REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO DE DESIGUALDADE O conjunto dos números reais será representado pela simbologia IR. Em IR estão definidas duas operações, adição (+) e multiplicação ( ) e uma relação ( ). A adição associa a cada par (x, y) de números reais um único número real, representado por x + y, a multiplicação, um único real, indicado por x y. Admitiremos que a quádrupla (IR, +,, ) é um corpo ordenado, ou seja, satisfazem: i) (x + y) + z = x + (y + z) ii) y + x = x + y iii) x + 0 = x iv) Para todo x IR existe um único y IR tal que x + y = 0, ou seja x = y. Denominamos esse y de oposto de x, e o denotamos por x. Assim x + ( x) = 0. v) x(yz) = (xy)z vi) xy = yx vii) x 1 = x viii) Para todo x IR com x 0existe um único y IR tal que x y = 1. Tal y é denominado de inverso de x e indicado por x 1 ou 1 x. Assim x x 1 = 1. ix) x(y + z) = xy + xz x) x x xi) x y e y x x = y xii) x y e y z x z xiii) Quaisquer que sejam os reais x e y, tem-se que x y ou y x. xiv) Quaisquer que sejam os números reais x, y, z, w e } x y x + z y + w z w somando-se, membro a membro, desigualdades de mesmo sentido, obtém-se outra de mesmo sentido. 1
xv) Quaisquer que sejam os números reais x, y, z e } x y xz yz 0 z multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, o sentido da desigualdade se mantém. Desta forma é possível resolver a inequação a seguir Exemplo 1.1 Solução: 5x + 3 < 2x + 7 5x + 3 < 2x + 7 5x < 2x + 4 3x < 4 x < 4 3 Assim, {x IR x < 4 3 }. Graficamente: Figure 1 Exemplo 1.2 Estude o sinal da expressão x 3 Solução: Se x 3 = 0 x = 3 Se x 3 < 0 x < 3 Se x 3 > 0 x > 3 Assim, Figure 2
Exemplo 1.3 Determine o conjunto de valores de x IR para os quais 2x 6 x 1 < 1. Solução: x 5 2x 6 x 1 1 < 0 2x 6 x + 1 < 0 x 1 x 5 x 1 < 0 x 1 Figure 3 Assim, {x IR 1 < x < 5}. Ver Exemplos 07, 08 e 09 das páginas 07, 08 e 09 - livro do Guidorizzi (1995). Ver Exemplo 08 da página 10 - livro do Leithold (1994). 2 REVISÃO DE MÓDULO Seja x um número real; definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por: Definição 2.1 x = { x se x 0 x se x < 0 (1) Da definição (2.1), o valor absoluto de um número é um número positivo ou zero; ou seja, não negativo. Em termos geométricos, o valor absoluto de um número real x é sua distância em relação ao valor zero. Figure 4
Exemplo 2.1 13 = 13 4 = 4 0 = 0 x 2 = x 2 x 1 = { x 1, se x 1 x + 1 se x < 1 A desigualdade x < a, onde a > 0, estabelece que na reta numérica real a distância da origem até o ponto x é menor que a unidades; ou seja, a < x < a. Portanto, x está no intervalo aberto ( a, a), ver Fig.(5). Figure 5 O que nos leva ao Teorema (2.1) Teorema 2.1 Seja x IR e a > 0. Então se e somente se x < a a < x < a Demonstração: Como x = x se x 0 e x = x se x < 0, segue que o conjunto solução da desigualdade x a é a união dos conjuntos {x x < a e x 0} e {x x < a e x < 0} Observe que o primeiro desses conjuntos é equivalente a {x 0 x < a}, e o segundo é equivalente a {x a < x < 0} pois x < a é equivalente a x > a. Assim o conjunto solução de x < a é {x 0 x < a} {x a < x < 0} {x a < x < a} Comparando a desigualdade dada e o seu conjunto-solução, concluímos que x < a a < x < a Exemplo 2.2 Resolva cada uma das equações para x. a) 3x + 2 = 5 b) 2x 1 = 4x + 3 c) 5x + 4 = 3 Solução: a) Essa equação estará satisfeita se
3x + 2 = 5 ou 3x 2 = 5 Portanto x = 1 ou 7 3 b) Essa equação estará satisfeita se 2x 1 = 4x + 3 ou 2x 1 = (4x + 3) Portanto x = 2 ou 1 3 c) Como o valor absoluto de um número não pode ser negativo, logo essa equação não tem solução. Teorema 2.2 Se a, b IR, então ab = a b (2) Teorema 2.3 Se a, b IR e b 0, a = a b b (3) Teorema 2.4 (Desigualdade Triangular) Se a, b IR, então Corolário 2.1 Se a, b IR, então a + b a + b (4) a b a + b Corolário 2.2 Se a, b IR, então a b a b Ver Leithold (1994). 3 REVISÃO DE FUNÇÕES Definição 3.1 Entendemos por uma função f uma terna que também pode ser representada por (A, B, a b), f : A B a b onde A e B são dois conjuntos e a b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica-se por D f, assim A = D f. O conjunto B é o contradomínio de f, então B = CD f. Definição 3.2 Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f. Este é indicado por Im f onde, Im f = {f(x) x D f } ou Im f = {y CD f x D f com f(x) = y}
Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicado por f : A B. Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são subconjuntos de IR 1. Exemplo 3.1 Seja Têm-se: f : IR IR x x 3. a) D f = IR; b) Im f = {y = x 3 y IR}, pois para todo y em IR existe x real tal que x 3 = y. c) O valor que f assume em x é f(x) = x 3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x 3. Definição 3.3 O gráfico de uma função real f : A B é o subconjunto de pontos (x, y) IR 2 tais que x D f e y = f(x): G f = {(x, y) IR 2 x D f e y = f(x)}. Exemplo 3.2 Seja f a função dada por f(x) = x. Tem-se: a) D f = {x IR x 0}; b) Im f = {y IR y 0}, pois para todo y em IR existe x real tal que x = y. c) Gráfico de f. A função f é dada pela regra x y, y = x. Quando x cresce, y também cresce, sendo o crescimento de y mais lento que o de x; quando x aproxima-se de zero, y também aproxima-se de zero, só que mais lentamente que x. Figure 6 Exemplo 3.3 Considere a função g dada por g(x) = y = 1 x. Tem-se: 1 Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.
