1 Produto Cartesiano Par Ordenado A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há casos entretanto em que a ordem é importante. Daí a necessidade de se introduzir um novo conceito denominado par ordenado. Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois elementos, digamos a e b, dos quais, por exemplo a, é designado como primeiro elemento e o outro como segundo elemento. Indicamos um par ordenado desse modo por (a, b). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d. Observação: Podemos ter pares ordenados da forma (a, a) que não tem nada a ver com o conjunto {a, a} que é unitário e igual a {a}. 1) Os pares ordenados (4, 5) e (5, 4) são diferentes. 2) A= {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} é um conjunto de pares ordenados (3, 2) A Produto Cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y) em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. Indicamos o produto cartesiano de A por B por A B. Simbolicamente temos A B = {(x, y) Œ x A e y B}. Se A ou B for vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio, ou seja, A =, B = e =. 1) Se A = {6, 11} e B = {-2, 0, 7}, então A B = {(6, -2), (6, 0), (6, 7), (11, -2), (11, 0), (11, 7)} 2) Se A = {1, 3, 5} e B = {b, c}, então A B = {(1, b), (1, c), (3, b), (3, c), (5, b), (5, c)} 3) Se A = {x 2 x 5} e B = {1, 4}, então A B = {(x, 1), (x, 4) x A} Observação: Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, então A B é um conjunto finito com m.n elementos. Exemplo: Se A = {1, 3} e B = {0, a, b}, então A B = {(1, 0), (1, a), (1, b), (3, 0), (3, a), (3, b)} que tem 6 elementos.
Representação gráfica do Produto Cartesiano 2 Tomemos dois eixos ortogonais e sobre o eixo horizontal representemos o conjunto A e sobre o eixo vertical, o conjunto B. Tracemos paralelas aos eixos pelos pontos que representam os elementos de A e de B. Os pares ordenados serão representados pelas interseções dessas paralelas. Temos o gráfico de A x B, isto é, sua representação gráfica. Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, então a representação gráfica de A x B será como mostrado abaixo: 2 1 (1, 2) (2, 2) (3,2) (1, 1) (2, 1) (3,1) 1 2 3 O plano numérico 2 Os elementos (x, y) x. são os pares ordenados de números reais. Eles surgem com as coordenadas cartesianas de um ponto P do plano π (x = abscissa, y = ordenada) quando se fixa nesse plano um par de eixos ortogonais OX e OY, que se interceptam no ponto O, chamado origem do sistema de eixos cartesianos. Y y 0 P = (x 0, y 0 ) *Os eixos OX e OY dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes, caracterizadas pelos sinais das coordenadas dos seus pontos. No primeiro quadrante têm-se x 0 e y 0; no segundo, x 0 e y 0; no terceiro, O x 0 x x 0 e y 0; no quarto, x 0 e y 0. Propriedades do Produto Cartesiano a) A B B A (não comutatividade), quando A B, A e B. b) A (B C) (A B) C (não associatividade). c) A (B C) = (A B) (A C) distributividade em relação à reunião. d) A (B C) = (A B) (A C) distributividade em relação à interseção. Se A = {1, 3}, B = {2} e C = {3, 5}, então A x B = {(1, 2), (3, 2)} e B A = {(2, 1), (2, 3)}. A (B C) = A {(2, 3), (2, 5)} = {(1, (2,3)), (1, (2, 3)), (3, (2, 3)), (3, (2, 5))} e (A B) C = {(1, 2), (3, 2)} C = {((1,2), 3), ((1,2), 5), ((3, 2), 3), ((3, 2), 5)}
Relações Binárias 3 Definição e Exemplos Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária (ou simplesmente relação) de A em B a todo subconjunto R de A x B. Logo, R é relação de A em B R A x B. Logo, se A = B então todo subconjunto de A x A é chamado relação binária em A. O conjunto A é chamado conjunto de partida da relação R e o conjunto B é chamado conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R. Quando o par (x, y) pertence a relação R escrevemos xry. Então xry (x, y) R. Se o par (x, y) R, escrevemos x R y Exercícios: (1) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} e a relação R = {(x, y) A x B x < y}. - Quais são os elementos dessa relação? (1, 2) R, isto é, 1 R 2? (2) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em B assim definida: xry y = x + 2? Representações gráficas de uma relação Geralmente, representamos graficamente uma relação binária por diagrama cartesiano (conjuntos contínuos) ou por diagrama sagital (conjuntos discretos). Diagrama cartesiano O par ordenado (x, y) R é representado pelo ponto do plano cartesiano OXY de coordenadas x e y. Se a relação R é definida por R= {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 1}, então o diagrama cartesiano desta relação é o disco fechado de centro 0 e raio 3.
