EXEMPLOS ADICIONAIS DA ENGENHARIA ELÉTRICA 1)Suponha que a probabldade de que um engenhero elétrco utlze estatístca em seu exercíco profssonal seja 0,20 Se durante a vda profssonal, um engenhero tver cnco empregos dstntos, qual a probabldade de que ele utlze estatístca em pelo menos um destes empregos 2)Uma peça pode ser de qualdade nferor devdo, entre outras cosas, a ser muto flexível ou a ter as dmensões fora da tolerânca Em uma prova de controle de qualdade se encontra 10% das peças com ambos os defetos Também se descobre que 25% das peças são muto flexíves e que 30% das peças tem as dmensões fora da tolerânca Calcule a probabldade de que uma peça, escolhda aleatoramente, não seja muto flexível e não tenha as dmensões fora da tolerânca 3)Uma fábrca tem funconáros trabalhando em três turnos, sendo que 35% dos funconáros trabalham no turno I, 35% no turno II e 30% no turno III A probabldade de um funconáro não cumprr corretamente uma rotna de segurança em cada turno é de respectvamente 1%, 2% e 4% Se fo notfcado que em um da de trabalho houve um funconáro que não cumpru corretamente uma rotna de segurança, qual a probabldade do funconáro trabalhar no turno I? EXEMPLOS Exemplo: Peso de 25 bolos ndustras Forma bruta: Dsposção ordenada 266 267 266 26 22 255 266 26 272 22 260 272 25 262 23 25 266 270 274 22 2 270 20 270 22 260 266 270 276 23 255 266 264 266 272 262 266 272 276 24 276 274 24 272 276 264 267 272 20 2 Nº de lotes: 0 ; 3 ; 4 ; 2 ; 2 ; 1 ; 2 (n = 7) Nº de peddos: (n = 26) 5 ; 7 ; ; 7 ; 6 ; 7 ; ; 10 ; 6 ; ; 7 ; ; 7 ; 7 ; ; 5 ; 6 ; ; 7 ; 6 ; 7 ; 5 ; 6 ; ; 7 ; 6 X f 5 3 6 6 7 9 7 10 1 Total 26 Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot
Peso dos bolos: (n=125) 266 267 266 26 22 PESO Frequênca 260 272 25 262 23 250 I 255 1 2 270 20 270 22 255 I 260 9 255 266 264 266 272 260 I 265 20 276 274 24 272 276 265 I 270 26 257 20 20 270 272 270 I 275 30 272 20 264 264 24 275 I 20 1 22 26 272 261 275 20 I 25 1 264 270 269 25 260 25 I 290 3 266 257 262 263 265 Total 125 260 263 266 265 25 26 270 274 269 260 27 27 27 27 20 254 272 274 26 265 270 261 255 263 271 25 272 272 20 265 20 272 26 270 265 264 270 27 264 270 260 266 25 270 269 269 274 269 26 26 21 275 23 274 279 21 27 277 274 22 25 275 276 20 275 267 272 276 275 270 262 26 276 274 260 Exemplo do nº de peddos X f fac X X f X X f X f X 2 5 3 3 1,92 5,76 15 75 6 6 9 0,92 5,52 36 216 7 9 1 0,0 0,72 63 441 7 25 1,0 7,56 56 44 10 1 26 3,0 3,0 10 100 Total 26 22,64 10 120 Exemplo do peso dos bolos Peso f X fac X X f X X 250 I 255 1 252,5 1 1,64 1,64 252,5 63756,25 255 I 260 9 257,5 10 13,64 122,76 2317,5 596756,25 260 I 265 20 262,5 30,64 172, 5250 137125,00 265 I 270 26 267,5 56 3,64 94,64 6955 160462,50 270 I 275 30 272,5 6 1,36 40, 175 222767,50 275 I 20 1 277,5 104 6,36 114,4 4995 136112,50 20 I 25 1 22,5 122 11,36 204,4 505 1436512,50 25 I 290 3 27,5 125 16,36 49,0 62,5 24796,75 Total 125 17,6 3392,5 919731,25 f X f X 2 Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot
4)Seja X a quantdade de certo produto (em mlhares de undade) e Y o respectvo custo total de produção (em mlhares de reas) Sabemos que exste uma relação aproxmadamente lnear entre X e Y e que Y 3X + 4 Se a quantdade méda produzda for de 5,5 mlhares de undades com desvo padrão da quantdade produzda gual a 2,0 mlhares de undades: a)qual será o custo médo total? b)qual será a varânca do custo total? 