Óptica de aios 5 Óptica de aios. Intodução Ao tatamos o tópico óptica de aios, também conhecido como óptica geomética, não levamos em consideação o caáte ondulatóio da luz, nem sua polaização. Nestas condições, efeitos tais como difação e intefeência não se evidenciam. Como veemos adiante, isto coesponde ao caso em que o compimento de onda tende a zeo (λ ), que é análogo ao limite clássico que se obtém da mecânica quântica ao tomamos h. Este aciocínio foi utilizado po Schödinge na obtenção da sua famosa equação, como mostaemos no final do capítulo. Entende-se como meio homogêneo aquele no qual o índice de efação não depende da posição, sendo, potanto constante. Note que o meio pode se simultaneamente homogêneo e anisotópico, caso comum em cistais, paa os quais o índice de efação tem valoes difeenciados paa distintas dieções de popagação da luz. Já no meio não homogêneo, o índice de efação é dependente da posição, em geal devido às flutuações de densidade, tempeatua ou composição química do mateial. Este capítulo inicia-se com uma beve exposição das popiedades de popagação de aios em meios homogêneos, com ênfase na sua efação ao atingi uma inteface dielética plana. Este é um tópico que seá evisto no Cap. 5, depois que abodamos os conceitos de polaização da luz e condições de contono do campo eletomagnético, necessáias à dedução das equações de Fesnel. Em seguida, tataemos de uma situação bem mais inteessante, a popagação de luz em meios não homogêneos. Mostaemos que os aios de luz podem desceve uma tajetóia cuva, difeentemente dos meios homogêneos, nos quais a popagação é etilínea. Seão apesentados quato tatamentos teóicos paa este tipo de poblema. S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
6 Óptica de aios Em paticula, faemos, no final do capítulo, uma analogia ente a mecânica clássica e a óptica geomética. Esta analogia seá impotante paa a obtenção da equação de Schödinge.. Popagação de luz em meios homogêneos Os tabalhos ealizados até a pimeia metade do século XVII estabeleceam que um aio de luz que se popaga obedece aos seguintes pincípios: a) nos meios homogêneos a popagação é etilínea e b) quando um aio (aio ) atinge a inteface que sepaa dois meios distintos temos uma fação efletida (aio ) e outa efatada (aio 3), confome mosta a Fig... n n 3 φ φ φ nomal Fig.. - Reflexão e efação de um aio luminoso numa inteface dielética. Como discutido po Huygens, cada meio é caacteizado po um paâmeto chamado índice de efação, n, que detemina a velocidade com que o aio se popaga naquele meio. A dieção seguida pelos aios e 3 não é abitáia. Demonstaemos na seção 5.6, usando as condições de contono paa o campo eletomagnético, que eles obedecem as seguintes egas: (i) os aios, e 3 estão todos num mesmo plano, chamado de plano de incidência, (ii) φ = φ e (iii) n sen φ = n sen φ (lei de Snell). Estas leis são muito impotantes paa o taçado dos aios ópticos na pesença de intefaces dieléticas. Note que pela expessão (iii), quando um aio peneta num meio de índice de efação maio ele se apoxima da nomal. Pela intepetação copuscula de Newton isto só seia possível se a componente de velocidade do aio paalela à nomal aumentasse. Mas isto é contáio à descobeta expeimental de Foucault, que constatou que S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 7 um aio de luz diminui sua velocidade ao adenta um meio de maio índice de efação, como apesentamos na seção.4. Em seguida tataemos o caso da popagação de luz em meios não homogêneos, paa o qual obviamente um meio homogêneo é um caso paticula. Atavés do pincípio do tempo mínimo, ou pincípio de Femat, vamos deduzi a lei dos senos. Apesentaemos ainda quato abodagens teóicas difeentes, que seão aplicadas a algumas situações específicas, em paticula ao caso em que o índice de efação depende de apenas uma coodenada..3 Popagação de luz em meios não homogêneos A motivação paa o estudo da popagação de aios em meios não homogêneos enconta-se nas divesas aplicações páticas e situações que ocoem no nosso cotidiano. Dente os váios exemplos que podem se citados, destacamos os seguintes: (i) tubulências atmosféicas ao olhamos paa as estelas numa noite de céu clao, notamos que elas temem ou piscam. Isto se deve às tubulências atmosféicas, tais como flutuações de pessão e densidade, que levam à fomação de coentes de vento e vaiações do índice de efação do a. Como conseqüência, o caminho pecoido pelo aio de luz não é estável, levando a dificuldades paa as obsevações astonômicas de copos celestes distantes, que obigam o uso de satélites, como po exemplo, o Hubble, ou o empego de óptica adaptativa. Na óptica adaptativa empega-se um lase de coante paa excita átomos de sódio existentes na camada supeio da atmosfea. Isto gea uma mancha cicula bilhante devido à luminescência do sódio, que devido às flutuações atmosféicas é vista de uma foma distocida pelo telescópio. Um sistema sevo-mecânico coige então a cuvatua de um dos espelhos do telescópio, de maneia a elimina estas distoções. O tempo de esposta deste sistema de coeção é da odem de. s. (ii) efeito miagem o aquecimento do a póximo à supefície da Tea modifica seu índice de efação e isto faz com que a luz execute uma tajetóia não etilínea. Este efeito é claamente obsevado nas tansmissões de coidas de caos pela TV. O a, aquecido pelo contato S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
8 Óptica de aios com o asfalto, ealiza um movimento convectivo ascendente fazendo teme as imagens dos caos, como se houvesse uma tênue fumaça diante deles. O efeito do desvio da luz é ainda mais evidente paa os aios asantes, como quando viajamos de cao e obsevamos a imagem do céu e nuvens efletidas no asfalto, dando a impessão de poças d água. Nesta situação, os aios asantes são desviados pelo a aquecido localizado póximo ao asfalto e atingem o olho do obsevado. Este efeito, conhecido como miagem, é comum em desetos, mas também pode ocoe no ma, só que neste caso, a água esfia o a e a imagem é invetida. (iii) comunicações ópticas na tansmissão de infomações com luz, o meio no qual o aio se popaga desempenha um papel impotante. Na tansmissão de micoondas po visada dieta, onde o sinal geado po uma antena paabólica é captado po outa, flutuações na atmosfea poduzem uído no sinal tansmitido, devido à instabilidade na tajetóia dos aios, que po vezes não atingem pefeitamente a antena eceptoa. Nas comunicações po fiba óptica, a luz geada po um lase semiconduto fica confinada pincipalmente no núcleo, que possui índice de efação maio que a casca. Assim, a vaiação do índice de efação novamente modifica a popagação dos aios. A pópia focalização de luz em fibas ópticas é muitas vezes ealizada po uma lente do tipo GRIN (gadient index), cujo índice de efação diminui adialmente, de foma contínua. A popagação de luz nestes meios do tipo lente seá discutida após intoduzimos as feamentas matemáticas necessáias. (iv) efeitos auto-induzidos ocoem quando um feixe de luz lase pecoe um meio do tipo Ke, cujo índice de efação depende da intensidade de acodo com: n(i) = n + n I, onde n é o índice de efação paa baixas intensidades e n é chamado de índice de efação não linea. O feixe de luz lase possui em geal um pefil tansvesal de intensidade do tipo gaussiano, que modifica o índice de efação na dieção adial, poduzindo o efeito de uma lente. A oigem de n pode te natueza témica ou eletônica, e sua deteminação constitui um assunto de pesquisa atual. Em comunicações po fibas ópticas, a pesença deste tipo de efeito pode compensa a dispesão da velocidade de gupo e da oigem a sólitons. Tataemos deste assunto bevemente no Cap. 4. Além dos exemplos citados acima, o estudo da popagação de luz em meios não homogêneos é impotante do ponto de vista históico, pois pemite entende como a mecânica ondulatóia foi intoduzida po Schödinge. Mesmo assim, o mateial elativo a este tópico está dispeso S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 9 em váios livos e atigos, e sua compilação justifica a existência do pesente texto. Do ponto de vista teóico, a popagação de luz em meios não homogêneos pode se tatada de quato maneias distintas, que conologicamente seguem a seguinte odem: a) lei de Snell genealizada, b) pincípio de Femat, c) equação do eikonal e d) limite clássico da equação de Schödinge. No estante do capítulo, desenvolveemos estas análises teóicas, com a aplicação a alguns casos paticulaes..4 A lei de Snell genealizada Como se tonaá evidente mais adiante, este tipo de abodagem se aplica ao caso unidimensional, ou seja, quando o índice de efação vaia em apenas uma dieção. Como exemplo desta situação, tomemos uma mistua não homogênea de água (n=.333) e álcool (n=.36), que apesenta uma vaiação de índice de efação como indicada na Fig... Vamos ainda supo que o aio de luz peneta nesta mistua a uma altua y, localizada na egião de tansição água-álcool, popagando-se ao longo do eixo z. Esta situação está esquematizada na Fig..3. Como a vaiação de n é pequena e ocoe numa egião elativamente gande (da odem de um centímeto), admitiemos que o desvio sofido pelo feixe é pequeno. Assim, o aio desloca-se-á pouco da altua y e o índice de efação pode se expandido em séie de Taylo, de acodo com: n(y) dn (y) = n + (y y ) (.) dy n y água álcool n al n ag n y Fig.. - Vaiação do índice de efação numa mistua não homogênea de água e álcool (n ág =.333 e n al =.36). S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações y
