Material Teórico - Módulo de Pricípios Básicos de Cotagem Arrajos e Combiações Simples Segudo Ao do Esio Médio Prof Fabrício Siqueira Beevides
1 Arrajos e Combiações O objetivo dessa aula é apresetar os coceitos de arrajo e de combiação, assim como exibir vários problemas de cotagem ode esses coceitos podem ser utilizados Para isso, utilizaremos todas as ferrametas que apredemos as três primeiras aulas desse módulo Ao logo dessa seção, e r represetam iteiros ão egativos tais que 0 r Vejamos primeiro a defiição de arrajo Um arrajo (simples de elemetos(distitos, tomados r a r, é qualquer maeira de listar ordeadamete r elemetos, tomados detre os elemetos dados Escreveremos A,r para idicar a quatidade de arrajos simples de elemetos, tomados r a r No caso em que r 0, adotaremos a coveção de que A,0 1, pois isso será coerete com a fórmula geral que iremos ecotrar logo mais para A,r, quado 1 r Utilizado o pricípio fudametal da cotagem (PFC, podemos ecotrar o valor A,r Façamos primeiro um exemplo, o qual é bastate simples quado comparado a problemas resolvidos em aulas ateriores Exemplo 1 Quatos úmero de 3 dígitos distitos podemos formar os quais seus dígitos são tomados do cojuto A {1,,3,4,5,6,7} Solução Para motarmos um úmero de 3 dígitos, basta escolhermos os algarismos das ceteas, dezeas e uidades Assim, observe que temos de escolher 3 elemetos distitos detre os 7 elemetos de A e a ordem em que os elemetos são escolhidos é relevate De acordo com a defiição de arrajo que vimos acima, temos A 7,3 maeiras de fazer a escolha dos 3 úmeros Mas quato vale A 7,3? Ora, temos 7 possíveis valores para escolher para o primeiro dígito (ceteas e, após esse ser escolhido, restam 6 possíveis valores para o segudo dígito (dezeas; por fim, descotados os valores escolhidos para os dois primeiros dígitos, teremos 5 possíveis valores para a escolha do terceiro dígito Logo, pelo PFC, temos que A 7,3 7 6 5 10 Usado o mesmo raciocíio do exemplo aterior para motar um arrajo de elemetos escolhidos r a r, temos: possíveis escolhas para o 1 o elemeto, 1 possíveis escolhas para o o elemeto, e assim por diate, até ( (r 1 r + 1 possíveis escolhas para o r-ésimo elemeto, pois, o mometo da escolha do r-ésimo elemeto, já foram escolhidos outros r 1 elemetos Pelo PFC, segue que A,r ( 1 ( r+1, ou seja, A,r, é o produto dos r maiores úmeros iteiros que são meores ou iguais a Exemplo Calcule o valor de A 1,4 Solução De acordo com a discussão acima, o valor de A 1,4 é obtido como o produto de 4 úmeros, ode começamos com o úmero 1 e dimiuímos uma uidade a cada fator Assim A 1,4 1 11 10 9 11880 Usado o que apredemos sobre o fatorial de iteiros ão egativos, podemos expressar A,r do seguite modo alterativo: A,r ( 1( r+1 ( 1 ( r+1 ( r! ( r!! ( r! Logo, podemos escrever de modo mais compacto: A,r! ( r! (1 Exemplo 3 Calcule o valor de A 1,4 usado a equação (1 Solução Temos que A 1,4 1! (1 4! 1! 1 11 10 9 8! 8! 8! 11880 Exemplo 4 Observado a fórmula (1, obtemos os seguites casos otáveis: A,1, A, ( 1, A,3 ( 1( Exemplo5 Umapessoa tem uma caixa com 10 livros guardados e possui uma prateleira ode cabem apeas 4 deles De quatos modos ela pode escolher 4 dos 10 livros e colocalos em uma pilha sobre a prateleira? http://matematicaobmeporgbr/ 1 matematica@obmeporgbr
Solução O úmero de maeiras de fazer isso é precisamete A 10,4, já que devemos escolher 4 elemetos detre 10 e a ordem em que esses elemetos forem escolhidos é relevate, uma vez que ela determiará a ordem em que os livros serão empilhados Assim, a resposta é: A 10,4 10 9 8 7 5040 Observe que o exemplo aterior poderia ter sido resolvido, tão facilmete quato, usado diretamete o PFC, sem a ecessidadede lembrarmosa fórmula paraa,r Por isso mesmo, o tema arrajos acaba ão recebedo um efoque muito grade detro o estudo de problemas de cotagem Cotudo, é importate cohecê-lo, especialmete para eteder sua relação com o importate coceito de combiação, o qual euciamos a seguir Uma combiação (simples de elemetos (distitos, tomados r a r, é qualquer escolha de r elemetos detre os elemetos dados Em uma combiação, apeas o cojuto dos elemetos escolhidos é relevate, de modo que a ordem em que eles forem tomados ão importa Escrevemos C,r para idicar a quatidade de combiações de elemetos, tomados r a r No caso em que r 0, defiimos C,0 1, de forma semelhates ao que havíamos feito com arrajos Observamos também que, o lugar de escrevemos combiação de elemetos escolhidos r a r é comum escrevermos apeas combiaçãode escolhe