5)Num controle de qualdade são retradas duas peças para serem nspeconadas Sabemos que a probabldade de uma peça ser rejetada é gual a 0,01 Seja X o número total de peças rejetadas e Y o número de peças rejetadas quando só a prmera peça fo nspeconada a)determne a dstrbução conjunta de X e Y b)determne as dstrbuções margnas de X e Y c)determne a covarânca de X e Y d)determne o coefcente de correlação de X e Y 6)Na construção de um certo prédo, as fundações devem atngr 15 metros de profunddade, e para cada 5 metros de estacas colocadas, o operador anota se houve alteração no rtmo de perfuração prevamente estabelecdo Essa alteração é resultado de mudanças, para mas ou para menos, na resstênca do subsolo Nos dos casos, meddas corretvas serão necessáras, encarecendo o custo da obra Com base em avalações geológcas, admte-se que a probabldade de ocorrênca de alterações é de 0,1 para cada 5 metros O custo básco ncal é de 100 UPC (undade padrão de construção) e será acrescdo de 50k, com k representando o número de alterações observadas a)como se comporta a varável aleatóra custo das obras de fundação? b)determne a méda, o desvo padrão e a varânca da varável aleatóra custo das obras de fundação 7)A Islander Fshng Company compra marscos a $1,50 a lbra dos pescadores de Peconc Bay para vender para város restaurantes de Nova York a $2,50 a lbra Qualquer quantdade de marscos não vendda aos restaurantes até o fnal de semana, pode ser vendda para um fabrcante de sopas local por $0,50 a lbra As probabldades dos dversos níves de demanda são dadas a segur: Demanda (lbras) Probabldade 500 0,2 1000 0,4 2000 0,4 a)se o varejsta comprar 1000 lbras, calcule o lucro (ou prejuízo) para cada nível de demanda Qual será o lucro esperado? b)se o varejsta comprar 1500 lbras, calcule o lucro (ou prejuízo) para cada nível de demanda Qual será o lucro esperado? )Em momentos de pco, a chegada de avões a um aeroporto se dá segundo o modelo de Posson com taxa de um por mnuto a)determne a probabldade de três chegadas em um mnuto qualquer do horáro de pco b)se o aeroporto pode atender dos avões por mnuto, qual a probabldade de haver avões sem atendmento medato? Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot
c)prevsões para os próxmos anos ndcam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto, enquanto que a capacdade de atendmento poderá ser no máxmo amplada em 50% Como fcará a probabldade de espera por atendmento? )Exemplo de aplcação da dstrbução Bnomal e da dstrbução de Posson: (normas da ABTN) É dada a tabela de escolha do códgo de amostra em função do tamanho do lote e do nível de nspeção ANEXO A - Tabela 1 - Codfcação de amostragem Níves especas de nspeção Níves geras de nspeção Tamanho do lote S1 S2 S3 S4 I II III 2 a A A A A A A B 9 a 15 A A A A A B C 16 a 25 A A B B B C D 26 a 50 A B B C C D E 51 a 90 B B C C C E F 91 a 150 B B C D D F G 151 a 20 B C D E E G H 21 a 500 B C D E F H J 501 a 1200 C C E F G J K 1201 a 3200 C D E G H K L 3201 a 10000 C D F G J L M 10001 a 35000 C D F H K M N 35001 a 150000 D E G J L N P 150001 a 500000 D E G J M P Q Acma de 500001 D E H K N Q R Supomos que o lote tenha tamanho acma de 500001 e que fo adotado o nível de nspeção S1 Devemos utlzar, então, o códgo de amostras D Utlzando a tabela 2 plano de amostragem smples Normal (NBR5426/195), temos: Pelo plano de amostragem smples, com NQA = 1,5 temos que o tamanho da amostra deve se gual a oto Devemos rejetar o lote caso encontremos pelo menos um elemento defetuoso entre os oto elementos examnados Se não encontrarmos elemento defetuoso, devemos acetar o lote Pelo plano de amostragem smples, com NQA = 6,5 temos que o tamanho da amostra deve se gual a oto Devemos rejetar o lote caso encontremos pelo menos dos elementos defetuoso entre os oto elementos examnados Se encontrarmos no máxmo um elemento defetuoso entre os oto elementos examnados, devemos acetar o lote Pelo plano de amostragem smples, se desejamos utlzar um NQA = 4,0 temos que o tamanho da amostra deve se gual a treze (flecha para baxo) Devemos rejetar o lote caso encontremos pelo menos dos elementos defetuoso entre os treze elementos examnados Se encontrarmos no máxmo um elemento defetuoso entre os treze elementos examnados, devemos acetar o lote Podemos calcular as probabldades de acetação dos lotes, baseado nas dstrbuções Bnomal e Posson Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot
ABNT - NBR 5426 Planos de amostragem e procedmentos na nspeção por atrbutos QUALIDADE DO LOTE (p, em % defetuosa para NQA< = 10; em defetos por 100 undades para NQA >10) Tabela 29 - Códgo D (n=) - Valores tabulados para CCO de planos de amostragem smples NQA (Inspeção normal) P a 1,5 6,5 10 1,5 6,5 10 15 25 40 x 65 x 100 x 150 x 250 x 400 p (% defetuosa) p (defetos por 100 undades) 99,0 0,13 2,00 6,00 0,13 1,6 5,45 10,3 22,3 36,3 43, 59,6 76,2 93,5 129 157 215 244 355 36 95,0 0,64 4,64 11,1 0,64 4,44 10,2 17,1 32,7 49, 5,7 77,1 96,1 116 156 16 249 21 399 432 90,0 1,31 6, 14,7 1,31 6,65 13, 21, 39,4 5,2 67,9 7, 10 129 171 203 26 301 424 45 75,0 3,53 12,1 22,1 3,60 12,0 21,6 31,7 52,7 74,5 5,5 10 130 153 199 234 303 339 46 504 50,0,30 20,1 32,1,66 21,0 33,4 45,9 70,9 95,9 10 133 15 13 233 271 346 33 521 55 25,0 15,9 30,3 43,3 17,3 33,7 49,0 63,9 92, 121 135 163 190 21 272 312 392 432 577 617 10,0 25,0 40,6 53,9 2, 4,6 66,5 3,5 116 147 162 193 222 252 309 352 437 47 631 672 5,0 31,2 47,1 59,9 37,5 59,3 7,7 96,9 131 164 10 212 243 274 334 37 465 509 665 707 1,0 43, 5, 70,7 57,6 3,0 105 126 164 200 21 252 25 31 32 429 522 56 732 776 2,5 10 x 2,5 10 15 25 40 x 65 x 100 x 150 x 250 x 400 x NQA (Inspeção severa) Nota: Valores baseados na dstrbução bnomal para % defetuosa e na de Posson para "defetos por 100 undades" Códgo D, n =, NQA = 1,5, Ac = 0 Re = 1 Códgo D, n =, NQA = 6,5, Ac = 1 Re = 2 P 0 0 ( Ac ) = (1 p) p = 0 para p = 0,13% (1 p) = (1 0,0013 ) = 0,997 = 0,9965 99% para p = 2,00% 0,900 + x0,900 para p = 0,64% (1 p) = (1 0,0064 ) = 0,9936 = 0,94993 95% para p = 4,64% 0,9536 para p = 1,31% (1 p) = (1 0,0131) = 0,969 = 0,99 90% para p = 6,% 0,9312 para p = 43,% (1 p) = (1 0,43) = 0,5620 = 0,00995 1% para p = 5,% 0,4120 P + 1 0 7 1 ( Ac) (1 p) p (1 p) p + x0,9536 + x0,9312 + x0,4120 7 7 7 7 x0,0200 = 0,9966 99% x0,0464 = 0,9499 95% x0,06 = 0,9956 90% x0,50 = 0,01031 1% Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot
Seja p o nº de defetos por 100 undades e n o tamanho da amostra examnada Temos λ = np Seja X o número de tens defetuosos na amostra examnada P( X = x) = λ e x! x λ Códgo D, n =, NQA = 1,5, Ac = 0 Re = 1 e P( Ac) = o! λ 0 λ λ 0,0104 Para p = 0,0013 λ = x 0,0013 = 0,0104 P ( Ac) = 0,9965 99% 0,0512 Para p = 0,0064 λ = x 0,0064 = 0,0512 P ( Ac) = 0,95009 95% Para p = 0,0131 λ = x 0,0131 = 0,104 0,104 P ( Ac) = 0,90050 90% Para p = 0,5760 λ = x 0,5760 = 4,600 4,600 P ( Ac) = 0,00997 1% Códgo D, n =, NQA = 6,5, Ac = 1 Re = 2 P( Ac) = λ 0 λ 1 e λ e λ + o! 1! λ (1 + λ) 0,14 Para p = 0,016 λ = x 0,016 = 0,14 P ( Ac) (1 + 0,14) = 0,9997 99% 0,3552 Para p = 0,0444 λ = x 0,0444 = 0,3552 P ( Ac) (1 + 0,3552) = 0,95004 95% 0,5320 Para p = 0,0665 λ = x 0,0665 = 0,5320 P ( Ac) (1 + 0,5320) = 0,9994 90% 6,6400 Para p = 0,300 λ = x 0,300 = 6,6400 P ( Ac) (1 + 6,6400) = 0,00999 1% Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot
9)O peso de uma lata de certo produto tem dstrbução normal com méda de 1,05 kg e desvo padrão de 0,02 kg a)se o peso escrto na embalagem for de 1 kg, qual a probabldade da lata estar abaxo do peso? b)qual o número esperado de latas abaxo do peso se foram produzdas 200 latas? 10)O consumo dáro de nafta em um coletvo é uma varável aleatóra normal com méda de 100 ltros e desvo padrão de 11 ltros O ltro de nafta custa $40,00 por ltro O motorsta leva a conta ao propretáro após 30 das de trabalho Se em dos períodos consecutvos a conta apresentada fo superor a $126600,00, há motvo para se suspetar da honestdade do motorsta? 11) (Extraído de I Bazovsky, Relablty Theory and Practce, Prentce-Hall, Inc, Englewood Clffs, N J, 1961) Consdere-se um crcuto eletrônco consttuído de 4 transstores de slíco, 10 díodos de slíco, 20 resstores sntétcos e 10 capactores cerâmcos, operando em sére contínua Suponha que sob certas condções de trabalho, (sto é, tensão, corrente e temperatura prescrtas), cada uma dessas peças tenha a segunte taxa de falhas constante: Díodos de slíco: 0, 000002 Transstores de slíco: 0,00001 Resstores sntétcos: 0,000001 Capactores cerâmcos: 0,000002 Qual a probabldade do sstema não falhar em um período de 10 horas de operação? 12)suponhamos que três undades sejam operadas em paralelo Admte-se que todas tenham a mesma taxa de falhas constante α = 0,01 Portanto a confabldade para um período de operação de 10 horas é: R(t) = e 0,01 x 10 0,1 = 0,905 quanto de melhora poderíamos obter (em termos de aumento de confabldade) pela operação de três destas undades em paralelo? 13)Uma máquna possu dos motores A e B que funconam ndependentemente O tempo de vda do motor A tem dstrbução Normal com méda de 12000 h e desvo padrão de 1000 h Já o tempo de vda do motor B tem dstrbução Normal com méda de 15000 h e desvo padrão de 100 h determne a confabldade desta máquna no tempo de 10000 h se os motores funconam: a)em sére b)em paralelo 14)Suponhamos que cnco undades estejam operando segundo esquema abaxo: Admte-se que todas as undades tenham a mesma taxa de falhas constante α = 0,02 Qual a confabldade do sstema para 10 horas de funconamento? 15)Uma ndústra produzu 30000 peças plástcas para uso no ramo de eletro-eletrôncos em um da de trabalho, sendo 7500 peças produzdas em cada uma das quatro máqunas njetoras de polímeros exstentes na ndústra Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot
Cada stuação abaxo corresponde a um tpo de amostragem, a saber: amostragem casual smples (ACS), amostragem sstemátca (AS), amostragem estratfcada (AE) e amostragem por conglomerado (AC) Identfque cada amostragem e dga qual é a mas convenente ( ) Sortear 25 peças provenentes de cada máquna njetora para serem avaladas quanto às dmensões especfcadas pelo clente ( ) Sortear 100 peças de uma lsta de 30000 peças para serem avaladas quanto às dmensões especfcadas pelo clente ( ) Sortear, por exemplo, a 27ª peça de cada grupo de 300 peças para ser avalada quanto às dmensões especfcadas pelo clente, grupos estes formados na seqüênca das 30000 peças lstadas ( ) Sortear uma das máqunas njetoras e então sortear 100 peças de uma lsta de 7500 peças desta máquna para serem avaladas quanto às dmensões especfcadas pelo clente 16)Contnuação modfcada do ex 37 pg 162 Se desejarmos que a estmatva não se afaste do verdadero valor da freqüênca natural da méda por mas de 1 Hz, com confança de 90%, quantas vgas adconas devem ser submetdas a cargas? 17) O gerente de controle de qualdade de uma fábrca de lâmpadas de flamento quer calcular a vda útl méda das lâmpadas Sabe-se que a remessa contém um total de 2000 lâmpadas e que uma amostra aleatóra de 50 lâmpadas ndcou uma vda útl méda da amostra gual a 350 horas O gerente supõe que o desvo padrão do processo é de 100 horas a)desenvolva uma estmatva, com ntervalo de confança de 95% da verdadera méda de vda útl das lâmpadas nessa remessa b)determne o tamanho de amostra necessáro para se calcular a vda útl méda, em uma margem de ± 20 horas, com 95% de confança 1)Fo feta uma pesqusa para se determnar a dade méda de um consumdor de certo produto Numa amostra de 53 consumdores obteve-se X =3,21 anos e s = 14,7 anos Testar se a dade méda do consumdor é superor a 37 anos Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot