Geometria plana. Resumo teórico e eercícios. 3º olegial / urso tensivo. utor - Lucas ctavio de Souza (Jeca)
Relação das aulas. Página ula 01 - onceitos iniciais... 0 ula 0 - Pontos notáveis de um triângulo... 18 ula 03 - ongruência de triângulos... 8 ula 04 - Quadriláteros notáveis... 38 ula 05 - Polígonos conveos... 48 ula 06 - Ângulos na circunferência... 6 ula 07 - Segmentos proporcionais... 74 ula 08 - Semelhança de triângulos... 84 ula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo... 98 ula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer... 11 ula 11 - ircunferência e círculo... 16 ula 1 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares... 136 ula 13 - Áreas das figuras planas... 146 onsiderações gerais. ste estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º olegial e de curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. utorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. ssa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém. Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho. Meu e-mail - jecajeca@uol.com.br Um abraço. Jeca (Lucas ctavio de Souza) Jeca 01
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 01 onceitos iniciais de Geometria Plana. I) Reta, semirreta e segmento de reta. II) Ângulo. - lado - lado - vértice ângulo ou ângulo reta semirreta segmento semirreta efinições. a) Segmentos congruentes. ois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento se pertence ao segmento e divide em dois segmentos congruentes. c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio efinições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. b) Ângulos congruentes. ois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. c) issetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. IIa) Unidades de medida de ângulo. a) Grau. medida de uma volta completa é 360º. 1º = 60' 1' = 60" º - grau ' - minuto " - segundo IIb) lassificação dos ângulos. = 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo agudo. = 90º - ângulo reto. 90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo raso. b) Radiano. medida de uma volta completa é radianos. Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência. efinições. a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º. b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º. IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. r r // s b a c d t a) Ângulos correspondentes (mesma posição). eemplo - b e f. Propriedade - são congruentes. b) Ângulos colaterais (mesmo lado). eemplo de colaterais internos - h e c. eemplo de colaterais eternos - d e g. Propriedade - são suplementares (soma = 180º) s f e g h c) Ângulos alternos (lados alternados). eemplo de alternos internos - b e h. eemplo de alternos eternos - a e g. Propriedade - são congruentes. Jeca 0
III) Triângulos. vértice lado e i i - ângulo interno e - ângulo eterno Num mesmo vértice, tem-se i + e = 180º Ângulo eterno. ângulo eterno de qualquer polígono conveo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado. lassificação dos triângulos. a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno. b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo. Propriedades dos triângulos. 1) m todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. ) m todo triângulo, a medida de um ângulo eterno é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. + + = 180º e e = + e 3 e 1 e 3) m todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos eternos é 360º. e + e + e = 360º 1 3 4) m todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. bservação - base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. ercícios. 01) fetue as operações com graus abaio solicitadas. a) 48º 7' 39" + 17º 51' 4" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 (68º 3' 54") b) 106º 18' 5" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 6' 1" f) 3 (71º 3' 5") Jeca 03
g) 15º 39' 46" 4 h) 118º 14' 5" 3 i) 15º 1' 5" 5 j) 90º 13 0) etermine o ângulo que é o dobro do seu complemento. 03) etermine o ângulo que ecede o seu suplemento em 54º 04) etermine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º. 05) ois ângulos são suplementares. menor é o complemento da quarta parte do maior. etermine as medidas desses ângulos. 06) s medidas de dois ângulos somam 14º. etermine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor. 07) etermine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento. Jeca 04
08) m cada figura abaio, determine a medida do ângulo. a) b) r 116º r // s s 41º c) d) (Tente fazer de outra maneira) r r 53º r // s 53º r // s 39º s 39º s e) f) r 55º r // s r 35º 6º s 40º 38º s 47º g) h) r 8º r // s 54º s 88º 1º 16º i) j) = 73º 11º 143º k) = l) 46º 158º 38º 67º Jeca 05
09) figura abaio mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de + y, em graus? 10) Na figura abaio, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma + y. y y 11) Na figura abaio, determinar + y + z + t. 1) Na figura abaio, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos, y, z, t e u. 30º y y z t u z t 13) Na figura abaio, calcule o valor de em função de m. m 4m 3m 14) (IM-SP) Sejam,,, e as medidas em graus dos ângulos,,, e da figura, respectivamente. soma + + + + é igual a: a) 10º b) 150º c) 180º d) 10º e) 40º 15) (IT-SP) m um triângulo de papel fazemos uma dobra PT de modo que o vértice coincida com o vértice, e uma dobra PQ de modo que o vértice coincida com o ponto R de P. Sabemos que o triângulo QR formado é isósceles com RQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo. 16) etermine, sabendo-se que é um retângulo e que e são pontos médios dos lados e, respectivamente. Q R T 5º P Jeca 06
