Distribuições de Probabilidade 1 Aspectos Gerais 2 Variáveis Aleatórias 3 Distribuições de Probabilidade Binomiais 4 Média e Variância da Distribuição Binomial 5 Distribuição de Poisson 1
1 Aspectos Gerais Este assunto abordará a construção de distribuições de probabilidade Através da combinação de métodos de Estatística Descritiva com os de Probabilidade. Distribuições de probabilidade descrevem o que provavelmente acontecerá, em lugar do que efetivamente aconteceu. 2
Combinando Métodos de Estatística Descritiva e Probabilidades para Formar um Modelo Teórico de Comportamento Figura 4-1 3
2 Variáveis Aleatórias 4
Definições Variável Aleatória uma variável (representada geralmente por x) que tem um valor numérico único (determinado aleatoriamente) para cada resultado de um experimento. Distribuição de Probabilidade um gráfico, tabela ou fórmula que dá a probabilidade de cada valor da variável aleatória. 5
Tabela 4-1 Distribuição de Probabilidade do Número de Vendas por dia x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(x) 0.122 0.270 0.285 0.190 0.090 0.032 0.009 0.002 0.000+ 0.000+ 0.000+ 6
Definições Variável Aleatória Discreta ou admite um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores, onde enumerável refere-se ao fato que podem ser infinitos valores, mas eles são resultados de um processo de contagem. Variável Aleatória Contínua toma um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua, de tal forma que não haja lacunas ou interrupções. 7
Gráfico Distribuição de Probabilidades 0,3 Probabilidade, P(x) 0,2 0,1 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Qte. vendas efetuadas Figura 4-3 8
Condições para uma Distribuição de Probabilidades Σ P(x) = 1 onde x assume todos os valores possíveis 0 P(x) 1 para todo valor de x 9
Média, Variância e Desvio-Padrão de uma Distribuição de Probabilidades Fórmula 4-1 µ = Σ [x P(x)] Fórmula 4-2 σ 2 = Σ [(x - µ) 2 P(x)] Fórmula 4-3 σ 2 = [Σ x 2 P(x)] - µ 2 Fórmula 4-4 (shortcut) σ = [Σ x 2 P(x)] - µ 2 10
Definição Valor Esperado O valor médio dos resultados E = Σ [x P(x)] Desempenha um importante papel em Teoria da Decisão. 11
E = Σ [x P(x)] Evento x P(x) x P(x) Ganha $499 0.001 0.499 Perde -$1 0.999-0.999 E = -$.50 12
3 Distribuição Binomial 13
Definições Experimento Binomial 1. O experimento deve ter um número fixo de provas. 2. As provas devem ser independentes. (O resultado de qualquer prova não afeta as probabilidades das outras provas.) 3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias. 4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova. 5. A variável aleatória X é a contagem do número de tentativas bem-sucedidas em um n tentativas 14
Notação para a Distribuição Binomial n = número fixo de tentativas x = número específico de sucessos em n tentativas p = probabilidade de sucesso em uma de n tentativas P(x) =probabilidade de obter exatamente x sucessos em n tentativas Assegure-se que x e p refiram-se à mesma categoria de evento que esteja sendo chamado de sucesso. 15
Método 1 Fórmula Probabilidade Binomial P(x) = n! p x (1-p) n-x (n - x )! x! P(x) = n C x p x (1-p) n-x para calculadoras com tecla n C r, onde r = x 16
Exemplo: Um vendedor recebe 20 endereços para visitar a cada dia. Um morador de cada endereço manifestou, por correspondência, interesse de receber o vendedor e discutir o produto. A experiência do vendedor é que é feita uma venda em cada 10 domicílios. Qual é a probabilidade de que sejam feitas 5 vendas em determinado dia?c Este é um experimento binomial, onde: n = 20 x = 5 p = 0.10 17
Para n = 20 e p = 0.10 Distribuição de Probabilidades Binomial x P(x) 0,00 0,1216 1,00 0,2702 2,00 0,2852 3,00 0,1901 4,00 0,0898 5,00 0,0319 6,00 0,0089 7,00 0,0020 8,00 0,0004 9,00 0,0001 10,00 0,0000 11,00 0,0000 12,00 0,0000 13,00 0,0000 14,00 0,0000 15,00 0,0000 16,00 0,0000 17,00 0,0000 18,00 0,0000 19,00 0,0000 20,00 0,0000 18
FÓRMULA DE PROBABILIDADE BINOMIAL n! P(x) = p x q (n - x n-x )! x! Número de provas com exatamente x sucessos em n tentativas Probabilidade de x sucessos em n tentativas para qualquer ordem particular 19
Para Distribuição Binomial: Formula 4-6 µ = n p Formula 4-7 σ 2 = n p (1 p) Formula 4-8 σ = n p (1 - p) 20
Lembrete Em geral, máximo dos valores: µ + 2 σ Em geral, mínimo dos valores: µ -2 σ 21
ELEMENTARY STATISTICS Section 4-5 The Poisson Distribution MARIO F. TRIOLA EIGHTH EDITION 22
5 Distribuição de Poisson 23
Definição Distribuição de Poisson uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado. P(x) = onde e 2.71828 λ x e -λ x! 24
Exigências da Distribuição de Poisson a variável aleatória x é o número de ocorrências de um evento em um intervalo. as ocorrências devem ser aleatórias as ocorrências devem ser independentes entre si as ocorrências devem ser distribuídas uniformemente sobre o intervalo em uso Parâmetros da Distribuição de Poisson A média é λ A variância é λ 25
Poisson como uma Aproximação da Binomial n 100 np 10 Fórmula 4-6 λ = n p 26
Exemplo: A requisição de um item de estoque ocorre, em média, quatro vezes por dia. Qual a probabilidade de que sejam requisitados 6 itens em um só dia? Este é um modelo de Poisson, onde: λ = 4 P(X=6)= 0,104 27
Exemplo: Determinado tipo de fotocopiadora pára em média uma vez a cada 2.000 cópias. Qual é a probabilidade de que ocorram mais de duas paradas quando se fazem 2.000 cópias? Este é um modelo de Poisson, onde: λ = 1 P(X>2)= 28
Probability Density Function Poisson with mu = 1,00000 x P( X = x ) 0,00 0,3679 1,00 0,3679 2,00 0,1839 3,00 0,0613 4,00 0,0153 5,00 0,0031 6,00 0,0005 7,00 0,0001 8,00 0,0000 9,00 0,0000 10,00 0,0000 29