos ofiins indrminados pod sr adapado à rsolução d um sisma d linar não-homogêno A( ) F( ). Da msma forma, rsolv-s o sisma homogêno d assoiado dpois sipula-s uma solução pariular para o sisma, ond são drminados os ofiins dsonhidos. Emplos: ) Rsolva o sisma ' 6 6 ' 4 4 6

138 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ' ) Rsolva o sisma ' 5 7

139 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9.5. VARIAÇÃO DE PARÂMETROS A solução d sismas plo méodo dos ofiins indrminados limia-s a funçõs polinomiais, ponniais, sno, ossno ombinaçõs dsas. Um méodo mais podroso para rsolvr o sisma não-homogêno é o méodo da variação d parâmros, qu pod rsolvr o sisma para qualqur função. A solução gral para o sisma A pod sr sria na forma φ( ) C ond φ () é a mariz fundamnal C é um vor oluna n d onsans. Suponha qu isa um vor d funçõs U (), d modo qu p φ( ) U ( ) sja uma solução pariular para o sisma não d d A( ) F( ) φ( ) U'( ) φ'( ) U ( ) A( ) φ( ) U( ) F( ) φ φ, logo sabmos qu '( ) A ( ) não φ ( ) U '( ) Aφ( ) U ( ) A( ) φ( ) U ( ) F( T ) φ ( ) U '( ) F( ) φ ( ) φ( ) U'( ) φ ( ) F( ) U'( ) φ ( ) F( ) U ( ) φ ( ) F( ) d φ p φ ( ) ( ) F( ) d é a solução pariular do sisma não-homogêno. Emplo: Rsolva o sisma ' ' 4 8

140 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9

141 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 4 Eríios Rsolva os sguins sismas d quaçõs difrniais, uilizando auovalors auovors: ) ) ) 4) 5) 6) d d d 4 d d 4 d d 5 d d 6 d d 5 d d 5 d d d d d d 9 d d d d 5 d Rsolva os sguins sismas d quação difrniais, uilizando variação dos parâmros: 7) 8) d 4 d d d d 5 d d d 4 Rsolva os sguins sismas d quaçõs difrniais, uilizando o méodo dos ofiins indrminados: 9) d 7 d d 5 d 4

142 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4 ) 5 d d d d Rsposas: ) 5 ) 5 ) 4 4 os sin sin sin os os 4) 4 4 os sin sin sin os os 5) 4 4 6) 7) 5 8) ) )

143 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA SISTEMAS PLANOS AUTÔNOMOS E ESTABILIDADE Quando o sisma d quaçõs difrniais não é linar, m gral não é possívl ahar soluçõs m rmos d funçõs lmnars. Ns aso, é possívl obr informaçõs valiosas sobr a naurza goméria das soluçõs, analisando iniialmn soluçõs orans spiais hamadas pono ríios prourando soluçõs priódias. A sguir inroduzirmos ss onio SISTEMAS AUTÔNOMOS, PONTO CRÍTICO E SOLUÇÕES PERIÓDICAS Um sisma d quaçõs difrniais d primira ordm é hamado d auônomo quando pod sr poso na forma: d g(,, K, n ) d d g (,, K, n ) d M dn g n (,, K, n ) d Assim, a variávl indpndn não apar pliiamn no mmbro a diria do sisma d quaçõs difrniais. Ess sisma pod sr srio, d forma simplifiada, omo g(). Sndo assim, o sisma A pod sr onsidrado omo auônomo, já o sisma não-homogêno A F(), só é auônomo s F() for um vor d onsans. Quando n, o sisma é hamado sisma auônomo plano, é srio omo O vor (, ) ( P (, ), Q(, ) ) d P (, ) d d Q (, ) d V dfin um ampo vorial m uma rgião do plano, uma solução do sisma pod sr inrprada omo a rajória rsulan d uma paríula qu s mov na rgião. O vor V (, ) ( P (, ), Q(, ) ) dnoa a vloidad d uma orr na posição (, ) '( ) '( ), '( ). Suponhamos qu uma paríula no insan ( ) é o vor vloidad. A rajória da paríula é a solução do sisma qu saisfaz a ondição iniial ) (, ). Emplo: ( O ampo vorial para o fluo saionário d um fluido m orno d um ilindro d raio é dado por V (, ) ( ) V, ( ) () () 4

