Resoluçaõ de exercícios de Programação Liear Iteira Carlos Eduardo Ramisch - N.º Cartão: 134657 PESQUISA OPERACIONAL I (ADM01120) Turma B Professor Deis Borestei 19 de juho de 2006 Problema 1: Exercício 1 da Lista de Exercícios 1) Uma certa idústria decidiu se expadir, costruido uma ova fábrica em Los Ageles ou em Sa Fracisco. Também está sedo cosiderada a costrução de um ovo depósito a cidade que for selecioada para a ova fábrica. O valor presete líquido (lucraticviadade total cosiderado o valor do diheiro o tempo) de cada uma destas alterativas está apresetado a tabela abaixo. A última colua dá o capital requerido para os respectivos ivestimetos, ode o capital total dispoível é de US$ 25.000.000,00 *. O objetivo é ecotar a combiação viável de alterativas que maximize o valor presete líquido total. Decisão Valor presete líquido Capital Requerido Fábrica em Los Ageles 7 milhões 20 milhões Fábrica em Sa Fracisco 5 milhões 15 milhões Depósito em Los Ageles 4 milhões 12 milhões Depósito em Sa Fracisco 3 milhões 10 milhões Modelagem: Cosiderado as seguites variáveis de decisão: FL = 1, se a fábrica é costruída em Los Ageles. FS = 1, se a fábrica é costruída em Sa Fracisco. DL = 1, se o depósito é costruído em Los Ageles. DS = 1, se o depósito é costruído em Sa Fracisco. O modelo proposto é (cosiderado os coeficietes e costates medidos em milhões de dólares): MAXIMIZE 7FL + 5FS + 4DL + 3DS 20FL + 15FS + 12DL + 10DS <= 25 FL + FS = 1!impede fábrica em S.F. e em L.A. DL + DS = 1!impede depósito em S.F. e em L.A. FL + DS = 1!impede fábrica em L.A. e depósito em S.F. FS + DL = 1!mpede fábrica em S.F. e depósito em L.A. FL <= 1 FS <= 1 DL <= 1 DS <= 1 END GIN 4 * No euciado, o valor é de US$ 25.000,00, porém foi alterado para que o problema tivesse solução. Com US$ 25.000,00, seria impossível expadir a idústria, fosse em Los Ageles, fosse em Sa Fracisco.
Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE VALUE = 8.00000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 8.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 2 BOUND ON OPTIMUM: 8.000000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 2 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 8.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST FL 0.000000-7.000000 FS 1.000000-5.000000 DL 0.000000-4.000000 DS 1.000000-3.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Iterpretação: A melhor alterativa é costruir a fábrica e o depósito em Sa Fracisco, uma vez que o objetivo é maximizar o valor presete líquido.
Problema 2: Exercício 2 da Lista de Exercícios 2) Um jovem casal, Eva e Estêvão, quer dividir suas pricipais tarefas domésticas (compras, cozihar, lavar pratos e lavar roupas) etre si, de modo que cada um teha duas tarefas, mas que o tempo total gasto em tarefas domésticas seja míimo. Suas eficiêcias essas tarefas diferem, sedo que o tempo que cada um gastaria para desempehar uma tarefa dado pela seguite tabela: Agete Compras Cozihar Lavar Pratos Lavar Roupas Eva 3,2 7,4 4,1 2,5 Estêvão 3,9 6,8 4,5 2,7 Modelagem: Cosiderado as seguites variáveis de decisão: EV COM = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Compras. EV COZ = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Cozihar. EV PRA = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Lavar Pratos. EV ROU = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Lavar Roupas. ES COM = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Compras. ES COZ = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Cozihar. ES PRA = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Lavar Pratos. ES ROU = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Lavar Roupas. O modelo proposto é: MINIMIZE 3.2EV COZ + 7.4EV COZ + 4.1EV PRA + 2.5EV ROU + 3.9ES COZ + 6.8ES COZ + 4.5ES PRA + 2.7ES ROU EV COM + ES COM = 1!somete um deles pode fazer compras EV COZ + ES COZ = 1!somete um deles pode cozihar EV PRA + ES PRA = 1!somete um deles pode lavar os pratos EV ROU + ES ROU = 1!somete um deles pode lavar as roupas EV ROU + EV PRA + EV COZ + EV COM = 2!Eva precisa realizar duas tarefas ES ROU + ES PRA + ES COZ + ES COM = 2!Estêvão precisa realizar duas tarefas EV ROU <= 1 EV PRA <= 1 EV COM <= 1 EV COZ <= 1 ES PRA <= 1 ES ROU <= 1 ES COM <= 1 ES COZ <= 1 END GIN 8
Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 17.2999992 FIX ALL VARS.( 3) WITH RC > 0.000000E+00 NEW INTEGER SOLUTION OF 17.2999992 AT BRANCH 0 PIVOT 4 BOUND ON OPTIMUM: 17.30000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 17.30000 VARIABLE VALUE REDUCED COST EVCOZ 0.000000 10.600000 EVPRA 1.000000 4.100000 EVROU 1.000000 2.500000 ESCOZ 1.000000 10.700001 ESPRA 0.000000 4.500000 ESROU 0.000000 2.700000 EVCOM 0.000000 0.000000 ESCOM 1.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 12) 1.000000 0.000000 13) 1.000000 0.000000 14) 0.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 4 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Iterpretação: Eva deve realizar as seguites tarefas: Lavar pratos e Lavar Roupas. Estêvão deve realizar as seguites tarefas: Fazer compras e Cozihar. Dessa forma, o tempo gasto por ambos em tarefas domésticas é igual a 17.3 (míimo).
Problema 3: Exercício 3 da Lista de Exercícios 3) Formule o problema 2 como um problema de desigação e ecotre a solução que miimize o custo. Modelagem: Um modelo de desigação é um modelo o seguite formato: MINIMIZE m j =1 i=1 N i=1 x ij =1 i=1..m x ij c ij x ij =1 j=1.. Portato, para trasformar o problema 2 um modelo de desigação, precisamos elimiar a variável 2 do lado direito de duas restrições. Isso pode ser feito se adicioarmos à tabela de custos mais duas lihas, ou seja, dois agetes artificiais para realizarem essas tarefas. Esses agetes serão Eva' e Estêvão', que irão fucioar como cloes de Eva e Estêvão. Dessa forma, Eva realiza apeas uma tarefa, equato seu cloe Eva' realiza também apeas uma tarefa. Ao fial, teremos ecotrado que Eva realiza duas tarefas, uma vez que ela e seu cloe são, o mudo real, a mesma pessoa. O raciocíio aálogo é feito para Estêvão e Estêvão'. O modelo proposto cosidera as variáveis do problema 2 adicioadas de mais oito variáveis para os agetes artificiais, omeadas com um 2 o após as duas primeiras letras do ome da variável para idicar que a variável se refere ao agete cloe. Por exemplo, EV2 COZ vale 1 se o cloe de Eva realiza a tarefa Cozihar, e vale 0 caso cotrário. O modelo fica da seguite forma: MINIMIZE 3.2EV COZ + 7.4EV COZ + 4.1EV PRA + 2.5EV ROU + 3.9ES COZ + 6.8ES COZ + 4.5ES PRA + 2.7ES ROU + 3.2EV2 COZ + 7.4EV2 COZ + 4.1EV2 PRA + 2.5EV2 ROU + 3.9ES2 COZ + 6.8ES2 COZ + 4.5ES2 PRA + 2.7ES2 ROU EV COM + ES COM + EV2 COM + ES2 COM = 1!somete