MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO DIRETORIA DE GRADUAÇÃO E EDUCAÇÃO PROFISSIONAL COORDENAÇÃO DA MATEMÁTICA FUNÇÕES Professor: Armdo Pulo d Silv, Mestre Home pge: www.cp.utfpr.edu.br/rmdo e-mil: rmdo@utfpr.edu.br
ltur ( pés) ltur ( pés). FUNÇÕES É um dos coceitos mis importte de tod Mtemátic. Pode-se ecotrá-lo Álgebr, Geometri, Teori dos úmeros, Probbilidde ou outro qulquer, quse sempre se verific que os objetos pricipis de ivestigção são s fuções. As fuções são utilizds por cietists pr descrever s relções etre s qutiddes vriáveis. O uso de determidos modelos mtemáticos os quis podem resultr em fuções são, muits vezes, utilizdos pr prever cotecimetos futuros. Gerlmete o se lisr determidos cotecimetos ecessitmos de ddos, e est colet de ddos pode os forecer um tbel, qul pode ser epress trvés de um gráfico. Por eemplo, Tbel e s Figurs, e são represetções que podem ser feits com seus ddos. Tbel Altur dos vecedores do slto com vr em lgums Olimpíds ANO ALTURA (pés) 960 5. 96 6.7 968 7.7 97 8.0 976 8.0 980 8.96 98 8.85 988 9.77 99 9.0 Fote: Stewrt. 5 0 5 0 5 0 Altur dos vecedores do slto com vr 960 96 968 97 976 980 98 988 99 o Figur Gerlmete álise dos ddos feit trvés dos gráficos é mis elucidtiv do que álise feit prtir de um tbel. Além disto, pode-se observr importâci de escolher o gráfico que melhor se dpt o coteto.. Utilizdo gráficos pr solucior problems Muits vezes o gráfico pode os uilir solução de lgum problem. Vej o eemplo que se segue: (dptdo de Ato, 000) A Figur os preset um poço de petróleo o mr em um poto W, cujo poto mis próimo d pri té este poço é o poto A. O petróleo deve ser clizdo de W té um poto B pri, o qul está 8 km de A. O preço pr tubulção feit pelo mr é de R$.000,00 o km e pel terr é R$ 500,00. Você recebe três proposts e deve decidir qul propost é mis vtjos. Primeir propost: Clizr diretmete de W té B pelo mr, pois meor distâci etre dois potos é sempre um lih ret etre eles. Segud propost: Clizr de W té A pelo mr e de A té B pel pri, utilizdo-se ssim o míimo de tubulções pelo mr. Terceir propost: Seguir pelo mr té um certo poto P pri (etre A e B), e etão seguir pel pri té B. ( Ver Figur 5) Qul é melhor propost, levdo-se em cot pes o ficeiro? Figur Altur dos vecedores do slto com vr 5 0 5 0 5 0 960 96 968 97 976 980 98 988 99 o Figur Figur
cosum o cosumo TWH (Ferruzzi, 00) Cosumo de eergi elétric o Prá A Tbel os preset o cosumo de eergi elétric o estdo do Prá o período de 99 à 999. Os ddos costtes est tbel form forecidos pel Copel. Com bse estes ddos, é possível prever o cosumo de eergi elétric este estdo o o de 00? Tbel Cosumo de Eergi o Prá o tempo Figur 5 Solução: Cosidere P um poto qulquer etre A e B, distâci em Km etre A e P e D o custo de tod tubulção. O custo totl será som dos produtos d distâci percorrid pelo mr (WP) e d distâci percorrid pel terr (PB) pelos seus respectivos vlores. D = WP. (.000) + PB. (500). A distâci que deve ser percorrid em terr PB pr qulquer um dos csos, é (8 ). A distâci percorrid o mr pode ser determid pelo Teorem de Pitágors, sedo WP = 5. Dí temos que o custo totl d tubulção é dd por D =000 5 + (8-) (500). Est fução está represetd o Gráfico. t N C em TWh 0 99 0,6966 99,9 99,957966 995,996 996,8686 5 997,600576 6 998 5,96 7 999 6,09786 Resolução: Pr fzer est previsão ecessitmos de um modelo mtemático o qul descrev o comportmeto destes ddos. Utilizdo plilh de cálculo Ecel, podemos obter curv de tedêci destes ddos. Est curv e o modelo ecotrdo estão represetdos Figur 6 e 7. Cosumo de eergi elétric o Prá 7 5 9 7 5 0 5 6 7 8 9 0 Alisdo o Gráfico, podemos observr que é distâci que os forece o meor custo. Como pr primeir propost: P = B, logo = 8, pr segud propost: P = A, logo = 0 e pr terceir propost: P é lgum vlor etre zero ( 0 ) e oito ( 8 ), cocluímos que terceir propost é que melhor dpt o coteto pois preset o meor custo.. Utilizdo fuções pr solucior problems Muits vezes é possível ecotrr um modelo mtemático que descrev o comportmeto dos ddos. Estes modelos gerlmete são fuções, e álise lític dest fução (isto é, dos modelos ecotrdos), pode os uilir compreesão e solução do problem em questão. Etretto sliet-se que pr ecotrr estes modelos é ecessário um bom cohecimeto mtemático sobre fuções. os - iicido em 99 Figur 6 Compo rtm eto do cosumo de eergi elétric o Estdo do Prá 0 0 00 80 60 0 0 0 0 00 00 00 00 500 600 700 800 900 tem po em os Figur 7 Como podemos observr o cosumo de eergi elétric o estdo do Prá tede estbilizr-se e o modelo ecotrdo é Ct 7,06,8.e 0,0075t.
