Matemátca 0 Dos veículos, A e B, partem de um ponto de uma estrada, em sentdos opostos e com velocdades constantes de 50km/h e 70km/h, respectvamente Após uma hora, o veículo B retorna e, medatamente, segue em persegução ao outro, com velocdade constante gual a 80km/h Calcule em quantas horas os carros estarão emparelhados, novamente, a contar do nstante da partda Questão 0 Tópco: Funções e equações Solução: Consderemos as funções que descrevem as dstâncas percorrdas pelos veículos A e B em função do tempo (hora) e respetando o sentdo de percurso Veículo A Veículo B [ 0, ) R p :, p( t) 50t [ 0, ) R q :, 70t se 0 t q( t) 80t 50 se < t Os gráfcos das funções nterceptam-se quando 50t 80t 50, ou seja, no nstante t 5 (horas) Pontuação: A questão vale dez pontos 0 Um trângulo com vértces A, B e C tem comprmentos de lados AB 8, BC e CA 5 (em undade de comprmento) Para cada vértce, traça-se uma crcunferênca com centro no vértce de modo que as três crcunferêncas traçadas são tangentes entre s (como na fgura) Calcule os raos das crcunferêncas Questão 0 Vestbular 008 Matemátca Pág de 6
Tópco: Geometra Plana e Sstema Lnear Solução: Sejam: a) o comprmento do rao do círculo com centro no vértce A b) o comprmento do rao do círculo com centro no vértce B c) o comprmento do rao do círculo com centro no vértce C Sendo assm, temos o sstema de equações, x x y y z z 8 5 Daí, seguem os valores, x 6, y e z 9 Pontuação: A questão vale dez pontos 0 Um professor pretenda elaborar uma lsta de exercícos com dez questões Para sso, ele escolheu quatro problemas de Combnatóra, sete problemas de Geometra e oto de Álgebra Determne o número de lstas dstntas que o professor podera elaborar (não consdere a ordem de apresentação das questões), ao decdr que a lsta tera duas questão de Análse Combnatóra, cnco questões de Geometra e três questões de Álgebra Questão 0 Tópco: Análse Combnatóra Solução: Em resumo, temos a tabela abaxo Combnatóra 5 questões escolher Geometra 7 questões escolher 5 Álgebra 8 questões escolher Pelo Teorema Fundamental da Contagem, obtemos que o número n de lstas dstntas que o professor pode elaborar é: n ( 5 ) (7 6 5 ) (8 7 6) Pontuação: A questão vale dez pontos 0 Consdere que 6000 canddatos compareceram à ª Etapa de um vestbular da UFC Nessa etapa, foram propostas oto questões de múltpla escolha de Matemátca Um levantamento estatístco sobre essa prova fo transcrto no gráfco abaxo, onde cada coluna regstra o percentual do número de canddatos que acertaram a questão correspondente % de acerto por questão 60% 70% % de aceerto 5% 0% 5% 6% % % a a a a 5a 6a 7a 8a Questão A) Calcule o número de alunos que acertaram a ª questão B) Mostre que mas de 0000 canddatos acertaram, pelo menos, duas questões Vestbular 008 Matemátca Pág de 6
Questão 0 Tópco: Percentagem e contagem A) Solução: Seja n o número de canddatos que acertaram questão Sendo assm, 5 n 6000 9000 00 B) Solução: Os maores índces de acertos ocorreram na ª e 7ª questões, que correspondem aos seguntes número de canddatos: 60 70 n 6 6000 600 e n 7 6000 5 00 00 00 Portanto, o número de canddatos que acertaram, pelo menos, essas duas questões fo n n 6000 0800 6 7 Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo quatro para o tem A e ses para o tem B 05 Consdere a função f ( 0, ) R :, ( x) log x f 6 A) Calcule f 6 B) Determne os valores de a R para os quas f ( a a ) < Questão 05 Tópco: Logartmo, exponencal e desgualdade 6 6 A) Solução: Como, temos f log log 6 6 B) Solução: Por defnção, temos f ( a a ) log ( a a ) < Como a função exponencal x g( x) é crescente, segue que a a <, ou seja, a desgualdade ncal é equvalente à desgualdade ( a ) ( a ) < 0 Um estudo de snal nos dá que a desgualdade f ( a a ) < e verdadera se, e somente se, < a < Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo quatro para o tem A e ses para o tem B 06 Dada a crcunferênca C : x x y no plano cartesano xy A) Verfque que o ponto P (,) pertence a essa crcunferênca B) Determne a equação da reta tangente à crcunferênca no ponto P (,) Questão 06 Tópco: Logartmo Geometra Analítca Plana A) Solução: É sufcente verfcar que as coordenadas de (,) P satsfazem a equação, ou seja, B) Solução: Completando o quadrado, obtemos a equação ( ) ( y 0) 5 x Portanto, a crcunferênca C tem centro no ponto A (,0 ) e rao r 5 Como a reta procurada L é perpendcular ao rao AP e esse rao tem nclnação, segue que L : y x k Por outro lado, o ponto P L, sendo assm, suas coordenadas satsfazem a equação da reta, Vestbular 008 Matemátca Pág de 6
k Daí, concluímos que L : y x 7 Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo quatro para o tem A e ses para o tem B 07 Uma caxa de cartolna em forma de um tronco de prsma retangular reto fo planfcada, obtendo-se o recorte de cartolna ndcado na fgura abaxo Para recuperar a caxa basta dobrar a cartolna nas lnhas pontlhadas As dmensões das arestas, em undades de comprmentos, são como estão ndcadas na fgura A) Calcule o volume da caxa orgnal B) Calcule a área da cartolna Questão 07 Tópco: Geometra Espacal e Geometra Plana Vestbular 008 Matemátca Pág de 6
A) Solução: Ao reconstrurmos a caxa obtemos o prsma 0 0 Portanto, o volume da caxa é V 8 7 O valor prsma Observe que a maor aresta da tampa superor mede 0 é a altura méda do tronco de B) Solução: A área total é a área dos dos trapézos mas a área do retângulo central 0 A 8 7 Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo cnco para o tem A e cnco para o tem B 08 Consdere a matrz 0 A 0 A) Calcule a matrz A A A e A A A A (produto matrcal) 9 B) Calcule a matrz B onde B I A A A Nessa soma, I denota a matrz dentdade e as outras parcelas são potêncas da matrz A Questão 08 Tópco: Matrzes e Progressões A) Solução: Efetuando os produtos matrcas, temos: 0 A e 0 A 0 8 8 0 B) Solução: Se { 0,,,6,8 }, então, 0 A I 0 Se,,5,7,9 { }, então, 0 A J 0 Vestbular 008 Matemátca Pág 5 de 6
Sendo assm, valem as gualdades: 6 8 0 I A A A A I 0 I I e 6 6 56 5 A A A 5 A 7 A 9 8 8 5 J 08 J 07 0 Portanto, a matrz procurada é: 0 07 5 0 B 07 0 0 5 Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo quatro para o tem A e ses para o tem B J Vestbular 008 Matemátca Pág 6 de 6