Cálclo Vetoial e Geometia Analítica Pof. Ségio de Albqeqe Soza Cso de Licenciata em Matemática UFPBVIRTUAL Coeio eletônico: segio@mat.fpb.b Sítio:.mat.fpb.b/segio Ambiente Vital de Apendizagem: Moodle.ead.fpb.b Site da UFPBVIRTUAL.ital.fpb.b Site do cso.mat.fpb.b/ead Telefone UFPBVIRTUAL (8 6 757 Caga hoáia: 60 hoas Céditos: 04 Descição do Cso Este cso iá intodzi conceitos e tilização de etoes, no espaço tidimensional, paa a esolção de áios poblemas geométicos como detemina, po eemplo, distâncias ente pontos, pojeções, áeas e olmes. Paa tais conceitos tilizaemos algmas feamentas algébicas, ia esolção de sistemas lineaes, matizes e deteminantes. Depois da apesentação dos etoes, iemos tilizá-los como feamenta paa defini as etas e os planos ataés de sas eqações e tataemos os poblemas de posições elatias, distâncias e ânglos ente etas, ente etas e planos e ente planos. Mostaemos as cônicas nas sas fomas edzidas e paaméticas, paa depois intodzi m método mais algébico paa a classificação das cônicas, sando atoaloes e atoetoes, deteminando, desta maneia, os noos eios coodenados paa a cônica. Finalmente, as qádicas seão eibidas e classificadas a pati de sas eqações edzidas, mostando o pocesso de constção tidimensional da mesma, ataés de cotes com os planos coodenados. Objetios Ao final do cso ocê estaá habilitado a: Compeende o conceito de etoes; Te ma compeensão espacial dos etoes; Opeacionaliza etoes de foma geomética e analítica; Compeende os esltados geométicos e nméicos associados às opeações com etoes; Defini as etas e os planos ataés de sas eqações, obtidas tilizando-se etoes; 87
Detemina as posições elatias, os ânglos, as distâncias, as inteseções ente as etas, ente as etas e os planos e ente os planos; Defini e classifica as cônicas nas fomas edzidas; Tabalha com polinômios caacteísticos, atoaloes e atoetoes; Classifica ma cônica dada na foma geal; Defini e classifica as qádicas, spefícies cilíndicas e cônicas. Pojeto da Disciplina A disciplina está esttada em tês Unidades Temáticas Integadas. Cada ma contém itens e sbitens qe os emetem às otas nidades. Os temas abodados seão acompanhados de ma eposição, ma animação, ídeos o ilstações, com indicação de tetos de apoio e poblematização das qestões do teto. Paa cada Unidade seá abeta ma discssão no fóm e poposta ma atiidade de aaliação. Unidades Temáticas Integadas Unidade I Vetoes Intodção Segmentos Oientados Noma, dieção e sentido Vetoes Opeações elementaes com etoes Soma Mltiplicação po escala Combinação Linea Dependência Linea Ânglos ente etoes Podtos ente etoes Podto Inteno Podto Vetoial Podto Misto Vetoes do R em coodenadas Eemplos 88
Unidade II Retas e Planos Intodção O plano Po tês pontos Po m ponto e dois etoes Um ponto e m eto pependicla A eta Po dois pontos Po m ponto e m eto Po dois planos Posição elatia Ente etas Ente etas e planos Ente planos Ânglo Nlo Não nlo Inteseções Vazia Não azia Distâncias Igal a zeo Difeente de zeo Eemplos Unidade III Cônicas e Qádicas Intodção Cônicas Foma edzida Atoaloes e atoetoes Classificando as cônicas Qádicas Esfea Elipsóide Hipebolóide de ma folha Hipebolóide de das folhas Paabolóide elíptico Paabolóide hipebólico 89
Spefície cônica Spefície cilíndica Eemplos Cônicas Qádicas 90
Unidade I Vetoes. Sitando a Temática Nesta nidade estdaemos e definiemos etoes, bem como as opeações com esses etoes, obtendo esltados geométicos e analíticos, tilizando como base os conceitos básicos da tigonometia, como tiânglos etânglos e sas elações. O tatamento etoial de áios poblemas matemáticos e físicos simplifica a compeensão e o estdo destes poblemas, possibilitando a ampliação, genealização e confimação dos conceitos e definições eistentes.. Poblematizando a Temática Tataemos áios poblemas geométicos, como po eemplo, áea de m tiânglo qalqe, pojeções, olme de m paalelogamo, pependiclaismo, paalelismo e ânglos, tilizando as facilidades dadas pelas popiedades encontadas nos etoes e sas opeações.. Conhecendo a Temática. Intodção O estdo de etoes inicio-se no final do séclo XIX. Eles constitem os instmentos ideais paa o desenolimento de mitos conceitos impotantes nas áias áeas do conhecimento, como em Física e em Matemática. Eistem basicamente tês maneias de se intodzi o estdo de etoes: Geometicamente: os etoes são epesentados po segmentos de eta oientados (setas e as opeações com eles são definidas geometicamente; Analiticamente: os etoes e coespondentes opeações são descitos em temos de númeos, chamados componentes dos etoes. A descição analítica eslta natalmente da descição geomética, desde qe seja intodzido m sistema de coodenadas; Aiomaticamente: não se faz qalqe tentatia paa se descee m eto o as opeações algébicas com etoes. Neste caso, etoes e opeações etoiais são consideados conceitos não definidos, elatiamente aos qais se sabe apenas qe eles satisfazem ceto conjnto de aiomas. Tal sistema algébico, com aiomas apopiados, chama-se espaço etoial. Em todos os amos da Matemática se encontam espaços etoiais e eles são apesentados em csos de Álgeba Linea. Nesta nidade, inicialmente intodzimos etoes geometicamente de modo consttio e já apelando paa a isalização do mesmo, dento do espaço tidimensional. Depois, tilizamos o método analítico e geomético paa intodzi otos conceitos e opeações. 9
. Segmentos Oientados Definição: Dados dois pontos distintos A e B qaisqe, qe deteminam ma eta, chamaemos de segmento AB, ao conjnto fomado po todos os pontos da eta ente A e B. Obseação: Note qe o segmento AB BA. O segmento AA seá consideado segmento nlo. Definição: Um segmento oientado AB é definido po m segmento AB mais a escolha de m dos ses etemos como ponto inicial e o oto como ponto final, o seja, daemos ma oientação de como dee se olhado o segmento. Eemplo: Considee a figa do paalelepípedo da figa, o segmento oientado AB tem ponto inicial o ponto A e ponto final B. Obseação: Note qe o segmento oientado AB BA. Figa Paalelepípedo ABCDEFGH Eecício: Considee o paalelepípedo da figa. a Veifiqe qe eistem 6 segmentos qe podem se definidos pelos pontos ABCDEFGH. b São 64 segmentos oientados?. Noma, dieção e sentido Paa efeito da definição e estdo de etoes, pecisamos compaa m segmento oientado a m oto, obseando as tês segintes caacteísticas: Noma: é o compimento do segmento oientado AB, denotado po AB. Dieção: dois segmentos oientados AB e CD teão mesma dieção se as etas qe os contém são coincidentes o paalelas. Sentido: dois segmentos oientados AB e CD qe tieem a mesma dieção e não foem colineaes, têm o mesmo sentido qando ACI BD { }, caso contáio têm sentidos opostos. Os segmentos oientados AB e CD colineaes têm o mesmo sentido, qando m oto segmento ailia A' CI B' D { } A 'B' não colinea com CD e no mesmo sentido de AB, satisfaz Eemplo: Considee a figa do paalelepípedo da figa : 9
