REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Meddas de Posção ou Tedêca Cetral As meddas de posção ou meddas de tedêca cetral dcam um valor que melhor represeta todo o cojuto de dados, ou seja, dão a tedêca da cocetração dos valores observados. As prcpas meddas de posção são: a méda, a medaa e a moda. Méda Méda da população (µ, lê-se m): a méda de população fta é ecotrada somadose todos os valores da população e dvddo-se pelo tamaho da mesma. x µ Exemplo: Calcule o saláro médo dos ses empregados de uma pequea empresa: R$ 60,00 R$ 750,00 R$ 90,00 R$.00,00 R$ - R$ 790,00 R$ 950,00 Solução: Como a empresa possu apeas ses empregados podemos calcular a méda dos saláros cosderado todos os empregados. este caso, estamos trabalhado com toda a população. µ x 60 + 750 + 90 + 00 + 790 + 950 5530 9,67 6 6 O saláro médo essa empresa é de µ R$ 9,67 A forma de calcular a méda é a mesma tato para uma população como para uma amostra, mas usamos uma otação dferete, para dcar que estamos trabalhado com uma amostra. O úmero de elemetos em uma amostra é deotado por e a méda da amostra por x. Méda da amostra (x, lê-se x-barra): a méda de um cojuto de dados é a medda de tedêca cetral ecotrada pela soma de todos os valores, e esta soma é dvdda pelo úmero total de valores. A méda é cosderada o poto de equlíbro o cojuto de dados. Se Aula 5 Pága
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad as observações em uma amostra de tamaho são x + x+ K + x, etão, a méda amostral é calculada pela segute expressão: x x + x + K + x que pode ser represetada por x x, ode x é o valor da observação, o úmero de observações e Σ a letra sgma maúscula do alfabeto grego que, a fórmula, dca o símbolo de somatóro. Exemplo: Para verfcar se o fabrcate está respetado o peso dcado as embalages de fejão, selecoou-se uma amostra de cco pacotes. Foram obtdos os segutes pesos em cada pacote da amostra: 495 g 50 g 49 g 500 g 496 g 49 g. Calcule a méda de peso das embalages de fejão. Solução: x x 495 + 507 + 49 + 500 + 496 5 490 5 49 Como ressaltado acma podemos observar que a forma de obter o valor da méda da amostra é a mesma forma de obter a méda populacoal, dferdo apeas as omeclaturas. Para o estmador da méda da amostra usamos, para o parâmetro da méda da população usamos µ; para o úmero de elemetos da amostra usamos, e para o úmero fto de elemetos de uma populaçãoo usamos. Tudo que é calculado, a partr de uma amostra, é chamado de estmador, e o que é calculado baseado em toda a população é chamado de parâmetro. A mportâca a dstção das omeclaturas das estatístcas calculadas com base em dados amostras e populacoas se dá pelo fato de que a estmatva amostral é varável, pos depede da amostra coletada. O parâmetro populacoal é costate, pelo meos, até que a população mude. em sempre a méda é uma boa medda de posção dos dados, pos ela é fluecada por valores extremos. Observado a tabela, podemos verfcar que a turma A apreseta uma dstrbução smétrca, ou seja, os valores estão dstrbuídos de forma homogêea em toro do cetro do cojuto de dados, esse caso, a méda é uma boa medda de tedêca cetral. A turma B apreseta um valor extremo que desva a méda mas para a esquerda do cojuto de dados. Aula 5 Pága
