(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA MATEMÁTIA QUESTÃO 0 onsidere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam dalônicos % dos homens e 0,% das mulheres Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa dalônica selecionada ao acaso nessa população a) b) 8 c) d) e) Alernaiva A Do enunciado podemos deduzir as seguines probabilidades: de ser selecionada uma mulher dalônica: P ( M D ) 0,0,% 0,% ; de ser selecionado um homem dalônico: P ( H D ) 0,%,% ; de ser selecionado um dalônico qualquer: P ( D) P ( M D) + P ( H D ) 0,% +,%,6% Porano, a probabilidade de ser mulher, sendo dalônico é P ( M D) 0, P ( M D) P D, 6 QUESTÃO 0 ( ) Sejam α, β ais que α β e α β Enão α + β é igual a a) - b) 0 c) d) e) i Alernaiva B omo α β, enão podemos escrever α e β na forma rigonomérica como: α cosθ + i senθ β cosθ + i senθ omo α β, enão: α β cos θ + i senθ (cos θ + i senθ ) i sen sen sen sen (cosθ cos θ ) + ( θ θ ) (cosθ cos θ ) + ( θ θ ) cos θ + sen θ + cos θ + sen θ (cosθcos θ + senθsenθ ) + (cosθcos θ + senθsenθ ) Logo (cosθcos θ + senθsenθ ) 0, ou seja, cos( θ θ ) 0 π Daí segue que θ θ +, k π k Z Para deerminado α e dois possíveis valores para β (onde β - β ) conforme ilusrado na figura a seguir no plano de Argnand-Gauss, emos a seguine represenação: - β 90º-θ Im i -i θ α β Re Da figura, emos: α + (±β) [cosθ+i senθ] + [-cos(90º-θ)+i sen(90º-θ)] omo cos(90º-θ) senθ e sen(90º-θ) cosθ, enão: α + β [cosθ+i senθ] + [-senθ+i cosθ] (cos θ+isenθcosθ-sen θ) + (sen θ-isenθcosθ - cos θ) 0 QUESTÃO 0 onsidere o sisema Ab, em que A k 6 k, b 6 0 e k Sendo T a soma de odos os valores de k que ornam o sisema impossível e sendo S a soma de odos os valores de k que ornam o sisema possível e indeerminado, enão o valor de T-S é a) - b) - c) 0 d) e) Alernaiva A alculando o deerminane D da mariz formada pelos coeficienes das variáveis, emos: D k 6 k( k ) + + 8 k + 8 ( k ) k + k k Pela Regra de ramer, o sisema será SPI ou SI se, e somene se, D0 Logo, k +k0 k0 ou k- Se k0, o sisema fica: y + z y + z ( I) 0 6 y 6 + 6z 6 + z ( II) z 0 y z 0 + + y z 0 ( III) Subraindo (II) de (I), emos y + z Subsiuindo, emos: + z z Noe que as linhas se equivalem, iso é, para k0, o sisema é possível e indeerminado Para k-: y + z y + z 6 y 6 y + 6z 6 y + z 7 z 0 y 7z 0 + + y 7z 0 omparando-se a primeira e a segunda equação, verifica-se que o sisema com k- é impossível Assim: T- e S0 Porano, T-S- QUESTÃO 0 Sejam A e marizes n n inversíveis ais que de(i+ - A)/ e dea Sabendo-se que B(A - + - ), enão o deerminane de B é igual a a) n n b) c) d) n e) n- Alernaiva D omo B ( A ) +, emos que, muliplicando por A pela esquerda os dois membros: ( ) ( ) ( ) AB ( I+ A) AB A A + A + A A A+ A alculando a deerminane dos dois membros, emos: de ( I + A) de( A B ) Pelo eorema de Bine, ainda levando em consideração que as marizes são n n emos: ( A ) ( B) ( I + A) n ( A ) ( B) ( I + A) de de de de de de omo dem dem emos, subsiuindo os valores das deerminanes do enunciado: n n de( B) de( B)