a Os segmentos oientados BG, GB, FC, CF, AH, HA, ED e DE possem a mesma noma; b Os segmentos oientados AB, EF, DC e HG possem o mesmo sentido; c Os segmentos oientados AB, BA, EF, FE, DC, CD, HG e GH possem a mesma dieção; Definição: Diemos qe dois segmentos oientados MN e PQ, não nlos, são eqüipolentes se os segmentos tieem a mesma noma, mesma dieção e mesmo sentido, e epesentaemos essa elação com MN~ PQ. Obseação: Todos os segmentos nlos são eqüipolentes ente si, o seja, AA ~ BB. Eemplo: No eemplo anteio, temos qe o segmento oientado: a AB é eqüipolente aos segmentos DC, EF e HG ; b AE é eqüipolente aos segmentos BF, CG e DH ; c AD é eqüipolente aos segmentos BC, EH e FG ; d AF é eqüipolente ao segmento DG apenas; e AH é eqüipolente ao segmento BG ; f AC é eqüipolente ao segmento EG ; g AG é eqüipolente apenas a ele, pois não é eqüipolente a nenhm dos otos segmentos fomado po esses pontos. Eecício: Enconta todos os segmentos oientados eqüipolentes, qe podem se fomados com os pontos da figa. Popiedade: Dados tês segmentos oientados qaisqe MN, PQ e RS temos em elação à eqüipolência qe: PE Popiedade efleia: PE Popiedade simética: Se PE Popiedade tansitia: Se PQ~ PQ PE4 Popiedade do paalelogamo: Se MN~ PQ então PQ~ MN. MN~ PQ e PQ~ RS então MN~ RS. MN~ PQ então MP~ NQ PE5 Dado m ponto qalqe P, é possíel detemina oto ponto Q de tal foma qe MN~ PQ. 9
Obseações: Note qe, com as popiedades de eqüipolência, podemos consti em qalqe local do espaço tidimensional, m segmento eqüipolente a m oto segmento dado qalqe. Toda elação qe é efleia, simética e tansitia é chamada de elação de eqialência, logo a eqüipolência é ma elação de eqialência..4 Vetoes Vamos considea como eto, m epesentante da classe dos segmentos oientados eqüipolentes a m segmento oientado dado qalqe, o seja, o eto não é m segmento oientado (conjnto de pontos específico, mas m epesentante dos segmentos oientados qe tem a mesma dieção, mesmo sentido e mesmo compimento de m segmento dado. Obseações: O eto deteminado pelo segmento oientado AB seá epesentado po AB, o po ma leta minúscla a. Vale efoça qe o segmento oientado AB é m conjnto de pontos, enqanto o eto AB é m epesentante de m conjnto de etoes eqüipolentes ao segmento oientado AB. Definição: O eto deteminado po todos os segmentos oientados nlos, seá chamado de eto nlo, denotado po 0. Definição: Um eto a qalqe é chamado de eto nitáio, se a sa noma fo igal a m, o seja, a. Eemplo: Da figa, considee os etoes, e, como sendo epesentantes da classe dos segmentos oientados eqüipolentes a AB, AC e AD espectiamente, logo: a pode se epesentado po m dos elementos do conjnto { AB,DC,EF,HG }; b po m dos elementos do conjnto { AD,BC,FG,EH }; c po m dos elementos do conjnto { AE,BF, CG,DH} ; Figa Paalelepípedo ABCDEFGH Desafio: Qantos e qais são os etoes qe podem se epesentados na figa acima? 94
o seja, como epesentantes temos qe os etoes são igais, isto é AD BC FG EH e AE BF CG DH. AB DC EF HG,.5 Opeações elementaes com etoes.5. Soma figa : A soma de dois etoes e qaisqe, é obtida gaficamente, da seginte maneia (e Escolha m ponto qalqe A; Do ponto A consta m oto epesentante paa o eto, o seja, AB ; Do ponto B consta m oto epesentante paa o eto, o seja, BC ; O eto soma seá epesentado pelo eto AC. Figa Soma dos etoes e Popiedade: Dados tês etoes, e qaisqe, temos qe: PS Popiedade comtatia: Da figa, temos qe: AB BC AC AD DC AC PS Elemento neto da soma: Da figa, temos qe: 0 0 0 AB BB 0 AA AB AB AB PS Elemento oposto: (- 0 Da figa, temos qe: ( AB BA AA ( BA AB BB PS4 Popiedade associatia: ( ( Da figa 4, temos qe: Figa 4 Soma dos etoes, e 95
( AB BC CD AC CD AD AB ( BC CD AB BD AD ( e ( Eemplo: Da figa, consideando os etoes, e (eifiqe os segintes esltados! a AB EH AC b HG EH AC c BC AE HG AG d AB DA HD HB.5. Mltiplicação po escala Definição: A mltiplicação de m eto a, não nlo, po m escala α R, é o eto, epesentado po α a, qe tem mesma dieção do eto a, noma igal a α. a, mesmo sentido, se α > 0 e, se α < 0, sentido oposto. Obseação: Qalqe eto mltiplicado po α 0 seá o eto nlo, o seja, 0a 0 e qalqe alo α R mltiplicado pelo eto nlo seá o eto nlo, isto é α 0 0. As opeações aitméticas comns também são idênticas com as opeações de mltiplicação de escala po etoes, qe segem nas popiedades eibidas a segi. Popiedade: Dados os etoes e qaisqe e os númeos α, β R, temos qe: PME Popiedade distibtia do escala em elação à soma de etoes: α ( α α PME Popiedade distibtia do eto em elação à soma dos escalaes: ( α β α β PME Elemento neto da mltiplicação po escala:. PME4 ( αβ α( β β( α Obseação: Um conjnto qalqe onde são definidas das opeações, nomalmente denominadas de soma e mltiplicação, e qe satisfazem as popiedades da soma PS, PS, PS, PS4 e as popiedades da mltiplicação po escala PME, PME, PME e PME4 é chamado de espaço etoial. Os elementos desse conjnto são chamados de etoes (este tema seá abodado no póimo semeste na disciplina Intodção à Álgeba Linea. 96
Eemplo: Na figa 5, obsee os etoes a, a, a e a. Figa 5 Vetoes a, a, a e a Eemplo: Considee m tiânglo ABC qalqe, e os pontos D e E como pontos médios dos segmentos AB e BC espectiamente e tiânglo da figa 6, logo: a ; AB, BC e b AD DB e BE EC, pois D e E são pontos médios; AC, como eemplificado no c DE AC, pois DE DB BE (, o seja, além de mosta qe o segmento DE é paalelo ao segmento AC, mostamos também qe o segmento DE tem a metade do compimento do segmento AC. Figa 6 Tiânglo ABC e qadiláteo FGHI Eemplo: Dado m qadiláteo FGHI qalqe e pontos J, K, L e M como pontos médios dos segmentos FG, GH, HI e IF espectiamente, eemplificado como na figa 6, então JK ML e JM KL, o seja, JKLM é m paalelogamo. Eemplo: Dado m eto 0 a qalqe, o eto a é nitáio, o seja, sa noma é igal a a, pois a a a. a a a 97
.6 Combinação Linea Definição: Diemos qe m eto a é ma combinação linea dos (é geado pelos etoes b, b, b,k, b n se eistiem númeos eais α, α, α,k, α n, tais qe o eto a possa se fomado pela soma: a α b αb αb L α n bn Obseação: Os númeos α, α, α,k, α são chamados de coeficientes do eto a em elação aos etoes b, b, b,k, b n. n Eemplo: Da figa 6, consideando os etoes, e do tiânglo, temos: a DE é ma combinação linea dos etoes e, pois DE ; b é ma combinação linea dos etoes e, pois ; c é ma combinação linea do eto DE, pois DE ; Eemplo: Da figa, consideando os etoes, e, temos: a AG é ma combinação linea dos etoes, e, pois AG ; b BE é ma combinação linea dos etoes, e, pois BE 0 ; c BE é também ma combinação linea dos etoes e, pois BE ; d BE não é ma combinação linea dos etoes e pois, paa detemina o eto é necessáio sa o eto. Eecício: Da figa, consideando os etoes, e, eifiqe qe: a BG é ma combinação linea dos etoes, e? b BG é ma combinação linea dos etoes e? c CE é ma combinação linea dos etoes, e?.7 Dependência Linea Definição: Diemos qe os etoes b, b,k, b i,k, b n, são lineamente dependentes (LD, se m dos etoes, po eemplo, diemos qe são lineamente independentes (LI. b fo cominação linea dos otos n etoes, caso contáio, i 98
Apesa da definição de dependência linea se geal, no nosso teto tabalhaemos no máimo no espaço tidimensional, potanto teemos algmas elações geométicas, isíeis, em elação à dependência linea, qais sejam: Dois etoes e são LD se os mesmos tieem a mesma dieção, o seja, se m fo múltiplo do oto: α ; Tês etoes, e são LD se são paalelos a m plano; Qato etoes são sempe LD no espaço tidimensional. Eemplo: Da figa, consideando os etoes, e, temos qe os etoes: a AB, AC e AD são LD; b AB e DC são LD; c, e são LI (eifiqe!; Definição: Diemos qe o conjnto a,a, K,a } { n é ma base paa o n R (espaço com n dimensões se a, a,k, a n foem etoes LI de n R. Eemplo: Da figa, consideando os etoes, e, temos qe: a {,, } é ma base do R, pois são etoes LI no espaço tidimensional; b { AC, AF, AH} é ma base do c {, } não é ma base do d {,, AC} não é ma base do e {,,, AG} não é ma base do R, pois são etoes LI no espaço tidimensional; R, pois é m conjnto com apenas etoes; R, pois são etoes LD; R, pois é m conjnto com 4 etoes. Definição: Uma base a,a, K,a } { n paa o n R é chamada de base otogonal se dois a dois os ses etoes são otogonais e de base otonomal se além de se otogonal, os ses etoes são nitáios, o seja, de noma igal a. Eemplo: Da figa, consideando os etoes, e, temos qe: a {,, } é ma base otogonal do R, pois ses etoes são pependiclaes dois a dois; b,, é ma base otonomal do nitáios. R, pois pependiclaes dois a dois e 99