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Tabela - a tabela abaxo, são apresetadas as otas de 9 aluos de duas turmas. Turma otas dos aluos x A 7 7,5 7,5,5,5 9 B 0 7 7,5 7,,,5 9 7, este caso, a medaa é mas dcada como medda de tedêca cetral, pos ela reflete melhor a tedêca dos dados. Veja a tabela Tabela - Comparação etre méda e medaa. Turma otas dos aluos x Me A 7 7,5 7,5,5,5 9 B 0 7 7,5 7,,,5 9 7, Essa é uma das dfereças marcates etre a medaa e a méda. Vejamos agora como obter a medaa de um cojuto de dados. Medaa Medaa (Me): é o valor cuja posção separa o cojuto de dados em duas partes guas, metade do úmero de elemetos está acma do valor medao e a outra metade abaxo do valor medao. Para obter o valor medao de uma dstrbução de dados, prmero ordee os valores. Isso poderá ser feto tato em ordem crescete quato em ordem decrescete. Depos, determe a posção que o valor medao ocupa pela segute expressão: + Pos Me Esta fórmula ão forece o valor medao, mas sm sua localzação o cojuto de dados. A forma de determar o valor medao depede se o úmero de observações que compõe o cojuto de dados é par ou ímpar. - úmero ímpar de elemetos: o valor medao é a observação que ocupa a posção (+)/ desse cojuto de dados. Exemplo: Vejamos como calcular a medaa das otas da Turma A da tabela ateror. otas da turma A 7 7,5 7,5,5,5 9 Solução: Como os dados já estão ordeados podemos partr para determar a posção do valor medao. O úmero de observações é ímpar (9), logo o valor medao é a observação cetral desse cojuto de dados. Pela fórmula da posção da medaa, tem-se: Aula 5 Pága 3
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad + 9 + Pos Me Pos Me 5 ª posção Me O valor que se ecotra a 5ª posção é o oto. O úmero oto possu quatro observações à sua esquerda e quatro observações à sua dreta, ou seja, 50% dos valores do cojuto de dados são ferores a oto e 50% dos valores são superores a oto. - úmero par de elemetos: quado o úmero de observações o cojuto de dados é par, a posção (+)/ ão será um úmero tero. A medaa será dada pela méda artmétca das duas observações cetras dos dados ordeados. Exemplo: Calcule a medaa do segute cojuto de dados:, 4, 7, 9,, 3. Solução: como o úmero de observações 6 é par, ão exste um valor cetral. Pela fórmula da posção da medaa, tem-se: 6 + PosMe 3,5ª posção. O valor medao está etre a 3ª e a 4ª posção. esses casos, o valor medao ão será um dos valores da dstrbução e sm a méda artmétca dos valores que se ecotram essas duas posções. A tercera posção é ocupada pelo valor sete e a quarta posção é ocupada pelo valor ove. 4 7 9 3 3ª posção 4ª posção 7 + 9 Me A medaa é o valor oto (Me ). Este valor possu três observações à sua esquerda e três observações à sua dreta, ou seja, 50% dos valores do cojuto de dados são ferores a oto e 50% dos valores são superores a oto. A vatagem da medaa é que ela ão é fluecada por valores extremos, pos ela depede da posção e ão dos valores das observações o cojuto de dados. Moda Moda (Mo): é defda como sedo aquele valor ou aqueles valores que ocorrem com maor freqüêca. Exemplo: Determe a moda de cada cojuto de dados abaxo: Aula 5 Pága 4
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad a-) 6, 39, 39, 4, 4, 4, 43, 47 Mo 4, e a dstrbução é umodal, pos possu apeas uma moda. b-), 7, 7, 3, 5, 5, 3 esta dstrbução apreseta duas modas, Mo 7 e Mo 5, sedo deomada de dstrbução bmodal. c-), 5, 7, 9, 33, 35, 4 este cojuto de dados ão possu moda, pos todos os valores ocorrem o mesmo úmero de vezes. esse caso, dzemos que o cojuto de dados apreseta uma dstrbução amodal. Quado o cojuto de dados apresetar três modas, deoma-se trmodal, e quatro ou mas, multmodal. os gráfcos da fgura abaxo, é apresetado o Hstograma da varável altura de uma turma de aluos. o prmero