Geometria Plana. Parte I. Página 1. OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida. AE= x e AF= y, a razão x b é igual a

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1 Geometria Plana Parte I 1. (Fuvest 014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB= AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a a) 4 cm b) 13 cm c) 1 cm 9 cm e) 7 cm. (Insper 014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB= b e AD = h, que foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) m b) m c).000 m.00 m e).400 m 4. (Fuvest 014) O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo AOB, ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se As retas EF,BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE= x e AF= y, a razão x b é igual a a). 3 b) c). 3. Dados os valores aproximados: tg 14 0,493, tg 15 0,679 tg 0 0,3640, tg 8 0,5317 a) 14 < θ< 8 b) 15 < θ< 60 c) 0 < θ< 90 5 < θ< 10 e) 30 < θ< (Insper 014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como Octógonos. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um Octógono decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. e) (Fuvest 014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 5 metros. Página 1

2 A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do Octógono. Se a área desse quadrado é S, então a área do Octógono vale a) S( + 1). b) S( + ). c) S( + 1). S( + ). e) 4S( + 1). 6. (Insper 014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará XY a) X+ Y + %. 100 X+ Y b) XY + %. 100 X+ Y+ XY c) %. 100 (X+ Y)%. e) (XY)%. 7. (Insper 014) Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P 1 e P, congruentes entre si. O número de lados do polígono P 1 é igual a a) n. + b) n 1. + c) n. n 1. e) n. 8. (Fgv 013) Na figura, AC e BD são diagonais do quadrado ABCD de lado x, M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. a) Calcule a área da região sombreada na figura, em função de x. b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, em função de x. 9. (Fgv 013) Um funcionário do setor de planejamento da Editora Progresso verificou que as livrarias dos três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A 0,0,B 1,7 e C 8,6, sendo que as unidades estão ( ) ( ) ( ) em quilômetros. a) Em que ponto P( x,y ) deve ser instalado um depósito para que as distâncias do depósito às três livrarias sejam iguais? b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferência que contém os pontos A,B e C? 10. (Enem 013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. A imagem que representa a nova figura é: a) b) c) e) Página

3 11. (Ita 013) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA ˆ em quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule: a) A medida da mediana em função de l. b) Os ângulos CAB, ˆ ABC ˆ e BCA. ˆ 1. (Espm 013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é: 14. (Enem 013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. a) 10 b) 135 c) 17,5 1,5 e) 110,5 13. (Fgv 013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD. Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de circunferência de centro M e raio cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m b) m c),4m 3m e) 6m 15. (Unesp 013) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio R, conforme a figura. O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB = s, demonstre que R s= R r+ r s. A distância de P até CB, em centímetros, é igual a a) (Unesp 013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa. b) 19 5 c) e) Página 3

4 Sabe-se do quadrilátero ABEF que: Seus ângulos ABEe ˆ AFE ˆ são retos. AF mede 9 m e BE mede 13 m. o lado EF é m maior que o lado AB. Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF? Parte II 1. (Uerj 014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DAE ˆ = 45 e BAC ˆ = 30, conforme ilustrado a seguir: comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: a),5 b) 3,0 c) 3,5 4,0 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Após serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma: Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3 = 1,7, a área, em cm, do triângulo CAE equivale a: a) 80 b) 100 c) (Uerj 014) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra o esquema: 3. (Uerj 014) Sabe-se que, em um histograma, se uma reta vertical de equação x= x0 divide ao meio a área do polígono formado pelas barras retangulares, o valor de x 0 corresponde à mediana da distribuição dos dados representados. Calcule a mediana das alturas dos alunos representadas no histograma. 4. (Pucrj 013) De uma folha de papelão de lados de medidas 3 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. 5. (G1 - cftrj 013) Considerando que, na figura a seguir, o quadrado ABDE e o triângulo isósceles BCD (BC=CD) têm o Página 4

5 mesmo perímetro e que o polígono ABCDE tem 7cm de perímetro, qual é a medida de BC? por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura: a) 15,5cm b) 16cm c) 17,4cm 18cm 6. (Ime 013) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo que BH= AM= 4, a soma dos possíveis valores inteiros de BM é a) 11 b) 13 c) 18 1 e) 6 7. (Pucrj 013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: Considere as seguintes medidas: AM= AN= BM= BN= 4dm; MN= xdm; AB= ydm. O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: a) b) c) 16 4x 64 x 16 4x 64 x 9. (Uerj 013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e, e a lateral menor do terreno A mede 0 m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. Assumindo DE = GF = 1, EF = DG = 8 e AB = 15, a altura do triângulo ABC é: a) 35 4 b) Parte III: como cai da UFJF 1. (Ufjf 01) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD paralelos, sejam M o ponto médio do segmento CD e S 1 a área do triângulo BMC. c) e) (Uerj 013) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta a) Considere P o ponto de interseção do segmento AM com BD. Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação existente entre a altura H do triângulo BMC relativa à base MC e altura h do triângulo DPM relativa à base MD. b) Sabendo que CD= e AB = 6, calcule a área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC. Página 5

6 . (Ufjf 011) No retângulo ABCDmostrado na figura abaixo, E pertence ao segmento DC, M e N são os pontos médios dos segmentos AD e BC, respectivamente, F e G são os pontos de interseção do segmento MN com os segmentos EA e EB, respectivamente. 4. (Ufjf 007) Considere o paralelogramo ABCD, a seguir, de área 4 cm. Sejam M o ponto médio do segmento CD, E o ponto de interseção entre os segmentos AC e BM e AB = 8 cm. Sabendo que a área do triângulo EFG mede 5 cm e que H é um ponto do segmento MN, qual é a medida da área do triângulo ABH? a) 5 cm 15 b) cm c) 10 cm 5 5 cm e) 15 cm 3. (Ufjf 007) Na figura a seguir, encontra-se representado um trapézio retângulo ABCD de bases AB e CD, onde ADN = NDC = ACB = â. a) Calcule a altura do paralelogramo com relação à base CD. b) Encontre a área da figura plana hachurada em cinza. 5. (Ufjf 006) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a: a) 10/3. b) 5/. c) 0/7. 15/4. e) 15/. 6. (Ufjf 006) Uma mesquita possui uma abóboda semiesférica de 4 m de raio, cujo centro dista 7 m do chão e 5 m das paredes laterais. A figura a seguir representa um corte em perfil, em que um menino, afastado 6 m da parede lateral, mirando em A, vê o ponto B na abóboda. Considere as seguintes afirmativas: I. AD NC = AN CD II. AB DN = BC AN III. DN BC = AC AD As afirmativas corretas são: a) todas. b) somente I e II. c) somente I e III. somente II e III. e) nenhuma. Considerando-se os olhos do menino a 1 m do chão e desprezando-se a espessura das paredes para o cálculo, a altura do ponto B ao chão é: (1 7) a) m. (19 7) b) m. Página 6

7 (17 7) c) m. (8 + 7) m. e) 8 m. 7. (Ufjf 006) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente: a) 93 km. b) 196 km. c) 366 km. 59 km. e) 91 km. a) 70. b) 60. c) e) (Ufjf 00) Uma janela foi construída com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicírculo, como mostra a figura a seguir. Se a base da janela mede 1, metros e a altura total 1,5 metros, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a área total da janela, em metros quadrados, é: 8. (Ufjf 00) Na figura a seguir, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas. Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a: a) 1,40. b) 1,65. c) 1,85.,1. e),6. Página 7