Com este modelo podemos prever o comportmeto pr qulquer tempo. Assim, pr o o de 00, previsão pr o cosumo é de 9.8 TWh. Dite do eposto, verificmos importâci deste tópico o mudo rel.. Coceito de fução Defiição: Sejm A e B subcojutos de R. Um fução f defiid em A é um regr, ou lei de correspodêci, que tribui um úico elemeto de B cd elemeto de A. O cojuto A é chmdo domíio de f e B é chmdo cotrdomíio de f. Escrevemos: f : A B f () Costum-se chmr de vriável idepedete, porque el é livre pr ssumir qulquer vlor do domíio, e chmr de vriável depedete, porque seu vlor umérico depede d escolh de. Deve-se costruir um tque de ço, pr rmzegem de gás propo, form de um cilidro circulr reto de m de comprimeto, com um hemisfério em cd etremidde ( Ver Fig. 8). O rio r deve ser determido. Epresse o volume V do tque como fução de r. Domíio: Cojuto de todos os elemetos pertecetes o cojuto A. Idicmos esse cojuto por Dom ( f ) ou D(f). No eemplo, o domíio é Dom ( f ) = A O domíio o gráfico é obtido pel projeção do gráfico sobre o eio ds bscisss. Cotrdomíio: é o cojuto de todos os elemetos pertecetes o cojuto B. Idicmos esse cojuto por CD( f ). No eemplo, CD(f ) = B Cojuto Imgem: É o cojuto formdo pelos elemetos de B que são imges dos elemetos do domíio. Idicmos esse cojuto por Im ( f ). No eemplo Im( f ),, A imgem o gráfico é obtid pel projeção do gráfico sobre o eio ds ordeds. Observção: O domíio é chmdo tmbém de cmpo de eistêci d fução, e o cotrdomíio de cmpo de vlores de f. Eemplo: -Alise se os seguites gráficos represetm ou ão fuções: ) b) c) d) Figur 8 Solução: O volume do tque é: V r r r (r ) Est fórmul eprime V (vriável depedete) como fução de r ( vriável idepedete).. Domíio, cotrdomíio e imgem de um fução Cosidere fução digrm: 0 f : A B, represetd pelo 5.5 Domíio e d imgem de um fução trvés do gráfico Cosidere fução represetd pelo gráfico bio. 6 6 Cojuto imgem 5 Domíio
Ddo o gráfico de um fução f: Domíio é o cojuto formdo por tods s bscisss dos potos do gráfico de f, ou sej, Dom ( f ) =,5 c) d) Cojuto Imgem é formdo por tods s ordeds dos potos do gráfico de f, isto é, Im (f) =,6. - CONCEITOS IMPORTANTES Fução Crescete: Um fução f é crescete um itervlo I Dom(f ), se pr quisquer e de I, implicr f () f (). e) f) - -, D e, tivermosf( ) f(). - - Fução Decrescete: Um fução f é crescete um itervlo I Dom(f ), se pr quisquer e de I, implicr f () f ()., Observções: D e, tivermosf( ) f(). ) Um fução pode ser estritmete crescete ou decrescete em todo seu domíio. Etretto, é possível que el sej crescete em um ou mis itervlos de seu domíio e crescete em outros. ) Pr um determido itervlo I do domíio d fução, o lisrmos o seu gráfico, sempre d esquerd pr direit, isto é, umetdo os vlores de, se curv sobe ou desce ( umet ou dimiui), temos, respectivmete, o crescimeto ou decrescimeto d fução o itervlo. f : A B é pr A f ( ) = f ( ). Fução Pr: Dizemos que um fução se, e somete se, Fução Impr: Dizemos que um fução f : A B é ímpr se, e somete se, A f ( ) = f ( ). Eercício: ) Determie o domíio e imgem ds seguites fuções: ) b) - - ) Alise o gráfico bio e respod s seguites questões: ) O domíio d fução. b) A imgem d fução. c) O vlor de f(). d) O itervlo em que fução é crescete. e) O itervlo em que fução é costte. f) O itervlo em que fução é decrescete.. FUNÇÃO CONSTANTE Defiição: É tod fução do tipo: f() = k que ssoci qulquer úmero rel um mesmo úmero rel k. )f() b) f() 5 Gráfico: Pr costruir o gráfico ds fuções costtes, bst tribuir vlores pr vriável e ecotrr o vlor de. Sej f ( ), tribuímos vlores à vriável, como presetdo Tbel. Tbel f() 0 5
O gráfico dest fução é um ret prlel o eio ds bscisss, como mostr Figur 9. Figur 9 Verificmos que pr qulquer vlor de, imgem permece costte, sedo ssim, podemos costruir o gráfico sem costruir um tbel. Neste eemplo, pr qulquer vlor de, imgem () sempre será igul à. : coeficiete gulr d fução, b: coeficiete lier ( ode cort o eio ) se > 0 fução é crescete se < 0 fução é decrescete se = 0 fução é costte Obs.: O gráfico d fução de ºgru ( com domíio reis) é sempre um ret. 5. - Zero d Fução: É o vlor de, cuj imgem, é ul. ( ode itercept o eio ds bscisss ): + b = 0 5. Costrução do Gráfico: Mot-se um tbel etre e e tribuem-se vlores pr, clculdo os vlores de.. FUNÇÃO LINEAR Sej m um úmero rel. Um fução lier é um fução f:r R que pr cd em R, ssoci f()= m. Eemplos: ) f() = b) g() = - c) h() = / O gráfico d fução lier é um ret que sempre pss pel origem (0,0). ( Ver Fig. 0) b b 5. Ecotrdo modelos lieres prtir de ddos uméricos Um form de determir se potos estão sobre um ret é comprr s iclições dos segmetos de ret formdos por potos cosecutivos. Os potos estão sobre um mesm ret, se e somete se, ests iclições forem iguis. Figur 0. FUNÇÃO IDENTIDADE Defiição: É fução f : defiid por: f() =. O gráfico dest fução é um ret bissetriz do primeiro e terceiro qudrtes, como presetdo Figur. Figur 5. FUNÇÃO DE º GRAU: Defiição: Sej f :, tl que f() = + b; com e b ( 0 ), ode: Cosidere Tbel. Verifique se estes pres ordedos estão sobre um mesm ret. Se estiverem, ecotre o modelo lier que relcio como fução de. Tbel f()= 0.5.5..7.5. Resolução. Verificmos que estes pres ordedos estão sobre um mesm ret, pois cd créscimo de uidde pr produz. uiddes de créscimo pr. Assim iclição dos segmetos de ret que ue quisquer dois potos este cojuto de ddos é dd por: 0, 6 m m, 0, 5 Agor, um ds meirs de se ecotrr o modelo lier proprido, é substituir dois potos quisquer form lier f() = m +b e resolver o sistem ecotrdo costte b. Assim, teremos que f()=, 0,7. 6
