1 a Lista de Exercício - Estatística (Probabilidade) Profa. Ms. Ulcilea A. Severino Leal Algumas considerações importantes sobre a resolução dos exercícios. (i) Normas da língua culta, sequência lógica e estilo claro. (ii) Todas as respostas devem ser explicadas passo a passo. (iii) Respeitar o formalismo matemático. Exercício 1. Na experiência de jogar um dado honesto de seis faces a leitura da face voltada para cima, determine: 1. O espaço amostral deste experimento. 2. O evento formado pelos números pares. 3. A probabilidade do evento de números pares. 4. O evento formado por número menor que três. 5. A probabilidade do evento número menor que três. 6. A probabilidade de obter o número 2. 7. A probabilidade de obter um número maior do que 4. Exercício 2. Na experiência de retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas, determine: 1. O evento formado por "dama". 2. A probabilidade do evento de "dama". 3. O evento formado por "cartas de copas". 4. A probabilidade do evento "cartas de copas". Exercício 3. Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter 2 caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras? Exercício 4. Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas face de cima seja 7. Exercício 5. Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que o máximo seja maior ou igual a 3. Exercício 6. Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5? Exercício 7. Um torneio é disputado por 4 times A,B,C e D. É 3 vezes mais provável que A vença do que B, 2 vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades de ganhar para cada um dos times? 1
Exercício 8. Numa urna existem 4 bolas numeradas de 1 a 4 que diferem apenas pela numeração. Retiram-se duas bolas ao acaso e simultaneamente. Qual a probabilidade de se obterem bolas com números que têm soma par? Exercício 9. Retirando, ao acaso, uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de obter-se "uma dama ou uma carta de copas"? Exercício 10. Retirando, ao acaso, uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de obter-se "uma dama ou um rei"? Exercício 11. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de obter-se "uma dama", sabendo-se que a carta é de copas? Exercício 12. Dado P(A) = 1 3,P(B) = 1 2 e P(A B) = 1 4, calcular: 1. P(A B) 2. P(A/B) 3. P(B/A) 4. P((A B)/B) 5. P(A/B) 6. P(B/A) Exercício 13. Considere o experimento aleatório de lançar dois dados, e A = {(x 1,x 2 )/x 1 +x 2 = 8} B = {(x 1,x 2 )/x 1 = x 2 } C = {(x 1,x 2 )/x 1 +x 2 = 10} D = {(x 1,x 2 )/x 1 > x 2 } E = {(x 1,x 2 )/x 1 = 2x 2 } Calcular: 1. P(A/B) 2. P(C/D) 3. P(A/C) 4. P(C/E) 5. P(C/A) 6. P(A/D) 7. P(B/C) 8. P(A/E) 9. P(B/E) 2
10. P(A/(B C)) 11. P((A B)/(C D)) Exercício 14. Sendo S = {1,2,3,4} um espaço amostral equiprovável e A = {1,2},B = {1,3},C = {1,4} três eventos de S. Verificar se os eventos A,B e C são independentes. Exercício 15. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, os eventos "dama" e "carta de copas" são independentes? Exercício 16. Joga-se, ao acaso, um dado honesto de seis faces numeradas de 1 a 6 e lê-se o número da face voltada para cima. (i) Sabendo que este número é par, calcule a probabilidade de ser o número dois. (ii) Verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes. Exercício 17. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as bolas azuis de 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessas urna, verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. Exercício 18. Numa urna contém apenas 10 bolas sendo 7 azuis e 3 verdes. Retirando-se duas bolas ao acaso e sem reposição da primeira antes de retirar a segunda: (i) Qual a probabilidade de as duas serem verdes? (ii) Qual a probabilidade de obterem-se duas cores diferentes? Exercício 19. Seja P uma probabilidade sobre os eventos de espaço amostral S. Sejam A e B eventos, tais que P(A) = 2 3 e P(B) = 4 9. Prove que: 1. P(A B) 2 3. 2. 2 9 P(A B) 5 9. 3. 1 9 P(A B) 4 9. Exercício 20. Um escritório possui 100 máquinas de calcular. Algumas são elétricas (E), e quanto outras são manuais (M), e algumas são novas (N), enquanto que outras são muito usadas (U). A tabela abaixo fornece o número de máquina de cada categoria. Uma pessoa entra no escritório, pega uma máquina ao acaso e descobre que é a nova. Qual a probabilidade de que seja elétrica? E M Total N 40 30 70 U 20 10 30 Total 60 40 100 Exercício 21. Considere um lote formado de 20 carros defeituosos e 80 não defeituosos. Se escolhermos ao acaso dois carros, sem reposição, qual será a probabilidade de que ambos os carros sejam defeituosos? 3
Exercício 22. Um grupo de pessoas estão classificados da seguinte forma: Fala Inglês Fala Alemão Fala Francês Totais Homens 92 35 47 174 Mulheres 101 33 52 186 Totais 193 68 99 360 Escolha-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que está pessoa fala francês, qual é a probabilidade que seja homem? Exercício 23. Considere a seguinte distribuição de probabilidade agrícola segundo a atividade predominante em duas regiões do estado, numa amostra de 80 propriedades. Região \ Atividade Cana de açúcar Cult. anuais Pecuária Total A 4 8 20 32 B 32 12 4 48 Total 36 20 24 80 Determine as seguintes probabilidades, P(A), P(B), P(cana), P(anuais), P(pecuaria) e as probabilidades condicionais P(cana/A), P(cana/B), P(anuais/A), P(anuais/B), P(pecuaria/A) e P(pecuaria/B). Exercício 24. Num certo colégio 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais do que 1,60m de altura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais do que 1, 60m de altura, qual a probabilidade de ser mulher? Exercício 25. Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4 10. A probabilidade do Brasil ganhar um jogo em um dia com chuva é de 6 4 10 e em um dia sem chuva é de 10. Sabe-se que o Brasil ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu neste dia? Exercício 26. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade 1 3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que adivinhe? Exercício 27. Em um concurso público, uma das provas constava de 80 questões de múltiplas escolha, sendo que cada questão admita cinco opções possíveis de resposta. Os candidatos X e Y marcaram exatamente a mesma opção de resposta em 70 dessas questões, sendo que entre essas 60 estavam corretas. Admita que: (i) Qualquer candidato só erra uma determinada questão quando ele realmente não sabe resolvê-la. (ii) Qualquer candidato que não pratique a "cola", ao não saber resolver uma questão, escolhe aleatoriamente uma das cinco opções de resposta. Sabemos que em 10 das 70 questões citadas as respostas de X e Y estavam iguais, embora erradas. 4
1. Calcule a probabilidade de coincidência entre as respostas dos dois candidatos a essas 10 questões, supondo que não tenha havido fraude (cola). 2. Com base na teoria de probabilidade, na sua opinião houve ou não cola entre os dois candidatos? Por que? Exercício 28. Considere o desempenho de um test T destinado a diagnosticar a presença de infecção pelo vírus HIV. A população considerada aqui é formada somente por doadores de sangue, entre eles, apenas 1 em cada 1000 está infectado pelo vírus. Supondo que foi sorteada ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Diremos que o evento: (i) D + ocorre, se a pessoa está infectada (ii) D ocorre, se a pessoa não está infectada (iii) T + ocorre, se o resultado de teste for positivo (iv) T ocorre, se o resultado do teste for negativo Admita também que: (i) P(T + /D + ) = 0,85 (ii) P(T /D ) = 0,99 1. Calcule a probabilidade condicional P(D + /T + ). 2. Calcule a probabilidade condicional P(D /T ). 3. Como a regra do produto se aplica dentro do contexto deste exercício? 5