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana onceitos iniciais de Geometria Plana. ercícios complementares da aula 01. 01) Nas figuras abaio, determinar o valor de. a) b) r r 43º r //s r // s s s 57º c) 45º r d) 45º r r // s r // s 6º s 6º s e) r 147º f) (Resolver de forma diferente da letra c)) r // s 8º 16º r s 80º s r // s g) r h) r (Resolver de forma diferente da letra g)) r // s 140º 65º r // s 140º 65º s s i) 4º 150º r j) 48º 150º r 5-1º r // s s 43º 40º r // s s k) 55º l) r r // s s 85º 135º Jeca 07
m) r r // s t // u n) r r // s t // u s 43º t 58º s u t u o) p) 6º 5º 79º 67º q) r) 5º 1 81º 18 15 s) (Triângulo isósceles) = t) (Triângulo isósceles) = 38º 138º u) = v) 15º y y 6º 98º ) = = z) = = 98º y y Jeca 08
0) Nas figuras abaio, determinar o valor de. a) b) 37º 73º 116º 148º 4º 31º c) d) 34º 101º 38º bissetriz 18º 36º e) é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f) e são bissetrizes. 40º 7º 4º g) h) 68º r r // s 60º s 5y 3y + 30º i) j) 9 43º 6 1 6º 60º k) é um quadrado. l) 30º 118º Jeca 09
m) = n) = = = e = 38º o) = = = = e = p) =, = e =. 44º q) é um triângulo equilátero r) e G é um quadrado. é um triângulo equilátero e é um quadrado. G s) é um triângulo equilátero t) e é um quadrado. é um triângulo equilátero, G e são quadrados. G u) e são triângulos v) equiláteros. = e =. 70º 65º ) z) = = = e =. = é bissetriz de  é bissetriz de Â. 38º Jeca 10
03) Na figura abaio, determine, y e z. 04) Na figura abaio, determinar, y e z. 37º z y 4 z y 05) Na figura abaio, determinar, y, z e t. 06) Na figura abaio, sendo a bissetriz do ângulo, determinar + y. 40º t 4 z y y 4 07) Na figura abaio, determinar o valor de. 08) Na figura abaio, determinar o valor do ângulo, sabendo-se que é bissetriz de, é bissetriz de e é bissetriz de. 57º 8º 09) Na figura abaio, determine os valores de, y e z. z + 6º z - 84º y 10) eterminar os valores de, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º. z y Jeca 11
11) (UVST) Na figura abaio, determine o valor de. t t // s s 10º 1) Na figura abaio, determinar o valor da soma + y + z + t + u + v, sabendo-se que é um triângulo inscrito no quadrado. y z v 140º u t 13) Na figura abaio, = = =. etermine o valor de. 14) Na figura abaio, = = e é a bissetriz do ângulo. etermine o valor de. 15) Na figura abaio, determine a medida do ângulo em função de y. 16) (UVST) Na figura, = =. etermine y em função de. 5y y y y 17) Na figura abaio mostre que vale a relação : a + b = c + d. r a c b r // s 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. eterminar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos. d s 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos eternos de um triângulo é 360º. 0) Na figura abaio, determinar em função de y e de z. e y r r // s e 1 z s e 3 Jeca 1
1) Na figura abaio, o quadrado é cortado por duas retas paralelas, r e s. om relação aos ângulos e y podemos afirmar que : a) = y b) = -y c) + y = 90º d) - y = 90º e) + y = 180º r s ) Na figura abaio, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos, y, z, t e u. y z y u t 3) Na figura abaio, calcule o ângulo, sendo y o triplo de z e t o sêtuplo de z. 4) (UVST-SP) No retângulo abaio, qual o valor em graus de + y? z 40º y y 80º t 5) Na figura abaio, sendo a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = - t. y z t 6) Na figura abaio, o ângulo mede 38º, é um retângulo e é congruente a. medida do ângulo é : a) 38º b) 7º c) 18º d) 19º e) 71º 7) Na figura abaio, sendo //, determinar a soma das medidas dos ângulos, y e z. z y 8) eterminar a medida do ângulo, sabendo-se que os triângulos e são isósceles e que o triângulo é equilátero. Jeca 13
9) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z, t, u e v. 30) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z e t. v r y u r // s y z t s t z 31) Na figura abaio, determine a soma das medidas dos ângulos, y, z e t. y 3) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice pertença ao lado, conforme a figura. Sendo a dobra feita, calcule a medida do ângulo, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. z 140º t 33) Na figura, M = N, > y e as reta MN e interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MP é igual a 34) Na figura abaio, os ângulos, e medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo uma dobra de tal forma que o lado é simétrico do lado em relação a, determine a medida do ângulo. - y. M N P y 35) Na figura, sendo congruente a, congruente a, calcule a medida do ângulo, sabendo-se que = 48º. Jeca 14
Jeca 15
01) a) 176º 19' 1" b) 14º 05' 04" c) 8º 45' 16" d) 46º 47' 48" e) 73º 35' 36" f) 14º 11' 36" g) 31º 4' 56" h) 39º 4' 57" i) 5º 0' 34" j) 06º 55' 3" 0) 60º 03) 117º 04) 7º 05) 60º e 10º 06) 17º e 107º 07) 5º / 7 08) a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º f) 36º g) 6º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º 09) 70º 10) 40º 11) 10º 1) 180º 13) m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 5º Respostas dos eercícios da ula 01 Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 16