Óptica de aios y índice maio i+ θ i- θ i i i- y índice meno z Fig..3 - Desvio de um aio de luz que incide na mistua água-álcool a uma altua y. A magnitude do desvio foi exageada paa melho visualização. onde n e dn/dy] y são espectivamente o índice de efação e seu gadiente na altua y. A segui, vamos utiliza a lei de Snell, que já ea conhecida expeimentalmente em 6. Paa isto, vamos imagina a egião de tansição água-álcool dividida num gande númeo de lâminas planas e paalelas, de espessuas tão finas quanto se queia, de foma que em cada uma delas o índice de efação pode se consideado constante. As lâminas são paalelas ao eixo z e, potanto pependiculaes à dieção em que n vaia. O paalelismo ente as faces de cada lâmina é motivado pelo fato de n vaia apenas ao longo de y. Podemos aplica a lei de Snell na inteface que sepaa duas lâminas consecutivas i e i-: n i- sen θ i- = n i senθ i, onde θi é o ângulo que o aio faz com o eixo y. Como o índice de efação é constante em cada uma das lâminas, o aio se popaga em linha eta até a póxima inteface, onde chega com o ângulo de incidência θ i. Novamente aplicamos a lei de Snell: n i senθ i = ni+ sen θ i+. Desta foma, o poduto nsenθ mantém-se constante confome o aio se popaga pelas difeentes lâminas. Tomando o limite em que as espessuas das lâminas tendem a zeo, obtemos a lei de Snell genealizada: n (y) sen θ(y) = constante (.) que estabelece que o ângulo θ vaia continuamente com y, confome n vaia. Podemos ainda tabalha com o ângulo β(y) que o aio faz com as S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios faces das lâminas. Levando em conta que β é o ângulo complementa de θ e que o aio inicialmente popaga-se ao longo do eixo z (β(y ) = ), a lei de Snell genealizada fica: n (y) cosβ(y) = (.3) O aio desceve uma tajetóia cuva dada po y = y(z), cuja inclinação é: n dy senβ = tgβ = = dz cosβ cos cosβ β (.4) Usando as expessões de cosβ e n(y) dadas pelas equações (.3) e (.), temos: dy n dn = = (y y ) (.5) dz n n dy onde o temo quadático em dn/dy foi despezado. A eq. (.5) pode se facilmente integada esultando em: S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações y dn y = y (.6) + z n dy y que epesenta a tajetóia paabólica do aio dento do meio. É possível se faze uma demonstação na qual se mede o desvio de um aio de luz lase ao pecoe ceta distância dento do meio. Isto possibilita a medida do gadiente do índice de efação como função da altua y. Devido ao fato deste gadiente não se constante, obsevamos a focalização (ou desfocalização) da luz do lase, como descito a segui. Consideemos um feixe de luz lase com diâmeto Δy, de tal foma que a pate infeio do aio peneta no meio a uma altua y e a pate supeio em y +Δy. Vamos ainda considea Δy suficientemente pequeno tal que o índice de efação seja apoximadamente o mesmo (n ) ao longo de todo o pefil tansvesal do feixe. A uma distância z no inteio do meio, a pate infeio do feixe satisfaá a eq. (.6), enquanto que a pate supeio executaá uma tajetóia descita po: ( y + Δy) + z n dy y + y dn y' = (.7) Δ
Óptica de aios e assim, o diâmeto do feixe, Φ = y -y, como função da distância de popagação, fica: Φ = Δy + n dn dy y+δy dn dy y z = Δ y + n d n dy y z (.8) Desta foma, o desvio sofido pelo feixe está ligado ao gadiente de n, enquanto que seu diâmeto fonece a deivada segunda de n. De acodo com a Fig.., póximo da água o feixe seá desfocalizado e na egião mais póxima do álcool haveá focalização..5 O pincípio de Femat Intoduzido em 657, o pincípio de Femat estabelece que a luz se popaga ente dois pontos no meno tempo possível, no caso em que ela não sofe eflexões. Consideemos um aio se popagando po meios com difeentes índices de efação, confome mosta a Fig..4. O tempo total paa ele ealiza o pecuso indicado é dado pela somatóia dos tempos gastos em cada meio: t N N N di = t i = = n idi v i i i c (.9) = = i= onde d i é a distância pecoida em cada meio, com velocidade v i = c/n i. c é a velocidade da luz no vácuo e n i é o índice de efação do i-ésimo meio. A somatóia [Δ] = Σn i d i é denominada de caminho óptico. Como c é constante, o tempo mínimo implica no meno caminho óptico possível. n n n 3 n 4 n 5 n 6 d d 3 d 4 d 5 d 6 d Fig..4 - Popagação de um aio po uma séie de meios homogêneos com índices de efação difeentes. S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 3 Uma aplicação simples do pincípio de Femat é a dedução da lei de Snell, que apesentamos a segui. Consideemos um aio que se popaga ente dois pontos fixos, P e P, localizados em meios com índices de efação distintos, n e n, confome mosta a Fig..5. As distâncias x e x são fixas, mas y e y podem vaia paa a minimização do tempo. Entetanto, como os pontos P e P são fixos, y+y = Y é constante. O caminho óptico seá dado po: n n P nomal d θ y θ d y P x x Fig..5 - Geometia utilizada na dedução da lei de Snell pelo pincípio de Femat. N [ Δ] = n id i = n d + n d i= (.) que de acodo com a geometia da Fig..5, [Δ] pode se expesso como: [ ] = n x + y + n x + y = n x + y + n x + (Y y ) Δ (.) A eq. (.) fonece a vaiação de [Δ] com y. Paa encontamos seu valo mínimo igualamos sua deivada a zeo: [ Δ] n y n ( Y y ) d dy = x + y x + (Y y ) = (.) De acodo com a geometia da Fig..5, as fações da eq. (.) coespondem aos senos de θ e θ, de foma que assim obtemos a lei de Snell: n sen θ n sen θ = (.3) S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
4 Óptica de aios Até agoa nossa apesentação do pincípio de Femat estingiu-se ao caso em que a luz se popaga atavés de váios meios homogêneos, poém com difeentes índices de efação. Queemos agoa analisa o caso em que a popagação ocoe num meio em que o índice de efação vaia continuamente ao longo do pecuso do aio. Neste caso, a somatóia da eq. (.9) deve natualmente se substituída po uma integal: P [ ] n(s) ds Δ = (.4) P onde s é distância pecoida pelo feixe ente os pontos P e P e n(s)ds é o caminho óptico elementa. O pincípio de Femat estabelece a existência de um caminho muito bem definido paa o aio i de P e P. Tata-se de um pincípio vaiacional que pode se colocado da seguinte maneia: P δ n(s) ds = (.5) P Quando um aio se popaga no espaço, ds é expesso em coodenadas catesianas como: ds & + & = dx + dy + dz = dz + x y (.6) onde x& =dx/dz e y& =dy/dz. Note que dz foi abitaiamente colocado em evidência, mas também podeíamos te escolhido dx ou dy. Assim, o pincípio de Femat fica: com: δ P P n(x, y,z) + x& + y& dz = δ f (x, y, x, & y,z)dz & = (.7) f (x, y, P P x, & y, & z) & + & = n(x, y, z) + x y (.8) onde supusemos que n pode vaia nas tês dieções. A solução da eq. (.7) já foi estabelecida no contexto da mecânica clássica, explicitamente ao se tata o pincípio da mínima ação: δ P P L (x, y,z, x, & y,z, & & t)dt = (.9) S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 5 onde L(x,y,z, x &, y,z & &,t) é a Lagangeana do sistema mecânico, x, y, e z são as coodenadas catesianas e t é o tempo. Compaando as equações (.7) e (.9), notamos que f(x,y, x &, y&,z) faz o papel da Lagangeana e z, o de tempo. Como já estudado na mecânica clássica, a solução da eq. (.7) leva a um conjunto de equações do tipo Eule-Lagange: d dz d dz f f = x& x f f = y& y (.a) (.b) Queemos agoa aplica estas equações na análise da tajetóia do aio se popagando na mistua de água e álcool. De acodo com a simetia do poblema, a tajetóia do aio está confinada ao plano yz e a função f independe de x e x&. Em geal, a análise de poblemas onde o índice de efação depende apenas de uma coodenada tona-se matematicamente mais simples se a coodenada tempo fo tomada na dieção em que n vaia. Assim, tomaemos ds = + z& dy, onde agoa dy foi colocado em evidência. Neste caso, a equação de Eule -Lagange tona-se: d dy f f = z& z = n(y) z& independe de z e potanto f / z = (.) onde f (z, & y) +. Isto simplifica a solução da eq. (.) pois f / z& seá constante. Desta foma, temos: f n(y)z& = = n (.) z& + z& onde a condição inicial β(y ) = foi usada. Note que tg β(y ) = dy/dz = paa z = (y=y). Potanto, z& = cotgβ = neste ponto e os z& do numeado e denominado da eq. (.) se cancelam. Elevando esta equação ao quadado obtemos: n (y)z ( z& ) & n + = (.3) S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
6 Óptica de aios Substituindo a expessão apoximada paa o índice de efação n(y) n + (dn/dy)(y-y ) e consideando que z & = dz/dy =/(dy/dz) =/ y&, obtemos: dy dn y& = = (y y ) (.4) dz n dy onde o temo quadático em dn/dy foi despezado. Esta equação é idêntica à eq. (.5) e sua integação leva à tajetóia paabólica da eq. (.6) obtida na seção pecedente. Com esta análise chegamos ao mesmo esultado obtido com a lei de Snell genealizada. Entetanto convém salientamos que as equações de Eule-Lagange são mais geais pois pemitem tata poblemas onde o índice de efação vaia nas tês dieções. y.6 A equação dos aios Atavés da manipulação matemática das equações de Eule Lagange, obtidas com o pincípio de Femat, é possível a obtenção de uma equação vetoial elegante, que desceve a popagação de um aio num meio óptico não homogêneo. Paa deduzimos esta equação dos aios, começaemos com a eq. (.a): f f = = dz x& x d + x& + y& n x (.5) onde a expessão paa f, dada pela eq. (.8), foi utilizada na deivada elativa a x. Efetuando também a deivada com elação a x& obtemos: d nx & = + x& + y& dz x y + & + & n x (.6) Da eq. (.6) temos: ( ds / dz) = + x& + y&. Potanto, usando a ega da cadeia no temo x& =dx/dz do lado esquedo da equação temos: dx n = dz ds d n + x& + y& (.7) x S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 7 Aplicando novamente a ega da cadeia na deivada elativa a z chegamos a: d dx n n = (.8) ds ds x Patindo da outa equação de Eule-Lagange, eq. (.b), obtemos de foma análoga a expessão envolvendo a coodenada y: d ds dy n n = ds y (.9) Combinando as equações (.8) e (.9) é possível enconta uma expessão análoga paa a coodenada z: d ds dz n n = ds z (.3) Multiplicando as equações (.8), (.9) e (.3) espectivamente pelos vesoes î, ĵ e k ˆ, e somando as tês, obtemos a equação vetoial que fonece a popagação do aio dento do meio não homogêneo: d d n = n (.3) ds ds A Fig..6 mosta a geometia de s, ds, e d. É inteessante nota que d = ds. A dieção de popagação do aio de luz é caacteizada po um veso û = d / ds. O veto é definido a pati da escolha de uma oigem abitáia, s é o deslocamento ao longo do aio e ds é um incemento infinitesimal deste deslocamento. y s ds d Fig..6 - Geometia das gandezas utilizadas na equação dos aios. z S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