A antagem de se tabalha em ma base otonomal é qe a mesma facilita a isalização tidimensional (pense na qina do chão de sa sala, bem como as ftas opeações algébicas qe sgião no decoe da disciplina. Teoema: Os etoes b, b, b,k, b n são lineamente independentes (LI se, e somente se, a eqação α b α b α b L α b n n 0 possi como única solção α 0, α 0, α 0,K, α n 0, o seja, apenas a solção tiial. Demonstação: Na demonstação deste teoema, saemos o método da edção ao absdo, o seja, nega-se a tese e chega-se a ma contadição. Hipótese: Vamos spo qe os etoes b, b,k, b i,k, b n são LI. Se a eqação α b α b L α i b L α b 0 possi ma solção não tiial, o seja, i n n m dos coeficientes não é nlo α i 0 ( i n. Neste caso, temos b i com a seginte combinação linea b hipótese os etoes são LI. α α α α n i b b b L bn o qe é m absdo, pois po αi αi αi αi Hipótese: Vamos considea qe a eqação α b α b L α i b L α b 0 só admita a i n solção tiial α α L α i L αn 0. Se m dos etoes b i 0 fo combinação linea dos n etoes b, b,k, b n, teemos bi β b βb L β n bn, logo podemos escee a igaldade: β b β b L ( b L β b 0 i n o seja, β, β,k, β i,k, β n também é ma ota solção da eqação, o qe é m absdo pois, po hipótese, a eqação só admite a solção tiial. n n Obseação: Note qe a solção tiial α α L α i L αn 0 é sempe solção paa a eqação, pois b 0b 0b L 0b 0, mas a foça do teoema é a eigência da solção se única. 0 n Eecício: Da figa, eifiqe qe { AC,AF,AH} também é ma base do R. Solção: Paa eifica qe { AC,AF,AH} é base, basta e qe são etoes LI em R. A qantidade de etoes está óbia e paa mosta qe são LI tilizaemos o teoema acima, mas paa tanto tilizaemos dois fatos: 00
Os etoes, e são LI, pois não são paalelos a m plano, temos pelo teoema acima qe ma eqação α α α 0 possi solção única α α α 0. Os etoes AC, AF e AH são combinações lineaes dos etoes, e podemos esceê-los da foma: AC 0, AF 0 e AH 0. Vamos monta a eqação eigida no teoema e eifica qe a eqação β AC β AF β AH 0 possi solção única. De fato: β AC β AF β AH 0 β ( 0 β( 0 β(0 0 β ( β( β( 0 β β ( β β ( β β 0 ( Note qe a última eqação acima possi solção única, o seja, ( β β 0, ( β β 0 e ( β β 0 O qe eslta em m sistema de tês eqações e tês incógnitas: β β β β β β 0 0 0, cja solção é a tiial e única β β β 0..8 Ânglos ente etoes Definição: Vamos considea o ânglo ente dois etoes a e b, não nlos, como sendo a medida θ do meno ânglo ente dois epesentantes dos etoes a e b, tendo ambos o mesmo ponto inicial, onde 0 θ π o o ( 0 θ 80. Denotaemos essa medida po ( a, b θ. Figa 7 Ânglo ente os etoes a e b Note qe, independente da escolha dos epesentantes dos etoes b AB DE (e figa 7, a medida θ do ânglo pois: a AC DF C A B é igal à medida θ do ânglo a eta definida pelos pontos A e C é paalela à eta definida pelos pontos D e F e a eta definida pelos pontos A e B é paalela à eta definida pelos pontos D e E. e F D E, 0
.9 Podtos ente etoes Deste momento em diante, estaemos sempe tabalhando no espaço tidimensional poém algmas idéias também podem se epandidas paa dimensões maioes, qe seão tatadas na disciplina Álgeba Linea. Os podtos ente etoes são opeações qe tazem m apelo geomético bem inteessante e qe seão mito úteis na compeensão das definições, popiedades e esolções de algns poblemas, pois estes podtos estão elacionados com as gandezas compimento (podto inteno, áea (podto etoial e olme (podto misto, geado po etoes em cetas condições..9. Podto Inteno R, O podto inteno está mito elacionado com ma medida de ma dimensão, m compimento, seja olhando como o tamanho de ma pojeção de m eto em elação a m oto, seja endo como o compimento de m eto qalqe. Definição: O podto inteno ente dois etoes a e b não nlos, é o númeo denotado po a b e definido pela epessão: a b a. b.cos( a, b Obseação: Este númeo, podto inteno, apaentemente indo do nada, na ealidade sge de ma simples azão tigonomética em m tiânglo etânglo ABC (e figa 8, dada po c a. cos( θ o c cateto adjacente cos(θ. a hipotensa Consideando nitáio o eto b Figa 8 Tiânglos ABC e DEF, temos do tiânglo DEF qe a noma do eto DF é DF a cos( θ a b cos(a,b a b, o seja, podemos e este númeo como sendo o compimento da pojeção do eto a em elação à dieção do eto nitáio b. Figa 9 Paalelepípedo ABCDEFGH com medidas 5 0
Eemplo: Considee os etoes nitáios e otogonais, e da figa 9, então: a o..cos(,..cos(90 0 b o..cos(,..cos(90 0 c o..cos(,..cos(90 0 d o..cos(,..cos(0 e o (..cos(,..cos(80 f o ( 5 ( 5..cos(5, 5..cos(90 0 g AB AD AB. AD.cos( AB, AD 5..cos(90 0 h AE AD AE. AD.cos( AE, AD..cos(90 0 o o Eecício: Enconte os podtos intenos de todas as combinações ente os etoes, e da figa 9, bem como de ses opostos. Popiedades: Dados tês etoes, e qaisqe e os númeos α, β R, temos: PPI Popiedade comtatia: Como as medidas anglaes ente os etoes e são igais, o seja, (, (,, da definição temos:..cos(,..cos(, PPI Popiedade distibtia do podto inteno em elação à soma: ( Consideando o eto como sendo nitáio e os etoes e, como na figa 0, temos qe: AB.cos(,..cos(, Figa 0 Popiedade PPI B C.cos(,..cos(, AC.cos(,..cos(, ( Como AC AB BC, conclímos qe (. Eecício: Moste qe a popiedade acima também é álida qando pelo menos m dos ânglos (, o (, é maio qe 90 o. 0
PPI α( ( α ( α Se α > 0, temos qe: α( α..cos(, α..cos( α, ( α ; Se α < 0, temos qe: α( α..cos(, α...cos( α, ( α, pois cos( α, cos(,. (Faça m esboço e eifiqe este fato PPI4 o Como a medida angla ente os etoes e é zeo, da definição temos: o..cos(,.cos0 Eecício: Spondo qe,, detemine e -. e qe o 0 é medida do ânglo ente os etoes e Solção: Como..cos(,, temos qe: Como - ( - ( - e o (.(.cos(0. ( - ( - ( ( 9 ( 4 7 6 6 7 temos qe: - 7 Eemplo: Com base nestas popiedades e consideando os etoes nitáios e otogonais, e da figa 9, temos: a AB AC ( 5 (5 (5 5 (5 5( 0( AB AC 5 0 0 5 b AG AG ( 5 (5 5 (5 (5 (5 [ 5 5 5 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5( 0( 5( ] [ 0( 4( 6( ] 5( 6( 9( [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5 ( 0(0 5(0 ] [ 0(0 4( 6(0 ] [ 5(0 6(0 9( ] [ 5 0 0] [ 0 4 0] [ 0 0 9] 8 04
c AG AG AG 8 d AG CE ( 5 ( 5 [ 5 ( 5 5 ( 5 ] [ ( 5 ( ] [ ( 5 ( ] [ 5( 0( 5( ] [ 0( 4( 6( ] 5( 6( 9( [ ] [ 5( 0(0 5(0 ] [ 0(0 4( 6(0 ] [ 5(0 6(0 9( ] [ 5 0 0] [ 0 4 0] [ 0 0 9] 5 4 9 0 e Os etoes AG e CE estão epesentados po das diagonais intenas, da definição do podto inteno paa esses etoes, temos: cos CE CE. AG.cos( AG CE 0 8. 8.cos( AG,CE AG, 0 0 0 ( AG, CE 0,56 Potanto podemos calcla o ânglo ente as diagonais (etoes, como 8. 8 8 9 o ( AG, CE accos( 0,56 Eecício: Demonste o teoema de Pitágoas paa m tiânglo etânglo qalqe (e o tiânglo ABC figa 8 Solção: Considee os etoes c AC e b CB noma ao qadado do eto AB (hipotensa ao qadado, temos: AB c b, potanto o eto AB c b, calclando a ( c b ( c b c c c b b b c c b b como o tiânglo é etânglo, os etoes c e b são pependiclaes, potanto c b 0, o qe eslta em: c b c b a b c Poposição: Em ma base otonomal {,, }, se a z e b z, então o podto inteno ente os etoes a e b é: a b z z a b a b a a b. a a b b b Eecício: Usando a base {,, } da figa 9, calcle AG CE. 05
Solção: Como AG 5 e CE 5, sando a poposição acima, temos AG CE ( 5.( 5 (.( (.( 5 4 9 0, como já haíamos calclado anteiomente..9. Podto Vetoial O podto etoial ente dois etoes é m eto cja noma está elacionada, geometicamente, com ma medida em das dimensões, o seja, ma áea. O fato de o podto etoial não se o eto nlo seá m indicatio, po eemplo, de qe: Tês pontos, qe definem dois etoes, fomam m tiânglo, o seja, não são colineaes; A distância ente das etas paalelas é positia (nidade ; Além disso, o podto etoial tem mitos sos em Física como campo magnético, toção, etc. Definição: O podto etoial ente dois etoes a e b não nlos, é o eto denotado po definido pelas segintes caacteísticas: Dieção: Pependicla aos etoes a e b, o seja, Noma: a b a. b sen( a, b a b a e a b b ; a b, Sentido: É dado pela ega da mão dieita qe é eqialente, algebicamente a { a, b, a b} se ma base positia do R. Obseações: Analisando a figa em elação à definição do podto etoial, Note qe apenas com a dieção teíamos ma infinidade de etoes paa epesenta o eto a b, pois qalqe eto AD, onde D, satisfaz a dieção eigida, onde é a eta qe contém o ponto A e é pependicla aos etoes a e b ; Com a caacteística da noma, teíamos das possibilidades paa o eto a b, o seja, o eto AD e o eto AE, desde qe estes tenham a noma igal a a b ; Paa qe o eto a b Figa Podto Vetoial seja bem definido, teemos 06
qe escolhe m deles. A escolha seá feita sando a ega da mão dieita, eibida no tópico a segi, mas já adiantando o eto a b é o eto AD. Note qe o eto AE, tem mesma dieção, mesmo compimento, mas sentido oposto, logo este eto é o oposto do eto a b, o seja, AE ( a b..9.. Rega da mão dieita A ega da mão dieita see infomalmente paa defini se tês etoes LI fomam ma base positia o oientação positia e, no nosso caso em paticla, paa detemina o sentido do eto a b. Esta ega consiste em sa a mão dieita e os dedos desta mão da seginte maneia, confome a figa : Posiciona o dedo indicado na dieção e sentido do eto a (pimeio eto; Posiciona o dedo médio na dieção e sentido do b (segndo eto; O polega indicaá qal sentido o eto a b dee te, qe seá necessaiamente pependicla aos etoes a b, po definição. Figa Rega da mão dieita Caso tenhamos tês etoes a, b e c, tendo c a mesma dieção de dizemos qe a oientação destes etoes é negatia. a b mas sentido oposto, Eemplo: Considee os etoes nitáios e otogonais, e da figa 9, então: a, pois: o é pependicla aos etoes e ; o o. sen(,.. sen(90 ; o sando a ega da mão dieita, confimamos o esltado; b, análogo ao anteio; c, análogo aos anteioes; d, pela definição; e 6, pois: o 6 é pependicla aos etoes e ; o o 6. sen(,.. sen(90 6 ; o sando a ega da mão dieita, confimamos o esltado; f 0, pois o o. sen(,.. sen(0 0 ; 07
Popiedades: Dados tês etoes, e qaisqe e o númeo PPV ( sege da definição; PPV α ( ( α ( α PPV Popiedade distibtia: ( e ( α R, temos qe: Eecício: Enconte os podtos etoiais de todas as combinações ente os etoes, e da figa 9, bem como de ses opostos. Obseações: Geometicamente o númeo associado à noma a b é eatamente a áea do paalelogamo fomado pelos etoes a e b, confome a figa Figa Áea do Paalelogamo ABCD. Basta obsea qe a áea de m paalelogamo qalqe é sempe compimento da base ezes a alta. Logo, no caso do paalelogamo ABCD fomado pelos etoes, a áea é dada po A base alta AB. DE, onde do tiânglo etânglo ADE temos a seginte elação: DE AD. sen( θ b. sen( a, b, logo a áea é dada po: A AB. DE a. b sen( a, b a b Note qe as áeas dos tiânglos ABD e BCD são igais à metade da áea do A a b paalelogamo A. Eemplo: Com base nessas popiedades e consideando os etoes nitáios e otogonais, e da figa 9, temos: a AB AC ( 5 (5 (5 5 (5 5( 0( 5 0 0 0 b AG AG ( 5 (5 5 (5 (5 (5 [ ] [ ] [ ] 08
09 [ ] [ ] [ ] 5 5 5 5 5 5 [ ] [ ] [ ] 9( 6( 5( 6( 4( 0( 5( 0( 5( [ ] [ ] [ ] 9(0 6( 5( 6( 4(0 0( 5( 0( 5(0 [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 6 5 6 0 0 5 0 0 como ea de se espea; c 5 ( 5 ( CE AG [ ] [ ] [ ] ( 5 ( ( 5 ( 5 ( 5 5 ( 5 [ ] [ ] [ ] 9( 6( 5( 6( 4( 0( 5( 0( 5( [ ] [ ] [ ] 9(0 6( 5( 6( 4(0 0( 5( 0( 5(0 [ ] [ ] [ ] 0 0 0 6 5 6 0 0 5 0 0 Poposição: Em ma base otonomal positia },, { qalqe, se z a a a a e z b b b b, então podto etoial ente os etoes a e b é o deteminante : b b b a a a z z b a Eecício: Usando a base },, { da figa 9, calcle a áea do paalelogamo fomado pelos etoes AG e CE. Solção: Como AG 5 e CE 5, sando a poposição acima, temos: CE AG 0 0 0 5 6 0 5 6 5 5 como já haíamos calclado anteiomente, e a noma do eto CE AG é igal á ( (, 044 (0 0 ( ( CE AG CE AG CE AG, logo a áea do paalelogamo seá igal a.., a A. O deteminante está ente aspas, paa enfatiza qe o cálclo é igal ao de m deteminante qalqe, poém a pimeia linha é composta de etoes. A simbologia.a. significa nidade de áea, po eemplo: m (meto qadado, cm (centímeto qadado, etc.
.9. Podto Misto O podto misto é ma jnção dos dois podtos anteioes, e com m esltado geomético impotante: o módlo do podto misto está elacionado, geometicamente, com ma medida em tês dimensões, o seja, m olme. O fato qe este olme se positio eelaá, po eemplo, qe tês etoes são LI. Definição: O podto misto ente os etoes a, b e c é o númeo, denotado po [ a, b, c], definido pela epessão: [ a, b, c] a b c Obseação: Não é necessáia a colocação de paênteses em a b na definição, pois a única maneia de se calcla este númeo é como sendo o podto inteno do eto a b com o eto c, já qe o podto etoial ente o eto a e o númeo b c não eiste. Eemplo: Considee os etoes nitáios e otogonais, e da figa 9, então: a [,, ] b [,, ] c [,, ] d [,, ] e [,, ] f [ AB, AD, AE] AB AD AE 0 0 g [ AG, CE, BH] AG CE BH ( 0 0 ( 6 Obseação: Geometicamente o númeo [ a, b, c] associado ao podto misto, é eatamente o olme do paalelepípedo definido pelos etoes a, b e c, confome a figa 4, pois basta obsea qe o olme de m paalelepípedo qalqe é sempe a áea da base ezes a alta. No caso do paalelepípedo ABCDEFGH, fomado pelos etoes, temos: Áea da base é dada po a b ; A base Do tiânglo etânglo AE E temos a seginte elação paa a alta h AE c.cos(, onde θ ( a b, c ; Figa 4 Paalelepípedo inclinado ABCDEFGH θ 0
logo o olme do paalelepípedo é V A. h a b. c.cos( a b, c, qe po definição de base podto inteno implica qe V A. h a b c [ a, b, c]. base Poposição: Em ma base otonomal positia {,, }, se a a a za, b z e c z, então podto misto ente os etoes a, b e c é o b b deteminante: b c c c [ a, b, c ] a b c a b c z z z a b c Eecício: Usando a base {,, } da figa 9, calcle o olme do paalelepípedo geado pelos etoes AG, CE e BH. Solção: Como AG 5, CE 5, BH 6 e o olme é o módlo do podto misto, pela poposição acima, temos: 5 [ AG, CE, BH] 5 6 como já haíamos calclado anteiomente, logo o olme é V...0 Vetoes em coodenadas do R espaço Deste ponto em diante, iemos tabalha em m sistema otogonal de coodenadas do R, onde epesentaemos pontos e etoes po m tio de númeos, chamados de coodenadas, e onde aplicaemos toda a teoia anteiomente estdada. Paa tanto, iemos sa a base otonomal positia { i, j, k} de R, qe chamaemos de base canônica. Definição: Seja O R m ponto e B { i, j, k} ma base otonomal positia. A dpla ( O, B é chamado de sistema otogonal de coodenadas em R, de oigem O e base { i, j, k}. Obseações: Com base na figa 5: Consideaemos o sistema otogonal de coodenadas em R, o simplesmente sistema de coodenadas, sendo O a oigem do sistema de coodenadas, e escolhendo os etoes i OA, j OB e k OC. Figa 5 Eios coodenados do R A simbologia.. significa nidade de olme, po eemplo: m (meto cúbico, l (lito, cm (centímeto cúbico, etc.
Indicaemos po O, O e Oz as tês etas definidas pelos segmentos oientados OA, OB e OC, espectiamente, qe são chamadas salmente de eios dos (das abscissas, eios dos (das odenadas e eios dos z (das cotas. As setas na figa indicam o sentido positio de cada eio. Definição: Dado m ponto P R qalqe, as coodenadas do eto OP na base otonomal positia { i, j, k}, são chamadas de coodenadas de P no sistema de coodenadas definida acima, o seja, se OP i j z k, então as coodenadas do ponto P, P P P seão denotadas pela tipla P,, z (figa 6. ( P P P Figa 6 Repesentação do ponto P Eemplo: Na figa 7, estão macados algns pontos: a Como o eto OA i j k, logo A (,, ; b Como o eto OO 0i 0 j 0k 0, logo O (0,0,0 ; c Os otos pontos são X (,0,0, Y (0,,0, Z (0,0,, F (,,0, e H (,0,. A A A Poposição: Dados dois pontos A,, z e B,, z qaisqe, no nosso sistema de ( A A A ( B B B coodenadas do R, temos qe as coodenadas do eto AB são dadas po: AB ( B A, B A, zb za Figa 7 Repesentação de pontos Demonstação: Note qe qalqe eto AB, pode se escito como: AB AO OB OA OB ( Ai A j zak ( Bi ( i ( j ( z z k B A B qe, escito em coodenadas, tem-se o esltado,, z z. A B A ( B A B A B A B j z k B Obseações: Paa enconta as coodenadas de m eto AB basta faze a difeença, coodenada a coodenada, ente o ponto final e o ponto inicial; Dois etoes são igais, qando as coodenadas são igais. Eemplo: Consideando os pontos da figa 7, temos qe as coodenadas dos etoes são: AH ( 0,,0, AX ( 0,,, FG (,0,, FZ (,, e H (,, A A Y A
. Eemplos A pati deste momento iemos efaze, ia eecícios e eemplos, todos os podtos ente etoes, bem como calcla compimentos, áeas, olmes e otas coisinhas mais, consideando o sistema de coodenadas do R definido. Em todos os eemplos abaio, considee os pontos A (,0,, B (,, e C ( 0,, :... Os pontos A, B e C são étices de m tiânglo? Paa eifica qe são étices de m tiânglo, basta eifica qe os pontos não são colineaes, o seja, qe não estão na ma mesma eta. Como faze isso? Desenhe m tiânglo qalqe; Escolha dois etoes, po eemplo, AB Note qe esses dois etoes não são paalelos; Logo esses etoes são LI; e AC ; Dois etoes são LI qando m é múltiplo do oto (coeto? ERRADO, o ceto é qe, qando são LI, não eiste combinação linea ente eles; Logo amos eifica se é possíel acha ma combinação ente esses etoes; Note qe AB (, 0, (,, e AC ( 0, 0, (,, Se eistisse tal combinação, teíamos qe λ, qe em coodenadas seia: (,, λ (,, λ λ / (,, ( λ, λ,λ λ λ λ λ / o seja, é impossíel eisti m λ R, tal qe λ, potanto os etoes são LI, logo os pontos A, B e C são étices de m tiânglo.... Qal é a alta elatia ao maio lado do tiânglo ABC? Paa detemina a alta elatia, temos qe detemina pimeio qal é o maio lado e só depois acha a alta. Como faze isso? Vamos calcla a nomas dos tês etoes, o seja, a noma de BC (,,, logo: AB, AC e
AB ( ( ( BC ( ( ( 4 4 9 AC ( ( ( 9 4 4 o seja, AC é o maio lado do tiânglo, pois AC 4 > > ; Desenhe m tiânglo com essas caacteísticas; Note qe a alta pocada é elatia à base AC e como a áea de m tiânglo qalqe é A base alta, basta enconta a áea, pois o compimento da base, já sabemos qe mede 4, o seja, como i j k AB AC i j 4k, temos qe a áea é dada po: AB AC ( ( (4 A 6. a. A 6 Conclímos finalmente qe alta. c. base 4 7 Lembete: Dado o númeo a R, qalqe, é sempe possíel acha dois númeos natais consectios n e n, tais qe, n a n. Po eemplo 9 4 6 4.... Enconta m eto pependicla aos etoes e. Como faze isso? Lembe-se qe o eto é m eto pependicla aos etoes e ao mesmo tempo, logo ele seá o nosso eto ; Logo AB AC i j 4k, calclado anteiomente....4 Moste qe {,, } é ma base positia do R. Como faze isso? Paa eifica qe os tês etoes fomam ma base, basta mosta qe eles são LI; Usando o teoema, basta eifica qe a eqação z 0 possi solção única z 0, o seja, a solção tiial; Esceendo a eqação em coodenadas temos: (,, (,, z(,,4 (0,0,0 (,, (,, (z, z,4z (0,0,0 4
5 ( (0,0,0 4,, z z z qe eslta no seginte sistema linea: 0 4 0 0 z z z O sistema possi solção única, a tiial, pois o deteminante da matiz dos coeficientes é 0 6 4 det A A base é positia poqe....5 Calcle o olme do paalelepípedo fomado pelos etoes, e. Como faze isso? Lembe-se qe o módlo do podto misto é eatamente o olme pedido. 6 4 ],, [ Note qe o deteminante é o mesmo do sistema do item anteio, potanto o olme do paalelepípedo é:.. 6 6 ],, [ V...6 Escee o eto (4,,4 a na base },, {. Como faze isso? Isto significa escee o eto a como combinação linea dos etoes, e, o seja: z a Temos qe detemina os aloes de, e z qe satisfaçam à eqação acima, e esceendo em coodenadas ficaia: (4,,4,4 (,,, (,, ( z (4,,4,4, (,, (,, ( z z z ( (4,,4 4,, z z z qe eslta no o sistema 4 4 4 z z z Como já sabemos qe o sistema possi solção única, pois o deteminante da matiz dos coeficientes é, podemos esolê-lo pela ega de Came; Usando a ega, temos qe detemina os segintes tês deteminantes:
4 det( A 5 det( A 5 det( A 6 4 4 det( A 4 4 det( A 6 det( A 4 6 6 4 det( Az 6 det( Az 6 z det( A 6 4 Conclímos então qe a (enconte esta mesma esposta sando escalonamento 4. Aaliando o qe foi constído Foam intodzidas, nesta nidade, noções básicas de etoes, sas caacteísticas, jntamente com as sas opeações básicas de soma e mltiplicação po escala. Definimos também os tês podtos ente etoes: Podto inteno elacionado com a medida de m compimento, o seja, pojeção de m eto em elação à dieção do oto; Podto etoial elacionando com a medida de ma áea, o seja, com o cálclo da áea de m paalelogamo fomado po dois etoes; Podto misto elacionado com o olme, o seja, com o cálclo do olme de m paalelepípedo, definido po tês etoes. E finalmente foam dadas coodenadas aos etoes, tazendo de ez os etoes paa o nosso espaço com tês dimensões, o seja, as noções de compimento, laga, alta, LI, LD e base foam todos tatados algebicamente. 6
Unidade II Retas e Planos. Sitando a Temática Nesta nidade estdaemos e definiemos as etas e os planos, ataés de sas eqações etoiais e algébicas, tilizando de etoes e de sas opeações.. Poblematizando a Temática Tataemos áios poblemas geométicos, como po eemplo, posições elatias ente as etas, ente as etas e os planos e ente planos, bem como calclaemos o ânglo, distâncias e inteseções ente estes elementos, tilizando as facilidades dadas pelas popiedades encontadas nos etoes e sas opeações elementaes e ses podtos, com sas espectias caacteísticas geométicas e algébicas.. Conhecendo a Temática. Intodção Vamos pimeiamente defini plano, pois ma das possibilidades paa a definição de ma eta é a inteseção de dois planos não paalelos (pense na inteseção do plano do chão com o plano de ma paede: é ma eta. Sempe qe possíel, tente desenha, faze m esboço, de ma eta, m plano, como seá mostado aqi, mas mesmo se não tie habilidades no desenho, imagine sempe planos, aqeles qe estão ao se edo, como paedes, chão, teto, telhados e as etas, como sendo as qinas das paedes, as linhas de ma qada de jogo, etc., pois seá mito impotante e, o pensa, de como essas etas e planos podem esta dispostos no espaço tidimensional.. O plano Vamos defini m plano de tês maneias difeentes, o seja, amos enconta ma elação qe m ponto P qalqe tenha qe satisfaze paa qe petence ao plano. Sempe tilizando as feamentas e idéias dadas pelos etoes (e sistemas estdados nas nidades anteioes. Vamos epesenta m plano gaficamente po m pedaço, salmente na foma de m paalelogamo, pois seia impossíel epesenta-lo em m espaço limitado, pois o Figa Repesentação de m plano. plano é infinito, eja na figa. Usaemos letas gegas minúsclas paa epesenta os planos, eibidas nas colnas leta da tabela. 7
leta LETRA Nome leta LETRA Nome leta LETRA Nome α Α Alfa ι Ι Iota ρ Ρ Rô β Β Beta κ Κ capa σ Σ Sigma γ Γ Gama λ Λ Lambda τ Τ Ta δ Delta µ Μ Mi υ Υ Ípsilon ε Ε Epsílon ν Ν Ni φ Φ Fi ζ Ζ Dzeta ξ Ξ csi χ Χ Qi ε Η Eta ο Ο Ômicon ψ Ψ Psi θ Θ Teta π Π Pi ω Ω Ômega Tabela Letas gegas minúsclas, maiúsclas e nome... Po tês pontos Considee tês pontos não colineaes 4 A, B e C qaisqe do espaço tidimensional R, como na figa. As condições paa m ponto P qalqe, petence ao plano π, são: Os etoes AB, AC e AP estão contidos no plano π, na ealidade são paalelos ao plano π, logo o olme do paalelepípedo fomado po estes etoes é zeo, o seja, o módlo do podto misto é zeo, potanto: [ AP, AB, AC] 0 Os etoes AB, AC e AP são lineamente dependentes, logo eiste ma combinação linea do eto AP em elação aos etoes AB e AC, o seja, eistem dois númeos eais κ e κ, tais qe: AP κ AB κ AC Figa Plano definido po tês pontos. Definição: A eqação AP κ AB κ AC é chamada de eqação etoial do plano π e os dois etoes AB e AC são chamados de etoes dietoes do plano. No sistema de coodenadas, seja P (,, z m ponto qalqe do plano π definido pelos pontos, não colineaes, do espaço A,, z, B,, z e C,, z, ( A A A ( B B B considee os etoes AB ( B A, B A, zb za (,, z, AC ( C A, C A, zc za (,, z e AP,, z z, ( A A A ( C C C 4 Qe não petencem a ma eta o qe fomam m tiânglo. 8
Potanto: Dá eqação etoial, temos: AP κ AB κ AC AP κ κ ( AP 4444 A, 4A, z z 444 A κ ( 44,, z κ ( 44,, z Esceendo cada coodenada como ma eqação e isolando as aiáeis, e z, temos o seginte sistema de eqações, chamado de sistemas de eqações paaméticas do plano π o simplesmente de eqações paaméticas do plano: Do podto misto temos: A π : A z za κ κ z κ [ AP, AB, AC] 0 [ AP,, ] 0 A A κ z κ κ z z z z A 0 Fazendo: ( A ( z z ( A ( z z ( z za ( 0 44 44 44 4 44 44 o a z z, a ( o b z z, ( o c e ( o d a b cz ( A A A Temos a chamada eqação geal, o eqação nomal, o simplesmente eqação do plano π, dado po: π : a b cz d 0 b c Eecício: Detemina as eqações paaméticas e a eqação nomal do plano π qe contém os pontos A (,0,, B (,, e C ( 0,,, e eifica se o ponto D (, 6, e a oigem do sistema petencem ao plano. Solção: Os etoes dietoes são AB (,, e AC (,,. Seja P (,, z m ponto qalqe do plano, então temos AP (,, z, logo: Da eqação etoial temos:,, z κ(,, κ (,, ( 9
Qe eslta em nas eqações paaméticas do plano π : Do podto misto temos: κ κ π : 0 κ κ z κ κ z 0 Qe eslta na seginte eqação nomal do plano π : π : 4z 0 Paa eifica qe o ponto D (, 6, e a oigem O (0,0,0, petencem ao plano, basta sbstiti as tês coodenadas dos pontos na eqação do plano π. Se a igaldade fo satisfeita, o ponto petence ao plano, caso contáio, não petence, logo: o O ( 0,0,0 (0 { (0 { 4(0 { 0, logo O não petence a π ; z o D (, 6, ( { ( { 6 4( { 0, logo D petence ao plano π. z Obseações: Note qe, nas eqações paaméticas do eecício anteio, as coodenadas do ponto A (,0,, estão soltas em ma colna e as coodenadas dos dois etoes AB (,, e AC (,, também estão nas colnas, poém mltiplicadas pelos dois paâmetos κ e κ. Nas eqações paaméticas do plano π, sbstitindo: κ 0 e κ 0, temos o ponto A, κ e κ 0, temos o ponto B e κ 0 e κ, temos o ponto C; Paa cada pa de paâmetos κ e κ coespondem a m único ponto do plano e paa cada ponto P do plano coesponde m único pa de paâmetos... Po m ponto e dois etoes Considee m ponto A qalqe do espaço tidimensional e dois etoes e, não paalelos, o seja, lineamente independentes, como na figa. 0 Figa Plano definido po m ponto e dois etoes.
As condições paa qe m ponto P qalqe petença ao plano π são as mesmas tilizadas anteiomente paa planos definidos po tês pontos, pois só foam de fato tilizados o ponto A e os etoes dietoes AB e AC... Um ponto e m eto pependicla Considee m ponto A qalqe do espaço tidimensional e m eto n π (chamado de eto nomal, não nlo, pependicla ao plano π, como na figa 4. Note qe a condição paa m ponto P qalqe petence ao plano π, é qe os etoes n π e AP sejam pependiclaes, o seja, qe o podto inteno n π AP 0. Figa 4 Plano definido po m ponto e m eto nomal. Em m sistema de coodenadas, seja P (,, z m ponto qalqe do plano π definido pelo ponto A,, z e pelo eto nomal n ( a, b, c, então pela condição n AP, temos n π AP 0, logo: ( A A A π ( a, b, c (,, 0 444 A 4A z z 444 A nπ AP a ( b( c( z z 0 a A A A A A b cz ( a b cz 0 Consideando d a b cz, temos a eqação geal do plano π, dada po: ( A A A π : a b cz d 0 Obseação: Os coeficientes das aiáeis, e z da eqação geal de m plano qalqe, definido po π : a b cz d 0, são eatamente, na odem, as coodenadas de m eto nomal ao plano π, o seja, n ( a, b, c. π A π Eecício: Detemina as eqações paaméticas e a eqação nomal do plano ϕ qe contém o ponto S (,, e é pependicla ao eto (,,. Solção: Vamos pimeio, acha a eqação geal do plano, consideando como eto nomal do plano o eto nϕ (,,, potanto m ponto P (,, z paa petence ao plano ϕ, tem qe satisfaze à eqação SP 0, logo: n ϕ (,, (,, z 0 ( ( ( z 0 Qe eslta na eqação nomal do plano ϕ : z 6 0 A pati da eqação geal, paa acha as eqações paaméticas do plano, podemos:
Acha otos dois pontos, ecaindo em m plano definido po tês pontos, atibindo aloes paa as aiáeis, encontando pontos qe satisfaçam à eqação do plano ϕ, como po eemplo, os pontos R (0,0,, T (,0,0, Q (,4,0, etc. A ota maneia, bastante algébica, seia considea das aiáeis da eqação do plano igal a dois paâmetos µ e µ qaisqe, como po eemplo, considee µ e z µ, logo as eqações paaméticas do plano ϕ seiam µ ϕ : 6 µ µ z µ 0 µ 0µ o na foma completa ϕ : 6 µ µ. z 0 0µ µ. A eta Uma eta pode se definida de tês maneias, bastando obsea os dados qe se dispõe paa defini-la, mas os tês casos, olhando com atenção, se edzem a m só, mas amos e as tês possibilidades logo adiante. Usaemos letas latinas minúsclas paa epesenta as etas, como po eemplo, a, b,...,, s,... Figa 5 Repesentação de ma eta. Vamos epesenta a eta gaficamente po m pedaço, po m segmento, pois seia impossíel epesentá-la em m espaço limitado, pois a eta é infinita. Veja na figa 5... Po dois pontos Considee dois pontos distintos A e B qaisqe do espaço tidimensional R, como na figa 6. Note qe a condição paa m ponto P qalqe petence à eta é qe os etoes AB e AP sejam paalelos, o seja, são lineamente dependentes, logo são múltiplos, potanto eiste m númeo τ, qe eslta a seginte Figa 6 Reta definida po dois pontos. eqação etoial AP τ AB Definição: Qalqe eto não nlo, qe dá a dieção de ma eta, é chamado de eto dieto da eta. Obseação: No sistema de coodenadas, seja P (,, z m ponto qalqe da eta, definida pelos pontos, distintos, do espaço A,, z e B,, z, considee os etoes ( A A A ( B B B AB ( B A, B A, zb za (,, z e AP,, z z, ( A A A
Potanto, da eqação etoial, temos: AP τ AB AP τ ( 44 A, 44 4A, z z 444 A τ ( 44,, z AP Esceendo cada coodenada como ma eqação e isolando as aiáeis, e z, temos o seginte sistema de eqações, chamado de sistemas de eqações paaméticas da eta o simplesmente de eqações paaméticas da eta: : z z A A A τ τ z τ Se nenhma das coodenadas do eto dieto AB, fo nla, podemos isola o A A paâmeto τ de cada ma das eqações acima, obtendo τ, τ e A A z za seja, temos a seginte igaldade τ. τ z z z A, o Definição: O sistema de eqações : A A z z A é chamado sistema de eqações da eta na foma simética, o simplesmente eqações siméticas da eta. Eecício: Detemina as eqações paaméticas e siméticas da eta qe contém os pontos A (,0, e B (,,, e eifica se o ponto E (,, e a oigem do sistema petencem à eta. Solção: O eto dieto da eta é AB (,,. Seja P (,, z m ponto qalqe da eta, então temos AP (,, z e a eqação etoial: (,, z τ(,, Qe eslta em nas eqações paaméticas da eta τ : 0 τ. z τ Isolando o paâmeto τ das eqações acima, obtemos as eqações siméticas da eta: 0 z :, o : z. Paa eifica qe o ponto E (,, e a oigem O (0,0,0, petencem à eta, basta sbstiti as tês coodenadas dos pontos nas eqações siméticas da eta, se as igaldades foem satisfeitas, o ponto petence à eta, caso contáio, não petence, logo:
0 0 0 0 O (0,0,0 0, não petence a ; { 0 0 E (,,, petence à eta. { {.. Po m ponto e m eto Considee m ponto A qalqe do espaço tidimensional e m eto, não nlo, como na figa 7. As condições de m ponto P qalqe petence à eta são as mesmas tilizadas anteiomente paa ma eta definidos po dois pontos, pois só foam tilizados, de fato, o ponto A e o eto dieto AB. Figa 7 Reta definida po m ponto e m eto.. Po dois planos Considee dois planos, não paalelos e não coincidentes, qaisqe, como na figa 8. Paa detemina a eta inteseção destes dois planos, amos consideá-los definidos po α : a b cz d 0 e β : p q z s 0, logo a eta é a solção do sistema: a b cz d 0 : p q z s 0 Lembe-se qe paa defini ma eta, é necessáio: Dois pontos Neste caso podemos acha das solções paa o sistema acima, não necessaiamente tendo qe esole o sistema. Como faze isso? Seá qe esta eta tem algm ponto cja pimeia coodenada seja 0? o Fazendo 0, o sistema acima, fica apenas com das aiáeis, qe é bem mais fácil de esole, o seja, Figa 8 Reta definida po dois planos. b cz d 0 :. Se tie solção, achamos o pimeio ponto, q z s 0 caso contáio, faça 0, z 0 o qalqe oto alo paa ma das coodenadas. o Paa acha o segndo ponto, siga a mesma idéia de acha o pimeio ponto. Um ponto e m eto dieto Ache m ponto como anteiomente e obsee qe o eto dieto da eta é pependicla aos etoes n α e n β, o seja, podemos considea o eto dieto n α nβ. 4
Eecício: Detemina as eqações paaméticas e siméticas da eta dada pela inteseção dos planos α : z 0 e β : z 0. Solção: z 0 Vamos pimeio detemina esta eta, como solção do sistema, sando o z 0 método do escalonamento, temos: L L L 0 L L L 0 0 0 O qe eslta no sistema eqialente z z, escolhendo z τ e sbstitindo no sistema eqialente, obtemos as eqações paaméticas da eta z obtemos as eqações siméticas :. τ : τ e destas, z 0 τ Se não gosta de escalonamento, podemos então detemina dois pontos da eta, escolhendo, po eemplo, o 0, edzindo o sistema paa z 0 z 0 seja, m pimeio ponto da eta é A (,0, ; o z 0, edzindo o sistema paa 0 0 o seja, m segndo ponto da eta é B (,,0. Logo m eto dieto é o eto AB (4,, eta são z :. 4, tendo como solção, tendo como solção e z, o e, e, potanto, as eqações paaméticas da 4τ : 0 τ e, destas eqações, obtemos as eqações siméticas z τ Pode-se também detemina m ponto e m eto dieto da eta. o Paa enconta m ponto, fazemos como acima. Vamos tiliza, então, o ponto A (,0,. 5
o Paa detemina m eto dieto, basta calcla n α nβ, logo i j k n n i j k α β. Potanto as eqações paaméticas da eta são z eqações siméticas :. τ : 0 τ e destas, obtemos as z τ Obseação: Apesa das eqações paaméticas e siméticas da eta, encontadas no eecício acima, seem difeentes, elas epesentam a mesma eta, o qe as difeencia é a escolha de m ponto inicial e de m noo eto dieto, múltiplo do eto dieto obtido anteiomente..4 Posição elatia Paa o estdo de posições elatias, é impotante enega as etas e os planos, jntamente com os elementos qe o definem, o seja, FAÇA áios esboços, po eemplo, das etas paalelas, ma eta pependicla a m plano, etc. Paa esole poblemas, como ânglos, distâncias e inteseções, enolendo etas e planos, não como eles estão definidos pelas sas eqações, mas geneicamente, é necessáio sabe como eles estão colocados no espaço, o seja, em qe posição m está em elação ao oto..4. Ente etas Eistem qato possibilidades paa a posição elatia ente das etas. Vamos considea, paa efeito de estdos das posições elatias: A eta definida pelo ponto R e pelo eto dieto e A eta s definida pelo ponto S e pelo eto dieto s..4.. Retas coincidentes Obseando as das etas e s paalelas coincidentes, na figa 9, conclímos qe: Repesentam a mesma eta; Os etoes dietoes e s são paalelos, logo são LD; O ponto S e R s ; Figa 9 Retas coincidentes. 6
O eto SR é paalelo aos etoes dietoes; A inteseção ente as etas é a pópia eta; O ânglo (, s ente as etas é 0 o ; A distância d (, s ente as etas é 0..4.. Retas paalelas Obseando as das etas e s paalelas distintas, na figa 0, conclímos qe: Os etoes dietoes e s são paalelos, logo são LD; O ponto S e R s ; O eto SR não é paalelo aos etoes dietoes; Não eiste inteseção ente as etas; O ânglo (, s ente as etas é 0 o ; Figa 0 Retas paalelas. A áea do paalelogamo fomado pelos etoes e SR é positia; A distância d (, s ente as etas é positia..4.. Retas concoentes Obseando as das etas e s concoentes, na figa, conclímos qe: Os etoes dietoes e s não são paalelos, logo são LI; A inteseção ente as etas é o ponto I; O ânglo (, s ente as etas está ente 0 o e 80 o ; Figa Retas concoentes. Os etoes, s e SR, podem se epesentados em m plano, logo são LD; O olme do paalelepípedo fomado pelos etoes, s e SR é 0; A distância d (, s ente as etas é 0..4..4 Retas eesas Obseando as das etas e s eesas, o seja, as etas estão em planos paalelos distintos, como na figa, conclímos qe: Os etoes dietoes e s não são paalelos, logo são LI; Não eiste inteseção ente as etas; O ânglo (, s ente as etas está ente 0 o e 80 o ; Figa Retas eesas. Os etoes, s e SR, não podem se epesentados em m plano, logo são LI; 7
O olme do paalelepípedo fomado pelos etoes, s e SR é positio; A distância d (, s ente as etas é positia..4. Ente etas e planos Eistem tês possibilidades paa a posição elatia ente ma eta e m plano. Vamos considea, paa efeito de estdos das posições elatias: A eta definida pelo ponto R e pelo eto dieto e O plano α definido pelo ponto A e pelo eto nomal n α, o pelo ponto A e dois etoes dietoes e..4.. Reta contida no plano Obseando a eta paalela e contida no plano α, na figa, conclímos qe: Os etoes e n α são pependiclaes, logo n 0 ; α A inteseção ente a eta e o plano é a pópia eta ; O ânglo ( α, ente a eta e o plano é 0 o ; Figa Reta contida no plano O eto AR é pependicla ao eto n α ; Os etoes, e, podem se epesentados em m plano, logo são LD; O olme do paalelepípedo fomado pelos etoes AR, e é 0; A distância d( α, ente a eta e o plano é 0..4.. Reta paalela ao plano Obseando a eta paalela ao plano α, na figa 4, conclímos qe: Os etoes e n α são pependiclaes, logo nα 0 ; A inteseção ente a eta e o plano é azia; O ânglo ( α, ente a eta e o plano é 0 o ; O eto AR não é pependicla ao eto n α ; Figa 4 Reta paalela ao plano. Os etoes, e, podem se epesentados em m plano, logo são LD; O olme do paalelepípedo fomado pelos etoes AR, e é positio; A distância d( α, ente a eta e o plano é positia..4.. Reta concoente ao plano 8