Respostas dos eercícios complementares da ula 01 01) a) 43º b) 13º c) 107º d) 107º e) 49º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º k) 55º l) 130º m) 43º n) 1º o) 39º p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º u) 104º v) 46º ) 13º z) 108º 0) a) 48º b) 51º c) 9º d) 11º e) 18º f) 111º g) 4º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 0º p) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60º u) 10º v) 60º ) 150º z) 116º 03) 143º, 37º e 143º 04) 36º, 18º e 144º 05) 0º, 60º, 80º e 60º 06) 100º 07) 33º 08) 19º 09) º, 44º e 110º 10) 50º, 60º e 70º 1) c ) 540º 3) 50º 4) 130º 5) demonstração 6) d 7) 360º 8) 45º 9) 360º 30) 180º 31) 540º 3) 65º 33) demonstração 34) 130º 35) 4º 11) 70º 1) 70º 13) 10º 14) 36º 15) = 8y 16) y = 3 17) demonstração 18) 40º 19) demonstração 0) = y - z Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 17
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 0 Pontos notáveis de um triângulo. altura Segmentos notáveis do triângulo. mediana mediatriz Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio. issetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. bissetriz M ponto médio ltura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto. Todo triângulo tem: 3 medianas 3 mediatrizes 3 bissetrizes 3 alturas aricentro (G). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. Propriedade. baricentro divide cada mediana em segmentos. segmento que contém o vértice é o dobro do segmento que contém o ponto médio do lado oposto. (razão : 1) bservação - s três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área. S Área de cada triângulo P S S S S G M S S N G =.GM G =.GN G =.GP ircuncentro (). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. Propriedade. circuncentro é o centro da circunferência circunscrita (eterna) ao triângulo. circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo. Pontos notáveis do triângulo - baricentro I - incentro - circuncentro - ortocentro Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo. Propriedade. incentro é o centro da circunferência inscrita (interna) no triângulo. incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 lados do triângulo. I r r - raio da circunferência inscrita. rtocentro (). É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. Propriedade. Não tem. h h mediatriz h h h ponto médio h h R h R - raio da circunferência circunscrita. Jeca 18 ortocentro h
bservações. 1) baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo. ) circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no eterior do triângulo. 3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (I: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão alinhados. mediatriz mediana bissetriz G I mediana mediatriz bissetriz altura altura 4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. ortocentro R R hipotenusa circuncentro Triângulo eqüilátero. (importante) m todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto. l - lado do triângulo eqüilátero. r - raio da circunferência inscrita. R - raio da circunferência circunscrita. h - altura do triângulo. I l r r r l l R r h R = r e h = 3r 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar : a) a altura do triângulo. b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. d) o que o ponto é do triângulo. l l R r h l 0) Na figura abaio, a circunferência de centro está inscrita no triângulo. Sabendo que o ângulo mede 33º e que o ângulo mede 56º, determine a medida do ângulo. 03) Na figura abaio, a circunferência de centro está inscrita no triângulo. Sabendo que o ângulo mede 16º, encontre a medida do ângulo. Jeca 19
04) Na figura abaio, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. I 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. c) o lado do triângulo. R l l r h l 06) Na figura abaio, os pontos, e G são os pontos médios dos lados do triângulo. Se =, = y, = z, G = 3w, = 3k e = 3n, determine o perímetro do triângulo G, em função de, y, z, w, k e n. 07) Na figura abaio, é o ortocentro do triângulo. etermine a medida do ângulo sabendo que os ângulos e medem, respectivamente, 58º e 70º. G Jeca 0
Rua 08) Na figura abaio, é o ortocentro do triângulo equilátero. Sabendo que = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos, e. 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. omo é possível localizar o tesouro no local? Sibipiruna Peroba Jatobá 10) triângulo da figura tem área 10 cm. Sendo = = e = G = G, avalie se as afirmações abaio são verdadeiras (V) ou falsas (). G 11) No triângulo abaio,, e são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo, = 14 cm e = 1 cm, determine: a) a área do triângulo ; b) a área do triângulo G; c) a área do quadrilátero G. G ( ) G é o baricentro do triângulo. ( ) área do triângulo é 40 cm. ( ) área do triângulo G é 40 cm. 1) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. les desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é plana, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia das a eles? Justifique o seu raciocínio. 13) prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. escubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. Rua 1 Rua 3 Jeca 1