8 Óptica de aios Paa finalizamos esta seção, vamos aplica a equação dos aios à análise da popagação de luz pela mistua de água e álcool. O uso da eq. (.3) é em geal simples na apoximação paaxial, onde o desvio do aio é pequeno. Neste caso, ds está paticamente na dieção z e assim podemos substitui d/ds po d/dz. Como a tajetóia do aio se dá no plano yz, escevemos = yĵ + zkˆ, de onde tiamos d /dz = dy/dz ĵ + kˆ. O gadiente de n pode se calculado a pati da eq. (.) e esulta em n = dn / dy ĵ. Substituindo estas gandezas na equação dos aios obtemos: d dz dy dn n(y) ĵ + kˆ = ĵ dz (.3) dy Como n(y) não depende de z, ele pode se tiado paa foa da deivada. kˆ é um veto constante e sua deivada elativa a z é nula. Potanto, da equação vetoial (.3) soba apenas a componente na dieção ĵ, dada po: dn d y dn n + (y y ) = (.33) dy dz dy y y onde n(y), dado pela eq. (.) já foi substituido. Na apoximação paaxial, o aio se desvia pouco do eixo z (y y ) e além disto dn/dy é pequeno. Logo podemos despeza o segundo temo ente colchetes do lado esquedo da equação e assim obtemos uma expessão onde a deivada segunda de y é constante (equação da paábola). A solução desta equação é simples e leva aos esultados já obtidos anteiomente: que implica em: de foma que: y y d y dn = (.34) dz n dy dy dz dn = z (.35) n dy S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações y y
Óptica de aios 9 dn y = y (.36) + z n dy y onde as condições iniciais y& (z=) = e y(z=) = y foam utilizadas. Potanto, ecupeamos os esultados já encontados pela lei de Snell genealizada e pelas equações de Eule-Lagange..7 A função eikonal Neste ponto, deixaemos de lado a óptica geomética paa intoduzimos o conceito de eikonal. Esta função, obtida a pati da óptica ondulatóia, é impotante pois epesenta o papel da função caacteística de Hamilton na mecânica clássica e é de gande valia quando se faz a analogia desta com a óptica geomética. Como veemos no Cap. 3, a equação das ondas eletomagnéticas na sua foma eduzida (sem dependência tempoal) é dada po: E + k E = (.37) onde k( ) = πn( )/λ é o é veto de popagação, que depende da posição, uma vez que n( ) depende da posição num meio não homogêneo. A solução da equação de ondas é uma gandeza complexa, que contém um temo de amplitude e outo de fase, e pode se escita como: iφ( ) ik S( ) E() = E () e = E () e (.38) sendo E ( ) a amplitude (envelope), φ( ) a fase da onda e S( ) a função eikonal, que dá a dieção de popagação da onda em temo de seus cosenos dietoes. k é o veto de onda no vácuo, dado po k = πn/λ, onde λ é o compimento de onda da luz no vácuo (n=). As supefícies S( ) = constante fomam as equifases da onda, e esta se popaga pependiculamente a estas supefícies. Paa visualizamos este fato, consideemos uma onda plana, cuja fase é dada po: φ ) = k. = k x + k y k z (.39) ( x y + z como veemos posteiomente. Assim, a função eikonal fica sendo: S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
3 Óptica de aios S(x, y,z) k k x y k z = x + y + z (.4) k k k A dieção pependicula a esta supefície pode se encontada pelo cálculo de seu gadiente: k S(x, y, z) = = nû (.4) k k onde û é um veso paalelo a e que potanto define a dieção de popagação da onda. Realizando o poduto escala S. S obtemos: S S S S = + + = n (.4) x y z que é conhecida como a equação do eikonal. Esta equação também pode se obtida dietamente pela substituição da eq. (.38) em (.37), mas isto seá deixado como execício. O conceito de função eikonal pode se utilizado na dedução da equação dos aios que obtivemos na seção.6. Fazendo uso da Fig..6, de onde temos d = ds e û = d /ds, podemos esceve S = nû = nd / ds, sendo que este último temo já é o que enta na equação dos aios. Tendo em mente a eq. (.3) escevemos: d ds d n = ds d ds S (.43) O lado dieito da equação pode se tabalhado com o uso da ega da cadeia: 3 d dx i d = =. (.44) ds ds x ds i= e pelo cálculo do gadiente da eq. (.4) (equação do eikonal): S = S. S = n i ( ) n (.45) S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 3 Usando S = nd/ds no segundo temo desta equação obtemos: d d. ( S) = S = n ds ds (.46) onde a eq. (.44) foi utilizada no pimeio temo da esqueda. Substituindo a igualdade da dieita na eq. (.43) ecupeamos a equação dos aios. Com a função eikonal é possível obte-se as condições de contono paa os aios de luz. Lembando que o otacional do gadiente é nulo, temos: x S.da = S.d l = (.47) [ ( )] A onde o teoema de Stokes foi usado. Como S = nd / ds, temos: d n.d l = nds = ds (.48) Nesta última passagem supusemos que o caminho de integação coincide com o caminho dos aios de luz, isto é, û é paalelo a d l. De acodo com a Fig..7 podemos defini os caminhos C e C, e a eq. (.48) pode se expessa como: nds = nds (.49) C C de onde concluimos que dois aios de luz que deixam um ponto P e chegam até um ponto P po caminhos geométicos difeentes, o fazem com o mesmo valo de caminho óptico. Exemplificando, todos os aios que saem de um dado ponto de um objeto colocado na fente de uma lente e chegam ao mesmo ponto da imagem, o fazem de tal foma que as integais de linha de nds po difeentes caminhos geométicos fonecem o mesmo valo. C P P C Fig..7 - Possíveis caminhos seguidos pelos aios de luz. S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
