21 3.6 TRIÂNGULOS Definição: Dados três pontos A, B e C, no plano e não-colineares, a figura formada pelos segmentos AB, BC e AC chamamos de triângulo. Propriedades P1. Num triângulo qualquer, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º. P2. Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. P3. O segmento ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade do seu comprimento. P4. A soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do 3º lado. Definição: Seja ABC um triângulo e D um ponto da reta que contém B e C, temos que: O segmento AD chama-se mediana do triângulo relativamente ao lado BC, se D for o ponto médio de BC; O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo A se a semi-reta AD separa o ângulo CÂB em dois ângulos iguais, isto é, se CÂD=DÂB; e O segmento AD é a altura do triângulo relativamente ao lado BC, se a reta que contém o segmento AD for perpendicular à reta que contém B e C.
22 Classificação dos triângulos Quanto aos lados podemos classificar os triângulos em: Escaleno Isósceles Eqüilátero Quanto aos ângulos podemos classificar os triângulos em: Acutângulo Retângulo Obtusângulo Eqüiângulo
23 Propriedades do triângulo isósceles: P1. Num triângulo isósceles os ângulos da base são. P2. A altura relativa à base num triângulo isósceles é também,,.
24 Exercícios 1) Construa o triângulo isósceles sendo dado a base AB=50 e os ângulo  e Bˆ iguais a 60º. Quantidade de soluções obtidas: Procedimento: 2) Construa o triângulo retângulo dados seus catetos AB=50 e AC=70. Quantidade de soluções obtidas: Procedimento:
25 3) Construa o triângulo isósceles sendo dado a base AB=75 e a altura h=50. Quantidade de soluções obtidas: Procedimento: 4) Num triângulo ABC sabe-se que  é o dobro de Bˆ, e que Ĉ é o triplo de Bˆ. Calcule Â, Bˆ e Ĉ. Classifique o triângulo quanto aos lados e aos ângulos. Construa o triângulo, sabendo que AB = 60. Quantidade de soluções obtidas: Procedimento:
26 5) Num triângulo ABC isósceles, tem-se AB = AC. Prolonga-se o lado BA (de B para A) de um segmento AD, tal que AD=AB. Mostre que BĈ D é reto. Quantidade de soluções obtidas: Procedimento: 6) Dados os pontos B e C e uma circunf(d,d). Construir um triângulo ABC isósceles, de base BC, sabendo que o vértice A pertence à circunferência dada. BC=35 BD=30 CD=40 d=20 Quantidade de soluções obtidas: Procedimento:
27 7) Repetir o exercício 06, mas agora construa um triângulo isósceles de base AB Quantidade de soluções obtidas: Procedimento: 8) Dados um ângulo agudo e a soma dos catetos, construir o triângulo retângulo. α = 30º s=60 (fixo) Quantidade de soluções obtidas: Procedimento:
28 9) Elabore uma atividade para ser aplicada em sala de aula, onde constem triângulos isósceles. Indique a disciplina, série, objetivo, desenvolvimento, forma de avaliação e outros aspectos e considerações que julgue importantes.
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30 3.7 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Definições: 1) Diz-se que dois segmentos AB e CD são congruentes quando AB=CD; e que dois ângulos  e Bˆ são congruentes quando eles têm a mesma medida. 2) Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. Quando escrevemos ABC EFG significa que os triângulos ABC e EFG são congruentes e que a congruência leva A em E, B em F e C em G. Existem cinco casos de congruência e com o auxilio da congruência de triângulos é que se demonstra grande parte dos teoremas fundamentais da geometria. O primeiro caso é um axioma, a partir dele podemos demonstrar todos os outros casos. 1 ) Axioma (LAL): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB=EF, AC=EG e Â=Ê, então ABC = EFG.
31 2 ) Propriedade (ALA): Dados dois triângulos ABC e EFG, se Â=Ê, AB=EF e Bˆ = Fˆ, então ABC = EFG. 3 ) Propriedade (LLL): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB=EF, BC=FG e AC=EG, então ABC= EFG. 4 ) Propriedade (HCA r ): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB=EF, BC=FG e Ĉ = Ĝ =90, então ABC= EFG.
32 5 ) Corolário (ALA o ): Dados dois triângulos ABC e EFG, se Â=Ê, AB=EF e Ĉ = Ĝ, então ABC EFG. Observação: LLA não é critério de congruência. Exercício 1) Provar a propriedade 2 da pág 21. 3.8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Definição: Dois triângulos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que ângulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais. Aˆ = Eˆ, Bˆ = Fˆ, Cˆ = Gˆ e ABC ~ EFG AB BC CA = = = k EF FG GE Existem 4 casos de semelhança. Os casos de semelhança podem ser obtidos através do Teorema de Tales.
33 1 ) Propriedade (AA): Dados dois triângulos ABC e EFG, se Â=Ê e Bˆ = Fˆ, então os triângulos são semelhantes. AB = EF 2 ) Propriedade (L p AL p ): Se, em dois triângulos ABC e EFG tem-se Â=Ê e AC, então os triângulos são semelhantes EG 3 ) Propriedade (L p L p L p ): Se, em dois triângulos ABC e EFG tem-se AB BC CA = = então os triângulos são semelhantes. EF FG GE
34 4 ) Propriedade (L p L p A r ): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB AC = e EF EG Ĉ = Ĝ =90, então ABC= EFG. Observação: L p L p A não é critério de semelhança.
35 Exercícios 1) Repoduzir a figura abaixo, onde cada quadricula possui 1cm de lado. Porque na segunda figura há um espaço em branco?
36 2) Dois triângulos congruentes são semelhantes? 3) Sabe-se que AB=AC e BD=CE. Mostre que: a) ACD ABE b) BCD CBE D B A E C
37 4) As figuras somente estão com os valores corretos. Compare os triângulos dados e responda: a) Os triângulos e são b) Os triângulos e são, pois:, pois: Então:. Então:. c) Os triângulos e são d) Os triângulos e são, pois:, pois: Então:. Então:.
38 5) Elabore uma atividade para ser aplicada em sala de aula, onde conste o conteúdo de semelhança de triângulos. Indique a disciplina, série, objetivo, desenvolvimento, forma de avaliação e outros aspectos e considerações que julgue importantes.