A Figur mostr o comportmeto de um prtícul o decorrer do tempo. ) qul é velocidde d prtícul? b) qul é coorded d d prtícul em t = 0? c) em que istte prtícul tem coorded d =? Cosiderdo como red líquid de um cotribuite, o imposto pgr é fução de. O cotribuite deve multiplicr su red líquid pelo vlor d líquot e subtrir do resultdo prcel deduzir. Além disso, tl fução deve ser cotíu, pr ão prejudicr em beeficir cotribuites cuj red líquid se situe em fis distits d tbel. Note, por eemplo, que, o pssr d primeir fi (isetos) pr segud ( líquot de 0%), prcel deduzir (.506,80) ão permite sltos o gráfico. Resposts: d 9 ) v 0,9m / s t 0 ssim, m = 0,9 Figur. Utilize os vlores de i e d d tbel e dê epressão d fução impostos pgr reltiv um red, em cd fi d tbel. Resultdo: 5. 068 f ( ) 0 5.068 8.56 f ( ).506,80 0 8.56 f ( ) Como e o tempo zero, d = -, temos: d(t)=m t + q - = 0 +q q = - b) d(0)= m e) d = 0,9 t = 0,9 t t 6,666... s Eercícios: ) Determie o zero d fução, idique o coeficiete lier e gulr e dig se fução é crescete, decrescete ou costte.: ) 6 b) ) Costru os seguites gráficos: c) ) b) c) d) = 5. Aplicções de fução de º gru. O custo C de produção de litros de um cert substâci é ddo por um fução lier, com 0, sedo C(0)= 00 e C(8) = 50. Nesss codições, o custo de R$ 700,00 correspode à produção de qutos litros? Resultdo: = 0 litros. Cosidere est tbel pr o cálculo do imposto de rede ser pgo pelos cotribuites em um certo mês de 990. I d Red líquid (R$) Alíquot(%) Prcel deduzir (R$) té 5.068,00 iseto - de 5.068,0 8.56,00 0.506,80 Acim de 8.56,00 5 N. Determie o vlor de d tbel pr torr fução obtid o item cotíu. Resultdo: = 5.00,95 Atividde: Clculr o imposto devido pelo Sr. Pitágors Ve coforme s seguites iformções: Redimetos tributáveis: R$.86,88 Previdêci oficil: R$ 08,09 Depedete: (O vlor d dedução é R$ 7,00 mesis por depedete). Pesão Judicil: 0,0 Outrs deduções: 58,00. Determie: ) Qul bse de cálculo? b) Qul o imposto dedido? c) Qul fução que represet o cálculo do imposto de red. http://www.receit.fzed.gov.br. N hor de fzer seu testmeto, um pesso tomou seguite decisão: dividiri su fortu etre su filh, que estv grávid, e prole resultte dess grvidez, ddo cd criç que fosse scer o dobro dquilo que cberi à mãe, se fosse do seo msculio, e o triplo dquilo que cberi à mãe, se fosse do seo femiio. Nscerm trigêmeos, sedo dois meios e um mei. Como veio ser reprtid herç legd? Respost: Mãe=H/8, Cd meio = H/ e mei = H/8. Um pequeo vião jto gst sete hors meos do que um vião hélice pr ir de São Pulo té Bo Vist. O vião jto vo um velocidde médi de 660 km/h, equto o vião hélice vo em médi 75 km/h. Qul é distâci etre São Pulo e Bo Vist? Respost:.00 km 7
5. O Slário médio, por hor de trblho, um fábric de 0 trblhdores é de R$ 5,00. Clculdo-se o etto, pes com os 00 trblhdores homes, médi pss ser R$ 6,50. Qul o slário médio ds mulheres, por hor de trblho, em reis? Respost: R$ 0,00 6. Pulo e Jo recebem o mesmo slário por hor de trblho. Após Pulo ter trblhdo hors e Jo hors e 0 miutos, Pulo tih receber R$ 5,00 mis que Jo. Clcule, em reis, um décimo do que Pulo recebeu. Respost: R$ 9,00 7. Supodo que dois pilotos de Fórmul lrgm jutos um determido circuito e completrm, respectivmete, cd volt em 7 e 75 segudos, respod: depois de quts volts do mis rápido, cotds prtir d lrgd, ele estrá um volt frete do outro? Respost: 5 volts. 8. A tbel bio mostr tempertur ds águs do oceo Atlâtico (o ível do equdor) em fução d profudidde: Profudidde Superfície 00m 500m 000m 000m Tempertur 7ºC ºC 7ºC ºC,8ºC Admitido que vrição d tempertur sej proimdmete lier etre cd dus medições feits pr profudidde, tempertur previst pr profudidde de 00 m é de: ) 6ºC b) ºC c),5ºc d) 0,5ºC e) 8ºC 9. Pr produzir um objeto, um firm gst R$,0 por uidde. Além disso, há um despes fi de R$.000,00, idepedete d qutidde produzid. O preço de ved é de R$,00 por uidde. Qul é o úmero míimo de uiddes, prtir do qul firm começ ter lucro? Respost: 5.000 uiddes. 0. Um botâico mede o crescimeto de um plt, em cetímetros, todos os dis. No quito di plt tih cm e o décimo di cm. Se for mtid sempre est relção etre tempo e ltur, qul será ltur d plt o trigésimo di? Respost: 6 cm.. Dus fuções importtes são: Receit totl: RT = P * Q e Custo totl: CF + CVU*Q, ode: P+ preço de ved uitário; CF= custo fio; CVU= custo vriável uitário; Q = qutidde produzid e vedid. A Metlúrgic Atls S.A. produz um peç, pr qul são cohecidos os seguites ddos (mesis): P= R$ 5.000,00; CF = R$ 00.000,00; CVU= R$.000,00; Lucro = L = RT CT = R$ 800.000,00. A Metlúrgic Atls, fim de efretr seus cocorretes, decide reduzir em 0% o preço de ved uitário (P), ms pretede obter o mesmo lucro, trvés do umeto em Q. Este umeto (em %) deverá ser de: ) 0% b) 50% c) 0% d) 50% e)0%. Pr limetr seus pássros, um cridor compr, meslmete, rção e milho um totl de.000 kg. A rção cust R$ 00,00 o quilogrm e o milho, R$ 50,00. Se represet qutidde, em quilogrms, de rção comprd, pode-se firmr que fução-gsto, em reis, é dd por: ) g() = 50, 0 < <.000 b) g() = 00, 0 < <.000 c) g() = 50 + 50.000, 0 < <.000 d) g() = 50 + 00.000, 0 < <.000 e) g() = 00 50.000, 0 < <.000. O crescimeto de um plt é ddo pel fução =, ode represet o tempo em dis e represet ltur em cetímetros. Costru o gráfico que represet o crescimeto dess plt té o 0º di.. Um corpo se movimet com velocidde costte obedecedo à fórmul mtemátic s=0 - t ( s em metros e t em segudos). Costru o gráfico dess fução. 5. O lucro de um idústri que vede um úico produto é ddo pel fórmul mtemátic L() = - 000, ode L represet o lucro e, qutidde míim de produtos que devem ser vedidos pr que hj lucro. 6. FUNÇÃO DE º GRAU: Defiição: f :, f () b c, com, b, c, e 0 ode c: é o poto ode fução itercept o eio ds ordeds ( f(0 ) = c ). > 0 : cocvidde voltd pr cim < 0 : cocvidde voltd pr bio 6. - Zeros ou Rízes d Fução. Fórmul de Báskr b ode b.. c. Relções de Girrd b r r c r r 6. - Vértices: v b v, ou 8