3 Óptica de aios Podemos também usa a eq. (.48) paa deduzi a lei de Snell. Neste caso, o caminho de integação dado pela cuva C não coesponde à dieção de popagação dos aios de luz. Considee a Fig..8, que mosta aios incidentes sobe uma inteface que sepaa dois meios. Neste caso temos: d d n. ê = n. ê nû. ê = n û. ê (.5) ds ds que nos leva dietamente à lei de Snell, já que û.ê = senθ. A segui, vamos usa a idéia de função eikonal paa estabelece um paalelo ente a óptica geomética e a mecânica clássica. û θ û θ n ê C n Fig.8 - Raios de luz que incidem numa inteface dielética..8 Analogia ente a mecânica clássica e a óptica geomética Em 88, Hamilton fomulou a analogia ente a óptica geomética e a mecânica Newtoniana de uma patícula. Esta fomulação está discutida em detalhes na efeência.3 e aqui fazemos apenas um beve esumo das idéias envolvidas. Já vimos um pouco desta analogia quando estudamos o pincípio de Femat, que é equivalente ao pincípio da mínima ação, ou ação estacionáia. Vamos ve agoa outos aspectos desta equivalência. Paa a obtenção da equação de Hamilton-Jacobi, lembemo-nos que a ação é dada po: A( q,p, t) = L(q,p, t)dt + C C (.5) S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 33 onde L é a Lagangeana, q e p são espectivamente a coodenada e velocidade genealizadas, t é o tempo e C é uma constante. Denominando de H o Hamiltoniano do sistema mecânico e fazendo uma tansfomação canônica tal que o novo Hamiltoniano, K, seja nulo, obtemos a equação de Hamilton-Jacobi: A A K ( q, p, t) = H (q,, t) + = (.5) q t No caso em que a enegia se conseva, H não depende do tempo e a eq. (.5) pode se integada, esultando em: A ( q,p, t) = W (q,p) Et (.53) onde H = E é a enegia da patícula, A é a função pincipal de Hamilton e W é conhecida como função caacteística de Hamilton. Na eq. (.5), o momentum é epesentado po A / q, e como nos sistemas consevativos apenas W depende de q, como visto na eq. (.53), temos p = W / q. Este esultado pode se estendido paa tês dimensões fonecendo: p = W (.54) Isto significa que a patícula caminha pependiculamente à supefície definida pela função W. Neste ponto já é possível nota-se alguma semelhança com a óptica geomética, pois de acodo com a eq. (.4), um aio de luz popaga-se pependiculamente à supefície S(x,y,z), com o índice de efação fazendo o papel de momentum. Paa analisamos o movimento de uma patícula, consideemos a supefície A = constante = a, como uma fente de onda popagando-se no espaço das configuações. De acodo com a Fig..9, a vaiação da função W num intevalo de tempo dt é dada po: dw = W - W = E dt (.55) Usando o conceito de deivada diecional temos: d W = W.ds = W ds (.56) onde ds é um veto pependicula à supefície A = constante. Igualando as equações (.55) e (.56) obtemos a velocidade de fase paa a popagação da fente de onda como: S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
34 Óptica de aios ds E E E v f = = = = (.57) dt W p mt onde T = p /m é a enegia cinética da patícula. Deste modo, vemos que a velocidade de fase aumenta quando a velocidade da patícula diminui. Entetanto, como veemos posteiomente, é a velocidade de gupo (velocidade de um pacote de onda) que é igual à velocidade da patícula, e não a velocidade de fase. ds W = a W = a + Edt A () = a A (dt) = a Fig..9 - Popagação da supefície A(t)=a no espaço das configuações. Paa ealizamos uma compaação fomal ente a óptica geomética e a mecânica clássica, vamos inicialmente mosta que a equação do eikonal tem sua oigem na óptica ondulatóia no limite em que λ. Paa isto não podemos usa a equação de ondas na foma eduzida, dada pela eq. (.37), mas sim sua foma completa, que envolve a deivada tempoal. Esta equação, que seá deduzida no Cap. 3, é dada po: n () E E = (.58) c t onde o aspecto vetoial do campo elético foi ignoado paa simplifica as contas. A solução desta equação é obtida genealizando-se a eq. (.38) de acodo com: B( ) ik [ S( ) ct] E(, t) = e e (.59) onde a amplitude do campo elético foi escita como E () = exp{b()} po conveniência. A substituição de (.59) em (.58), que seá deixada como execício, nos leva a: S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 35 { ik [ B. S + S] + [ B + ( B) k ( S) + n k ]} E = (.6) Como as gandezas B e S são eais, cada temo ente colchetes deve se anula sepaadamente. Assim temos: B. S + S = (.6a) B + B k S + n k = (.6b) ( ) ( ) S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações No limite em que λ (k ), apenas os dois últimos temos de (.6b) são elevantes, o que nos leva à equação do eikonal já discutida anteiomente. Em esumo, a solução da equação de ondas eletomagnéticas possui uma fase que é dada po: φ(, t) = k S() ct (.6) [ ] e no limite em que λ obtemos que o aio de luz se popaga com uma dieção definida po S = nû. Já na mecânica clássica, a dieção de popagação de uma patícula é dada pela