144 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ondv é a vloidad do fluido longo do ilindro. Librando-s uma paríula m (-, ), sua rajória ( ) ( ( ), ( ) ) saisfazndo o sisma auônomo plano sujio a ondição iniial ( ) (,) d V d d V d ( ) ( ) Qualqur quação difrnial não-linar d sgunda ordm " g (, ' ) pod sr sria omo um sisma auônomo plano. Com a inrodução d ', a quação s orna: Emplo: d θ Esrva sinθ d g l ' ' g(, ) 4

145 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Quando às soluçõs, s P (, ), Q(, ) as drivadas pariais d primira ordm P, P, Q, Q são onínuas m uma rgião R do plano, não as soluçõs do sisma auônomo plano são d rês ipos básios: d P (, ) d d Q (, ) d Uma solução onsan ( ), ( ) (ou ( ) para odo ). Uma solução onsan é hamada d pono ríio ou saionário. Quando a paríula é oloada m um pono ríio, la prman ali indfinidamn. Uma solução ( ), ( ) qu dfin um aro, uma urva plana qu não s inrpa. Uma solução priódia ( ), ( ). Uma solução priódia é hamada um ilo. S p é o príodo da solução, não ( p) ( ), uma paríula oloada sobr a urva m irulará nla volará m m p unidads d mpo. Emplo: ) Drmin odos os ponos ríios d ada um dos sguins sismas auônomos planos: (a) ' ' 44

146 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids (b) ' ' 6 ) Drmin s o sisma linar dado possui uma solução priódia. Em ada aso, faça um sboço do gráfio da solução qu saisfaz ( ) (, ) (a) ' 8 ' 45

147 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids (b) ' ' qu ) Esrva o sisma auônomo não linar m rmos d oordnadas polars, sabndo aran r θ. 46

148 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ' 4) Drmin a solução do sisma auônomo plano não linar ' qu saisfaz a ondição iniial ( ) (,) ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES Um sisma auônomo plano origina um ampo vorial, uma solução pod sr inrprada omo a rajória rsulan d uma paríula oloada na posição iniial. S é um pono ríio, a paríula prman saionária. Enrano s é oloado próimo a um pono ríio, algumas qusõs surgm. A paríula volará ao pono ríio? S a paríula não vola ao pono ríio, la prman próima dl ou s afasa do pono ríio? A anális d sabilidad lva m ona os auovalors auovors da mariz A do sisma auônomo linar. Considr o sisma linar qu m a mariz d ofiins ' a b ' d a A b d Para rmos rza d qu (, ) é o únio pono ríio, supomos o drminan ad b. S τ a d (raço da mariz A), não a quação ararísia d( A λ Ι) pod sr sria omo λ τλ 47

149 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Um rsumo d odos os asos possívis (para auovalors) pod sr nonrado na figura abaio: Emplos: Classifiqu omo nó sávl, nó insávl ou pono d sla os ponos ríios (, ) d ada um dos sguins sismas linars A. Em ada aso, disua a naurza das soluçõs na vizinhança d (, ), para os ins (a) (b) (, ) para os ins () (d). (a) A 48

150 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids (b) A

151 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids () A 8 9 5

152 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids (d) A 5

153 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 9.6. O MÉTODO DO PLANO DE FASES O méodo da linarização, quando apliávl, pod dar informaçõs úis sobr o omporamno loal d soluçõs nas proimidads d ponos ríios. Não é d grand ( ) não sa imporânia s samos inrssados m soluçõs uja posição iniial próima d um pono ríio ou s dsjarmos r uma visão global da família d urvas d solução. O méodo do plano d fass s basia no fao qu d d d d d d Q (, ) P (, ) proura drminar omo função d uilizando um dos divrsos méodos d rsolução d quaçõs difrniais d primira ordm. Emplo: Apliqu o méodo do plano d fass para drminar a naurza das soluçõs d " m uma vizinhança d (, ) 5