Potêci 6. - Costrução do Gráfico: i) cocvidde ii) zeros ( ode cort o eio ) iii) vértices iv) determir f(0) ode cort o eio v) tribuir lgus potos ( opciol) Eemplos: Costru os seguites gráficos: ) f ( ) 6 8 b) f ( ) c) f ( ) Eercício: Costru os seguites gráficos: ) f () b) f() = + c) f() v = v d) f() = Eemplo: Costru o gráfico d fução f () 6 8: i)cocvidde voltd pr cim pois = > 0 ii) zeros: = e =. iii)vértice: v e v iv) f (0 ) = 8 Gráfico: Represetdo Figur. Tbel 5 f() 0 0 7 5 5 5 Pel costrução gráfic, verific-se que fução pretemete represet um fução do º gru, sedo ssim, temos: f () b c. Pr: = 0, f() = 0, logo c = 0. Substituido os pres (,7) e (,) fução e resolvedo o sistem de equções, ecotrmos: = e b = 8, logo temos fução f () 8. Vlor máimo: f()=6. Eemplo: Ddo dos vlores d Tbel 6 costru o gráfico, dê lei que defie fução e o vlor máimo pr potêci. Tbel 6 Correte (A) Potêci(W) 0 0 0.75 0.9 0 0.5 0.75 Podemos observr represetção destes ddos Figur.,5 Potêci 0,5 0 0 0,5,5,5 correte Figur Pel Figur 6, verific-se trtr-se de um fução do º gru, logo, c= 0, substituido dois potos ecotrmos = e b =. Dí: P(i) i i Figur Eemplo: A prtir dos ddos d Tbel 5, costru o gráfico, ecotre fução represetd e dê o vlor máimo ou míimo d fução. Eemplo: (THOMSON, 00) A Tbel 6 forece um list de íveis médios de dióido de crboo tmosfer, medidos em prtes por milhão o Observtório de Mu Lo, de 97 à 990. Use estes ddos pr ecotrr um modelo pr o ível de dióido de crboo tmosfer. Supoh que o modelo lier sej proprido. 9
Crboo ltur ( metros) ltur ( metros) Crboo Tbel 7 Ao Nível de CO 97 7, 97 0 976 978 5, 980 8,5 98,0 98, 986 7,0 988 5, 990 5,0 Solução: Os ddos d Tbel 7 podem ser represetdos como Figur 5. Est represetção os mostr que os potos estão muito próimos de um lih ret. Dest form podemos escolher um modelo lier pr represetr estes ddos. Figur 5 Usdo o primeiro e último poto ddo, temos: 5 7, m,89 990 97 e equção será: C C m(t t) C 7,,89(t 97) C,8t 597,8 Utilizdo plilh de cálculo Ecel, ou o método dos míimos qudrdos, ecotrmos: C =,967 t - 6,8. A Figur 6 preset o gráfico do modelo lier ecotrdo. Figur 6 ível de CO 60 55 50 5 0 5 0 5 970 975 980 985 990 995 60 50 0 0 o ível de CO 0 970 975 980 985 990 995 o (THOMSON, 00) Um bol é deid cir desde o topo de um torre, 50m cim do solo e su ltur h é registrd em itervlos de segudo como mostr Tbel 8. Ecotre um modelo que represete estes ddos. Tbel 8 Tempo(segudos) Altur ( metros) 0 50 5 08 75 5 6 79 7 6 8 9 6 Resolução.Primeirmete vmos costruir um gráfico com os ddos e observr tedêci dos ddos. A tedêci dos ddos observdos Figur 7 os idic que um fução lier ão é proprid e que um fução qudrátic prece-os mis proprid. Assim, vmos justr dos ddos pr um modelo qudrático. 500 00 00 00 00 Altur d bol 0 0 6 8 0 Figur 7 Substituido o primeiro e o último poto fórmul qudrátic h(t) t bt c e resolvedo o sistem, ecotrmos h(t),78t 0,t 50 Este modelo está represetdo Fig. 8. 500 00 00 00 00 0 tempo ( segudos) Altur d bol 0 6 8 0 tempo ( segudos) Figur 8 Mis um vez, utilizdo o Ecel, ou o método dos míimos qudrdos, ecotrmos: h = -,905t + 0,96t + 9,6 0
6. Aplicções de fução de º gru. Determie o retâgulo de áre máim loclizd o primeiro qudrte, com dois ldos os eios crtesios e um vértice ret = - +5. Respost: retâgulos de ldos 5/8 e 5/.. Um cot perfurd de um colr é efid em um rme fio com o formto d prábol 6. Do poto P de coordeds (,0) dei-se cot deslizr o rme té chegr o poto Q de orded -6. Qul é distâci horizotl percorrid pel cot difereç etre s bscisss de P e Q)? Respost:. Um prede de tijolos será usd como um dos ldos de um currl retgulr. Pr os outros ldos iremos usr 00 metros de tel de rme, de modo produzir áre máim, Qul é o quociete de um ldo pelo outro? Respost: 0,5 ou. Um empres produz e vede determido tipo de produto. A qutidde que el cosegue veder vri coforme o preço, d seguite form: um preço el cosegue veder uiddes do produto, de cordo com equção 50. Sbedo que receit (qutidde vedid vezes o preço de ved) obtid foi de R$.50,00, qul foi qutidde vedid? Respost: 50 uiddes. 5. Um professor dispuh de doces pr dividir igulmete etre os luos de su clsse. Como o di d distribuição fltrm luos, ele dividiu os doces igulmete etre os presetes, cbedo cd luo doce mis. Qul é o úmero de luos presetes o di d distribuição? Resultdo: 6 luos 6. Um especuldor comprou dólres segud-feir gstdo 90.000 reis. N terç-feir, com o dólr 0 reis mis cro, o especuldor voltou comprr dólres, gstdo.000 reis. Nos dois dis, ele comprou.500 dólres. Qutos form comprdos terç-feir? Respost: 900 7. Em um eperiêci de lbortório form tribuídos lgus vlores pr tesão (E) e chegou-se os ddos presetdos Tbel 9, sedo i correte, Tbel 9 Tesão (E) Correte (A) 0 0 0.5 0 5 ) Costru o gráfico de i em relção E; b) Costru o gráfico de E em relção i; c) Qul é fução que eiste etre E e i; d) Qul é o vlor d correte pr E = 00V? e) Qul é o vlor d resistêci do eercício