Grupo de exercícios II. - Geometria plana- Professor Xanchão 1. (Pucrj 015) A medida da área, em círculo de raio igual a 5 cm é? a) 0 b) 5 c) 5 d) 50 e) 50 cm, de um quadrado que pode ser inscrito em um. (Uece 014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 1. d) 15.. (Ita 014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm, a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo: I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm; II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cos α =, 97 é (são) verdadeira(s) a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) Apenas II e III. 4. (Insper 014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como Octógonos. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um Octógono decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do Octógono. Se a área desse quadrado é S, então a área do Octógono vale Página 1 de 8
a) S( + 1). b) S( + ). c) S( + 1). d) S( + ). e) 4S( + 1). 5. (Insper 014) Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P 1 e P, congruentes entre si. O número de lados do polígono P 1 é igual a a) n. + b) n 1. + c) n. d) n 1. e) n. 6. (Espm 01) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é: a) 10 b) 15 c) 17,5 d) 1,5 e) 110,5 7. (Ufsj 01) O uniforme da escola circense Só alegria tem o logotipo abaixo bordado no seu agasalho. Página de 8
Desse desenho, borda-se o contorno de cada um dos seis triângulos equiláteros da figura. Com 1m de linha são bordados 10 cm do contorno e, para cada agasalho bordado, cobramse R$0,05 por 10 cm de linha gasta acrescidos do valor de R$,50. Sabendo disso, em uma encomenda de 50 agasalhos, serão gastos a) R$15,00. b) R$11,75. c) R$161,5. d) R$19,50. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o texto a seguir para responder à(s) questão(ões) a seguir. As áreas de coberturas a serem atendidas por um serviço de telefonia móvel são divididas em células, que são iluminadas por estações-radiobase localizadas no centro das células. As células em uma mesma área de cobertura possuem diferentes frequências, a fim de que uma célula não interfira na outra. Porém, é possível reutilizar a frequência de uma célula em outra célula relativamente distante, desde que a segunda não interfira na primeira. Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas, o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma configuração muito utilizada está exemplificada na Figura 1, que representa um modelo matemático simplificado da cobertura de rádio para cada estação-base. O formato hexagonal das células é o mais prático, pois permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas e sem sobreposições. A figura ilustra o conceito de reutilização de frequência por cluster, em que as células com mesmo número utilizam a mesma frequência. 8. (Fatec 01) Na figura, os hexágonos são congruentes, regulares, têm lado de medida R e cobrem uma superfície plana. Para determinar a distância D, distância mínima entre o centro Página de 8
de duas células que permitem o uso da mesma frequência, pode-se traçar um triângulo cujos vértices são os centros de células convenientemente escolhidas, conforme a figura. Assim sendo, o valor de D, expresso em função de R, é igual a a) R 1 b) 5R c) R d) R 0 e) 6R 9. (Uepg 011) Três polígonos regulares A, B, e C, têm números de lados, respectivamente, a, b, c, onde a > b > c. Sabendo-se que a, b e c estão em progressão aritmética de razão e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é.40, assinale o que for correto. 01) O polígono A tem 5 diagonais. 0) O número de diagonais do polígono C é maior que 10. 04) A soma dos ângulos internos do polígono C é 70º. 08) Cada ângulo externo do polígono A mede 6º. 16) Cada ângulo interno do polígono B mede 15º. 10. (Uft 011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede: a) 90º b) 105º c) 115º d) 118º e) 10º Página 4 de 8
Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Na figura x é a medida do lado do quadrado e AC x + x = 10 x = 50 Portanto, a área do quadrado é Resposta da questão : [A] 50cm. = 10cm, daí temos: Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos: 1 n (n ) n = d d n n n n 6n n 9 n 0 = = = = n = 0 (não convém) ou n = 9. Logo, o valor de n é 9. Resposta da questão : [A] [I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 48cm e que AP = BC, vem 1 1 (ABC) = BC AP 48 = BC BC BC = 4 Logo, AP = 1 = 8cm. BC = 1cm. Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo APC, que AB = AC = 10cm. Página 5 de 8
Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, tem-se 1 BM = (AB + BC ) AC 1 = (10 + 1 ) 10 = 1 5 = 97 cm. [II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos 97 [III] Falsa. Sabendo que BM = 97 cm, vem BG = BM = cm. Assim, do triângulo BGP, obtemos Resposta da questão 4: [C] AG = AP = 1 = 8cm. BP 6 9 cos α = = =. BG 97 97 Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 15, segue-se que os quatro triângulos, resultantes da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a a. Logo, como a área do quadrado destacado no centro do octógono é tem-se que o resultado pedido é 1 a a a 4 + a + S = a + a + S = S + S = S( + 1). S = a, Resposta da questão 5: [B] Os polígonos P 1 e P possuem dois vértices em comum (vértices do polígono de n lados), e n n = 1 vértices distintos. Logo, o número de vértices de P 1 é n 1 + = n + 1, isto é, n 1 + lados. Resposta da questão 6: [C] Seja G o ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD. Página 6 de 8
Como o triângulo BDE é equilátero, segue que GAB = 45, vem GAB ABF AFB = =,5. Portanto, α = ABF + ABD + DBE =,5 + 45 + 60 = 17,5. Resposta da questão 7: [D] DBE = 60. Além disso, dado que AF = AB e Soma dos perímetros de todos os triângulos: (1+1+1+++). = 7 cm. Total de linha em cm: 7/10 =,7m = 70 cm. Valor total: (0,05.70/10+,50).50 = R$19,50. Resposta da questão 8: [A] Apótema do hexágono regular: R a = No triângulo assinalado da figura, temos: 5R R D = + D = 1 R D = R 1. Resposta da questão 9: 01 + 04 + 08 + 16 = 9. Cálculos Auxiliares É dado que a > b > c e a, b e c estão em PA de razão. Logo: Soma dos ângulos int ernos Si = 180º(n ) Portanto: Página 7 de 8
i i Professor Xanchão 180º(a ) + 180º(b ) + 180º(c ) = 40 a + b + c = 4 a + c = 4 b Temos: b a = c b = a + c = 4 b Logo : b a = c b b = a+ c b = 4 b b = 8 Por tanto : a = 10 b = 8 c = 6 Item (01) Verdadeiro a(a ) 10(10 ) D = = = 5 Item (0) Falso c(c ) 6(6 ) D = = = 9 Item (04) Verdadeiro S = 180º(c ) S = 180º(6 ) = 70º Item (08) Verdadeiro Sext 60º = = 6º 10 10 Item (16) Verdadeiro Si = 180º(b ) Si = 180º(8 ) = 1080º Por tanto : 1080º 1 ângulo int erno = = 15º 8 Resposta da questão 10: [B] Soma dos ângulos internos de um hexágono: S = (6 ). 180 = 70 x + x +6 + x + 1 + x + 18 + x + 4 + x + 0 = 70 6x + 90 = 70 6x = 60 x = 105 Página 8 de 8