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA QUESTÃO 0 Um polinômio P é dado pelo produo de polinômios cujos graus formam uma progressão geomérica Se o polinômio de menor grau em grau igual a e o grau de P é 6, enão o de maior grau em grau igual a a) 0 b) c) d) 6 e) 8 Alernaiva B omo p é o produo de polinômios, escrevemos: p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) Seja n k o grau de p k e n o grau de p Assim, podemos escrever n n+ n + n + n + n 6 Pelo enunciado, emos que os graus n k esão em progressão geomérica de primeiro ermo n hamando de q a razão dessa progressão, emos que a soma dos cinco graus pode ser escria como ( q ) n+ n + n + n + n 6 S q q + 0 0 q Observe que a equação anerior implica em q omo o grau de um polinômio sempre é um número naural, emos que a razão q deve ser um número naural omo o polinômio em q em coeficienes ineiros, segue pelo eorema das raízes racionais que q deve ser um divisor posiivo de 0, com q Assim q pode ser,,, 6, 0, ou 0 Por inspeção, enconramos q como solução Assim emos a PG: (,, 8,6,) Desse modo, o maior grau é n Solução alernaiva: Os graus n k esão em progressão geomérica de primeiro ermo n ; e a razão, q, deve ser um número ineiro maior que Assim, esando os possíveis valores eremos que, se q + + 8 + 6 + 6 n QUESTÃO 06 Um diedro mede 0º A disância da aresa do diedro ao cenro de uma esfera de volume π cm que angencia as faces do diedro é, em cm, igual a a) b) c) d) e) Alernaiva E Fazendo uma seção perpendicular à aresa, emos: d 60º 60º aresa r r Da rigonomeria: sen60º d d Pelo volume da esfera: π π ( ) r r r r Subsiuindo na primeira equação, emos: d QUESTÃO 07 onsidere o quadrado ABD com lados de 0 m de comprimeno Seja M um pono sobre o lado AB e N um pono sobre o lado AD, eqüidisanes de A Por M raça-se uma rea r paralela ao lado AD e por N uma rea s paralela ao lado AB, que se inercepam no pono O onsidere os quadrados AMON e OPQ, onde P é a inersecção de s com o lado B e Q é a inersecção de r com o lado D Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPQ e ABD consiuem, nesa ordem, uma progressão geomérica, enão a disância enre os ponos A e M é igual, em meros, a a) + b) 0 + c) 0 d) e) 0 Alernaiva D Observe a figura: s A N 0 m M O B P 0-0 m D Q 0- r I) Área de Δ AMON II) Área de Δ OPQ (0-) III) Área de Δ ABD 00 IV) Por ser PG, emos: (0 ) 00 00 (0 ) (0 ) omo > 0, enão, irando-se a raiz quadrada dos dois lados da equação acima, obém-se: 0 (0 ), logo: X 0 ± 00-0+000 ± omo é al que: 0<<0, enão QUESTÃO 08 onsidere o polinômio p() a + a + a + a a, em que uma das raízes é - Sabendo-se que a, a, a a e a são reais e formam, nesa ordem, uma progressão ariméica com a ½, enão p(-) é igual a: a) b) 7 c) 6 d) 9 e) 0 Alernaiva A Por hipóese, se - é raiz, emos: p( )0 a + a a + a a 0 a + a a +a + a (I) omo a, a, a, a, a esão em PA e a /, emos: a + a a a + a (II) a a + r a a r (III) a a + r a a r (IV) Assim, subsiuindo (II), (III) e (IV) em (I), emos: a + (a r) a + (a r) r a / Logo, a, a /, a 0, a / e a Assim, p() + + Porano, p( ) ( ) + ( ) ( ) + p ( ) QUESTÃO 09 Sobre a equação polinomial + a + b c 0, sabemos que os coeficienes a, b, c são reais, duas de suas raízes são ineiras e disinas e / i/ ambém é sua raiz Enão, o máimo de a, b, c é igual a: a) - b) c) d) e)
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA Alernaiva Seja p() + a + b c 0, e λ e λ as duas raízes ineiras da equação polinomial p() 0 omo o polinômio em coeficienes reais, se i é raiz, enão i + ambém será raiz Pelas relações de Girard, o produo das quaro raízes vale: i i λ λ + λ λ omo essas duas raízes são ineiras, emos: λ λ ou λ λ Assim, as quaro raízes do polinômio são,, i + e i faoração correspondene é: i i p ( ) ( ) ( + ) + ( ) + p( ) + Idenificando os coeficienes, emos: a -; b - e c Assim o valor máimo deses coeficienes é, e sua QUESTÃO 0 É dada a equação polinomial (a + c + ) + (b + c + ) + (c a) + (a + b + ) 0 com a, b, c reais Sabendo-se que esa equação é recíproca de primeira espécie e que é uma raiz, enão o produo abc é igual a: a) - b) c) 6 d) 9 e) Alernaiva E omo a equação é recíproca da primeira espécie emos que ( a + c + ) ( a + b + ) b c ( b + c + ) ( c a) a c Subsiuindo a, b e o valor da raiz,, na equação: c + c + + c + c + + c + c + c + c + 0 c + 0 c a a ( ) ( ) b b Assim abc Observação: A princípio, nada garane que a equação dada seja de fao do erceiro grau, embora com cereza fosse a solução esperada Se o coeficiene do ermo for nulo, eríamos uma oura solução, apresenada abaio a + c + 0 a 9 / b + c + a + b + b 0 + ( b + c + ) + ( c a) + ( a + b + ) 0 c / 9 7 Nesse caso, eríamos abc ( ), valor que não 6 aparece em nenhuma alernaiva Por ouro lado, se fizermos a hipóese de que os dois primeiros coeficienes são nulos, chegamos a um absurdo: a + c + 0 b + c + 0 c a a + b + 0 + 0 + ( c a) + ( a + b + ) 0 Subsiuindo a erceira equação na úlima, vem que c a Na primeira, vem que c a Volando na erceira, b Ao subsiuirmos esses valores na segunda, chegamos à incompaibilidade 0 QUESTÃO Sendo [ π /, π / ] o conradomínio da função arcoseno e [ ] conradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de cos arcsen + arccos 7 a) b) c) d) e) 0,π o Alernaiva B Seja arcsen α sen α + cos α cosα ± π π O conradomínio da função arcsen é, omo senα > 0, emos que Seja arccos [ 0,π ] π α 0, cosα β Temos que o conradomínio da função arccos é π omo cos β > 0 β 0, Os dois ângulos esão no mesmo quadrane e porano são iguais ( α β ) Assim: 6 9 7 cos( α + β) cosα cos α sen α QUESTÃO Dada a cônica λ : y, qual das reas abaio é perpendicular à λ no pono P (, )? a) y ( ) b) y c) y ( + ) d) y ( 7) e) y ( ) Alernaiva E onsidere a rea que passa pelo pono (, ) : y m( ) y m m + (*) Para que a rea seja angene à curva no pono dado, o sisema formado pela curva e pela rea deve er apenas uma solução Assim, subsiuindo a equação (*) na equação da cônica, emos: m m+ ( ) ( m ) + (m m) m + m 0 Tendo o sisema uma única solução, Δ0 Logo: Δ (m m) ( m )( m + m ) 0 m 6 m + 6 0 m m + 0 m Para que a rea seja perpendicular, o seu coeficiene angular deve ser m' m' m Porano, y ( ) y ( )
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA Solução Alernaiva: omo a rea deve ser angene, o coeficiene angular de al rea é dada pela derivada da curva no pono de angência, no caso, (, ) Derivando ambos os membros da equação da cônica, emos: d d ( y ) () 0 y dy dy 0 d d d d y Assim, no pono (, ), emos dy d, e ese é jusamene o coeficiene angular da rea que passa por (, ) Dessa forma, a rea perpendicular erá coeficiene, e a equação da rea pedida fica: y ( ) y ( ) QUESTÃO O conjuno imagem e o período de f ( ) sen ( ) + sen(6 ) são, respecivamene, a) [-,] e π b) [-,] e π π c) [, ] e e) [-,] e π Alernaiva d) [-,] e π Lembrando que cosα sen α, emos: f() sen6 ( sen )sen6 cos6 Assim, podemos reescrever f() do seguine modo: f() ( sen6 cos6 ) 6 sen cos6 π π π cos sen6 sen cos6 sen 6 Usando o fao de que em f()a+bsen(+d), emos que o período é Segunda possibilidade: y y + y 0 Novamene, y é raiz e procedemos analogamene: - - Logo o polinômio de segundo - 0 grau é: y y +, cujas raízes são: ± y ± Assim, as raízes válidas enconradas são: omo y emos: { ; + ; + ; } 0 + log ( + ) + log ( + ) log ( ) Assim, S { 0; log ( + ); log ( + ); log ( ) } QUESTÃO Um subconjuno D de al que a função f: D, definida por f ( ) ln( + ) é injeora, é dado por a) b) (,] c) [0,/] d) (0,) e) [/, ) Alernaiva Gráfico de p( ) + : p( ) P π e a imagem I é [A B;A+B], emos: P π π e a imagem é 0 ;0+ ; 6 QUESTÃO Para, o conjuno solução de a) {0, ±, ± } { b) 0,, log ( + )} c) 0, log, log,log { d) 0, log ( + ),log ( + ), log ( )} e) A única solução é 0 + + é Alernaiva D Subsiuindo y (porano y>0) emos que y y + y y E para que os módulos sejam iguais, emos y y + y y ou y y + y ( y ) Primeira possibilidade: y y + y + 0 omo a soma dos coeficienes é zero, emos que y é raiz e aplicamos Brio-Ruffini - para enconrarmos as ouras duas - - 0 raízes aravés do polinômio de segundo grau y y : ± 0 y ± Observação: y y>0, enão a única solução válida é y + Observe que p p p p f f, e assim, qualquer conjuno que conenha e, concomianemene, não pode ser domínio de f om isso eliminamos as alernaivas A, B e D Além disso, observe que eisem (, ) p( ) e ( ),, al que e ( ) p, e, conseqüenemene, ( ) ln ( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( ) f f Assim, eliminamos a alernaiva E Agora vejamos por que a alernaiva é correa: Podemos escrever f ( ) como a função composa gp ( ( )) p( ) + e g ( ) ln( ) Para que ( ) ( ( )) p( ) quano g( ) definida na imagem de ( ) sejam, onde f g p seja injeora precisamos garanir que ano p ambém o
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA a) omo ( ) + p é simérico em relação à rea, garanimos que p( ) seja injeora omando um ou ouro lado da parábola, em relação a essa rea, ou seja, ou b) Para que g( ) ln( ) seja injeora, emos que ou ln( ) 0 D( g( )) ou ln( ) 0 0 < D( g( )), onde D( g( )) é o domínio de g e, conseqüenemene, a imagem de p( ) Assim: (I) + ( ) 0 0 ou ou (II) + ( ) 0 0 Fazendo a inersecção das informações obidas em (a) e (b) enconramos que f ( ) é injeora nos inervalos (-,0], [0,/], [/,] ou [,+ ) Denre as alernaivas, enconramos somene o inervalo [0,/], indicado na alernaiva QUESTÃO 6 A soma de odas as soluções disinas da equação cos + cos6 + cos9 0 que esão no inervalo 0 π /, é igual a a) π b) π c) 9 6 π d) 7 6 π e) π Alernaiva E Reescrevendo a equação cos + cos6 + cos9 0 como cos + cos9 + cos6 0 e aplicando ransformação em produo para a soma cos9 + cos, emos: 9 9 cos9 + cos cos + cos cos6cos Assim, a equação se orna: cos6cos+cos60 cos6(cos+)0 Logo, cos60 (i) ou cos (ii) π π kπ (i) Para cos6 0 6 + kπ +, k 6 omo esá no primeiro quadrane, emos: π π π ; ; ; π kπ (ii) Para cos- π + kπ + k omo esá no primeiro quadrane π ; π π π π π Logo, a som pedida é + + + QUESTÃO 7 onsidere o conjuno D{n ; n 6} e H D) formado por odos os subconjunos de D com elemenos Escolhendo-se ao acaso um elemeno B H, a probabilidade de a soma de seus elemenos ser 8 é igual a 6 9 9 a) b) c) d) e) 70 6 70 Alernaiva A Seja n(h) o número de elemenos do conjuno H e n() o número de elemenos do conjuno (o oal de elemenos B que aendem à propriedade) De acordo com o enunciado: H {{;},{;},{;6},{;},{;},,{;6},,{6;6}} O número de elemenos dese conjuno é dado por uma combinação de 6 elemenos, a 6 n( H) O conjuno dos possíveis elemenos B, cuja soma deve ser 8 é: {{;8};{;8},{;80},,{9;9}} O número de elemenos dese conjuno é 9 Enão a probabilidade de B ser um conjuno de dois elemenos com soma 8 é: n ( ) P nh ( ) 9 9 9 6 66 68 70 QUESTÃO 8 onsidere o riângulo AB isósceles em que o ângulo disino dos demais, BÂ, mede 0º Sobre o lado AB, ome o pono E al que AE ˆ º Sobre o lado A, ome o pono D al que DB ˆ º Enão, o ângulo EDB ˆ vale: a) º b) º c) º d) 7º e) 8º Alernaiva D omo o riângulo AB é isósceles e em o ângulo BA ˆ 0º como ângulo disino, emos enão que: 80º BA ˆ 80º 0º AB ˆ AB ˆ 70º Observe a figura: A 0º E D θ P º º º º B Na figura acima, emos: AE ˆ º EB ˆ AB ˆ AE ˆ 70º º º Da mesma forma, como DB ˆ º, segue que: ABD ˆ AB ˆ DB ˆ 70º º º Sendo P a inersecção dos segmenos E e BD, emos, no riângulo BP: BP ˆ 80º PB ˆ PB ˆ 80º º º 90º onseqüenemene, BPE ˆ DPE ˆ DP ˆ 90º omo BEP ˆ 80º PBE ˆ BPE ˆ 80º º 90º º, segue que o riângulo BE é isósceles com EB B Dessa forma, a alura relaiva ao lado E, dada por BP, coincide com a mediana, ou seja, PE P, porano, os riângulos ΔDPE e ΔDP são congruenes pelo caso LAL, uma vez que PD é comum aos dois riângulos Assim, o riângulo DE ambém é isósceles e, conseqüenemene, o segmeno PD é bisseriz do ângulo ED ˆ, de modo que: EDP ˆ DP ˆ 80º DP ˆ DP ˆ 80º 90º º 7º
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA QUESTÃO 9 Sejam X, Y, Z, W subconjunos de ais que ( X-Y) Z {,,,}, Y {, 6}, Z Y, W ( X Z) { 7, 8}, X W Z {, } Enão o conjuno [X (Z W)] [W (Y Z)] é igual a a) {,,,,} b) {,,,,7} c) {,,7,8} d) {,} e) {7,8} Alernaiva Ilusrando o enunciado no diagrama de Venn, emos: I X Y Z QUESTÃO 0 Sejam r e s duas reas paralelas disando 0 cm enre si Seja P um pono no plano definido por r e s e eerior à região limiada por esas reas, disando cm de r As respecivas medidas da área e do perímero, em cm e cm, do riângulo eqüiláero PQR cujos vérices Q e R esão, respecivamene, sobre as reas r e s, são iguais a a) b) 7 e 7 e 0 c) 7 e 0 d) 7 e e) 700 e 0 Alernaiva B A parir do enunciado, podemos monar a seguine figura: II Y X W pois Z Y Z P L Q B A 0 L L 0 D R Aplicando o eorema de Piágoras no riângulo APQ: r s III X W pois X W Z {, } L (AQ) + AQ Aplicando Piágoras no riângulo DQR: L 00+(D R) L (I) Y Z omo AQD e R, emos: L 00+ ( L ) 6 L 7+9 (II) IV X W pois ( X-Y) Z {,,,} Aplicando Piágoras no riângulo PR: Elevando (II) ao quadrado: L +() L +9 (III) Z Y 7 8 W ( X Z) { 7, 8} e W pois Y, 6 7, 8 y { } { } V Sendo A,B,,D,E,F,G os subconjunos disjunos indicados: X Z Y A G B E D F W D E G { 7, 8} {, } {, } ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) { } { } { } X Z W W Y Z B D E G B E F X Z W W Y Z D G 7, 8,,, 7, 8 Subsiuindo (III) em (IV): 6 (L )6 +0 +8 (IV) 6 ( +9 )6 +0 +8 +80 607 + 60 6 0 Resolvendo a equação biquadrada, emos: 60 ± 90000 60 ± 700 7 Subsiuindo em (III): L +9 7 700 0 7 0 L L 0 Assim, o perímero do riângulo é 0 e a área é L 700 700 7 6
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA QUESTÃO Dado o conjuno A { ; + < }, epresse-o como união de inervalos da rea real Observe que não eise relação de desigualdade enre números compleos, de modo que podemos assumir: 0 + < omo emos uma inequação de números posiivos, podemos elevar ambos os membros ao quadrado, e a desigualdade se preserva Assim: + < + < > 0 Para resolver al inequação, vamos deerminar as raízes do polinômio ), ou seja, resolveremos a equação ( ) 0 Noando que 0 é raiz, emos que deerminar agora as raízes de 0 Por um simples ese, enconramos - como oura raiz Logo, aplicando Brio-Ruffini, emos: QUESTÃO 6 Deermine as raízes em de z + 6 0, na forma a+bi, com a,b, que perençam a S {z ; < z + < } 6 6 Por hipóese, emos que se z + 6 0 z 6 Usando a segunda formula de De Moivre, emos: 6 π + kπ π + kπ z 6 cis cis, k 0,,,,, 6 6 Dessa forma, o conjuno-solução V é: π π π 7π π π V cis ;cis ;cis ;cis ;cis ;cis 6 6 6 6 A região limiada pela inequação < z + < é a coroa circular (ver figura) de raios e e cenro no pono (-, 0) - 0 - - - - 0 Assim, (+)( ) 0 Resolvendo a equação do segundo grau, emos que as soluções são da equação cúbica são -, - ou Logo, 0 0, -(dupla) ou Queremos ) >0, ou seja, (+) (-) > 0 Assim, segue que: Observe que, como <, os ponos π cis 6 e 7π cis 6 perencem à região da coroa circular Da mesma forma, como a região circular inercepa o eio y em ponos cujas ordenadas êm módulo menor que, emos que os ponos π cis e π cis ambém Analisando as condições de eisência para a inequação, emos que se + eise enão + 0 omo as raízes de + 0 são 0 e Logo, para que + 0 (+ ) 0 Porano: De (I) e (II), vem: Logo, o conjuno-solução é dado por:,,, + perencem à região Assim, as únicas raízes da equação que não π π perencem à região hachurada são cis e cis Logo: 6 6 QUESTÃO S V { ± i; ± i } Seja f() ln( + + ), Deermine as funções h, g: ais que f()g() + h(),, sendo h uma função par e g uma função ímpar Observe que, dada uma função f(), ela pode ser decomposa na soma de uma função par com uma função ímpar Para ano, noe que: f() + f( ) f() f( ) f() +, f() + f( ) f() f( ) onde a função é par e a função é ímpar Assim: ln( + + ) + ln( + ) ln(( + ) ) h() h() ln( + + ) g() ln ln( ) ln( ) + + + + + + g() + + ln + Logo, f() ln( + + ) + + + ln + 7
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA QUESTÃO Sejam α,β e γ R onsidere o polinômio p() dado por 9 + ( α β γ) + ( α + β + γ ) + ( α β γ + ) + (α + β + γ ) Enconre odos os valores de α,β, γ de modo que 0 seja uma raiz com muliplicidade de p() omo 0 é raiz ripla de p(), emos que p() q() para algum polinômio q() de grau e que não possui 0 como raiz Assim, os coeficienes de, e o ermo independene devem ser nulos e o coeficiene de deve obrigaoriamene ser diferene de zero Logo é necessário e suficiene que α + β+ γ 0 (I) α β γ+ 0 (II) α+β+γ 0 (III) α β γ 0 (IV) Somando as equações (II) e (III) enconramos α0 α0 Subsiuindo esse valor nas rês primeiras equações do sisema, emos: β+ γ 0 β γ + 0 β + γ β γ β+γ 0 A parir da equação (IV) emos que γ β omo β+γ, emos: γ β γ + γ γ Assim, emos que os valores de αβ, e γ que fazem com que p() enha 0 como raiz de muliplicidade são dados por ( αβγ,, ) (0, γγ, ), com γ IR \ { } QUESTÃO Uma mariz real quadrada A é orogonal se A é inversível e A - A Deermine odas as marizes que são siméricas e orogonais, epressando-as, quando for o caso, em ermos de seus elemenos que esão fora da diagonal principal Observe que se A A AA AA I omo A é simérica, emos ambém que A A ombinando as duas condições, segue que A I Lembrando que se A é uma mariz simérica de ordem enão ela pode ser escria na forma: a b A b c omo A I: a b a b 0 a + b ab + bc 0 b c b c 0 ab + bc b + c 0 omparando os ermos correspondenes nas marizes, conseguimos monar o seguine sisema: a + b a + b (I) ab + bc 0 b(a + c) 0 (II) + b c b + c (III) A parir de (II), emos duas possibilidades: ) b 0 Nesse caso, emos, pelas ouras equações, que a ± e c ± ) a + c 0 a - c A parir da equação (I) emos a b a ± b c a b Noe que como a mariz é real emos, obrigaoriamene, que o número b é real b 0 b ± 0 Desse modo, a mariz A deve er o formao, A 0 ± ou ± b b A, com b, b b QUESTÃO 6 π π Deermine odos os valores α, ais que a equação (em ) + g α 0 admia raízes reais simples Fazendo y, para que a equação em enha apenas raízes reais simples, é necessário e suficiene que a equação em y y y + g α 0 enha duas raízes reais posiivas disinas O discriminane dessa equação é: Δ ( ) g α ( g α ) A condição para raízes reais disinas (em y) é Δ > 0 g α < Além disso, as raízes da equação em y devem ser posiivas As raízes da equação em y são: ± ( g α ) y ± g α omo + g α > 0 (desde que seja respeiada a condição sobre o discriminane), precisamos apenas garanir que: g α > 0 Para ano, emos que g α > 0 > g α omo ambos os membros dessa desigualdade são posiivos, podemos elevá-los simulaneamene ao quadrado, manendo o sinal de maior ( > g α ) > g α > g α g α > 0 Assim, as condições sobre α que devem ser saisfeias são: g α < π g α > 0 0 < α < π π < α < QUESTÃO 7 Em um espaço amosral com uma probabilidade P, são dados os evenos A, B e ais que: A) B) /, com A e B independenes, PA ( B ) / 6, e sabe-se que ( A B) ( A )) / 0 alcule as probabilidades condicionais PA ( B) e PA ( B ) omo os evenos A e B são independenes, emos que: P ( A B) A) B) Assim, a primeira probabilidade condicional pedida é dada por: ( A B)) A B ) P ( A B) A B) A B) A B) 6 P ( A B) 8
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA Por ouro lado, como ( A B) ( A )), e observando que 0 P (( A B) ( A )) A B ), emos: 6 P (( A B) ( A )) A B) + A ) ( A B) ( A )) 0 + P ( A ) A ) 6 A B ) omo A B ), vamos deerminar o A B ) numerador e o denominador separadamene Para o numerador, observamos que: A [( A) B] [( A) B ], sendo que ( A) B e ( A) B são conjunos disjunos, de modo que: 9 80 A) ( A) B) + ( A) B ) Assim, 9 80 6 + P (( A) B ) ( A) B ) Analogamene, para o denominador, fazemos: A ( A B) ( A B ), sendo que ambém os conjunos A B e A B são disjunos Assim: A) A B) + A B ) + A B ) A B ) 0 omo o riângulo AB é acuângulo, emos, a parir da relação fundamenal da Trigonomeria, que: cos AB ˆ 0 e cos AB ˆ 0 Para calcular o seno do ângulo AB, noe que: o senab ˆ sen(80 (AB ˆ + AB)) ˆ sen(ab ˆ + AB) ˆ Logo: senab ˆ senabcosab ˆ ˆ + senabcos ˆ AB ˆ 0 0 0 senab ˆ + 0 0 0 Assim, a área do AB é: 0 A (AB)(B)senAB ˆ 6 0 QUESTÃO 9 Seja uma circunferência de raio r e cenro O e AB um diâmero de onsidere o riângulo eqüiláero BDE inscrio em Traça-se a rea s passando pelos ponos O e E aé inercepar em F a rea angene à circunferência no pono A Deermine o volume do sólido de revolução gerado pela roação da região limiada pelo arco AE e pelos segmenos AF e EF em orno do diâmero AB A figura em quesão é dada pelo esquema abaio: Fazendo a razão, vem que: A B ) A B ) A B ) 0 P ( A B ) QUESTÃO 8 Um riângulo acuângulo de vérices A, B e esá inscrio numa circunferência de raio Sabe-se que AB mede e B mede Deermine a área do riângulo AB A parir do enunciado, podemos monar a seguine figura: r M A roação de AEF em orno do eio AB gera um sólido cujo volume é dado pela reirada de uma caloa esférica deerminada por AME (alura r/ e raio da seção r ) de um ronco de cone deerminado por AMEF (alura r/ e raios de base r e r ) Assim, o volume pedido é: V S V ronco V caloa B A Sejam S b e S B as áreas da base menor e da base maior do ronco de cone, respecivamene Assim, o seu volume é: h VTRONO ( SB + Sb + S BSb ) r πr πr πr V + + TRONO πr π r 6 Assim, usando a lei dos senos duas vezes no riângulo AB, emos: 0 senab ˆ 0 senab ˆ 0 0 senab ˆ senab ˆ alculando agora o volume da caloa, emos: πh πr ( + ) r r + πr VALOTA R h 6 Desse modo, o volume do sólido de revolução é dado por: πr πr VS VTRONO VALOTA π r 9
(9) -0 wwweliecampinascombr O ELITE RESOLVE ITA 008 - MATEMÁTIA QUESTÃO 0 onsidere a parábola de equação y a + b + c, que passa pelos ponos (,), (-,) e al que a, b, c formam, nesa ordem, uma progressão ariméica Deermine a disância do vérice da parábola à rea angene à parábola no pono (,) omo a, b e c esão em PA, podemos escrever: a b - r, c b + r Subsiuindo enão esses valores na equação da parábola, enconramos y (b r) + b + b + r omo os ponos (,) e (-,) esão na parábola, emos: (b r) + b + b + r b r b + b + b + r 7b r b b r Assim, emos que a - e c + Desse modo, a parábola é y + + Seja r a rea que angene à parábola em (,) Usando a relação y - y o m( - o ), emos: r: y m( - ) + Igualando as equações da parábola e da rea: m( - ) + + + + (m ) m 0 omo a rea é angene, eise um único valor de que deve saisfazer a equação do segundo grau acima, de modo que obrigaoriamene emos que o discriminane dessa equação deve ser zero Assim: m + m+ 0 m ± m Logo, a rea angene é y+-90 O vérice da parábola é dado por: b Δ ( ) V,, (,6) a a Aplicando finalmene a fórmula da disância de pono à rea, enconramos: 6 + 9 disância + O ELITE é um curso com compromisso real com o seu sucesso Por isso, afirmamos com segurança que o ELITE é um curso realmene sério, dedicado e em os melhores alunos Veja por que: SÉRIO Somene um curso realmene sério se preocupa com seus alunos em cada dealhe Um eemplo disso são as urmas 00% direcionadas do ELITE: se é ão óbvio que é melhor, por que ninguém fez isso anes? DEDIADO Que ouro curso em simulados semanais, aé 6 aulas por semana, planões de dúvidas de odas as disciplinas odas as semanas, orienação e acompanhameno dos esudos individualizados, grupos de esudos orienados? TEM OS MELHORES ALUNOS Somene os melhores alunos, realmene preocupados em aprender e desenvolver-se, enfrenam o desafio de er mais aulas, aulas mais aprofundadas, mais simulados e mais aividades em geral, que aconecem no ELITE O resulado não poderia ser ouro: Turma ITA/IME/AFA: 88% de aprovados, odos em públicas 67% dos aprovados de ampinas no IME O único a aprovar no ITA da região Turma Engenharia: 79% de aprovados 0% enre os 0 primeiros da carreira A MAIOR GARANTIA DE APROVAÇÃO DO PAÍS: A MAIORIA ABSOLUTA DE NOSSOS ALUNOS SÃO APROVADOS! 0