gráfco, observamos dos pcos, ou seja o cojuto de dados apreseta altas freqüêcas em dos tervalos de dados. Separado a turma de aluos pelo sexo: masculo e femo; podemos observar que para o sexo femo a moda ecotra-se etre 65 cm e 70 cm, já para os meos a moda está etre 75 e 0 cm. Portato, quado um hstograma apresetar dos ou mas pcos, sgfca que os dados apresetam modas dferetes depededo da forma que foram agrupados. Também podemos coclur que quado a dstrbução apresetar mas de uma moda, o hstograma terá mas de um pco. Hstograma da Altura da Turma 7 Moda da altura das meas úmero de aluos 6 5 4 3 Moda da altura dos meos 0 50 55 60 65 70 75 0 5 90 95 Altura (cm) Hstograma da Altura das Meas Hstograma da Altura dos Meos 5 5 úmero de Aluos 4 3 úmero de aluos 4 3 0 50 55 60 65 70 75 0 5 0 60 65 70 75 0 5 90 95 Altura (cm) Altura (cm) Aula 5 Pága 5
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Meddas de Dspersão As meddas de dspersão são meddas estatístcas que caracterzam o quato um cojuto de dados está dsperso em toro de sua tedêca cetral. ão há razão alguma para se calcular a méda de um cojuto de dados, ode ão haja varação desses elemetos (Exemplo: 6 6 6 6, a méda 6). o etato, se a varabldade dos dados for muto grade, sua méda terá um grau de cofabldade tão pequeo que será útl calculá-la. Portato, ão é possível aalsar um cojuto de dados apeas através de uma medda de tedêca cetral, também é ecessáro aalsar de que forma os valores observados estão espalhados em toro de seu cetro. Além dsso, dos cojutos de dados podem possur a mesma méda e, o etato, os valores podem estar dstrbuídos de forma dferete. Por exemplo, cosdere os resultados das otas de oto aluos de duas turmas: Exemplo Tabela 3 otas de oto aluos de duas turmas Turma A 0 4 5 5 6 0 Turma B 4 4,5 5 5 5 5 5,5 6 Embora as duas turmas de aluos possuam a mesma méda, 5, dferem bastate a varabldade das otas. Equato a turma A apreseta otas mas dspersas, a turma B, observam-se pequeas varações as otas obtdas pelos aluos. Dessa forma, para descrever adequadamete um cojuto de dados, além de uma medda que descreva sua tedêca cetral, é ecessáro uma medda que descreva sua dspersão. Para avalar o grau de dspersão ou varabldade dos valores de um cojuto de dados, usaremos dos tpos de meddas de dspersão: absoluta (desvo médo, varâca e desvo padrão) e relatva (coefcete de varação de Pearso). Ampltude total Para uma rápda medda da varabldade, podemos calcular a ampltude total (AT), que é a dfereça etre o mas alto e o mas baxo valor em uma dstrbução. AT Vmax Vm A ampltude total cosdera apeas o valor máxmo e o valor mímo, gorado todos os outros valores o cojuto de dados. Além dsso, esses valores podem ser valores extremos Aula 5 Pága 6
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad ou atípcos. Podemos aperfeçoar ossa descrção da dspersão, através de outras meddas como o desvo médo. Exemplo: Calcule a méda e a ampltude total para os dados abaxo: Cojuto de dados A - 3 3 3 4 5 µ 3 e AT 4 Cojuto de dados B - 3 4 5 µ 3 e AT 4 Os dos cojutos de dados possuem mesma méda e AT, o etato são dferetes. O cojuto de dados A apreseta maor úmero de dados em toro da méda do que o cojuto de dados B. Com sso cocluímos que a AT ão é uma boa medda de dspersão, pos apeas avala os valores que estão os extremos. Desvo Médo Para levar em cosderação todos os valores da dstrbução, além dos extremos, subtra-se a méda artmétca de cada elemeto do cojuto de dados e somam-se as dfereças, calculado, dessa