ddo? 8. ( Domigues p. 78) A egregem A d Fig. 9 tem 8 detes e egregem B tem detes. Se egregem A dá volts por miuto, quts volts por miuto dá egregem B? ( cosidere o setido) Figur 9 9. ( Domigues- p. 0)).Se um peso distede um mol, o comprimeto L d mol relcio-se liermete com itesidde w do peso ( pr pesos pequeos). Supoh que um mol ão distedid teh um comprimeto de 50mm e que um peso de 00 grms disted- 0 mm. Qul relção etre w e L? ( um peso de 0 grm ão distede mol) 0. O cosumo de potêci elétric é medido em wtts. O cosumo de potêci elétric durte um certo período é medido em wtt-hor, em que wtt-hor sigific simplesmete um wtt de potêci durte um hor. Um quilowtt- hor ( kwh) idic o cosumo de 000 wtts durte um hor. ) Se um lâmpd de 60 wtts fic ces durte t hors, qutos wtts-hor de eergi serão cosumidos? b) As cots de eletricidde são clculds com bse o úmero de quilowtts-hor cosumidos. Qul o cosumo de kwh situção cosiderd em? c) Supoh que o preço do kwh sej de cetvos. Nests codições quto cust deir ces um lâmpd de 60 wtts durte t hors?. Um prtícul movedo o logo do eio S com velocidde costte está em um poto S = qudo t = e o poto S = 5 qudo t =. Nests codições, ) determie velocidde d prtícul, sedo S medido em metros e t em segudos. b) Ecotre o modelo mtemático que epresse S em fução de t. c) Qul é coorded d prtícul qudo t = 0?. Cosidere lei de Ohm. Dd um resistêci R=, costru o gráfico d tesão em relção à correte e o gráfico d correte em relção à tesão.. Costru o gráfico d fução represetd pelos ddos d Tbel 0 e dig qul relção que eiste etre i e E(i)? Tbel 0 I E(i) 0 0 0 00 0 00
. Sedo P=i. R, e ddo R= 8, costru o gráfico d potêci em relção à correte. 5. Sedo P=i. R, e ddo R= 0, costru o gráfico d potêci em relção à correte. 6. Dd fução P= i + i, determie: ) o gráfico b) potêci máim ou míim c) pr que vlor de i temos Pmá ou Pmi? d) pr que vlores de i potêci se ul? 7. Em um eperiêci form tribuídos vlores pr tesão E e ecotrmos os seguites vlores pr correte (I) Tbel E I 0 5 0 5 ) Costru o gráfico d E em fução de I b) Determie relção eistete etre E e I c) Qul é o vlor d correte pr E = 00v 8. Um corpo lçdo do solo verticlmete pr cim tem posição em fução do tempo dd pel fução h(t)= 0t - 5t, ode ltur h é dd em metros e o tempo é ddo em segudos. Determie : ) ltur em que o corpo se ecotr em relção o solo o istte t = s. b) os isttes em que o corpo está um ltur de 60 m do solo. 9. Um fbricte vede, meslmete, uiddes de um determido rtigo por V()= -, sedo o custo de produção ddo por c()= -7+8. Assile ltertiv correspodete o úmero de rtigos que devem ser vedidos meslmete de modo que obteh o lucro máimo. ) 5 uiddes b) 5 uiddes c) 000 uiddes d) uiddes e) ehum uidde 0. O custo pr se produzir uiddes de um produto é ddo por C() = - 00 + 5000. Determie o vlor do custo míimo.. Um pedr é lçd do solo verticlmete pr cim. Ao fim de t segudos, tige ltur h, dd por: h = 0t - 5t. ) Clcule posição d pedr o istte s. b) Clcule o istte em que pedr pss pel posição 75m, durte subid. c) Determie o istte que pedr tige ltur máim d) Determie ltur máim que pedr tige.. Determie o mometo fletor máimo de um vig (poto de máimo d fução), que se comport segudo lei Mf() = 000-00, um itervlo de 0 5m.. O lucro de um empres é ddo por L() = - 0 + 60-600, em que é o úmero de uiddes vedids. Pr que vlor de é obtido o lucro máimo?. O custo em R$ pr produção de uiddes de certo produto é ddo por: C= - 0 + 900. Clcule o vlor do custo míimo. 5. Num fest de São João, covite de Atôio, Pedro disprou um rojão. No plo crtesio trjetóri do rojão obedeceu à seguite lei: 8 5 Sbedo que tem um fogueir 5 m de distâci em relção Pedro, pergut-se: ) O dispro do rojão ciu tes ou depois d fogueir? b) Qul foi ltur máim tigid pelo rojão? 7) ESTUDO DO SINAL: Eemplo: )Estude os siis ds seguites fuções: ) 5 0 b) c) + + 8) INEQUAÇÕES: 8. - º Gru: i) Simples: d) 7 Resolver como um equção de º gru, isoldo e cso multiplicr por (-) iequção terá desiguldde ivertid. Eemplos: ) 5 b) 5 ii) Tipo Produto e Quociete: Resolver cd fução seprdmete: º Psso: determie o zero de cd fução. º Psso: Estude o sil d fução verificdo se mesm é crescete ou decrescete e determie os siis. º Psso: Mote o qudro do produto e/ou do quociete e fç o jogo de siis. º Psso: Atrvés d desiguldde determie se o itervlo é berto ou fechdo e id se codição eige sil é positivo ou egtivo. Obs.: Cso sej iequção do tipo quociete o deomidor deve ser sempre berto idepedete do sil d desiguldde.
Eemplos: ) ( ).( ) 0 c) 0 b) ( 0 ).( ) ( ).( ) d) 0 ( ) 8. - Aplicção de iequção de º gru:. Num escol é dotdo o seguite critério: ot d primeir prov é multiplicd por, ot d segud prov é multiplicd por e d últim prov é multiplicd por. Os resultdos, pós somdos, são divididos por 6. Se médi obtid por este critério for mior ou igul 6,5, o luo é dispesdo ds tividdes de recuperção. Supoh que um luo teh tirdo 6, primeir prov e,5 segud. Quto precisrá tirr terceir pr ser dispesdo d recuperção? 8. - º Gru: Respost: 7,9 ou mis. i) Simples: Resolver iequção d seguite form: º Psso: determie o(s) zero(s) d fução, cso eistir. º Psso: Estude o sil d fução verificdo se cocvidde d mesm é pr cim ou pr bio e determie os siis. º Psso: Atrvés d desiguldde determie se o itervlo é berto ou fechdo e id se codição eige o sil é positivo ou egtivo. Eemplos: ) 0 b) 0 ii) Tipo Produto e Quociete: Resolve-se seprdmete cd fução e fz-se o jogo de sil. ( álogo iequção do º gru). Eemplos: ) ( ).