Capítulo Derivadas parciais

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 1 Capítulo 24 - Derivadas parciais 241 - Introdução 243 - Significado geométrico das derivadas parciais 242 - Derivadas parciais Veremos agora como aplicar algumas das ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral a funções de mais de uma variável Definiremos as chamadas derivadas parciais que são o equivalente da derivada para funções de mais de uma variável e também veremos como aplicá-las a alguns eemplos econômicos 241 - Introdução Neste capítulo vamos generalizar o conceito de derivada para funções de mais de uma variável No entanto vamos primeiro analisar um problema em que se calcula taas de variação de uma função de duas variáveis Investimento em produção Considere que você tenha uma empresa cuja produção possa ser modelada pela seguinte função de Cobb-Douglas: P(KL) 10K 04 L 06 onde P(KL) é o valor da produção (medido em milhares de reais) K é o investimento feito em infra-estrutura e maquinário e L é o investimento feito em mãode-obra (ambos medidos em milhares de reais) A característica dessa função é que a produção de sua empresa depende mais da mão-de-obra do que da infra-estrutura e maquinário No momento você tem R$ 100000 investidos em infra-estrutura e maquinário e R$ 200000 investidos em mão-de-obra Eiste a possibilidade de investir mais R$ 10000 em infra-estrutura ou em mão-de-obra mas não em ambas simultaneamente e não deve haver parcelamento do investimento nessas duas áreas Em qual das duas áreas o investimento deverá ser feito? A resposta pode ser obtida se calcularmos o quanto a produção deve variar caso seja feito o investimento em uma determinada área: infra-estrutura ou mão-de-obra Para isto devemos calcular a variação da função produção com relação a uma variação no capital investido em infra-estrutura e maquinário e a variação da função produção com relação a uma variação no gasto com mão-de-obra Para uma variação 10 mil reais no capital investido em infra-estrutura e maquinário temos P(K+L) P(KL) P(100+10200) P(100 200) 10 110 04 200 06 10 100 04 200 06 58901 Para uma variação 10 mil reais no gasto com mão-de-obra temos P(KL+) P(KL) P(100200+10) P(100200) 10 100 04 210 06 10 100 04 200 06 45027 Portanto um gasto de R$ 10000 em infra-estrutura e maquinário aumenta a produção em aproimadamente R$ 59000 enquanto um gasto de R$ 10000 em mão-de-obra aumenta a produção em aproimadamente R$ 45000 Portanto o dinheiro deve ser investido em infra-estrutura e maquinário O resultado pode surpreender pelo fato do trabalho ter um peso maior na função de produção mas não devemos nos esquecer que já tinha sido investido o dobro do dinheiro em mão-de-obra (200000 reais) que em infra-estrutura e maquinário (100000 reais) Isto foi importante para o resultado obtido através das taas de variação Note que na primeira variação variamos K e mantivemos L fio; na segunda variação variamos L e mantivemos K fio Isto é um procedimento muito comum em Economia onde os efeitos da mudança de alguma variável sobre alguma função são calculados considerando que todas as outras variáveis das quais a função dependa permaneçam constantes Este é chamado de princípio do ceteris paribus que significa tudo mais igual em latim Observação: o princípio ceteris paribus é em geral pronunciado como se lê em Português mas em latim restaurado que é o que se entende hoje que seja a pronúncia mais correta do latim na época em que ele era falado se pronuncia keteris paribus

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 2 A variação da função de produção com relação a uma variação ou a uma variação e as taas de variação relativas a elas e estão diretamente relacionadas ao conceito de derivadas de funções de duas variáveis reais como será visto a seguir 242 - Derivadas parciais Vamos começar relembrando o conceito de derivada para funções de uma variável real A taa de variação de uma função f() com relação a uma mudança em sua variável independente é f( + ) y f f( + ) f() A derivada é o limite dessa taa de variação para quando 0 isto é f () df d lim f 0 onde utilizamos as notações de Newton f () e de Leibniz df para a derivada d f() + Vamos agora considerar uma função geral de duas variáveis f( y) Podemos variar essa função com relação à variável mantendo a variável y fia ou variar a variável y mantendo fia Fazendo isto obtemos duas taas de variação uma com relação a uma variação em e a outra com relação a uma variação em y: f f( + y) f(y) f f(y + ) f(y) Do mesmo modo como a derivada de uma função de uma variável foi definida como a taa de variação de f() com relação a mediante uma variação infinitesimal de podemos definir derivadas com relação às duas variáveis independentes de f( y) Portanto podemos derivar essa função com relação à variável ou com relação à variável y A primeira indica qual a taa de variação de f(y) quando tem uma variação infinitesimal d e y permanece sem alteração A segunda indica a taa de variação da função quando não se altera e y sofre uma variação infinitesimal dy Elas são definidas em termos algébricos a seguir Definição 1 - Dada uma função f(y) a derivada parcial de f com relação à variável é definida como lim f 0 lim f( + y) f(y) 0 quando esse limite eistir Definição 2 - Dada uma função f(y) a derivada parcial de f com relação à variável y é definida como y lim f 0 lim f(y + ) f(y) 0 quando esse limite eistir O símbolo chamado del ou d-romb é usado para diferenciar a derivada parcial da derivada comum e é resultado de uma alteração da letra d (um d rombudo ou arredondado )