forma, o desvo de cada elemeto a méda. Como essa soma é sempre gual a zero, pos algus valores são egatvos e outros postvos, cosdera-se apeas o módulo das dfereças. abaxo. Exemplo: Calcule o desvo médo para as otas dos aluos da Turma A da tabela Solução: Prmero calcula-se a méda do cojuto de dados: µ x 0 + + 4 + 5 + 5 + 6 + + 0 40 5 A segur calcula-se o desvo médo. Podemos utlzar a própra tabela para desevolver os cálculos e substtur o valor do somatóro dreto a fórmula ou podemos desevolver os cálculos a própra fórmula. Usado a tabela para desevolver os cálculos: Tabela 4 - otas dos aluos da turma A. Aluo ota ( µ ) x x µ 0-5 5-3 3 3 4-4 5 0 0 5 5 0 0 6 6 + 7 +3 3 0 +5 5 Σ 40 0 Aula 5 Pága 7
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Como o desvo médo é defdo como a méda artmétca dos desvos em módulo, basta dvdr o valor obtdo a tabela do x µ pelo úmero de elemetos do cojuto de dados. DM,5 Portato, o desvo médo é defdo pela segute expressão: DM x µ Desevolvedo os cálculos a fórmula : x µ + + + + + + + 0 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 5 0 5 DM 5 + 3 + + 0 + 0 + + 3 + 5 DM,5 Apesar de ão ser muto utlzado a ferêca estatístca, o desvo médo é cosderado uma boa medda de dspersão, quado o objetvo é apeas descrever um cojuto de dados. Etretato, o uso de valores absolutos cra dfculdades algébrcas os métodos de ferêca estatístca. Assm, em vez de usarmos os valores absolutos, obtemos uma melhor medda de varação fazedo os desvos ao quadrado, obtedo-se a varâca. Varâca Para o cálculo da varâca, ao vés de cosderar o módulo da dfereça, eleva-se esta dfereça ao quadrado, elmado-se, assm, o problema do sal egatvo sem fazer uso da fução módulo. A varâca é defda como a méda artmétca dos quadrados dos desvos. Varâca populacoal (x µ ) σ Aula 5 Pága
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Exemplo: Calcule a varâca para as otas dos aluos da Turma A Solução: Utlzado a tabela para auxlar o cálculo: Tabela 5 - otas dos aluos da Turma A. Turma A ota ( x µ ) ( x ) µ 0-5 5-3 9 3 4-4 5 0 0 5 5 0 0 6 6 + 7 +3 9 0 +5 5 Total 40 0 70 σ (x µ ) Desevolvedo os cálculos a fórmula: 70,75 σ ( + ( 5) + (4 5) + (5 5) + (6 5) + ( 5) + (0 5) x µ ) (0 5) + (5 5) σ 5 + 9 + + 0 + 0 + + 9 + 5 70,75 Usamos o símbolo σ para represetar a varâca calculada com base em dados em todos os elemetos da população, portato, a varâca populacoal é um parâmetro. Quado usamos uma amostra para calcular a varâca, o símbolo usado é s, a varâca amostral é um estmador da varâca populacoal. Varâca amostral s (x x) Se fosse usado o deomador da fórmula da varâca amostral, estaríamos estmado uma medda de varabldade meor do que a varâca da população. Portato, o cálculo da varâca amostral, utlza-se (-) o deomador. Exemplo: Para verfcar se o fabrcate está respetado o peso dcado as embalages de fejão, selecoou-se uma amostra de cco pacotes. Foram obtdos os segutes pesos em cada pacote da amostra: 495 g 50 g 49 g 500 g 496 g 49 g Calcule a varâca do peso das embalages de fejão. Aula 5 Pága 9