( ) 0 6 8 b) 0 5 Eercícios: ) Estude os siis ds seguites fuções: ) + b) 6 c) + d) 9 e) g) 0 6 8 ) Resolv s seguites iequções: 5 ) 0 b) 0 9 9 c) 0 d) ( )( ) 0 7 e) 5 0 f ) 7 0 + h) - 9) DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS: Defiição: é o vlor de, pr os quis fução eiste ou é o cmpo de eistêci d fução. Temos dus codições básics: ª codição: Se fução for um frção N() Se f() = temos : Dom : D() 0 D() ª codição: Se fução for um riz de ídice pr Se f ( ) R( ) temos : Dom : R( ) 0 sedo pr, OBSERVAÇÃO: Poderemos ecotrr s seguites situções: SITUAÇÃO N() ) f () D() ) ) f () N() D() N( ) f ( ) D( ) SITUAÇÃO ) f () g().h() CONDIÇÃO Se é pr, temos: N() 0 e D() 0 Neste cso devemos fzer itersercção Se é ímpr, temos: D() 0 Se é pr, temos: N() 0 Se é ímpr, temos: D() 0 Se é pr, temos: N() 0 e D() 0 Neste cso devemos fzer itersercção Se é ímpr, temos: D() 0 CONDIÇÃO Se é pr, temos: g().h() 0 Neste cso devemos resolver iequção do produto Se é ímpr, temos: Df = N() N() 5) f () Se é pr, temos: 0 D() D() Neste cso devemos resolver iequção do quociete Se é ímpr, temos: D() 0 6) N() f() = + D() G() H() Resumidmete, temos: Se f () Se f() = Se f() = g(), g() g() Cso precer mis de um fução, devemos resolver cd um e fzer itersecção de seus resultdos, este cso temos: D() H() pr, temos :Dom f(), : g() 0 temos : Dom f() :g() 0 pr, temos :Dom f() :g() > 0
Eercícios: ) Determie o domíio ds seguites fuções: ) f() = 6 - b) f() = c) = e) = 9 6 8 d) = 5 ( 6).( ) ) Determie o domíio ds seguites fuções: ) = + - b) = c) = e) = 6 g) = 8 5 9 d) = f) = 6 6 h) = 8 i) = 6 j) = 6 l) = 7 m) = ) = 5 p) = 5 5 o) = q) = 8 6 6 0) FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS (DOMÍNIO RESTRITO) Defiição: São fuções defiids por váris seteçs (leis, equções) mtemátics, pr itervlos do seu domíio. Eemplo: f() g() se se b b c Gráfico: Pr o trçdo do gráfico, cosidermos seprdmete s váris seteçs mtemátics com seus itervlos do seu domíio. Depois, um mesmo sistem de eios, trçmos o gráfico reltivo cd seteç, obedecedo seu itervlo de vrição. se Esboce o gráfico de f () se Resolução: (Vej Figur 0). Primeiro desehmos potilhds, s rets = + e = +. Figur 0 Em seguid, mrcr, com trço firme, prte que iteress de cd um (Fig. ): pr, f() pr,f() Figur ) Costru os seguites gráficos ds fuções defiids por váris seteçs: se 0 )f () se 0 se b)f () c )f () Aplicção: se se se se 0 0 A Fução de Heviside H é defiid por : H (t) 0 se se t 0 t 0 Ess fução é usd o estudo de circuitos elétricos pr represetr o surgimeto repetio de correte elétric, ou voltgem, qudo um chve é isttemete ligd. Esboce o gráfico d fução de Heviside. ) FUNÇÃO MODULAR Defiição: Fução modulr é fução de em, defiid por: f ( ) se se 0 0
Gráfico: O gráfico d fução modulr é equivlete à reuião dos gráficos ds seteçs que defiem, como mostr Fig Eercício: ) Resolv s equções modulres: ) b) c) e) d) 5 f) 5 0 Figur g) 5 i) 5 5 h) + 5 j) Eemplo Esboce o gráfico de f (). Resolução: Elimido o módulo, temos: ( ) se se f vej Fig. ) INEQUAÇÕES MODULARES: A resolução de iequções modulres está bsed s seguites proprieddes, válids pr todo úmero rel e positivo: Se grficmete, temos: < - ou > - Se < grficmete, temos: - Eercício: Figur Costru os gráficos ds seguites fuções: ) f () c) = e) f () g) f(). 8 ) EQUAÇÃO MODULAR: b) d) = f) h) f() k k ou = k Eemplos: + Eercício: ) Resolv s seguites iequções modulres em : ) b) c) e) - g) - + i) d) f) - 5 h) - j) < ) FUNÇÃO POLINOMIAL Defiição: É fução f : defiid por: f ()... o ode os coeficietes o,,,..., são úmeros reis e os epoetes são iteiro positivo. ) c) e) 5 6 0 b) d) 7 Se 0 etão f é de gru. Gráfico: O gráfico de um fução poliomil é um curv que pode presetr potos de máimos e míimos. O domíio é sempre o cojuto dos úmeros reis. 5
Eemplo ) A fução costte f ( ) = K é um fução poliomil de gru zero. b)a fução f ( ) = + b, 0, é um fução poliomil do primeiro gru. c)a fução f ( ) é um fução poliomil, chmd fução cúbic. d) O gráfico d fução cúbic está represetdo Figur : Obs. Posteriormete estudremos os gráficos desss fuções com uílio ds derivds. 5) FUNÇÃO RACIONAL Defiição: É fução defiid como o quociete de p() q() q ( ). dus fuções poliomiis, isto é, f (), ode p ( ) e q ( ) são poliômios e 0 O domíio d fução rciol é o cojuto dos úmeros reis, ecluido queles tis que q ( ) 0. Eemplo A fução f ( ) é um fução rciol de domíio Dom (f)=r{} e está represetd grficmete Figur 7: e) Figur g() é um fução poliomil do gru, seu gráfico é obtido do gráfico d fução f ( ), trslddo-o um uidde pr direit, como verificmos Figur 5. Figur 7 Eemplo A fução g () é um fução rciol com domíio Dom (f) = / 0 E está represetd Figur 8. Figur 5 f) f () é um fução poliomil do gru, seu gráfico tem o specto presetdo Figur 6. Figur 8 Figur 6 Obs. O gráfico dests fuções será visto qudo estudrmos s ssítots. 6
6) FUNÇÕES PERIÓDICAS Eemplos: Defiição: Dizemos que um fução f() é periódic se eiste um úmero rel T 0 tl que f ( + T ) = f ( ) pr todo Dom (f ). O úmero T é chmdo período d fução f(). ) b) c).. 8... 8 O gráfico de um fução periódic se repete cd itervlo de comprimeto T. Eemplos de gráficos de fuções periódics são observds s Figurs 9 e 0. Csos Prticulres: 0 ; ; Potêci com epoete iteiro egtivo:, 0 Proprieddes: Sej R, br, mn e N, temos: Figur 9 Figur 0 7) FUNÇÕES ALGÉBRICAS Defiição: É um fução que pode ser epress em termos de soms, difereçs, produtos, quocietes ou potêcis rciois de poliômios. f ( ) Eemplo 5 5 ( 5) As fuções que ão são lgébrics são dits trscedetes. As fuções epoeciis, logrítmics e trigoométrics, estudds mis dite, são eemplos de fuções trscedetes. 8) POTENCIAÇÃO:...... ode: ftores bse ( 0 epoete e ) P) P) m m, 0 P) m m. P).b.b P5) m. m, b b b Eemplos: ) b) e). 6 9 6 0 5 c) 8 d). 8.7 6 8. Potêci de 0 8 0 0.0.0... 0 0.0.0... ftores ftores 7