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo. ercícios complementares da aula 0. 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; d) o que o ponto é do triângulo. k k R r h k 0) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto é do triângulo. l l l R r h 03) Na figura, G e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. a mesma forma, e, dividem o ângulo em três ângulos congruentes. ssinale a alternativa correta. 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T 1, inscrito, e T, circunscrito. etermine a razão entre a altura de T e a altura de T 1. S P T R Q T 1 G a) P é incentro de algum triângulo construído na figura. b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura. c) R é incentro de algum triângulo construído na figura. d) S é incentro de algum triângulo construído na figura. e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. R Jeca
05) Na figura abaio, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo e que G =.GN. 06) Na figura abaio, o ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Sendo paralelo a, = 8 cm e = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo. M G N I P 07) No triângulo da figura, = 10 cm e M é o ponto médio de. Sabendo que e são os pés das alturas e, determine o valor de M + M. 08) Na figura, o triângulo é retângulo em, os segmentos e são congruentes e o ângulo mede 65º. etermine a medida do ângulo. M RSLUÇÃ - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. 09) No triângulo abaio, = 70º e = 40º. etermine a medida do ângulo, sabendo-se que o ponto é o ortocentro do triângulo. 10) No triângulo abaio, é ponto médio do lado e é a bissetriz do ângulo. etermine a medida do ângulo. 40º 11) Na figura abaio, é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo. etermine a medida do ângulo. 1) (uvest) Um triângulo, tem ângulos = 40º e = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices e desse triângulo? a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 10º Jeca 3
13) onsidere o triângulo da figura e assinale a afirmativa falsa. 14) No triângulo da figura abaio, as medianas e são perpendiculares entre si. Sabendo que = 6 e = 8, determine a medida de. a) é o ortocentro do. b) é o ortocentro do. c) s circuncentros do e do coincidem. d) =.. e) é acutângulo. 15) Na figura abaio, o círculo inscrito no triângulo tem área S e os ângulos e medem 50º e 70º, respectivamente. etermine as áreas dos setores circulares S 1, S e S 3, em função de S. 16) etermine as medidas dos ângulos, e, no triângulo abaio, sabendo que é o incentro do triângulo. S 3 S 1 10º 110º 130º S 17) etermine as medidas dos ângulos, e, no triângulo abaio, sabendo que é o circuncentro do triângulo. 18) Na figura, a circunferência de centro está inscrita no setor circular de centro, raio = 15 cm e ângulo central = 60º. etermine o raio da circunferência. 10º 130º 110º 19) triângulo da figura é retângulo em e os triângulos, e são equivalentes (têm a mesma área). Sendo = 18 cm, determine a medida do segmento. 0) No triângulo da figura, = 50º. Se P for o incentro do triângulo, a medida do ângulo P é ; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo, a medida do ângulo P é y. etermine a razão entre e y. P P Jeca 4
1) Na figura, é um retângulo, M é ponto médio de e o triângulo M é equilátero. etermine a medida do segmento PM, sabendo que = 1 cm. M ) (UMG) Na figura abaio, =, = 60º e o ângulo é o dobro do ângulo. etermine a razão /. P 3) No triângulo ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e R = 10 cm, determinar : a) que são os segmentos P, N e M para o triângulo. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. c) Quais as medidas dos segmentos R, R e PR. 4) Na figura ao lado, é o centro da circunferência inscrita no triângulo que é retângulo em. Sendo m() = 30º, determinar as medidas dos ângulos,, e e dizer o que a semirreta significa para o ângulo. M R N P 5) Na figura abaio, as retas, e G encontram-se no ponto, e os pontos, e G são os pontos médios dos lados do triângulo. Para o triângulo, dizer como se denomina o ponto e o que é a reta. G 6) (UM-PR) m um plano, a mediatriz de um segmeno de reta é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta e é perpendicular a esse segmento. ssinale a alternativa incorreta. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto é igual à distância de P ao ponto. b) intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em é o circuncentro do triângulo. c) Qualquer ponto do plano que não pertença à reta r não equidista dos etremos do segmento. d) s mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. e) reta r é a única mediatriz do segmento de reta em. Jeca 5
Respostas dos eercícios da ula 0. 01) a) (5 3 ) cm b) (5 3 / 3) cm c) (10 3 / 3) cm d) aricentro, Incentro, ircuncentro e rtocentro. 0) 118º 03) 7º 04) 04) esenho ao lado. I G 05) a) 1 cm b) cm c) 3 cm 06) k + w + z 07) 18º 08) k / 3, k / 3 e k / 3 09) esenho ao lado. 09) Sibipiruna Peroba 10), V e 11) a) 4 cm b) 7 cm c) 8 cm 1) poço deve localizar-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são as três casas. 13) estátua deve ser colocada no incentro do triângulo formado pelas três ruas. Jatobá tesouro Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 6
Respostas dos eercícios complementares da ula 0. 01) a) k 3 / b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) I 0) a) (5 / ) cm b) (15 / ) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) I 03) d 04) 17) 55º, 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 0) 3 / 6 1) 4 cm ) 1 / 3) a) medianas b) baricentro c) 14 cm, 1 cm e 5 cm 05) M G N S é ponto médio de G R é ponto médio de G MNRS é um paralelogramo Portando, SG = GN = S Razão : 1 4) 15º, 45º, 10º, 30º e bissetriz 5) circuncentro e mediatriz 6) d S P R 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 1) d 13) d 14) 5 15) 5 S / 7, 3 S / 7 e S / 3 16) 80º, 40º e 60º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 7
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 03 ongruência de triângulos. ois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes. asos de congruência. 1) L..L. ).L.. 3)L.L.L. 4) L.. 5) aso especial () nde: L - lado. - ângulo junto ao lado. - ângulo oposto ao lado. aso especial (). ois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo bservação. posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no desenho é muito importante na caracterização do caso de congruência. L..L. - dois lados e o ângulo entre eles..l.. - dois ângulos e o lado entre eles. 01) Na figura ao lado, e são ângulos retos e os segmentos e são congruentes. Prove que os triângulos e são congruentes. 0) Na figura ao lado, e são ângulos retos e é a bissetriz do ângulo. Prove que os segmentos e são congruentes. 03) Na figura ao lado, os segmentos e são congruentes e os segmentos e também. Prove que os ângulos e são congruentes. Jeca 8
04) (importante) Na figura abaio, é uma corda da circunferência de centro. Provar que se o raio é perpendicular à corda, então é ponto médio de. 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz. H 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das etremidades e do segmento. P M mediatriz 07) adas as retas r e s, e os pontos, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento P, determine os pontos pertencente a r e pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento. r M P s Jeca 9
08) Na figura abaio, os segmentos e são congruentes. Sabendo-se que o triângulo é isósceles de base, prove que os segmentos e são congruentes. 09) (UMG) bserve a figura: r P R Nessa figura, os segmentos e são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. lém disso, P = P, R = R e a medida do ângulo PR é. etermine, em função de, a medida do ângulo interno do quadrilátero. s 10) Na figura, é um paralelogramo e os segmentos e são congruentes. Prove que os segmentos e são congruentes e paralelos entre si. 11) Na figura abaio, o quadrado GH está inscrito no quadrado. Prove que os triângulos H,, G e GH são congruentes entre si. H G 1) Na figura abaio, é um retângulo e os segmentos e são perpendiculares ao segmento. Prove que os segmentos e são congruentes entre si. 13) Provar que se é um paralelogramo e e são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal. Jeca 30
Teorema do ponto eterior. ada uma circunferência e um ponto P, P eterior a, se e são os pontos de tangência das retas tangentes a por P, então P = P. onsequência do Teorema do ponto eterior. m todo quadrilátero circunscrito numa circunferência a soma das medidas dos lados opostos é constante. P P = P + = + 14) Prove o Teorema do ponto eterior. P 15) Na figura abaio, a circunferência está inscrita no triângulo, = 10, = 1 e = 14. etermine a medida do segmento T. R S T 16) Na figura abaio,, e são pontos de tangência. eterminar o perímetro do triângulo P, sabendo que a distância P mede 17 cm. P 17) etermine o valor de na figura abaio, sabendose que = +, = 4-3, = 3 - e = 3 + 1. 18) eterminar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada. 19) etermine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Jeca 31
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ongruência de triângulos. ercícios complementares da aula 03. 01) Na figura abaio, M é ponto médio de e de. Provar que o triângulo M é congruente ao triângulo M. M 0) Na figura abaio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento. M 03) Na figura abaio, M é ponto médio do segmento e os ângulos e são congruentes. Provar que os segmentos e são congruentes. M 04) Na figura abaio, M é ponto médio dos segmentos e. Provar que as retas e são paralelas. M 05) Na figura abaio, é bissetriz do ângulo e os ângulos e são congruentes. Provar que os segmentos e são congruentes. Jeca 3
06) Na figura abaio, e. Provar que o triângulo G é isósceles. G 07) Na figura abaio, é um triângulo isósceles de base. Sabendo-se que, provar que também é um triângulo isósceles. 08) Na figura abaio,, e. Provar que os triângulos e são congruentes. 09) Na figura abaio, é um triângulo eqüilátero e os pontos, e pertencem aos lados, e, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos, e são congruentes, provar que o triângulo é eqüilátero. Jeca 33
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango. k k M k k 11) Na figura, e GH são quadrados. centro do quadrado localiza-se no vértice do outro quadrado. Prove que os triângulos JL e KM são congruentes. L J G K M H 1) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado. 13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases. Jeca 34