Um exemplo importante! Seja a relação R definida em R x R por x R y y 2 = x 2. A representação gráfica desta relação é dada 4 pelo gráfico abaixo. Note, no entanto, que seu gr áfico sugere uma outra definição para R. Com efeito, podemos descrever a mesma relação através da proposição ( y = x ) ( y = x ). Isto é verdadeiro porque y 2 = x 2 ( y = x ) ( y = x ). Assim, x R y y 2 = x 2. Diagrama sagital Constroem-se os diagramas de Venn dos conjuntos A e B, e um elemento x de A é ligado por uma flecha a um elemento y de B se e somente se xry. Exemplo: Seja a relação R = {(x, y) x é divisível por y} em A = {-1, 0, 1, 2}. Represente esta relação graficamente através do diagrama cartesiano e do diagrama sagital. 0 2-1 1 Domínio e Imagem Definição: Seja R uma relação de A em B. Chama-se domínio de R o conjunto D(R) de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Logo, x D(R) $ y, y B (x, y) R, isto é, D(R) = {x A ($ y)( y B (x, y) R)} Definição: Seja R uma relação de A em B. Chama-se imagem de R o conjunto Im(R) de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. y Im(R) $ x, x A (x, y) R, isto é, Im(R) = {y B ($ x)(x A (x, y) R)} (1) A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R = {(x, y)/x = y 2 } (2) A = {x 1 x 3}, B = {x 1 y 4} e R = {(x, y) y = 2x} (3) A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e xry x - y é divisível por 2 Observações: (1) Segue pela própria definição que D(R) A e Im(R) B (2) Utilizando o diagrama sagital, é fácil perceber que D(R) é o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e Im(R) é o conjunto dos elementos de B aos quais chegam flechas.
5 Relação Inversa Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto R 1 = {(y, x) B (x, y) R} Como R 1 é o subconjunto de BxA então R 1 é uma relação binária de B em A à qual dá-se o nome de relação inversa de R. Logo, y R -1 x xry Decorre da definição que R -1 é o conjunto dos pares obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par. (1) A = {0, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5, 6} e R = {(x, y)/y é múltiplo de x} (2) A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R = {(x, y)/x = y 2 } (3) A = {x IR /1 x 4}, B = {x IR /2 y 8} e R = {(x, y)/y = 2x} Propriedades da relação inversa: (1) D(R -1 ) = Im(R) y D(R -1 ) ( x)(x A e (y, x) R -1 ( x)(x A e (x, y) R y Im(R) (2) Im(R -1 ) = D(R) x Im(R -1 ) ( y)(y B e (y, x) R -1 ( y)(x B e (x, y) R x D(R) (3) (R -1 ) -1 = R pois (x, y) (R -1 ) -1 (y, x) R -1 (x, y) R Imagem de um conjunto por uma relação Seja R uma relação de A em B e seja X A. Chama-se de imagem de X pela relação R o conjunto de todos os elementos de B para os quais existe x X tal que (x, y) R. R(X) = {y B ($ x X e (x, y) R}. Portanto, R(X) B. Exemplo: Sejam A = {2, 3, 5, 7, 11, 19, 33}, B = {1, 3, 7, 10, 11, 13, 17}, X = {3, 5, 7}, Y = {2, 3, 11} e a relação R = {(x, y) A x B/ x y} R(X) = {3, 7, 10} e R(Y) = {3, 10, 11}. Imagem recíproca de um conjunto por uma relação Seja R uma relação de A em B e seja Y B. Chama-se de imagem de Y pela relação R o conjunto de todos os x de A para os quais existe y Y tal que (y, x) R -1 ou (x, y) R. Simbolicamente: R -1 (Y) = {x A ( y Y e (x, y) R}. Com isso, R -1 (Y) A. Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, R = {(1, a), (2, b), (3, c), (3, d)} e as partes Y = {b, c, d} e 6 Z = {2c, d}, então temos: R -1 (Y) = {2, 3} e R -1 (Y) = {3} Composição de relações Sejam R de A em B e S de B em C duas relações tais que o conjunto de chegada da primeira está contida no conjunto de partida da segunda. Então a relação composta S R é uma relação de A em C. Isto é, a relação composta de S e R é a relação uma relação de A em C tal que S R = {(x, y) AxC ( z)(z B, (x, z) R e (z, y) S} (1) Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {m, n, p, q} e C = {5, 6, 7, 8} e as relações R de A em B e S de B em C tais que R = {(1, m), (1, n), (2, m), (3, q), (4, q)} e S = {(n, 5), (n, 6), (p, 8), (q, 7)} Logo, S R = {(1, 5), (1, 6), (3, 7), (4, 7)} AxC S0R (2) Sejam A = {1, 3, 4}, B = {2, 3, 5} e C = {3, 6, 8, 11} e as relações R de A em B e S de B em C tais que R = {(x, y) AxB x +z > 5} e S = {(z, y) BxC z y} Logo, S R = {(3, 3), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (4, 8)} AxC (3) Determine S R e R S tais que R = {(x, y) 2 x 2 +z 2 = 4} e S = {(z, y) 2 z + 2y = 1}. Resultados: Quaisquer que sejam as relações R de A em B, S de B em C e T de C em D, tem-se: ( S R) = R S 1 1 1 ( T S) R = T ( S R) Operações com relações Como uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano (e, portanto, um conjunto!), devemos observar que todos os resultados válidos em teoria de conjuntos são também válidos para as relações. Em particular, podemos criar novas relações a partir das operações de união, interseção, diferença de conjuntos. O conjunto universo, no caso de operações com relações de A em B, é o produto cartesiano A x B; ou seja, duas relações somente podem ser operadas se ambas forem de A em B. Portanto, dadas duas relações de A em B, denominadas R e S temos que R S, R S e R-S e R C também são relações de A em B.
7 Exemplo: Sejam as relações R x, x R y x 2 + y 2 1 e S x, x S y x y Cujas representações gráficas são: Então podemos definir as relações, de em : R S x, x R S y (x 2 + y 2 1 ) ( x y ) R S x, x R S y (x 2 + y 2 1 ) ( x y ) S R x, x S R y (x 2 + y 2 > 1 ) ( x y ) R C x, x R y x 2 + y 2 > 1 Os gráficos das relações definidas pelas operações de união interseção e diferença entre R e S são exibidos abaixo. Propriedades das Relações em um Conjunto Uma relação R em A pode possuir as propriedades: reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva, entre outras. Propriedade reflexiva Uma relação R em A diz-se reflexiva se ( x)(x A xrx) Caso contrário, isto é, R não é reflexiva se ( x)(x A x R y) *Na representação de uma relação reflexiva por um diagrama sagital existe um laço em torno de cada elemento de A. Propriedade simétrica
Uma relação R em A diz-se simétrica se ( x)( y)(x, y A e xry yrx) 8 Portanto, R não é simétrica se( x)( y)(x, y A e xry e y R x) *Na representação de uma relação simétrica por um diagrama sagital se existe uma flecha de x para y, então também existe ema flecha de y para x. *Na representação de uma relação simétrica por um diagrama cartesiano os pontos correspondentes a pares ordenados recíprocos de R são simétricos em relação à reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante. Propriedade anti-simétrica