154 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5 AULA 5 Eríios ) Esrva a quação difrnial não linar d sgunda ordm omo um sisma auônomo plano. Ah odos os ponos ríios do sisma rsulan. a) 9sin " b) ) ( ' " ) " > ε ε para ) Drmin odos os ponos ríios do sisma auônomo plano dado. a) ' ' b) ' 4 ' ) ( ) 6 ' ' ) Disua m ada aso a naurza das soluçõs na vizinhança d (, ). Com o auílio d aluladora gráfia ou programa para raçados gráfios, faça um sboço da solução qu saisfaz a ondição iniial () (, ). a) A 6, 5 b) A sin os os sin, ) A 5, d) A, 4) Uiliz o méodo do plano d fass para mosrar qu (, ) é um nro da quação difrnial não linar d sgunda ordm ". 5) Uiliz o méodo do plano d fass para mosrar qu a solução da quação difrnial não linar d sgunda ordm " qu vrifia () () é priódia.

155 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: Muios fnômnos qu oorrm na Óia, Elriidad, Ondulaória, Magnismo, Mânia, Fluidos, Biologia,..., podm sr dsrios aravés d uma quação difrnial parial. Na maioria das vzs faz-s a naiva d ransformar a quação difrnial parial m uma ou mais quaçõs difrniais ordinárias,om o objivo d simplifiar os rabalhos na obnção da solução do problma. Uma quação difrnial ordinária possui drivadas d apnas uma variávl nquano qu uma quação difrnial parial possui drivadas pariais da função inógnia. Muias lis físias omo: Lis d Nwon para o rsfriamno dos orpos, Equação d Mawll, Equaçõs d Navir-Soks Equação da Mânia Quânia d Shrödingr são srias por quaçõs difrniais pariais qu rlaionam o spaço suas drivadas omo mpo. Nm odas as quaçõs podm sr onsruídas a parir d modlos mamáios rais omo é o aso das Equaçõs d Mawll, mas o sudo d Modlos é fundamnal para pliar omo porqu funionam muias quaçõs difrnias pariais. O uso innso d drivadas ingrais ns ono é fundamnal dpnd da inrpração fia para ada objo mamáio omo: vloidad, força, alração, fluo, orrn léria, aa d variação, mpraura,.. DEFINIÇÃO: São quaçõs d drivadas pariais qu oném as drivadas pariais d uma função d duas ou mais variávis indpndns. Nosso sudo s limiará às quaçõs qu oném duas variávis indpndns, omo a do mplo 6 no sguin im... EEMPLOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: u u ) Equação do alor: a u u u a Pod sr srio ambém da sguin forma: u a u u a ( u u ) ) Equação da onda: u u u a u u a u u u u u z ) Equação d Lapla: 54