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Respostas dos eercícios da ula 03. bservação - ependendo dos dados, um eercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente. 07) Resolução r Seja P // M = MP (L) - por hipótese 01) aso especial () 0) L... 03) L.L.L. 04) aso especial M P s M = PM () - PV M = PM () - alternos internos Pelo caso.l.., temos M = PM Portanto M = M Q 05) É possível provar por vários casos. 06) L..L. 07) emonstração ao lado. 08) L..L. 09) Pelo caso L..L. prova-se que os triângulos P e P são congruentes. Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos R e R também são congruentes. P = P = e R = R = Portanto = 10) L..L. 11).L.. 1) L... 13) L... 14) aso especial (Una o ponto P ao centro) 15) 8 16) 34 cm 17) S = { R > 3 / 4 } 18) 15 cm 19) 3 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 36
Respostas dos eercícios complementares da ula 03. bservação - ependendo dos dados, um eercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente. 01) LL 0) L 03) L 04) LL 05) L 06) aso especial 07) LL 08) L 09) LL emonstração do eercício nº 13. G G () (opostos pelo vértice) (L) ( é ponto médio de ) G () (alternos internos) Pelo caso L, temos: G > G e G onsiderando apenas o triângulo G, temos: 10) LLL 11) L emonstração do eercício nº 1. G = + G = + G Seja // (por construção) > (alternos internos) > ( é ponto médio) (opostos pelo vértice) Pelo caso L, temos: > Mas é ponto médio de > Se // e > é um paralelogramo > > // e Mas > = e // (Q) Pelo teorema demonstrado no eercício 1, temos: // // e = + (Q) Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 37
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 04 Quadriláteros notáveis. I) Trapézio. É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases. h + = 180º Trapézio retângulo Trapézio isósceles base menor Trapézio escaleno base maior II) Paralelogramo. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. // e // III) Retângulo. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º. h b h b IV) Losango. É o quadrilátero que tem os lados congruentes. // e // V) Quadrado. É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º). 45º Propriedades dos quadriláteros notáveis. 1) m todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos médios. M M é ponto médio de e M é ponto médio de. ) m todo losango as diagonais são: a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos. y y y y 3) ase média de trapézio. m todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases. 4) ase média de triângulo. m todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a metade desse 3º lado. M base média N MN // // e MN = + MN // e MN = M N base média Jeca 38
01) No paralelogramo abaio, determinar o valor de e a medida da diagonal. 7 cm 7 cm 1 cm 0) No paralelogramo abaio, determinar o valor de e a medida da diagonal. k + 1 + 5 k 03) No paralelogramo abaio, determinar o valor de, o valor de y, a medida da diagonal e a medida da diagonal. 04) No losango abaio, conhecendo-se a medida do ângulo, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d. - 4 7 cm 3y 1 cm a d c 58º b 05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados,, e do quadrilátero tos médios dos lados,, e do quadrilátero 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-. eterminar o perímetro do quadrilátero LMNP. Provar que LMNP é um paralelogramo. sabendo-se que = 6 cm e = 10 cm. L P L P M N M N 07) (Unifesp) etermine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3. 08) (URJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como eemplo a figura denominada: a) triângulo equilátero; b) losango; c) trapézio; d) retângulo; e) quadrado. Jeca 39
09) No triângulo abaio, = 8 cm, = 1 cm e = 10 cm. Sendo e pontos médios dos lados e, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio. 10) No triângulo abaio, = 16 cm, = 14 cm e = 18 cm. Sendo, e os pontosmédios dos lados, e, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos, e. 11) No triângulo abaio, =, = y e = z. Sendo, e os pontos médios dos lados, e, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero. 1) No trapézio abaio, a base menor mede 8 cm, a base maior mede 0 cm e os pontos e são os pontos médios dos lados e, respectivamente. etermine a medida da base média. 13) No trapézio retângulo abaio, a base menor mede 1 cm e a base maior mede 18 cm. Sendo = 10 cm, e os pontos médios dos lados e, respectivamente, determinar os perímetros dos trapézios e. 14) No trapézio abaio, a base média mede 17 cm e a base maior mede cm. etermine a medida da base menor. 15) No trapézio abaio, = 8 cm e GH = 11 cm. Sendo = G = G e = H = H, determine as medidas da base menor e da base maior. 16) No trapézio abaio, = 1 cm, = 6 cm e os pontos e H são pontos médios dos lados e, respectivamente. eterminar as medidas dos segmentos H,, GH e G. G H G H Jeca 40