Uma relação R em A diz-se anti-simétrica se ( x)( y)(x, y R e xry e yrx x = y) Logo, R não é anti-simétrica se ( x)( y)(x, y A, x y e xry e yrx) *Na representação de uma relação anti-simétrica por um diagrama sagital, entre dois elementos quaisquer x e y (x y) só pode existir uma flecha ou nenhuma. *Na representação de uma relação anti-simétrica por um diagrama cartesiano não existem pontos distintos simétricos em relação à reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante. Propriedade transitiva Uma relação R em A diz-se transitiva se x, y, z R com xry e yrz xrz Com isso, R não é transitiva se ( x)( y)( z)(x, y, z A, xry e yrz e xr/ z) *Na representação de uma relação transitiva por um diagrama sagital se existe uma flecha de x para y e uma flecha de y para z então existe uma flecha de x para z. (1) A relação R = {(x, y) IN x y} é: reflexiva pois x x x IN anti-simétrica pois se x y e y x x = y transitiva pois se x y e y z x z (2) No conjunto P(E) das partes de E, a relação R em P(E) definida por XRY X Y é: reflexiva pois X X X P(E) anti-simétrica pois se X Y e Y X X = Y transitiva pois se X Y e Y c Y e Y Z X Z (3)A relação R em definida por xry x < 2y é transitiva pois se x < 2y e y < 2z x < 2z. (4) A relação R em IN tal que xry x + y = 12 é simétrica pois se x + y = 12 então y + x = 12. Propriedades das relações reflexivas P1) Uma relação R é recíproca R -1 é recíproca
P2) Se as relações R e S são reflexivas então as relações R S e R S também o são. P3) Se a relação R é reflexiva e S é qualquer então a relação R S também é reflexiva. 9 P4) Se a relação R é reflexiva então as relações R R, R R -1, R -1 R são reflexivas. Propriedades das relações simétricas P1) Uma relação R é simétrica R = R -1 P2) Uma relação R é simétrica R R -1 = R -1 R P3) Se as relações R e S são simétricas então as relações R S e R S também o são. P4) Se a relação R é simétrica então as relações, R R -1, R -1 R são simétricas. Propriedades das relações anti-simétricas P1) Uma relação R é anti-simétrica R -1 é anti-simétrica. P2) Se as relações R e S são reflexivas então a relação R S também é anti-simétrica. Propriedades das relações transitivas P1) Uma relação R é transitiva R -1 é transitiva P2) Se as relações R e S são transitiva então a relação R S também é transitiva. P3) Uma relação R é transitiva R R R. P4) Se a relação R é transitiva então a relação R R também é transitiva. Relação de Ordem Seja R uma relação sobre um conjunto A Dizemos que R é uma relação de ordem se: (i) R é reflexiva: x A, xrx (ii)r é anti-simétrica: x, y R com xry e yrx x = y (iii) R é transitiva: x, y, z R com xry e yrz xrz *Todo conjunto munido de uma ordem R diz-se ordenado pela ordem R Exemplos e Contra-exemplos: (1) R = {(x, y) x x y} é uma relação de ordem em denominada ordem natural. (2) A relação R = {(x, y) IN x IN x y} é uma relação de ordem. (3) A relação no conjunto Z definida por x y não é uma relação de ordem pois não possui a propriedade anti-simétrica. Por ex., 5-5 e -5 5 mas 5-5 Elementos comparáveis Seja R uma relação de ordem em um conjunto não vazio A. Dois elementos quaisquer x e y de A dizemse comparáveis pela ordem R se e somente se uma das sentenças xry ou yrx for verdadeira.