eq. (.54). Assim, a função caacteística W(q,p) faz o papel de eikonal e p = mt = m(e V) (onde V epesenta a enegia potencial), faz o papel de índice de efação. A análise da equação de Hamilton-Jacobi indica que a mecânica clássica é análoga ao limite da óptica geomética da equação de ondas. Raios de luz otogonais às fentes de onda (equifases) coespondem à tajetóias de patículas, otogonais as supefícies de ação constante. Na seção seguinte, vamos ve como Schödinge estendeu a analogia de Hamilton paa obte uma equação básica na mecânica quântica, que hoje leva seu nome..9 Obtenção da equação de Schödinge Emboa Hamilton tivesse desenvolvido a analogia exposta na seção pecedente ainda em 88, ele não tinha motivos paa atibui qualque caáte ondulatóio a uma dada patícula. Desta foma, po falta de evidências expeimentais não foi possível a ele enconta uma equação de ondas paa desceve o compotamento da patícula. Foi Ewin
36 Óptica de aios Schödinge que, em 95, estendeu a analogia de Hamilton e encontou uma equação de ondas paa desceve o movimento de um ponto mateial. A idéia seguida po Schödinge está esquematizada na Fig... Sabia-se que a óptica geomética ea um caso limite da óptica ondulatóia e que ea análoga à mecânica Newtoniana de uma patícula. Seia possível obte alguma equação, no mesmo pé de igualdade da equação de ondas eletomagnéticas, que levaia à mecânica clássica no limite em que alguma gandeza, α, ineente à esta teoia tendesse a zeo? Mecânica Newtoniana W = p α?????? A = W - Et Analogia de Hamilton (88) Óptica geomética S = nû λ Óptica ondulatóia φ =k S ct [ ] Fig.. - Conjectua de Schödinge. Da analogia de Hamilton, W coesponde ao eikonal S. Levandose em conta a pate tempoal, a ação A = W - Et deve coesponde à fase da onda eletomagnética, dada po: S() φ(, t) = k [ S() ct] = π νt (.63) λ onde as substituições k = π/λ e λ = c/ν foam intoduzidas. Compaando os temos com dependência tempoal na fase da onda e na ação, Schödinge concluiu que a enegia da patícula deveia se popocional à fequência de alguma onda associada a ela, cuja popagação está mostada na Fig..9. Assim, E = hν (.64) onde h é uma constante de popocionalidade, que mais tade foi identificada como sendo a constante de Planck. Associando um compimento de onda à popagação da supefície A(t) no espaço das S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 37 configuações e levando em conta que esta se popaga com uma velocidade de fase dada po v = E/p, temos: f ( E / p) h ( E / h) p v λ = f = = (.65) ν Desta foma, Schödinge conseguiu associa um compimento de onda à patícula de momentum p. Este compimento de onda foi posteiomente deduzido po de Boglie de uma outa maneia e po isso leva o nome de compimento de onda de de Boglie. A eq. (.65) pemite enconta o veto de popagação como: m(e V) k = π = π p = (.66) λ h h onde h = h/π, e as elações p = mt e E = T+V foam utilizadas. Substituindo o valo de k dado em (.66) na equação de ondas eduzida, eq. (.37), chegamos à equação de Schödinge: h m ψ + Vψ = Eψ (.67) onde o veto campo elético foi substituido po uma nova função, ψ, cuja intepetação seá deixada paa os textos de mecânica quântica. Em esumo, paa se obte a equação de Schödinge, é necessáio associa um compimento de onda à patícula de momentum p (compimento de onda de de Boglie) e isto pode se feito estendendo-se a analogia de Hamilton. A pati disto, usa-se a consevação de enegia e a equação de ondas na sua foma eduzida paa a obtenção da equação de Schödinge. Paa finalizamos esta seção, vamos mosta que a velocidade de gupo associada à popagação da supefície de ação constante coesponde à velocidade da patícula. Como veemos no Cap. 4, a velocidade de gupo, ou de pacote de onda, é dada po: v g dω dν = = (.68) dk d(/ λ) S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
38 Óptica de aios com ω = πν. Usando a eq. (.65), e consideando que p = m(e V) e E = hν, temos: m(e V) = λ h (.69) - cuja deivada com espeito a ν nos fonece v g : d(/ λ) m = = (.7) v g dν m(hν V) Substituindo hν po E e p m(e V), obtemos v = g = p/m = v.. O potencial óptico Como vimos na seção anteio, as equações de ondas eletomagnéticas e de Schödinge são fomalmente equivalentes desde que se associe o compimento de onda de de Boglie à patícula. No limite clássico da equação de Schödinge, que coesponde ao caso h (λ ), ecupeamos as equações da mecânica clássica. Paa sistemas consevativos temos: F = V (.7) e este tipo de equação também deve existi na óptica geomética devido à equivalência ente as duas equações de ondas. Usando (.66), podemos defini um potencial óptico como: h k () V() = E (.7) m Na pesente analogia, a óptica geomética está ligada ao limite clássico da equação de Schödinge, no qual a a lei de Newton é válida. Desta foma, h k() F = ma = V() = k (.73) Como k( ) = k n( ) e k = ω/c, temos: S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações m