156 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids u 4) u u u u u 5) sn( ) 6) z z z.. ORDEM E GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL: A ordm d uma quação difrnial parial é a ordm d mais ala drivada qu oorr na quação o grau é o pon da driva mais ala quando a quação sa sria m forma smlhan a uma função polinomial m qu as poênias fazm o papl das drivadas da ordm rspiva. Tal omo foi viso nas quaçõs ordinárias, a ordm da quação é a ordm da drivada d maior ordm.... Emplos rlaionados om ordm grau d uma EDP No im 8.., os mplos,,, 6 são d sgunda ordm, o mplo 4 é d primira ordm o mplo 5 é d rira ordm.. FORMAÇÃO: É smpr possívl dduzir d uma função d duas variávis indpndns uma quação d drivadas pariais qu admi aqula função omo solução... ELIMINAÇÃO DE CONSTANTES ARBITRÁRIAS: Considrmos z omo uma função d duas variávis indpndns dfinida por: g(,,z,a,b) () ond a b são duas onsans arbirárias. Drivando () m rlação à mos: g g g g p () q () z z z z ond: p q - Em gral, as onsans arbirárias podm sr liminadas d (), () () dando uma quação difrnial parial d primira ordm. f(,,z,p,q) (4) - S z for uma função d, dfinida por uma rlação nvolvndo apnas uma onsan arbirária, normalmn é possívl obr duas quaçõs difrniais pariais disinas d, primira ordm omo rsulado da liminação da onsan. - S o númro d onsans arbirárias a s liminar dr o númro d variávis indpndns, a quação difrnial parial (ou quaçõs) é, gralmn, d ordm aima da primira. Emplos: ) z f( ), ond f é uma função arbirária do argumno u, ou sja, z f(u). 55

157 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ) z φ ( a) ψ ( a), ond a é a onsan φ ψ são funçõs arbirárias dos rspivos argumnos u a v a. ) z a b ab, sndo a b onsans. A rsposa da quação aima é uma quação d drivadas pariais d a ordm qu foi obida liminando-s duas onsans arbirárias na rlação z a b ab, qu é a sua solução. Obsrv qu ism dois ipos d solução: um qu oném funçõs arbirárias ouro qu oném onsans arbirárias. Dnomina-s solução gral aqula qu oném funçõs arbirárias solução ompla a qu oném onsans arbirárias. Tal omo nas quaçõs ordinárias, há ras quaçõs qu admim as soluçõs singulars, qu são as qu não rsulam da solução gral nm da solução ompla. Obsrv-s qu nm smpr o númro d funçõs ou d onsans arbirárias raduz a ordm da quação. O o mplo mosrou uma quação d a ordm uja solução ompla nrra duas onsans arbirárias. 4) Ahar a quação d drivadas pariais d primira ordm qu rsula d z. f ( ), liminando-s a função arbirária f. 56

158 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 5) z f( z), liminando-s a função arbirária f..4 EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM:.4. MÉTODO DE LAGRANGE A quação linar d primira ordm é da forma: P.p Q.q R () z z ond p ; q P, Q R são funçõs onhidas d, z. S z é uma função d, pod s srvr: dz p.d q.d () A ondição d quivalênia das quaçõs () () mosra qu : d d dz () P Q R As rlaçõs () onsium um sisma d quaçõs difrniais ordinárias na forma siméria, ujas quaçõs são hamadas d quaçõs auiliars. A solução gral d () proposa por Lagrang onsis na rsolução d () dsd qu s saiba qu φ (u,v). Suponha-s qu u(,,z) a v(,,z) b sjam a solução do sisma (). Sndo a b onsans arbirárias pod-s onsidrar uma rlação al qu b φ (a)ou v φ (u), qu é a solução gral da quação (). Pod ainda onsidrar F(u,v) omo solução. 57

159 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids Emplos: Ahar a SOLUÇÃO GERAL das quação difrniais abaio ) p q ) p q z 58

160 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids AULA 6 EERCÍCIOS * Ahar a quação d drivadas pariais d primira ordm qu rsula das quaçõs abaio, liminando-s a função arbirária ou a onsan arbirária. ) az b a ) z f ) z a b 4) z a b 5) z aa b 6) z ( ) φ ( ) 7) z ( a) ( b) 8) z φ (.) 9) z f().g(), ) z φ ( ) ) z ( a)( b) * Ahar a solução gral das quaçõs sguins ) p - q z ) ( z)p ( z)q z 4) p q z z z 5) 6) pg qg gz z z 7) sn os Rsposas: ) p.q ) p q ) pq p q 4) p q 5) q p 6) p q 7) p q z 7 8) p q 9) q q ) p q ) z p.q ) ln z ( ) φ z ) φ z z φ z 4) 5) φ (, z ) sn sn snzφ sn 6) 7) ln( sn ) φ z lng 59