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 3 Vamos agora aplicar esse conceito de derivadas parciais a um eemplo específico Eemplo 1: usando a definição de derivada calcule as derivadas parciais de f(y) y 2 + 2 com relação a e a y primeiro vamos calcular as taas de variação de f com relação a e com relação a y: f f f( + y) f( y) y2 + y 2 + 2 + 2 y 2 2 f( y + ) f( y) [ y 2 + 2y + () 2] y 2 2y + ( + )y2 + 2( + ) y 2 2 y2 + 2 (y + )2 + 2 y 2 2 y 2 + 2 y2 + 2y + () 2 y 2 2y + ()2 Agora calculamos as derivadas parciais: lim f 0 lim 0 (y2 + 2) y 2 + 2 e y lim f 0 lim (2y + ) 2y 0 Note que o resultado da derivada da função f(y) y 2 + 2 com relação à variável é o mesmo que se derivássemos f(y) somente com relação a considerando y como uma constante A derivada de y 2 ficaria então a derivada de vezes a constante y 2 o que resulta em (y 2 ) y 2 A derivada de 2 fica simplesmente 2 Desse modo temos que y2 + 2 Fazendo o mesmo para a derivada com relação a y (considerando como uma constante) temos que a derivada de y 2 fica 2y e que a derivada de 2 (a derivada de uma constante) é 0 Sendo assim temos que y 2y eatamente o mesmo resultado obtido usando a definição de derivada parcial Como daqui em diante utilizaremos as derivadas de diversas funções seguem as derivadas de algumas funções básicas de uma variável real e as principais regras de derivação f() n a f () n n 1 a ln a 1 log a ln a sen cos cos sen Regra da cadeia: df (g()) df dg dg d Derivada do produto: (uv) u v + uv ( u ) u v uv Derivada do quociente: v v 2 Nos próimos eemplos as derivadas parciais são calculadas de forma mais direta considerando a variável y como uma constante e derivando com relação a e depois considerando uma constante e derivando com relação a y Eemplo 2: calcule as derivadas parciais da função f(y) cos y + 2 4y 2 1 cosy + 2 0 cosy + 2 y ( seny) + 0 8y seny 8y

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 4 Eemplo 3: calcule as derivadas parciais da função f(y) 3 e y y 2 32 e y 0 3 2 e y y 3 e y 2y O próimo eemplo utiliza a regra da cadeia para a derivada de funções compostas: Eemplo 4: calcule as derivadas parciais da função f(y) ln( 3 y 2 ) 1 2 y 2 32 32 3 y 2 y 1 2 y 2 ( 2y) 2y 3 y 2 df (g()) d df dg dg d O eemplo a seguir utiliza a regra da derivada do produto de funções (uv) u v + uv em conjunto com a regra da cadeia Eemplo 5: calcule as derivadas parciais da função f(y) cos( 2 + y 2 ) 1 cos(2 + y 2 ) + [ sen( 2 + y 2 ) ] 2 cos( 2 + y 2 ) 2 2 sen ( 2 + y 2 ) y [ sen( 2 + y 2 ) ] 2y 2y sen ( 2 + y 2 ) De modo mais geral podemos ter funções de n variáveis reais que poderão ter n derivadas parciais uma para cada variável independente A definição de tais derivadas parciais é feita a seguir Definição 3 - Dada uma função f( 1 n ) a derivada parcial de f com relação à variável i é definida como f f( 1 i + i n ) f( 1 i n ) lim lim i i 0 i i 0 i quando esse limite eistir Por eemplo para uma função f(yz) de três variáveis teremos as derivadas parciais com relação a a y e a z como no eemplo a seguir Eemplo 6: calcule as derivadas parciais da função f(yz) ln(yz) 1 ln(yz) ln(yz) y 1 yz z y z 1 yz y z O próimo eemplo utiliza a regra da derivada do quociente de funções Eemplo 7: calcule as derivadas parciais da função f(yz) 2 ln 2(yz 3 4) 2 ( 4) (yz 3 4) 2 2 yz 3 4 y 0 (yz3 4) 2 z 3 (yz 3 4) 2 ( u v ) u v uv v 2 z 0 (yz3 4) 2 3yz 2 (yz 3 4) 2 243 - Significado gráfico das derivadas parciais Tal como a derivada df é o coeficiente angular da reta tangente à função f() no ponto onde a derivada d é calculada as derivadas parciais de uma função de mais de uma variável também têm um significado gráfico Os próimos dois eemplos ilustram o significado gráfico das derivadas parciais

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 5 Eemplo 1: calcule as derivadas parciais da função f(y) 4 2 y 2 2 e y 2y Eemplo 2: dada a função f(y) 4 2 y 2 representada por um parabolóide se fiarmos a variável y em 1 temos uma parábola contida no plano y 1 dada pela equação f() 4 2 1 2 3 2 Podemos derivar essa parábola com relação à variável obtendo f () 2 Essa derivada quando calculada para um determinado 0 pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente à parábola em 0 como mostra a primeira figura a seguir (na figura 0 05) z z 40 40 30 20 30 20-30 -20-10 10-30 -20-10 -30-20 -10 10-30 -20-10 10 20 10 20 10 20 y 10 20 y Caso fiemos a variável em 1 temos a parábola f(y) 4 1 2 y 2 3 y 2 Derivando agora com relação à variável y temos f (y) 2y Quando calculada em um determinado y y 0 esta derivada significa o ângulo de inclinação da reta tangente à parábola resultante da escolha 1 O gráfico dessa parábola e da reta tangente a ela (em y 0 05) estão feitos na segunda figura acima Podemos ver que fiando uma variável de uma função f(y) a derivada da função com relação à variável remanescente é o coeficente angular da reta tangente à superfície formada pelo gráfico de f(y) no ponto onde foi fiada a primeira variável Esta noção pode ser levada ao caso de funções com mais de duas variáveis reais onde não é possível ter uma visão geométrica mas onde a intuição adquirida para três dimensões é uma boa guia Resumo Derivadas parciais de funções de duas variáveis: dada uma função f( y) suas derivadas parciais são definidas como lim f( + y) f(y) 0 y lim f(y + ) f(y) 0 quando esse limites eistirem Derivadas parciais de funções de n variáveis: dada uma função f( 1 n ) a derivada parcial de f com relação à variável i é definida como f f( 1 i + i n ) f( 1 i n ) lim lim i i 0 i i 0 i quando esse limite eistir

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 6 Leitura Complementar 241 - Produtividades marginais Uma aplicação de derivadas é na aproimação de taas de variação muito utilizadas em Economia e Administração Uma dessas taas de variação ocorre quando consideramos alguma função como a da produção P (de um país ou de uma fábrica) como função do capital K investido e da força de trabalho L A função de produção mais conhecida é a de Cobb-Douglas dada por P(KL) AK α L 1 α onde 0 < α < 1 A taa de variação de uma função de produção com relação a uma variação no capital investido é chamada produtividade marginal do capital e é dada por P(K + L) P(KL) De modo semelhante a taa de variação de uma função de produção com relação a uma variação na força de trabalho é chamada produtividade marginal do trabalho e é dada por P(KL + ) P(KL) No caso específico da função de produção de Cobb-Douglas temos P(K + L) P(KL) P(KL + ) P(KL) A(K + )α L 1 α AK α L 1 α AKα (L + ) 1 α AK α L 1 α Eemplo 1: uma empresa tem a produção modelada pela função P(KL) 20K 06 L 04 O nível de investimento atual é de R$ 25000 em capital (infra-estrutura e maquinário) e de R$ 30000 em trabalho Calcule a produtividade marginal do capital e a produtividade marginal do trabalho quando há um aumento de mil reais nesses investimentos temos 20 2600006 30000 04 20 25000 06 30000 04 12 8065 1000 20 2500006 31000 04 20 25000 06 30000 04 7 1006 1000 Note que as produtividades marginais dependem tanto das variações e quanto do nível de investimento anterior a essas variações Isto significa que mesmo que o capital seja mais importante que o trabalho em uma determinada empresa se já está sendo feito bastante investimento em capital e pouco investimento em trabalho então a produtividade marginal do capital será menor que a produtividade marginal do trabalho dados esses níveis de investimentos Eemplo 2: a mesma empresa do eemplo anterior tem agora R$ 70000 em capital e de R$ 10000 em trabalho Calcule a produtividade marginal do capital e a produtividade marginal do trabalho quando há um aumento de mil reais nesses investimentos temos 20 7100006 10000 04 20 70000 06 10000 04 5 4942 1000 20 7000006 11000 04 20 70000 06 10000 04 24 9800 1000 Do mesmo modo que ocorre para funções de uma variável real as derivadas parciais costumam ser boas aproimações para taas de variação quando essas variações forem pequenas com relação aos valores sobre os

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 7 quais ocorrem essas variações Nesses casos podemos escrever para uma função f(y) f(y) (y) e f(y) (y) y Mas o que define o que é pequeno nesse caso? Na verdade isto depende de vários fatores como o tipo de função por eemplo A regra geral é que quanto maiores forem as variações masi distantes as derivadas parciais estarão dos valores verdadeiros das taas de variação Para a função de produção de Cobb-Douglas P(KL) AK α L 1 α temos K A αkα 1 L 1 α αa 1 K 1 αl1 α αa ( ) L 1 α K L AKα (1 α)l α (1 α)ak α 1 (1 α)a Lα Essas epressões são usadas a seguir para aproimar taas de variação ( ) K α L Eemplo 3: considere a empresa dos eemplos 1 e 2 cuja produção é modelada pela função de Cobb-Douglas P(KL) 20K 06 L 04 O nível de investimento atual é de R$ 25000 em capital e de R$ 30000 em trabalho Calcule as derivadas parciais de P com relação a K e a L para esse nível de investimento e compare esses resultados às produtividades marginais calculadas no eemplo 1 usando as derivadas já calculadas temos K 0 6 20 ( ) 04 ( ) 04 30000 6 12 12 9078 e 25000 5 0 4 20 L ( ) 06 25000 8 30000 ( ) 06 5 7 1710 6 Comparando às taas de variação uma boa aproimação 12 8065 e 7 1006 podemos ver que as derivadas parciais são Por serem boas aproimação para as produtividades marginais as derivadas parciais K e são freqüentemente chamadas de produtivade marginal do capital e de produtividade marginal do trabalho respecti- L vamente no lugar das taas de variação que elas aproimam para pequenas variações de K e de L Podemos então escrever K K K e L L L para calcularmos o efeito da produção de um aumento ou respectivamente Eemplo 4: considere uma empresa cuja produção é modelada por P(KL) 05K 03 L 07 onde K 10000 e L 20000 Calcule aproimadamente usando derivadas parciais o aumento da produção relativa a um aumento de 1500 reais no capital investido a derivada parcial de P com relação a K para esses valores de K e de L fica ( ) 07 20000 K 0 35 10000 07 20000 07 0 35 0 35 2 07 0 5686 10000 Como a derivada parcial é uma aproimação da produtividade marginal do capital temos K 0 5686 1500 852 86 K

Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 8 Leitura Complementar 242 - Elasticidades Outra medida bastante utilizada em economia do quanto uma função é sensível com relação a uma ou mais de suas variáveis é a elasticidade que é definida para funções de uma variável como a taa de variação percentual da função com relação a uma variação percentual de sua variável independente Em termos de uma fórmula isto fica ǫ f/f / f f A elasticidade de uma função com relação à sua variável independente pode ser aproimada para pequenas variações desta por uma epressão envolvendo sua derivada como mostrado a seguir: ǫ f f df d Para uma função de duas variáveis reais f(y) podemos ter duas medidas distintas de elasticidade: f ǫ f f e ǫ y f y f Essas elasticidades podem ser aproimadas para pequenas variações por epressões envolvendo derivadas parciais: ǫ f f e ǫ y f y f f y y f No caso particular da função de produção de Cobb-Douglas temos ǫ K K K P αal1 α K K 1 α AK α L 1 α α e ǫ L L L P (1 α)akα L α L AK α L 1 α 1 α Portanto as constantes α e 1 α assumem significados econômicos: elas são aproimações das elasticidades da função de produção de Cobb-Douglas Eemplo 1: calcule usando derivadas parciais as elasticidades aproimadas da função de produção P(KL) 20K 06 L 04 e os compare às elasticidades verdadeiras para K 25000 L 30000 1000 e 1000 usando as derivadas parciais temos ǫ K 0 6 e ǫ L 0 4 Os valores eatos são ǫ K K P 12 8065 25000 537826 8785 0 5953 e ǫ L L L P 7 1006 30000 0 39607 537826 8785 Portanto as elasticidades calculadas usando as derivadas parciais são boas aproimações para as elasticidades verdadeiras