Eemplos: ) 0 b) 0 0 c) 0 d) 0 e) 0 0 00 0, 0 0,00 000 Tbel - - 0 f() / / O gráfico está presetdo Figur. 9) FUNÇÃO EXPONENCIAL Defiição: Chmmos fução epoecil de bse, * fução f :, defiid por: f (),com >0 e. Eemplo 6 Algums fuções epoeciis: ) f () b) f () c) f () Crcterístics: Com relção o gráfico d fução f () ( Figur ) firmmos que: ) curv que o represet está tod cim do eio ds bscisss, pois 0 pr todo ; Figur b) f () Resolução: A fução f (), tem bse etre zero e um, portto é decrescete, sedo D= e Im = [,+ ]. Atribuímos vlores pr vriável (Vej Tb. ) e costruímos o gráfico presetdo Figur. Tbel - - 0 f() 5 / b) cort o eio ds bscisss o poto ( 0,) c) () 0<<. d) D= e Im = * f é crescete pr > e decrescete pr Figur Figur f () é crescete pr > e decrescete pr 0 < < Esboce o gráfico ds fuções bio, especifique se fução é crescete ou decrescete e dê o domíio e imgem: )f () Resolução: Sej f (), tribuímos vlores pr vriável e ecotrmos f(), como presetmos Tbel. Eemplo 7 Esboce em um mesmo sistem de eios os gráficos ds fuções bio: f (), g() e h(), Resolução: Pr s fuções f (), () represetção Figur : temos g e h(), 8
e) 5. 0 f) 0 0 0 g) h) 7. 5 5 i) 6. 0 j) 9 6. Figur Aplicções: A vid médi do estrôcio 90 Sr é de 5 os. Isso sigific que metde de qulquer qutidde do 90 Sr. Irá se desitegrr em 5 os. ) Se um mostr de 90 Sr tiver um mss de mg, ecotre um epressão pr mss m(t) que sobrrá pós t os. b) Costru o gráfico dest fução ecotrd. c) Ecotre mss que sobrrá pós 0 os. Eercícios: Esboce o gráfico ds fuções bio e especifique se fução é crescete ou decrescete, dê o domíio e imgem: ) f ( ) c) 0) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS b) f() d) f() Os tipos mis freqüetes de equções epoeciis são quels que temos que: Colocr mesm bse. Substituir por um vriável uilir ou colocr em evidêci. Trsformr em um equção do º gru ( fzer um substituição). Dividir por um ftor. Eercício: Resolv s equções epoeciis bio: ) b) 8 7 c) 90 d) 750 ) LOGARÍTIMOS Defiição: ode: log N N, N é o logritmdo é bse é o logrítmo Codição de Eistêci: N 0; 0 e log 0 Coseqüêci: log log N N Proprieddes: Sejm b > 0 e c > 0, etão: P) log (b.c) log b logc b P) log log b log c c P) log b.log b m P) log log m log P5) log b log b Cologrítimo: Colo log Eercícios: log Utilizdo defiição e s proprieddes de logritmo, clculr: ) log 7 8 b) log 5 5 c) log 0, d) log 5 0, 008 e) log ( ) 9
f) log00 0, log 5 l e 5 g) log log 5 5 log 5 6 Resolução presetd Fig.6 ) FUNÇÃO LOGARÍTMICA Defiição: Chmmos fução logrítmic de bse, fução f que ssoci cd úmero rel o * : log * f : f () log úmero, ou sej:, Com >0 e e >0. Observção: A fução logrítmic é ivers d fução epoecil, pois: log Crcterístics: D= * e Im = f () é crescete pr > decrescete pr 0 < < Gráficmete, temos: qudo > fução é crescete. (Fig. ) Figur 6 Eemplo 9 Trçr, um mesmo sistem de eios, o gráfico ds fuções f ( ) log, log g() e h() log. Resolução: Vej Figur 7. Figur qudo 0 < < é decrescete. (Fig. 5) Figur 7 Eercício: Figur 5 Eemplo 8 Trçr, um mesmo sistem de eios, o gráfico ds fuções f () log e g() log. Esboce o gráfico ds fuções bio, especifique se fução é crescete ou decrescete e dê o domíio e imgem: ) f ( ) log c) b) f ( ) log( ) f ( ) log 0
) EQUAÇÕES LOGARÍTMCAS Os tipos mis freqüetes de equções logrítmics são quels que temos que: Usr defiição. Utilizr s proprieddes. Trsformr em um equção do º gru ( fzer um substituição). Fzer um mudç de bse. Eercício: Resolv s equções logrítmics bio: ) log b) log ( 5) log 6 c) log log d) log 9 0 6.log e) log log 0 f) log log 6 g) log log APLICAÇÕES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS )JUROS COMPOSTOS CAPITALIZADOS CONTINUAMENTE OU CERTOS TIPOS DE CRESCIMENTO EXPONENCIAL (POPULAÇÕES DE CIDADES, POPULAÇÃO DE UMA CULTURA DE BACTÉRIAS. ETC.) C=C 0.e rt b)certos TIPOS DE DECRÉSCIMOS EXPONENCIAL COMO OCORRE NA DESINTEGRAÇÃO RADIOATIVA, PERDAS CONTÍNUAS, ETC.. Q=Q o.e -rt APLICAÇÃO EM BIOLOGIA: EXEMPLO: Num cert cultur, há 000 bctéris um determido istte. Após 0 miutos, eistem 000. Quts bctéris eistirão em hor? P(t)= P o. e kt P(t)= 000. e kt Após 0 miutos: P(0)=000.e 0k P(0)= 000 0k 000.e 0k = 000 e Vejmos, gor, pós 60 miutos: P(60)= 000.e 60k = 000.e (0k).6 = 000. 6 = 000.096=.096.000 Após hor, eistirão.096.000 bctéris. APLICAÇÕES EM ELETRICIDADE º EXEMPLO:Um mplificdor liber 000 Wtts pr um potêci de etrd de 00 miliwtts. Qul o gho em decibéis? Resolução: Decibéis db= 0 log Potêci de síd Potêci de etrd db = 0 log 000w 0,w db = 0 log 0 w db = 0 db. º EXEMPLO: Qul voltgem de um teudor que pr 0 volts de etrd preset 0 milivolts síd. Qul é o gho tesão? Qul é perd de tesão? Resolução: Decibéis db= 0 log voltgem de síd voltgem de etrd db = 0 log 0,0v 0v db = 0 log 0 - w db = -60 db. O gho é de -60 db e perd é de 60 db. APLICAÇÃO EM QUÍMICA: ºEXEMPLO:A desitegrção de um determido mteril rdiotivo é dd pel lei: Q( t) kt Qo. 0 Se Q(0)= 00 grms e Qo= 0grms, clcule o vlor de k. Utilizdo lei dd podemos resolver o problem: Q( t) kt Qo. 0 Q(0)= Qo.0 - k.0 00 = 0.0-0.k log 00/0 = log 0-0.k log 00/0 = - 0k log 0 k= 7,9 0 - A costte de desitegrção rdiotiv é 7,90 - ou 7,9% o o.