161 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 6 AULA 7.5 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO COMPLETA:MÉTODO DE CHARPIT Sja a quação difrnial parial não linar: F(,,z,p,q) O méodo d Charpi onsis m obr uma rlação da forma φ(,,z,p,q,) ond é uma onsan arbirária, rsolvr m sguida o sisma formado por ssas duas quaçõs m rlação a p q, ujos valors subsiuídos m: dz pd qd dvm ransformar sa prssão numa difrnial oal. Para ano, driva-s () () m rlação a a : φ φ φ φ φ φ φ φ q. q p. p z q q. q p. p z p q. q F p. p F z F q F q. q F p. p F z F p F Eliminamos p ; p ; q q mulipliando a.ª quação por p φ, a.ª por q φ, a.ª por P φ a 4.ª por q F, onsidrando qu p q somando os rsulados rmos: q q z F F p p z F F z q q F p p F q F p F φ φ φ φ φ Esa quação é linar d.ª ordm m φ, omada omo função das variávis,,z,p,q. Apliando o méodo d Lagrang rmos: q z F F dq p z F F dp q F q p F p dz q F d p F d A solução ds sisma forn a função φ prourada as quaçõs qu formam o sisma aima são hamadas Equaçõs d Charpi.. Emplos:Dar uma solução ompla das quaçõs sguins:

162 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ) q p A apliação do méodo d Charpi para drminadas formas d quaçõs difrniais pariais nos darão rgras mais simplifiadas para a obnção da solução ompla. Podmos iar os sguins asos: i. f ( p, q) Uma solução ompla é z a g ( a ), ond f ( p, q) om a p g(a) q. Emplo: z z { b q 6

163 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ii. f (, p, q) Fazndo q a m f (, p, q) drminarmos p f( a, ) dz p. d q. d ingrado nos dará a solução ompla z f a d a b 4 ( 4, ) Emplo: p.q. p, qu subsiuído m iii. f ( z, p, q) q ap, ou p aq A parir das quaçõs auiliars do méodo d Charpi rmos (), assim a quação f ( z, p, q) fiará f ( z, p, ap) (). A ingração d dz p. d q. d após a subsiuição d q p, das quaçõs () () anriors, nos dará a solução ompla. Emplo: 9(p z q ) 4 6

164 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids iv. f (, p, q) Fazndo p a m f (, p, q) drminarmos q f ( a, ) dz p. d q. d ingrado nos dará a solução ompla z a f ( a, ) d b Emplo: q p, qu subsiuído m. v. z p q f ( p, q) - Equação Gnralizada d Clairau Uma solução ompla m a forma z a b, om f ( p, q). Emplo: (p q )(z p q).6 EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS EM RELAÇÃO APENAS A UMA DAS VARIÁVEIS. Esas quaçõs são raadas omo s fossm quaçõs difrniais ordinárias m rlação a ssa variávl. A onsan d ingração é subsiuída por uma função arbirária d oura variávl, sua solução é, praiamn, imdiaa. Emplos: z ) 6

165 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids z ) z z z ) 5 6z 64

166 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids 4) z AULA 7 Eríios * Obnha a solução ompla das quaçõs difrniais pariais abaio: ) p.q z ) z p q pq ) p q 4) p q 5) p.q p q 6) p q 7) p q * Rsolva as quaçõs z 8) z 9) z z z ) 4 5z z ) ) z z 4 4 Rsposas: ) z a b a ) z a b ab ) z a ± a ln b 4) z a (a ) b a 5) z a b a 6) z ± k 7) z a a ln b 8) z φ( ) 9) z ln ( ) ) z φ ( ) φ ψ ( ) 5 ) z f ( ) ψ ( ) 8 65

167 Equaçõs Difrniais Prof a Paula Franis Bnvids ) C C 6 66

168 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids AULA 8.7 EQUAÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM.7. EQUAÇÕES LINEARES A forma gral d uma quação d drivadas pariais d sgunda ordm linar (EDP) m duas variávis indpndns é: z z z A B C z z D E Fz G onda, B, C,..., G são funçõs d. Quando G (, ), a quação s diz homogêna, m aso onrário, é não-homogêna..7.. Solução Uma solução d uma quação m drivadas pariais m duas variávis indpndns é uma função z (, ) qu possui odas as drivadas pariais qu omparm na quação qu saisfaz a quação m alguma rgião do plano. Como já foi dio, não é nossa innção foalizar prossos para ahar soluçõs grais d quaçõs d drivadas pariais. Inflizmn, para a maioria das quaçõs linars d sgunda ordm, msmo as d ofiins onsans, não s pod obr pronamn uma solução gral. Mas isso não é ão mau omo podria parr, pois m gral é possívl, na vrdad, fáil, ahar soluçõs pariulars das quaçõs linars imporans qu surgm m muias apliaçõs..7. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Embora haja vários méodos para ahar soluçõs pariulars, apnas o méodo d sparação d variávis irá nos inrssar. No aso gral d uma EDP uja variávl dpndn é z(,), o méodo basia-s na possibilidad d a dpndênia d u rlaivamn à variávis indpndns podr sr prssa m rmos do produo d duas funçõs, uma d uma d : z (, ) u( )v( ) as vzs é possívl rduzir uma quação d drivadas pariais linar m duas variávis a duas quaçõs difrniais ordinárias. Para ano, noamos qu: z u" v, u uv" ond as "linhas" dnoam difrniação ordinária. Emplos: z u' v, z uv' 67

169 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids z z ) ( ) z [u( ).v( du( ) v( ) u( d du( ) u( ) d Fazndo z(, ) u( ) v( ) )] [u( ).v( dv( ) ) d dividindo udo por u( ).v( ) dv( ) v( ) d ( ( ) du( ) dv( ) u( ) d v( ) d k k k d sparação )] ( )u( ).v( ) )u( ).v( ) du( ) k u( ) d du( ) ( k )d u( ) ln u( ) u( ) k k dv( ) k v( ) d dv( ) ( k )d v( ) ln v( ) v( ) k k No-s qu os opradors d drivação parial,, foram subsiuídos por difrniais oais, uma vz qu u v são apnas função d, rspivamn. z(, ) z z z C u( ) v( ) k k( ) ( ) k( ) k ) Ah a solução m forma d produo d Fazndo z(, ) u( ) v( ) u " v 4uv' dividindo udo por 4uv u " v' 4u v z u 4 68

170 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids Como o lado squrdo da quação é indpndn d é igual ao lado dirio, qu é indpndn d, onluímos qu ambos os mmbros da quação são indpndns d. Em ouras palavras, ada mmbro da quação dv sr uma onsan. Na práia, é onvnin srvr ssa onsan ral d sparação omo λ ou λ. Disinguimos os rês asos sguins: Caso :S λ > u" v' As duas igualdads λ onduzm a u" 4λ u v' λ v 4u v Essas úlimas quaçõs admim as soluçõs u osh λ snhλ λ v, rspivamn. Assim, uma solução pariular da quação d drivadas pariais é: z u.v z ( osh λ snhλ) fazndo A z A Caso : S λ < λ As duas igualdads B osh λ B u" 4u λ λ snhλ v' λ rsulam m u" 4λ v' λ v Como as soluçõs dssas quaçõs são u 4 os λ 5 snλ rspivamn, oura solução pariular é: λ λ z A os λ B snλ, ond A 46 B 56. Caso : S λ Dorr qu u " v'. Ns aso, u 7 8 v 9, d forma qu z A B. λ v 6, A sparação d variávis não é um méodo gral para ahar solução pariulars: algumas quaçõs d drivadas pariais linars simplsmn não são sparávis. ) A sguin EDP é por vzs dsignada omo quação d alor unidimnsional" pois dsrv a variação da mpraura d um orpo, ao longo da dirção, m função do mpo : z z α, ou sja, z (, ) pod rprsnar a mpraura d uma barra mália na posição no insan. α é a onduividad énia do mal. S prndrmos obr uma 69

171 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids solução pariular do problma, rmos qu onhr uma ondução iniial sobr duas ondiçõs froniras sobr, uma vz qu a EDP nvolv uma drivada d primira ordm uma drivada d sgunda ordm sobr ada uma das variávis indpndns, rspivamn. A ondição fronira orrspondm normalmn a mpraura da barra m ada rmidad, ou sja, para. Vamos assumir, por simpliidad, qu ssas são onsans iguais a zro: z(, ) z(, ) Iniimos não a apliação do méodo d sparação d variávis. Tal omo anriormn, vamos prourar rprsnar z (, ) omo; z (, ) u( ).v( ) Subsiuindo na EDP. dv( ) d u( ) u ( ) α v( ) d d Sparando as variávis obmos: dv( ) d u( ) α v( ) d u( ) d Esa igualdad só podrá sr válida para qualqur qualqur s ambos os lados form idênios a uma msma onsan: dv( ) d u( ) k k α v( ) d u( ) d Vrmos a sguir qu a onsan d sparação srá drminada a parir das ondiçõs fronira do problma. Ns problma é mais ômodo dsignar a onsan por k não simplsmn por k, omo no mplo anrior. Podmos agora rsolvr as duas EDOs obidas. Para a primira mos: dv( ) kd α v( ) ln v( ) kα kα v( ) C E para a sgunda: d u( ) ku( ) d Essa é uma EDO linar homogêna d sgunda ordm. Como sabmos, a sua solução gral srá a ombinação linar d duas soluçõs pariulars, as quais dvrão sr do ipo r. O parâmro r é obido das raízs da quação ararísia: r ku( ) ± Chgamos agora um pquno problma: onform a onsan d sparação k sja ngaiva, nula ou posiiva, irmos r difrns possibilidads para a solução dsa EDO. E qual dlas é adquada para a solução do nosso problma? Vamos k 7

172 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids onsidrar odas as hipóss dpois vrifiar qual dlas é ompaívl om as ondiçõs d fronira imposas, as quais são: z(, ) u( ) v( ) u( ) z(, ) u() v( ) u() Assim, sgundo a naurza d k, rmos: k < implia qu k é um númro ral, logo rmos soluçõs pariulars dadas por ponniais: u( ) E apliando as ondiçõs d fronira: A k B k u( ) u( ) A B k A B A B k Ou sja, ríamos z (, ), o qu é a solução rivial não é dfiniivamn aquilo d qu samos a proura!! k implia r, ou sja, mos uma raiz ral ral dupla. A primira solução pariular srá d'almbr) B k A B k A. Assim: Apliando as ondiçõs d fronira: a sgunda srá (plo méodo u ( ) A B u( ) u() A A B A B Mais uma vz, obmos apnas a solução rivial z(,). k > implia qu k i k é um númro omplo, logo rmos qu rorrr a fórmula d Eulr por forma a obr a solução gral m rmos d uma ombinação d um sno um o-sno: u ( ) Aos( k ) B os( k ) Apliando novamn as ondiçõs fronira: u( ) u( ) Aos( ) B sin( ) Aos( k ) B sin( k ) A B sin( k ) Vrmos não qu k rá qu obdr a ondição: n,,... k nπ, om Finalmn obivmos uma solução não rivial!!! Subsiuindo a prssão obida para k, a função u() é rprsnada omo: un ( ) Bn sin( nπ ) 7