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero,,, e são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. etermine o perímetro do quadrilátero sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. M 18) etermine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3-18º e + 7º. P N L 19) No triângulo abaio, e são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo igual a 3 cm, determinar : a) o que é o ponto para o triângulo. b) a medida do perímetro do triângulo. 0) No triângulo abaio, sendo o baricentro, =, = y, = z, = t e = w, determinar o perímetro do quadrilátero. 1) No triângulo abaio, e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo =, = y, = z e G = k, determinar o perímetro do triângulo G e dizer o que o ponto é do triângulo. ) emosntre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto. G 3) (uvest) m um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. etermine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio. Jeca 41
01) ado o losango abaio e o ângulo de 58º, determine as medidas dos ângulos assinalados. z studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) y t 58º Geometria plana Quadriláteros notáveis. ercícios complementares da aula 04. 0) (URJ-RJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como eemplo a figura denominada: a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado e) paralelogramo 03) No retângulo abaio, e são as diagonais. etermine as medidas dos ângulos e y. y 04) (PUamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango, cuja diagonal menor mede 4 cm. etermine a medida da diagonal maior e do lado desse losango. 3º 05) Na figura abaio, é um retângulo e é um triângulo equilátero, onde o ponto pertence ao lado do retângulo. Sendo a diagonal do retângulo, o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e = 9 cm, determine a medida do segmento. 06) (VUNSP-SP) onsidere as seguintes proposições. I. Todo quadrado é um losango. II. Todo quadrado é um retângulo. III. Todo retângulo é um paralelogramo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. Pde-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas. Jeca 4
07) (PU-SP) Sendo: = { / é quadrilátero} = { / é quadrado} = { / é retângulo} = { / é losango} = { / é trapézio} = { / é paralelogramo} ntão vale a relação: a) b) c) d) e) 08) (UP-MG) ssinale a alternativa incorreta: a) m todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. c) s bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. 09)(U) Na figura, o retângulo GHI, o triângulo e- quilátero e o quadrado I, têm todos, perímetro igual a 4 cm. Se é o ponto médio de I, o perímetro da figura fechada GHI é igual a: 10) etermine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 5º. a) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 5 m G H I 11) (GV-SP) diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados? 1) (IT-SP) adas as afirmações: I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango. a) Todas são verdadeiras. b) penas I e II são verdadeiras. c) penas II e III são verdadeiras. d) penas II é verdadeira. e) penas III é verdadeira. Jeca 43
13) (UV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que: a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes. c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos. d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio. e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto. 14) (UVST-SP) No quadrilátero, temos = = e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º. a) Indicando por,, e, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices,, e, calcule + + +. b) Sejam J o ponto médio de, M o ponto médio de e N o ponto médio de. alcule JM e JN. c) alcule a medida do ângulo MJN. 15) Na figura, = 4 cm, é ponto médio de, é ponto médio de, é ponto médio de e I é ponto médio de. etermine as medidas dos segmentos G e GH. 16) (IT-SP) onsidere um quadrilátero cujas diagonais e medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: a) cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 1 cm G H I 17) No trapézio J abaio, G = e I = y. Se = = = e G = GH = HI = IJ, determine e J em função de e de y. G 18) Na figura abaio, o triângulo é retângulo em, o ponto é ponto médio do lado e o segmento é paralelo ao cateto. Sendo = 4 cm, determine a medida do segmento. H I J Jeca 44
Jeca 45
Respostas dos eercícios da ula 04. 01) 6 cm 0) 4 03) 11 cm e 4 cm 04) 3º, 64º, 90º e 116º 05) 16 cm 06) Propriedade da base média do triângulo. // LP // MN e // LM // PN Portanto LMNP é um paralelogramo. 07) 45º 08) b 09) 5 cm 10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm 11) + z 1) 14 cm 13) 36 cm e 4 cm 14) 1 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm 17) cm 18) 117º e 63º 19) aricentro e 46 cm 0) ( + y + w + t) / 1) (y + z + 6k) / e baricentro ) + = 180 (alternos internos) Portanto + = 90º 3) 45º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 46
Respostas dos eercícios complementares da ula 04. 01) = 3º, y = 116º, z = 64º, t = 90º 0) a 03) = 64º, y = 116º 04) = 4 3 cm, = 4 cm 05) 6 cm 06) b 07) b 08) e 09) c 10) 64º e 116º 11) 50º, 65º e 65º 1) c 13) a 14) a) 360º b) 1 e 1 c) 60º 15) G = 6 cm e GH = 6 cm 16) d 17) = 3 - y J 18) 4cm = 3y - Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. brigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização epressa do autor Jeca 47