um deles pode fazer compras EV COZ + ES COZ + EV2 COZ + ES2 COZ = 1!somete um deles pode cozihar EV PRA + ES PRA + EV2 PRA + ES2 PRA = 1!somete um deles pode lavar os pratos EV ROU + ES ROU + EV2 ROU + ES2 ROU = 1!somete um deles pode lavar as roupas EV ROU + EV PRA + EV COZ + EV COM = 1!Eva deve fazer uma tarefa ES ROU + ES PRA + ES COZ + ES COM = 1!Estêvão deve fazer uma tarefa EV2 ROU + EV2 PRA + EV2 COZ + EV2 COM = 1!o cloe de Eva deve fazer uma tarefa ES2 ROU + ES2 PRA + ES2 COZ + ES2 COM = 1!o cloe de Estêvão deve fazer uma tarefa EV ROU <= 1 EV PRA <= 1 EV COM <= 1 EV COZ <= 1 ES PRA <= 1 ES ROU <= 1 ES COM <= 1 ES COZ <= 1 END GIN 16 EV2 ROU <= 1 EV2 PRA <= 1 EV2 COM <= 1 EV2 COZ <= 1 ES2 PRA <= 1 ES2 ROU <= 1 ES2 COM <= 1 ES2 COZ <= 1
Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 16 OBJECTIVE VALUE = 17.2999992 NEW INTEGER SOLUTION OF 17.2999992 AT BRANCH 0 PIVOT 18 BOUND ON OPTIMUM: 17.30000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 18 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 17.30000 VARIABLE VALUE REDUCED COST EVCOZ 0.000000 10.600000 EVPRA 1.000000 4.100000 EVROU 0.000000 2.500000 ESCOZ 1.000000 10.700001 ESPRA 0.000000 4.500000 ESROU 0.000000 2.700000 EV2COZ 0.000000 10.600000 EV2PRA 0.000000 4.100000 EV2ROU 1.000000 2.500000 ES2COZ 0.000000 10.700001 ES2PRA 0.000000 4.500000 ES2ROU 0.000000 2.700000 EVCOM 0.000000 0.000000 ESCOM 0.000000 0.000000 EV2COM 0.000000 0.000000 ES2COM 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 18 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 ROW SLACK OR SURPLUS PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 1.000000 0.000000 13) 1.000000 0.000000 14) 1.000000 0.000000 15) 1.000000 0.000000 16) 1.000000 0.000000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 0.000000 19) 1.000000 0.000000 20) 1.000000 0.000000 21) 1.000000 0.000000 22) 1.000000 0.000000 23) 1.000000 0.000000 24) 0.000000 0.000000 25) 1.000000 0.000000 DUAL Uma vez que este é um modelo de desigação, uma forma alterativa de se resolver o problema é utilizado o método húgaro. Utilizaremos esse método para coferir a resposta ecotrada pelo LINDO. Método Húgaro: 1.a) Míimo das lihas: 3,2 7,4 4,1 2,5 2,5 3,9 6,8 4,5 2,7 2,7 3,2 7,4 4,1 2,5 2,5 3,9 6,8 4,5 2,7 2,7 1.b) Máximo das coluas: 0,7 4,9 1,6 0 1,2 4,1 1,8 0 0,7 4,9 1,6 0 1,2 4,1 1,8 0 0,7 4,1 1,6 0 2) Retas para cobrir zeros 0 0,8 0 0 0,5 0 0,2 0 0 0,8 0 0 0,5 0 0,2 0
Iterpretação: Pela solução do simplex: Eva realiza a tarefa Lavar Pratos, Estêvão a tarefa Cozihar, Eva' a tarefa Lavar Roupas e Estêvão' a tarefa Fazer compras. Uma vez que o mudo real Eva e Eva' são a mesma pessoa, bem como Estêvão e seu cloe Estêvão', podemos afirmar que: Eva deve realizar as seguites tarefas: Lavar pratos e Lavar Roupas. Estêvão deve realizar as seguites tarefas: Fazer compras e Cozihar. Pela solução do método húgaro: Eva pode Fazer Compras, Lavar Pratos ou Lavar Roupas. Estêvão pode Fazer Compras ou Cozihar. Uma vez que estêvão ecessita de duas tarefas, Eva ão pode fazer compras. Portato, Eva é desigada para as tarefas Lavar Pratos ou Lavar Roupas equato Estêvão é desigado para as tarefas Fazer Compras e Cozihar. Ambas as respostas são exatamete iguais à resposta do problema 2, com o mesmo valor para a fução objetivo a resolução do Simplex (17.3), como era esperado.