a) D g = {x IR x 0}; b) Im g = {y IR y 0}. Essa função associa a cada x 0 o real g(x) = 1 x. c) g(x + h) = 1 onde x h. x + h d) Gráfico de g. Figure 7: software Maple 13. 3.1 Conceitos Fundamentais 1. Função Par: Exemplo: f(x) = x 2. 2. Função Ímpar: Exemplo: f(x) = x 3. 3. Funções por partes: 4. Função com valor absoluto: ou ainda, f(x) = f( x) = f(x). f( x) = f(x). f(x) = x, x < 0 x 2, 0 x 1 1, x > 1 f(x) = x, { x, x < 0 x, x 0
5. Função Composta: f g(x) = f(g(x)). Exemplo: f (x 2 + 1) = x 2 + 1, sendo f(x) = x e g(x) = x 2 + 1. 6. Translação de Gráfico - Vertical y = f(x) + k Translada o gráfico k unidade para cima se k > 0. Translada o gráfico k unidade para baixo se k < 0 Figure 8: Para transladar o gráfico f(x) = x 2 para cima (ou para baixo), adicionamos constantes positivas (ou negativas) à fórmula de f. 7. Translação de Gráfico - Horizontal y = f(x + h) Translada o gráfico h unidade para a esquerda se h > 0. Translada o gráfico h unidade para a direita se h < 0
Figure 9: Para transladar o gráfico f(x) = x 2 para a esquerda, adicionamos uma constante positiva a x. Para transladar o gráfico para a direita, adicionamos uma constante negativa a x. 8. Função Injetora: x 1, x 2 { x1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) 9. Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função. 10. Função Bijetora: Uma função bijetiva (função bijetora, correspondência biunívoca ou bijecção), é uma função injetiva e sobrejetiva (injetora e sobrejetora). 11. Função Inversa: f(x) tem que ser bijetora. Observação 3.1 e f 1 (x) 1 f(x) 1 f(x) = [f(x)] 1 Se f é injetora ela pode ser invertida de modo que mande de volta cada valor assumido ao ponto do qual ele veio. 12. Função Exponencial: Exemplo: f(x) = 2 x. 13. Função Logarítmica: f(x) = a x, para a > 1 y = log a x x = a y Propriedades: a log a x = x
log a a x = x, (a > 0, a 1, x > 0) Mudança de base: log a x = log x log a 14. Funções Trigonométricas: f(x + p) = f(x) para qualquer valor de x e p é o período da função. Exemplo: cos(θ + 2π) = cos(θ) e p = 2π. 3.1.1 Coeficiente Angular Definição 3.4 Seja a equação da reta y = mx + b, onde y para pelos pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), então podemos dizer que m é o coeficiente angular da reta y com e a equação da reta y pode ser reescrita como 4 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Resolva as inequações: a)x 3 > 0 b)x + 3 6x 2 c)2x + 1 3x d) 2x 1 x + 1 < 0 e) x 3 x 2 1 < 0 f) x(2x 1) 0 g) (2x 3)(x 2 + 1) < 0 2. Faça a análise de sinal das expressões a) 5x 4 b) 7 x c) x 6 x 3 (x 1) d) (x 1) 2 e) 2 3x x + 2 f) (x 2)(x + 2) g) (2x 1)(x 2 + 1) 3. Ache o conjunto solução das inequações: a) 3x + 4 > 7 m = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 y y 1 = m(x x 1 ) ou y y 2 = m(x x 2 )
b) x 2 + 4x + 7 > 3 4. Provar o Teorema (2.2) e os Corolários (2.1) e (2.2). 5. Calcule: ( ) 1 a) h( 1) e h, sendo h(x) = x 3 + x 2 3 2 b) g(0), g(2) e g( 2), sendo g(x) = x x 2 1 6. Calcule o domínio de f(x) = 1 x x. 7. Escreva se as funções abaixo são funções pares, ímpares ou nenhuma delas e faça o gráfico de cada uma delas. a) f : IR IR, tal que x f(x) = 1 x 4 b) f : IR IR, tal que x f(x) = x 5 + x c) f : IR IR, tal que x f(x) = 2 x 3 8. Existe uma função que seja par e ímpar ao mesmo tempo? Se existir, dê um exemplo. REFERENCES Guidorizzi H.L. Um Curso de Cálculo, volume I. LTC, 1995. Leithold L. O Cálculo com Geometria Analítica, volume I. Harbra, 1994.