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Solução: o exemplo da méda de uma amostra já calculamos a méda deste cojto de dados que é 49 s (x x) ( 495 49) + ( 50 49) + ( 49 49) + ( 500 49) + ( 496 49) + ( 49 49) 6 s 44,6667g Desvo padrão A desvatagem da varâca cosste o fato de suas udades ormalmete ão terem setdo. A varâca para as otas dos aluos, por exemplo, é medda em otas ao quadrado. o exemplo acma a varâca do peso dos pacotes de fejão estão em gramas ao quadrado. Pode-se retomar a udade orgal dos dados, extrado-se a raz quadrada da varâca, deomada de desvo padrão. O Desvo Padrão é defdo como a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos, ou seja, a raz quadrada da varâca. Desvo padrão populacoal σ (x µ ) Desvo padrão amostral s (x x) O desvo padrão calculado usado todos os elemetos da população é smbolzado por σ, o desvo padrão populacoal é um parâmetro. Se o desvo padrão é calculado a partr de uma amostra, este é represetado pelo símbolo s, chamado desvo padrão amostral e é cosderado uma estmatva. Exemplo : Calcule o desvo padrão para as otas dos aluos da Turma A. Solução: Como o exemplo ateror a varâca já fo calculada, basta extrar a raz quadrada da varâca: σ σ,75,95 Aula 5 Pága 0
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Exemplo : Calcule o desvo padrão para os segutes dados amostras: 5 6 33 30 Solução: Como trata-se de uma amostra pequea usaremos a segute fórmula: s (x x) (5 7) + (6 7) + (33 7) 5 + ( 7) + (30 7) 4 + + 36 + 36 + 9,5 4, 64 4 s 4,64 Coefcete de varação de Pearso O coefcete de varação de Pearso (CV) é uma medda de dspersão relatva que mede a dspersão dos dados em relação à méda artmétca. É calculado, dvddo-se o desvo padrão pela méda, multplcado-se por 00, para expressar o resultado em porcetagem, em vez de se utlzar a udade de medda da varável em aálse. σ População CV. 00 Amostra s CV. 00 µ x Exemplo : Calcule o coefcete de varação de Pearso das otas dos aluos da turma A e B do exemplo ateror. Turma A 0 4 5 5 6 0 Turma B 4 4,5 5 5 5 5 5,5 6,96 0,56 CV A.00 59,% CV B.00, % 5 5 A turma B apreseta meor dspersão relatva do que a turma A, o que dca que o desempeho dos aluos da turma B fo mas homogêeo. A dspersão relatva também permte comparar duas ou mas dstrbuções, mesmo que essas se refram a dferetes feômeos e sejam expressas em udades de medda dferetes. Aula 5 Pága
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Exemplo : a tabela abaxo, são apresetados os valores do desvo padrão e da méda da altura e peso de um grupo de pessoas. Altura Peso Méda 74 cm 7 kg Desvo padrão 7 cm kg Embora a dfereça as udades de medda tore mpossível comparar o desvo padrão de 7 cm com o desvo padrão de kg, podemos comparar os coefcetes de varação, que ão têm udades de medda. A varável altura apreseta CV 4% e a varável peso CV 5,4%. Portato, a varável peso apreseta maor dspersão relatva do que a varável altura. Observação: Para facltar a terpretação do coefcete de varação, usaremos os segutes tervalos: CV 30% Alta dspersão 5% < CV < 30% Méda dspersão CV 5% Baxa dspersão o exemplo, podemos verfcar que a turma A apreseta alta dspersão e a turma B baxa dspersão.,96 0,56 CV A.00 59,% CV B.00, % 5 5 Exemplos de aplcação: Ates de comprar uma batera para seu celular você aalsa as formações estatístcas forecdas pelo fabrcate com relação ao tempo de duração das mesmas. Explque de que forma essas formações podem auxlar você a sua escolha. Batera A B C Méda 600 cclos 650 cclos 600 cclos Medaa 600 cclos 700 cclos 500 cclos Desvo Padrão 50 cclos 50 cclos 50 cclos Solução: a tabela acma podemos verfcar a batera A apreseta a meor dspersão e méda e medaa são guas o que dca ão haver valores extremos em para a dreta em Aula 5 Pága