173 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids E v() omo: ( nπα ) vn( ) Cn Logo a solução do problma virá: ( nπα ) zn(, ) un( ) vn( ) Cn Bn sin( nπ ) ( nπα ) bn sin( nπ ) om n,,... Eism não infinias soluçõs possívis (dias soluçõs fundamnais), uma para ada valor d n. A solução ompla do problma é dada pla soma d odas as soluçõs fundamnais: z(, ) ( nπα ) bn sin( nπ ) n Rsa-nos agora drminar os ofiins bn d forma a dfinir omplamn a solução pariular qu prouramos. Mas ainda fala apliar a ondição iniial do problma, z (, ) f ( ): z (, ) f ( ) bn sin( nπ ) f ( ) n Osomaório b n sin( nπ ) é uma séri sno d Fourir. Sndo assim, os n ofiins b n não são mais do qu os ofiins da pansão d f() numa séri sno d Fourir para o inrvalo. Logo b n srá dado por: b n f ( )sin( nπ ) d Es ingral prmi-nos assim alular os ofiins b n a parir d f(). A solução pariular do problma sa omplamn dfinida..7. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Torma: S, z,, zn linar homogêna, não a ombinação linar os i, z K são soluçõs d uma quação d drivadas pariais i,,..., k são onsans, ambém é solução z z z K k zk, ond Vamos admiir qu, smpr qu ivrmos um onjuno infinio z, z, z, K d soluçõs d uma quação linar homogêna, podrmos obr uma oura solução formando a séri infinia z z k k 7

174 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids.7.4 CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES Uma quação d drivadas pariais linar d sgunda ordm m duas variávis indpndns om ofiins onsans pod sr lassifiada m um dnr rês ipos. Essa lassifiação dpnd apnas dos ofiins das drivadas d sgunda ordm. Nauralmn, admiimos qu ao mnos um dos ofiins A, B C sja difrn d zro. A quação d drivadas pariais linar d sgunda ordm z z z z z A B C D E Fz onda, B, C, D, E F são onsans rais, é: hiprbólia s B 4 AC >, parabólia s B 4 AC, lípia s B 4 AC < Emplos: Classifiqu as quaçõs abaio> ) z u A, B Como B, C. 4AC 4.., a quação é parabólia z ) z A, B Como B, C z z ) Como B 4AC A, B, C 4AC 4..( ) 4 >, a quação é hiprbólia <, a quação é lípia Uma pliação dalhada da razão por qu somos lvados a lassifiar uma quação d drivadas pariais d sgunda ordm ulrapassa o âmbio ds urso. Mas a rsposa sa no fao d qu prouramos rsolvr ssas quaçõs sujias a ras ondiçõs larais onhidas omo ondiçõs d onorno ondiçõs iniiais. O gênro das ondiçõs larais adquadas a uma drminada quação dpnd do fao d qu a quação sr hiprbólia, parabólia ou líplia. 7

175 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids 74 AULA 8 - Eríios * Uiliz a sparação d variávis para ahar, s possívl, a soluçõs m forma d produo para a quação d drivadas pariais dada. ) z z ) z z z ) z z 4) z z z 5) z z a * Classifiqu omo hiprbólia, parabólia ou lípia a quação d drivadas pariais dada. 6) z z z 7) z 9 z 6 z 8) z 9 z 9) u 6 u z z z ) z z a Rsposas ) ) ( z ) ) ( z ) ( ) z 4) não sparávl. 5) ( )( ) ( )( ) ( )( ) z snλa os λa snλ 5osλ z snhλa osh λa snhλ osh λ z 6) lípio 7) parabólio 8) hiprbólio 9) parabólio ) hiprbólio

176 Equaçõs Difrnias Prof a Paula Franis Bnvids REFERÊNCIAS ABUNAHMAN,SERGIO A. Equaçõs Difrniais: LTC, 994. BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C., Equaçõs difrniais lmnars problmas d valors d onorno. LTC, 989. KREYSZIG, Erwin. Advand Enginring Mahmais.LTC ZILL, D.G. Equaçõs Difrniais om Apliaçõs m Modlagm.Thomson Larning,. ZILL, D.G.; GULLEN, M.R..Equaçõs Difrniais. Vol Vol. Parson, 6 75