Obseando a eta concoente ao plano α, o seja, qe o intecepta em apenas m ponto, na figa 5, conclímos qe: Os etoes e n 0 ; α n α não são pependiclaes, logo A inteseção ente a eta e o plano é o ponto I; O ânglo ( α, ente a eta está ente 0 o e 80 o ; Figa 5 Reta concoente ao plano Os etoes, e, não podem se epesentados em m plano, logo são LI; O olme do paalelepípedo fomado pelos etoes, e é positio; A distância d( α, ente a eta e o plano é 0..4. Ente planos Eistem tês possibilidades paa a posição elatia dois planos. Vamos considea, paa efeito de estdos das posições elatias: O plano α definido pelo ponto A e pelo eto nomal n α, o pelo ponto A e dois etoes dietoes e. O plano β definido pelo ponto B e pelo eto nomal n β, o pelo ponto B e dois etoes dietoes a e b..4.. Planos coincidentes Obseando os dois planos paalelos e coincidentes α e β, na figa 6, conclímos qe: Os etoes n α e n β são paalelos, logo n n 0 ; α β A inteseção ente os dois planos é o pópio plano α (o β ; O ponto A β e o ponto B α ; Figa 6 Planos paalelos e coincidentes O ânglo ( α, β ente os planos é 0 o ; Os etoes,, a e b, podem, tês a tês, se epesentados em m plano, logo qalqe conjnto com tês destes etoes é LD; O eto AB é pependicla aos etoes n α e n β ; Os etoes AB, e são LD, bem como os etoes AB, a e b, O olme do paalelepípedo fomado pelos etoes AB, e é 0; A distância d ( α, β ente planos é 0. 9
.4.. Planos paalelos Obseando os dois planos paalelos e distintos α e β, na figa 7, conclímos qe: Os etoes n α e n β são paalelos, logo n n 0 ; α β A inteseção ente os dois planos é azia; O ponto A β e o ponto B α ; O ânglo ( α, β ente os planos é 0 o ; Figa 7 Planos paalelos Os etoes,, a e b, podem, tês a tês, se epesentados em m plano, logo são LD; O eto AB é pependicla aos etoes n α e n β ; Os etoes AB, e são LI, bem como os etoes AB, a e b ; O olme do paalelepípedo fomado pelos etoes AB, e é positio; A distância d ( α, β ente planos é positia..4.. Planos concoentes Obseando os dois planos paalelos e coincidentes α e β, na figa 7, conclímos qe: Os etoes n α e n β não são paalelos, logo n n 0 ; α β A inteseção ente os dois planos é ma eta, já deteminada anteiomente; O ânglo ( α, β ente os planos é positio; Figa 8 Planos concoentes. A distância d ( α, β ente planos é 0..5 Ânglo Paa detemina ânglos ente as etas, ente as etas e os planos e ente planos, é necessáio pimeio, sabe qal é a posição elatia ente eles, pois dependendo do caso, o ânglo é nlo e nada paa se faze, mas qando não fo nlo, o ânglo seá calclando, sando o cálclo do ânglo ente dois etoes (.8 e.9. da Unidade II..5. Nlo O ânglo seá nlo qando: As etas e s foem paalelas o coincidentes (figas 9 e 0 A eta fo paalela, o estie contida no plano α (figas e 4 0
Os planos α e β foem paalelos o coincidentes (figas 6 e 7.5. Não nlo O ânglo seá não nlo qando: As etas e s foem concoentes o eesas (figas e Neste caso, diemos qe o ânglo ente as etas, denotado po (, s, seá o meno ânglo entes os ânglos (, s e (, s. A eta fo concoente ao plano α (figa 5 Neste caso, o ânglo ente a eta e o plano, denotado po ( α,, é igal ao ânglo o π 90 ( nα, o, em adianos, ( n, α. Os planos α e β foem concoentes (figa 8 Neste caso, o ânglo ente os planos, denotado po ( α, β, é igal ao ânglo n, definido pelos etoes nomais. ( α n β.6 Inteseções As inteseções ente as etas, ente as etas e os planos e ente planos, depende da posição elatia. Se a inteseção fo azia, nada a faze, se não fo azia, dee-se, basicamente, esole sistemas, paa enconta a solção..6. Vazia A inteseção seá azia qando: As etas e s foem paalelas distintas o eesas (figas 0 e. A eta fo paalela ao plano α (figa 4. Os planos α e β foem paalelos distintos (figa 7..6. Não azia A inteseção não seá azia qando: As etas e s foem coincidentes (figa 9 Neste caso, a inteseção seá a pópia eta (o s. As etas e s foem concoentes (figa Neste caso, a inteseção seá m ponto I. Como faze isso? Considee as etas e s definida pelas segintes eqações paaméticas R τ : R τ e s : z zr τ z z S S S ρ s ρ s z ρ s
O ponto I de inteseção das etas é m ponto qe dee satisfaze as das eqações paaméticas, o seja, I ( τ, τ, z z τ e I ( τ, τ, z z τ s R R R S s S s S s Potanto, basta esole o seginte sistema, nas incógnitas τ e ρ : I : z R R R τ τ τ z S S S ρ s ρ s z ρ s Uma ez deteminado o alo de τ o de ρ, basta sbstiti na eqação da eta coespondente, obtendo o ponto I. A eta estie contida no plano α (figa Neste caso a inteseção seá a pópia eta. A eta fo concoente ao plano α (figa 5 Neste caso a inteseção seá m ponto I. Como faze isso? R τ Considee a eta definida pelas eqações paaméticas : R τ e o plano α z zr τ definida pela eqação geal α : a b cz d 0, o ponto I de inteseção da eta com o plano, é m ponto qe dee satisfaze as eqações paaméticas da eta e a eqação geal do plano, o seja, logo, basta esole a seginte eqação, do pimeio ga, na incógnita τ : a( τ b( τ c( z z τ d 0 R R Uma ez deteminado o alo de τ, basta sbstiti na eqação da eta, obtendo o ponto de inteseção I. Os planos α e β foem paalelos coincidentes (figa 6. Neste caso a inteseção seá o pópio plano α o β. Os planos α e β foem concoentes (figa 8. Neste caso a inteseção seá ma eta, ista em.. desta nidade. R.7 Distâncias As distâncias ente as etas, ente as etas e os planos e ente planos, também depende da posição elatia pois, se a distância fo zeo, nada a faze, se não fo zeo, dee-se,
basicamente, calcla compimentos (podto inteno, áeas (podto etoial e olme (podto misto. Obseação: A distância ente dois pontos A e B, qaisqe é calclado com a noma do eto AB, o seja, d ( a, b AB..7. Igal a zeo A distância seá zeo qando: O ponto R petence à eta. O ponto A petence ao plano α. As etas e s foem coincidentes o concoentes (figas 9 e. A eta estie contida o fo concoente ao no plano α (figas e 5. Os planos α e β foem coincidentes o concoentes (figas 6 e 8..7. Difeente de zeo Vamos considea, antes de defini as demais distâncias, a distância ente m ponto e ma eta e a distância ente m ponto e m plano, pois todos os otos casos ecaem em m destes dois..7.. Distância ente m ponto e ma eta A distância ente m ponto P e ma eta seá encontada ataés do cálclo de ma deteminada áea. Como faze isso? Lembe-se qe: a áea de m paalelogamo é igal à base ezes alta. Da figa 9, temos qe a áea é dada pela noma do podto etoial RP {. h{ 44 base alta Áea logo a distância do ponto P a ma eta, é dada po RP d ( P, h Figa 9 Distância de ponto à eta Áea base.7.. Distância ente m ponto e m plano A distância ente m ponto P e m plano α, seá encontada ataés do cálclo de m deteminado olme. Figa 0 Distância de m ponto ao plano