APLICAÇÃO EM QUÍMICA: ºEXEMPLO:O ph de um solução é defiido por ph= log H, ode H 0 + é cocetrção de hidrogêio em íos-grm por litro de solução. O ph de um solução, tl que H + =,0.0-8, é: RESOLUÇÃO: ph= ph= ph=8 log H 0 8,0.0 log ph= 0 0 8 log 0 APLICAÇÃO EM GEOGRAFIA-CRESCIMENTO POPULACIONAL EXEMPLO:Estim-se que populção d Terr teh tigido cifr de 5 bilhões de hbittes há poucos meses trás. Imgie um pís com um populção de 00milhões de hbittes e um t de crescimeto populciol de,% o o. Em qutos os populção desse pís tigiri populção d Terr hoje, isto é, 5 bilhões de hbittes? Cosidere log =0,0). RESOLUÇÃO: P=P O.e K.t 5.0 9 =,0.0 8.e 0,0t l 50 = 0,0t.l e t = 6 os Este pís tigirá populção d Terr em 6 os. APLICAÇÃO EM FÍSICA EXEMPLO:A itesidde I de um terremoto, medid escl Richter, é um úmero que vri de I=0 té I=8,9 pr o mior terremoto cohecido. I é ddo pel fórmul: E I log 0 Eo, ode E é eergi liberd o terremoto em quilowtt-hor e E 0 =70 - kwh. Qul eergi leberd um terremoto de itesidde 8 escl Richter? fórmul: E I log 0 Eo E 8 log 0-70 E log 0 0-70 - E = 70 0 E - 70 9 E 70 Kwh A eergi liberd por um terremoto de itesidde 8 Escl Richter é de 7 0 Kwh. APLICAÇÃO EM QUÍMICA 9 ºEXEMPLO:Um mostr de um substâci rdiotiv desitegr-se segudo lei M(t)=M 0.e -kt, ode M(t) é mss d mostr o istte t, M o é mss iicil e k é costte de desitegrção. Clcule costte de desitegrção de um mostr de Thório, sbedo que pós,.0 os, su mss reduz-se ¾ d mss iicil. RESOLUÇÃO: M(t)=M 0.e -kt.,.0. e k l 0,75 = -k.,.0 l e - l 0,75 k k 8,6.0 6,.0 -k.,.0 l 0,75 = l e A costte de desitegrção de um mostr do Thório é 6 8,6.0. º EXEMPLO:N desitegrção rdiotiv, costum-se chmr de mei-vid o tempo ecessário pr que metde d mss de um determid substâci se desitegre. Nests codições, determir mei-vid de um substâci rdiotiv que se desitegr um t de % o o. RESOLUÇÃO: M(t)=M 0.e -kt =.e -0,0t l 0,5= -0,0.t.l e l 0,5 = l e -0,0t l 0,5 = -0,0t t=,6 os ou t= 7m 6 d. O tempo ecessário pr chegr metde d mss dess substâci será proimdmete os 7 meses 6 dis.
APLICAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA ºEXEMPLO:Chm-se motte (M) quti que um pesso deve receber pós plicr um cpitl C, juros compostos, um t ul i durte um tempo t e que M C. i Supodo que o cpitl plicdo é de R$00.000,00 um t de % o o durte os, qul o motte o fil d plicção? pode ser clculdo pel fórmul t RESOLUÇÃO: M C. M t i M 00000. 0, 00000., M 80.985,60 O motte o fil de os de plicção será de 80.985,60. ºEXEMPLO:Num pís de Terceiro Mudo, O miistro d Ecoomi iiciou o o declrdo o seguite: Se iflção ul tigir cifr de 000%, eu me demito. Nesse o, t de iflção mesl mteve-se costte em 0%. O miistro permeceu o crgo ou se demitiu? (Use, =,98) Eemplo Determie ivers de f() =. Resolução: Trocmos por e por : = Isoldo : Portto,. é fução ivers de = Gráfico Pr fzermos o gráfico de um fução ivers bst trçrmos ret = e observrmos simetri. Eemplo A fução f :[ 0, ), defiid por f () tem como ivers fução g :[ 0, ) dd por g(). Coforme preset Figur 8. M= C.(+i) t M=.( +0,) M=, M=,98 Se plicrmos um uidde moetári deste pís receberemos o fil de um o de plicção o equivlete,9 uiddes moetáris,ou sej, um iflção cumuld de.9%. Neste cso o Miistro d Ecoomi se demitirá. ) FUNÇÃO INVERSA Defiição: Sej f um fução bijetor de A em B ou f : A B. Se, pr cd B, eiste etmete um vlor A tl que = f (), etão podemos defiir um fução g : A B tl que = g ( ). A fução g defiid dest meir é chmd fução ivers de f e deotd por f. Eemplo A fução Figur 8 f : dd por fução ivers g : dd por Observe Figur 9. dmite g(). Eemplo 0 A fução f : defiid por = tem como ivers f :, defiid por. Regr Prátic Dd um fução bijetor, defiid por =f(), pr obtermos su ivers: - Trocmos por e vice-vers. - Epressmos em fução de, i é, isolmos. Figur 9
REFERÊNCIA: DANTE. L. R. Mtemátic: coteto & plicções. v. São Pulo: Átic. 999. GIOVANNI. J. R. BONJORNO. J. R. Mtemátic: um ov bordgem. v. São Pulo: FTD. 00 IEZZI. G. DOLCE. O. MURAKAMI. C. Fudmetos de mtemátic elemetr: logritmos. 8.ed. v.. São Pulo: Atul. 99. IEZZI. G. MURAKAMI. C. Fudmetos de mtemátic elemetr: cojutos e fuções. 8.ed. v.. São Pulo: Atul. 99. LEITHOLD. L. O cálculo com geometri lític.. ed. v.. São Pulo: Hrbr. 99. MACHADO. N. J. Mtemátic por ssuto: lógic, cojutos e fuções. v.. São Pulo: Scipioe. 988. OLIVEIRA. A. M. SILVA. A. Curso ilustrdo de mtemátic moder. São Pulo: Lis. PAIVA. M. Mtemátic.. ed. v. São Pulo: Moder. 000 SWOKOWSKI. E. W. Cálculo com geometri lític. São Pulo: Mkro. 99 TROTTA. F. Mtemátic por ssuto: progressão ritmétic, progressão geométric e logritmos. v.. São Pulo: Scipioe. 988. ZÖLD. H. H. N. CÔRREA. S. Mtemátic. São Pulo: Nov Culturl. 99.