Problema 4: Problema da evacuação (ditado em aula) Numa certa região existe uma usia uclear para geração de eergia elétrica. Face à possibilidade da ocorrêcia de vazameto de material radioativo, é ecessária a preparação de um plao de evacuação de emergêcia para a região circumviziha. O plao deverá prever a retirada segura de pessoas, aimais e patrimôio essecial ates que os mesmos possam sofrer os efeitos ocivos da exposição radioativa. O modelo proposto para a evacuação idealiza a cocetração das pessoas, aimais e patrimôio em um cetro de triagem e evacuação. A determiação do úmero de cetros de triagem trascede a dimesão ecoômica. Se por um lado, um úmero excessivo de cetros dificulta a coordeação da evacuação e aumeta o risco da exposição dos seres humaos, por outro, um úmero pequeo ocasioará certamete isuficiêcia o atedimeto. As uidades de discretização possuem as seguites demadas: p i = úmero de pessoas a área i v i = úmero de aimais a área i o i = úmero de uidades de patrimôio a área i Cada cetro de evacuação pode ateder g pessoas, k aimais e l uidades de patrimôio. Formule o problema de miimizar o úmero de cetros de triagem do sistema de evacuação. Modelagem Cosiderado que o problema os dá apeas iformações geéricas sobre o problema, um primeiro mometo iremos costruir um modelo abstrato, e atribuiremos valores fictícios para a demostração do modelo um segudo mometo. Modelo Abstrato: Cosiderado as seguites variáveis e parâmetros: m = úmero de áreas = úmero de cetros de triagem a ij = 1, se o local j cobre a área i 0, caso cotrário x j = 1, se o local j é escolhido para a abertura de um cetro de evacuação O modelo proposto é: MINIMIZE j=1 j=1 j=1 j=1 x ij j=1 a ij x j 1 i=1..m a ij x j p i g j=1.. a ij x j v i k j=1.. a ij x j o i l j=1.. A primeira restrição garate que todas as áreas são cobertas e as três restates garatem que a demada das áreas obedece à capacidade dos cetros de evacuação. Modelo Exemplificado: A tabela abaixo modela os valores para a ij e para as demadas p i, v i e o i.
Áreas (ídice i) Locais (ídice j) L1 L2 L3 L4 p i v i o i A1 1 1 10 2 8 A2 1 15 7 5 A3 1 1 20 12 11 A4 1 27 3 9 Var. decisão x 1 x 2 x 3 x 4 Cosiderado os limites g = 30, k = 15 e l = 20, podemos formular o seguite modelo para exemplificar: MINIMIZE x 1 + x 2 + x 3 + x 4 x 2 + x 3 >= 1 x 2 >= 1 x 3 + x 4 >= 1 x 1 >= 1 27x 1 <= 30 3x 1 <= 15 9x 1 <= 20 10x 2 + 15x 2 <= 30 2x 2 + 7x 2 <= 15 8x 2 + 5x 2 <= 20 10x 3 + 12x 3 <= 30 2x 3 + 12x 3 <= 15 8x 3 + 11x 3 <= 20 20x 4 <=30 12x 4 <=15 11x 4 <= 20 x 1 <= 1 x 2 <= 1 x 3 <= 1 x 4 <= 1 END GIN 4
Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE VALUE = 3.00000000 FIX ALL VARS.( 1) WITH RC > 0.000000E+00 NEW INTEGER SOLUTION OF 3.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 9 BOUND ON OPTIMUM: 3.000000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 9 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 1.000000 X2 1.000000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 1.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 3.000000 0.000000 7) 12.000000 0.000000 8) 11.000000 0.000000 9) 5.000000 0.000000 10) 6.000000 0.000000 11) 7.000000 0.000000 12) 30.000000 0.000000 13) 15.000000 0.000000 14) 20.000000 0.000000 15) 10.000000 0.000000 16) 3.000000 0.000000 17) 9.000000 0.000000 18) 0.000000 0.000000 19) 0.000000 0.000000 20) 1.000000 0.000000 21) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 9 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Iterpretação: Os locais L1, L2 e L4 devem ser escolhidos para a abertura de cetros de evacuação, de forma que todas as áreas sejam cobertas, as restrições de demada e capacidade sejam obedecidas e o úmero de cetros seja míimo.