Óptica de aios 39 a = ( hω ) n() n mc (.74) Assim, obtemos a aceleação que atua sobe uma patícula de luz quando esta atavessa um meio com índice de efação vaiável. Entetanto, a eq. (.74) mistua o caáte de uma patícula de massa m com o de onda (ω,c). Paa eliminamos a massa desta equação, faemos uso da elação de de Boglie: v hω mv = h k = (.75) n mc onde k = ω/v = nω/c. Substituindo (.75) em (.74) obtemos uma expessão paa a aceleação de um aio de luz que se popaga com velocidade v = c/n num meio cujo índice de efação depende da posição: v a = n (.76) n Entetanto, a solução desta equação é complicada, uma vez que v também pode depende da posição. Paa simplificá-la, vamos toma a apoximação paaxial que estabelece que o movimento do aio está confinado em tono do eixo de popagação, que denominaemos de z. Neste caso, v dz/dt e a aceleação pode se expessa como: dv dv dz a = = (.77) dt dz dt onde a ega da cadeia foi utilizada. Substituindo (.77) em (.76) e cancelando v obtemos: dv v = n (.78) dz n Usando v = d /dt e aplicando novamente a ega da cadeia chegamos a: d dz v = n (.79) dz dt n S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
4 Óptica de aios que nos leva à equação de popagação de aios: d n = n dz (.8) Podemos compaa este esultado com a equação dos aios obtida anteiomente. Usando a apoximação paaxial (d/ds d/dz) na eq. (.3) e ealizando a pimeia deivada com espeito a z, temos: dn dz d d + n dz dz = n (.8) Vemos então que o pimeio temo desta equação não apaece em (.8). Paa efeitos páticos isto não tem muita impotância, pois a duas equações são válidas apenas na apoximação paaxial, que só tem sentido quando a vaiação de n é muito pequena. Na solução da eq. (.8), despeza-se em geal o pimeio temo e apoxima-se n po n no segundo temo. Podemos entende a ausência do temo popocional a dn/dz em (.8) e-escevendo o potencial óptico como: h ω n ω ( ) h n n () V() = E + (.8) mc mc que coesponde a um temo constante e outo muito pequeno. Paa passamos do caso quântico paa o clássico devemos te h. Isto significa que os níveis de enegia do sistema são quase contínuos e paa isto o potencial deve vaia lentamente no espaço. Assim, o pimeio temo de (.8) pode se consideado como de segunda odem e potanto despezado. Em conclusão, intoduzimos um potencial óptico com o qual obtivemos uma equação que desceve a popagação dos aios na apoximação paaxial. Este conceito é inteessante poque atavés dele podemos entende poque os aios de luz pocuam sempe as egiões de maio índice de efação (meno potencial). Como exemplo, numa fiba óptica o núcleo possui índice de efação levemente supeio ao da casca, o que gaante que os aios de luz fiquem confinados póximos ao seu cento. S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
Óptica de aios 4 Bibliogafia nd. D. Macuse, Light Tansmission Optics, ed., van Nostand Reinholt Company, NY (98). d. M. Bon and E. Wolf, Pinciples of Optics, 3 ed., Pegamon, Oxfod (97)..3. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Co., 6 th ed. (969), pg. 37..4. G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, NY (968)..5. R. Köbele, Rev. Bas. Fís. 9, 43 (979)..6. D. A. Kuege, Am. J. Phys. 48, 83 (98). Poblemas.. Um aio de luz incide sobe uma placa de espessua d de tal maneia a foma com a nomal, confome mosta a Fig... O índice de efação é dado po n = + z/d. Use a lei de Snell genealizada paa enconta o ângulo com que o aio deixa a placa... Ainda com elação ao execício, use as equações de Eule-Lagange paa enconta: a) a equação da tajetóia do aio dento do meio e b) a que distância y do eixo z ele sai foa do meio. y θ z d Fig.. - Relativa aos execícios. e...3. Repita o poblema. usando a equação dos aios..4. Uma lente do tipo GRIN (índice gadual) consiste de uma placa plana e paalela cujo índice de efação vaia quadaticamente com a S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações
4 Óptica de aios distância ao eixo óptico z de acodo com n(x,y) = n - α(x +y )/. Considee um aio entando com um ângulo θ (pequeno) neste mateial, como mosta a Fig.. A espessua da lente é d e α << n. Use a equação dos aios paa enconta: a) a equação da tajetóia do aio dento do meio e b) o ângulo de saída (no a) do aio. θ d Fig.. - Lente do tipo GRIN. θ é o ângulo já dento do mateial..5. Obte a eq. (.4) pela substituição de (.38) em (.37)..6. Obte a eq. (.6) pela substituição de (.59) em (.58)..7. Um aio de luz incide nomalmente sobe um meio semi-infinito com índice de efação n = n ( α y ) a uma pequena altua y. Tome α y <<. a) Use a lei de Snell genealizada paa enconta a equação da tajetóia do aio dento do meio. b) Repita o poblema usando as equações de Eule-Lagange. c) Repita o poblema usando a equação dos aios..8. Um feixe de luz colimada incide nomalmente sobe uma placa de espessua l, com índice de efação n = n ( α y ), confome mosta a Fig..3. Este elemento funciona como uma lente tipo GRIN unidimensional. Enconte a posição focal, F. Considee que α y max << e l é suficientemente pequeno paa não have oscilações do aio dento da placa. y z F z l Fig..3 - Relativa ao execício.8. S. C. Zilio Óptica Modena Fundamentos e Aplicações