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana ula 05 Polígonos conveos. I) Polígonos conveos. lassificação dos polígonos (quanto ao nº de lados). e i d d - diagonal i - ângulo interno e - ângulo eterno i + e = 180º lado vértice 3 lados - triângulo 4 lados - quadrilátero 5 lados - pentágono 6 lados - heágono 7 lados - heptágono 8 lados - octógono 9 lados - eneágono 10 lados - decágono 11 lados - undecágono 1 lados - dodecágono 13 lados - tridecágono 14 lados - quadridecágono 15 lados - pentadecágono 16 lados - headecágono 17 lados - heptadecágono 18 lados - octodecágono 19 lados - eneadecágono 0 lados - icoságono II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conveo. (S ) i III) Soma das medidas dos ângulos eternos de um polígono conveo. (S ) e e 3 e 4 IV) Número de diagonais de um polígono conveo. (d) i 3 i 4 i n i i 1 e e n S = i + i + i +... + i i 1 3 n S = 180 (n - ) i n - nº de lados do polígono e 1 S = e + e + e +... + e e 1 3 n S = 360º e Para qualquer polígono conveo iagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos. d n (n - 3) = n - nº de lados do polígono V) Polígono regular. e i e i e i i i e Um polígono é regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos eternos congruentes entre si. lassificação dos polígonos regulares 3 lados - triângulo equilátero 4 lados - quadrado 5 lados - pentágono regular 6 lados - heágono regular etc e Medida de cada ângulo interno de um polígono regular. i = S i n > 180 (n - ) i = n Medida de cada ângulo eterno de um polígono regular. ângulo central e = S e n > 360 e = n (importante) bservação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência. Jeca 48
01) eterminar a soma das medidas dos ângulos internos e o número de diagonais de um pentadecágono conveo. 0) eterminar a soma das medidas dos ângulos eternos e o número de diagonais de um octodecágono conveo. 03) eterminar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo eterno de um eneágono regular. 04) eterminar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular. 05) eterminar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 65 diagonais. 06) eterminar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo eterno é 30º. 07) eterminar o nº de diagonais de um polígono regular sabendo-se que a medida de um ângulo interno ecede a medida do ângulo eterno em 13º. 08) eterminar a medida do ângulo eterno de um polígono regular que tem 14 diagonais. Jeca 49
09) ados dois polígonos conveos, e, sabe-se que tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que. etermine quais são os polígonos e. 10) ados dois polígonos regulares, e, sabe-se que tem 6 lados a mais do que e a diferença das medidas de seus ângulos eternos é 16º. etermine quais são esses polígonos. 11) etermine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal e lado de um dodecágono regular... KL. 1) etermine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais e G de um dodecágono regular...kl. Jeca 50
13) (UNISP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo mede: a) 108º b) 7º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (UVST-SP) ois ângulos internos de um polígono conveo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 18º cada um. nº de lados desse polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 15) (SGRNRI-RJ) No quadrilátero da figura abaio, são traçadas as bissetrizes M e N, que formam entre si o ângulo. soma dos ângulos internos e desse quadrilátero corresponde a: a) /4 b) / c) d) e) 3 M N 16) (MK-SP) s lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. medida, em graus, de cada vértice da estrela é: a) b) c) d) e) 360º n (n - 4). 180º n (n - ). 180º n 180º _ 90º n 180º n Jeca 51
studos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas ctavio de Souza) (São João da oa Vista - SP) Geometria plana Polígonos conveos. ercícios complementares da aula 05. 01) ado um polígono conveo de 17 lados, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos eternos. c) o número de diagonais desse polígono. 0) ado um undecágono conveo, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos internos. b) a soma das medidas dos ângulos eternos. c) o número de diagonais desse polígono. 03) eterminar o número de lados e o número de diagonais de um polígono conveo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 160º. 04) eterminar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conveo que tem 44 diagonais. Jeca 5
05) No pentágono ao lado, //. eterminar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. 06) eterminar os polígonos conveos e, sabendo-se que tem lados e 3 diagonais a mais que o polígono. 07) ado um eneágono regular, determinar : a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos eternos. e) a medida de cada ângulo eterno. f) o número de diagonais do eneágono. 08) eterminar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo eterno é igual a /7 da medida de um ângulo interno. Jeca 53
09) ado um pentadecágono regular, determinar : a) o número de lados do pentadecágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos. c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos eternos. e) a medida de cada ângulo eterno. f) o número de diagonais do pentadecágono. 10) eterminar dois polígonos regulares, e, sabendo-se que tem 3 lados a mais que e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos eternos é 6º. 11) ado um decágono regular, determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado e a diagonal. 1) ado um dodecágono regular, sendo o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo. L K G Jeca 54 J I H