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad para a esquerda. A batera B apesar de apresetar méda maor do que a batera A e C apresetam maor medaa o que dca tempos de duração da batera afastados da méda para valores meores, o que explca o maor desvo padrão. Já a batera C possu a maor dspersão de tempo de duração, sedo a meos dcada. Quadro Resumo das Meddas de Posção Medda Defção Vatages Desvatages Méda Medaa Moda x x Valor cetral Valor mas freqüete Usada em mutos métodos estatístcos - Aproprada quado há valores extremos ou dstrbuções assmétrcas. - Sempre exste - Aproprada para dados qualtatvos. - Afetada por valores extremos - Usada em poucos métodos estatístcos - em sempre exste. - Pode haver mas de uma moda. - ão se presta à aálse matemátca Quadro Resumo das Meddas de Dspersão Desvo médo populacoal DM x µ Varâca Populacoal (x µ ) σ Desvo padrão populacoal σ (x µ ) Coefcete de Varação Populacoal Varâca amostral s (x x) Desvo padrão amostral s (x x) Coefcete de Varação Amostral CV s.00 x σ CV.00 µ Aula 5 Pága 3
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Medda de Assmetra Além das meddas de posção e dspersão a forma da dstrbução é uma mportate fote de formação sobre o comportameto dos dados. Algumas dstrbuções podem apresetar forma smétrca ou assmétrca. Mo Me x Mo< Me < x x < Me < Mo As 0 smétrca As > 0 assmetra postva As < 0 assmetra egatva Fgura (a) Fgura (b) Fgura (c) Uma dstrbução é smétrca, Fgura (a), se o gráfco apreseta o mesmo comportameto a dreta e a esquerda da méda. este caso, moda, méda e medaa são guas ou muto próxmas. A dstrbução apreseta uma assmetra postva, Fgura (b), quado sua cauda dreta afasta-se mas do pco do que a cauda esquerda, o que faz com que a méda seja maor do que a medaa e esta maor do que a moda. A dstrbução de dados apreseta uma assmetra egatva, Fgura (c), quado sua cauda esquerda afasta-se mas do pco do que a cauda dreta, sedo a moda maor do que a medaa e esta maor do que a méda. Exste mas de uma forma de determar o coefcete de assmetra, aqu usaremos o coefcete de assmetra pelo segudo crtéro de Pearso: As 3. ( x Me) s Tabela 6 - Iterpretação do Coefcete de Assmetra de Pearso Assmétrca egatva As - Assmétrca egatva moderada - < As < -0,5 Smétrca -0,5 < As < +0,5 Assmétrca postva moderada +0,5 < As < + Assmétrca postva As Exemplo: Os dados a segur se referem a uma amostra dos saláros recebdos em uma determada empresa. Determe o coefcete de assmetra e terprete. 30 90 90 00 00 50 300 340 600 950 Solução: Para determar o coefcete de assmetra precsamos calcular a méda, medaa e o desvo padrão. Aula 5 Pága 4
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad x (x x x) 43 s 740,65 + 0 + 00 + 50 PosMe 5,5ª posção Me 5 ( x Me) 3. As 3.(43 5), 7 s 740,65 Os saláros dos empregados apresetam assmetra postva (As,7). Este resultado evdêca a preseça de valores extremos a dreta do cojuto de dados que puxam a méda para cma, mas ão fluecam a medaa. Escore z ou varável padrozada Usado a méda e o desvo padrão podemos determar a posção relatva de qualquer valor do cojuto de dados. O escore z ou varável padrozada represeta o úmero de desvos padrões que um dado valor está afastado da méda. Para obter o escore z, use a segute fórmula: Amostra x x z População s z x µ σ Um escore z pode ser egatvo, postvo ou zero. Se z é egatvo, o valor x correspodete está abaxo da méda. Se z é postvo, o valor x correspodete está acma da méda. E se z0, o valor x correspodete é gual à méda. Quato maor o valor do escore z melhor é a posção relatva da observação o cojuto de dados. Exemplo: Um estudate obteve ota 7, em Estatístca e,0 em Álgebra. Determe em que dscpla o aluo obteve melhor posção relatva. A méda da turma em Estatístca fo 6,4 com desvo padrão, e a méda da turma em Álgebra fo 7,6 com desvo padrão de,6. Solução: z x µ 7, 6,4 x µ,0 7,6 0,67 z Á lgebra 0, 5 σ, σ,6 Estatístc a Apesar da méda em Estatístca ser meor do que a méda obtda pelo aluo a dscpla de Álgebra, ele obteve melhor posção relatva em Estatístca, pos o valor do escore z desta dscpla é maor do que o escore z em Álgebra. Comparado a ota do aluo com a méda e o desvo padrão da turma verfca-se que em Estatístca sua ota está mas afastada da méda (para cma) e com meor dspersão do que a ota obtda em Álgebra. Aula 5 Pága 5
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad Coefcete de Correlação Até o mometo estudamos apeas uma úca varável. o etato, algumas vezes o pesqusador está teressado em aalsar a relação etre duas varáves. Por exemplo, qual a relação etre o preço dos almetos e a oferta; etre a altura das pessoas e o peso. A maera mas smples de car este estudo é através do dagrama de dspersão. este gráfco, cada exo represeta uma das varáves em estudo. Exemplo: o gráfco abaxo é apresetado o dagrama de dspersão etre as varáves altura e peso de um grupo de oto pessoas. 5 0 Peso (kg) 75 70 65 60,6,65,7,75,,5 Altura (cm) Fgura Correlação etre as varáves peso e altura O dagrama de dspersão pode apresetar uma relação postva etre as varáves, ou seja, à medda que uma varável aumeta a outra varável também aumeta. a fgura 3 (a) as varáves apresetam uma correlação perfeta, a fgura 3(b) uma correlação forte e a fgura 3(c) uma correlação fraca. (a) (b) (c) Fgura 3 correlação postva etre as duas varáves Aula 5 Pága 6
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad O dagrama de dspersão também pode apresetar uma relação egatva etre as varáves, ou seja, à medda que uma varável aumeta a outra varável dmu. a fgura 4(a) as varáves apresetam uma correlação perfeta, a fgura 4(b) uma correlação forte e a fgura 4(c) uma correlação fraca. (a) (b) (c) Fgura 4 correlação egatva etre as duas varáves Quado as duas varáves ão possuem relação o gráfco de dspersão apreseta uma uvem aleatóra de potos. O grau de assocação lear etre duas varáves pode ser meddo através do coefcete de correlação de Pearso, que é dado por: r xy ( x ).( y ) x ( x ). y [ ] [ ( y ) ] O valor de r, que sempre pertecerá ao tervalo [-, ], represeta uma medda de tesdade do ter-relacoameto etre duas varáves. Se r, há uma perfeta correlação postva etre as varáves, sto é, se os valores de uma varável aumetam (ou dmuem), em correspodêca os valores da outra varável também aumetam (ou dmuem) a mesma proporção. Se, por outro lado, r -, há uma perfeta correlação egatva etre as varáves, ou seja, os valores de uma varável varam em proporção versa aos valores de outra varável. Se, etretato, r 0, ão há correlação etre as varáves. Aula 5 Pága 7
REGESD Prolc Matemátca e Realdade- Profª Suz Samá Pto e Profº Alessadro da Slva Saad pessoas. Exemplo : Calcule o coefcete de correlação etre as varáves altura e peso de oto Altura (cm) Peso (kg),7 74,65 66,6 6,73 74,7,67 67, 3,77 79 Solução: Utlzado a tabela para auxlar os cálculos Altura (cm) - x Peso (kg) - y x.y X Y,7 74 5,,9 5476,65 66 0,9,7 4356,6 6 9,,6 37,73 74,0,99 5476,7 45,96 3,7 674,67 67,9,79 449, 3 49,4 3,4 69,77 79 39,3 3,3 64 3,7 56..00,6 3,56 4337 r xy ( x ).( y ) ( x ). y. 00,6 3.7.56 [ x ] [ ( y ) ] [.3,56 3,7 ].[.4337 56 ] 0,97 Iterpretação: As varáves altura e peso apresetam uma forte relação postva, portato, à medda que uma varável aumeta a outra também aumeta. Aula 5 Pága