Exemplo: 3 e 5 são comparáveis pela ordem natural 3 5 em IN mas não são comparáveis pela ordem x y em IN pois 3 R 5 e 5 R 3. *Observe que dois elementos de um conjunto podem ser comparáveis por uma ordem e não comparáveis por outra. 10 Ordem Total e Ordem Parcial Definição: Uma relação de ordem R em um conjunto não-vazio A tal que existe pelo menos um par (x, y) de elementos de A não comparáveis pela R denomina-se relação de ordem parcial R em A ou ordem parcial em A. Isto é, uma ordem parcial em A é uma ordem R em A que satisfaz: ( x)( y)(x, y A e x R y e y R x) Definição: Uma relação de ordem R em um conjunto não-vazio A tal que todos os elementos de A são comparáveis dois a dois pela R chama-se relação de ordem total R em A ou ordem total em A. Isto é, uma ordem total em A é uma ordem R em A que satisfaz: ( x)( y)(x, y A e xry ou yrx) *Se R é uma ordem total em A diz-se que A é um conjunto totalmente ordenado pela R. Relação de Equivalência Seja R uma relação sobre E. Dizemos que R é uma relação de equivalência se: (i) R é reflexiva: a E, ara (ii)r é simétrica: a, b R com arb bra (iii) Transitiva: a, b, c R com arb e brc arc (1) Seja E = {1, 2, 3}, R = {(x, y) x = y} e T = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 3), (3, 1), (3, 2)} Então R é uma relação de equivalência mas T não é pois não é simétrica. (2) A relação R em IN x IN definida por (x, y)r(z, t) xt = yz é uma relação de equivalência (3) A relação R em definida por xry x 2 + x = y 2 + y é uma relação de equivalência. (4) A relação R sobre definida por xry x - y é divisível por 2 é de equivalência. x - y ser divisível por m significa que q Z tal que x - y = 2q. Logo, xry 2 x - y Esta relação é uma relação de equivalência denotada por (mod 2). 5 1(mod 2) 5-1 é divisível por 2 6 / 3(mod 2) 6-1 não é divisível por 2 Observação: Seja R uma relação de equivalência em A. Se (x, y) R, escreve-se x y(mod R) ou x~y(mod R) que se lê x é equivalente a y módulo R. Caso contrário, isto é, se (x, y) R escrevemos x / y(mod R). Se x y(mod R) e y x(mod R) podemos dizer que x e y são equivalentes.
Conjunto Quociente 11 Seja R uma relação de equivalência definida por a moeda x tem o mesmo valor que a moeda y em um universo A de moedas diversas em uma caixa. Tomemos uma caixa dividida em compartimentos. Colocamos em cada um as moedas que tem o mesmo valor, isto é, as moedas equivalente entre si pela relação R. A nova caixa é um conjunto de compartimentos de moedas de mesmo valor. Este novo conjunto, formado a partir de R é constituído por classes de moedas, cada uma delas formada pelas moedas de mesmo valor. Este conjunto de classes é chamado conjunto-quociente de A pela relação R e representado por A/R. Os elementos de A são as bolas e os elementos de A/R são as classes (compartimentos) que são subconjuntos de A. Isso sugere as seguintes definições: Definição: Dados um conjunto A e uma relação R de equivalência, chama-se classe de equivalência por R um subconjunto de A constituído por um elemento x de A e por todos os elementos y de A tais que yrx, isto é, x = { y A yrx}. Definição: Chama-se conjunto-quociente de A por R ao conjunto das classes de equivalência determinadas por R. Observações: (1) Cada classe de equivalência é um elemento de P(A) (2) A/R P(A) Exemplo: Tomemos em Z os números que divididos por 3 dão resto 0, isto é, são côngruos a zero. Depois aqueles que divididos por 3 dão resto 1 e os que divididos por 3 dão resto 2. = {..., -6, -3, 0, 3, 6,...} 0 = {..., -5, -2, 1, 4, 7,...} 1 = {..., -4, --1, 2, 5,8,...} 2 Estes 3 subconjuntos esgotam e como são classes de equivalências, /R = { 0, 1, 2 } Se m é um inteiro positivo e R a relação (mod m) então /R = { 0, 1, 2,..., m 1 } Partição Dado um conjunto A, chama-se partição P de A a um subconjunto de P(A) tal que: (i) Se C P então C (ii) Se C1, C2 P, C1 C2 C1 C2 = (iii) C = A C Ρ Em, considerando A como o conjunto dos números pares e B o conjunto dos números ímpares, então {A, B} é uma partição de.
12 Exemplo: O conjunto /R = { 0, 1, 2 } é uma partição de. Teorema: Toda relação de equivalência R em A determina uma partição de A. E uma partição de A é sempre determinada por uma relação de equivalência, isto é, qualquer partição em A é um conjunto quociente. Atividades: 1) Considere a relação R de A em B, onde A, B e R são descritos abaixo. Escreva R como um conjunto de pares ordenados; Localize R no diagrama coordenado de A B. a) A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} e R = {(x, y) A B; x < y}; b) A = {2, 3, 4, 5}, B = { 3, 6, 7, 10} e R = {(x, y) A B; x y} 2) Seja R a relação em A = {1, 2, 3, 4, 5} cujo diagrama sagital é dado pela figura abaixo. a) Determinar os elementos de R. b) Determinar os elementos de R -1. c) Construir o diagrama sagital e cartesiano de R -1. 2 1 3 3) Sem R e S relações em IN tais que R = {(x, y) IN 2 2x + y = 10} e S = {(x, y) IN 2 2x + y = 10} (a) Descreva R e S pela enumeração dos seus elementos. (b) Determine o domínio e imagem de R e S. (c) Determine os elementos de das relações inversas de R e S, respectivamente. 4) Determine o domínio e a imagem das seguintes relações em A = {1, 2, 3, 4} (a) xry x = 2y (b) xsy x = 2 (c) xty x > 2y (d) xuy x + y = 5 5) Construir os diagramas cartesianos das relações em definidas abaixo: (a) R = {(x, y) 2 x = 4 e y = [-2, 4]} (b) R = {(x, y) 2 x 2 + y 2 = 25 e y 0} (c) R = {(x, y) 2 x [-2,4) e y (0, 3]} (d) R = {(x, y) 2 x + 5 = 5 ou 2x y = 4} (e) R = {(x, y) 2 x 4 e y 3} (f) R = {(x, y) 2 x + y = 3} (g) R = {(x, y) 2 x - 2y < 3} (h) R = {(x, y) 2 y = x - 2} (i) R = {(x, y) 2 y - x = 4} (j) R = {(x, y) 2 x y 3 e x 0} 4 5
12 6) Sejam as relações S = {(x, y) 2 y x 2 }, T = {(x, y) 2 y x + 2}, U = {(x, y) 2 x 2 + y 2 25} e V = {(x, y) 2 y (4/9) x 2 }. (a) Construir os diagramas cartesianos das relações S T e U V. (b) Determinar o domínio e a imagem das relações S T e U V. 7) Determine a relação inversa R -1, o domínio, a imagem e o contra-domínio de R e R -1, nos seguintes casos: a) R = {(x, y) IN IN ; 2x + y = 10}; b) R = {(x, y) A B; y = x 1 }, onde A = {0, 1, 2, 5} e B = {-2, -1, 0, 1, 2}; c) R = {(x, y) A A; x + y = 4}, onde A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 8) Determine se as seguintes relações R de E em E, onde E = {1, 2, 3}, são reflexivas, simétricas, antisimétricas ou transitivas. a) R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}; b) R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}; c) R = {(1, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)}; d) R = {(1, 2)} 9) Determine se as seguintes relações R de N em N, descritas pelas sentenças abaixo, são reflexivas, simétricas, anti-simétricas ou transitivas. a) x + y = 10; b) x < y; c) x y; d) x é divisor de y. 10) Seja R a relação de N em N, definida pela sentença: (x - y) é divisível por 5, ou seja, R = {(x, y) N N; (x - y) é divisível por 5}. Prove que R é uma relação de equivalência. 11) Sejam as relações: R1 = {(x, y) R R; y x2} e R2 = {(x, y) per R R; y x + 2}. Observe que R1 e R2 são relações nos números reais. a) Esboce a relação R1 R2 no dia grama coordenado R R; b) Ache o domínio e a imagem de R1 R2. 12) Seja A = {a, b, c, d, e, f, g}. Diga se cada uma das seguintes famílias de conjuntos é ou não uma partição de A. a) {B1 = {a, c, e}, B2 = {b}, B3 = {d, g}}; b) {C1 = {a, e, g}, C2 = {c, d}, C3 = {b, e, f}}; c) {D1 = {a, b, e, g}, D2 = {c}, D3 = {d, f}}; d) {E1 = {a, b, c, d, e, f, g}}.