r (aida que o Portuguêsde tal frase careça de correção ou, aida, falarmos diretamete de uma escolha de r elemetos detre Agora, vejamos como ecotrar uma fórmula para C,r Assim como fizemos com o A,r, tomaremos por base um exemplo simples, para depois geeralizá-lo Exemplo 6 Detre um grupo de 7 pessoas, de quatas formas podemos motar uma equipe de 3 pessoas para realizar uma tarefa? Solução Assim como o Exemplo 1, temos aqui um cojuto de 7 elemetos e gostaríamos de escolher 3 elemetos distitos detre eles A difereça fudametal é que, agora, a ordem em que os 3 elemetos são escolhidos para participar de equipe é irrelevate De outra forma, estamos iteressados apeas em quem serão os membros da equipe, e ão em que ordem eles serão escolhidos Queremos, etão, determiar o úmero de combiações de 7 escolhidos 3 a 3, ou seja, C 7,3 Vamos supor, por um mometo, que a equipe seja motada através de um sorteio, da seguite forma: os omes das pessoas são escritos em papeizihos e colocados em uma ura; iiciamos sorteado um ome qualquer dessa ura (removedo um papelziho da mesma; em seguida, sorteiamos um segudo ome detre os 6 restates e, por fim, sorteamosum terceiroome, detre os 5 restates Veja que estamos realizado três escolhas e que, pelo pricípio fudametal da cotagem, o total de possíveis resultados para essa sequêcia de três sorteios é igual a 7 6 5 10 De outra forma, podemos otar também que esse úmero é igual a A 7,3, já que estamos motado uma lista ordeada com os 3 omes Porém, isso aida ão resolve a questão Temos um problema! Os membros de uma mesma equipe podem ser sorteados de várias maeiras diferetes, o que idica que o úmero de possíveis equipes ão é igual ao úmero de resultados para os sorteios Por exemplo, a equipe composta pelas pessoas A, B e C, pode ser motada como resultado de um sorteio ode o primeiro ome escolhido foi o de A, seguido pelo de B e depois o de C; mas pode também ter sido motada escolhedo-se essas pessoas a ordem B, A, C, ou seguido qualquer outra permutação de {A,B,C} Na verdade, para qualquer equipe (com 3 pessoas, os omes de seus membros podem ter sido sorteados de exatamete 3! 6 maeiras diferetes, que é o úmero de maeiras de permutar os 3 omes Dessa forma, temos que dividir a quatidade de sorteios por 6 para obter o úmero de possíveis equipes Assim, o úmero de equipes é igual a 10/6 35, de sorte que C 7,3 35 Para obter uma fórmula geral para C,r, podemos adotar o mesmo procedimeto do exemplo acima Queremos cotar quatos são os cojutos de r elemetos, escolhidos detre elemetos distitos dados Podemos motar um tal cojuto de r elemetos escolhedo (ou, se você preferir, sorteado seus elemetos um a um Assim, primeiro motamos uma lista ordeada com r elemetos, o que pode ser feito de A,r maeiras Acotece que cada cojuto de r elemetos será obtido a partir de exatamete r! dessas listas, uma vez que r! é, como sabemos, o úmero de maeiras de motar uma lista com os r elemetos do cojuto Dessa forma, a quatidade de cojutos com r elemetos, escolhidos detre os elemetos dados, é igual a A,r /r! Cocluímos, etão, que: C,r A,r r!! r!( r! Observamos que autores de diferetes livros costumam usar diferetes otações para A,r e para C,r Por exemplo, C r, ou aida C r, ou até mesmo mesmo C r, etre outras, às vezes são usadas o lugar de C,r Assim, você deve ficar ateto ao cotexto, caso leia sobre isso em outros textos Por outro lado, uma otação extremamete importate e que ão possui ambiguidades é a de úmero biomial http://matematicaobmeporgbr/ matematica@obmeporgbr
Dados iteiros ão egativos e r, com 0 r, o úmero biomial escolhe r, represetado por ( r, tem o mesmo valor de C,r, ou seja, ( r! r!( r! ( Exemplo 7 Destacamos aqui como fica a equação ( os casos em que r 0,1,,3, já que estes valores aparecem com bastate frequêcia: ( 1, 0 (, 1 ( ( 3 ( 1, ( 1( 6 Exemplo 8 Em um campeoato de futebol com 6 times, cada time jogou exatamete uma vez cotra cada um dos outros Quatos jogos acoteceram? Solução Claramete, a quatidade de jogos que acoteceram é igual ao úmero de maeiras de escolhermos times detre os 6 Esse úmero é igual a C 6, 6 5 15 Uma prova direta é a seguite: o primeiro time de um jogo pode ser escolhido de 6 maeiras, ao passo que o segudo pode ser escolhido de 5 maeiras Isso os daria, pelo PFC, 6 5 pares de times Etretato, a ordem em que os times que compõem um par forem escolhidos ão é relevate, pois, aida que ivertamos essa ordem, teremos a mesma partida Por isso temos que dividir o resultado por, obtedo 15 jogos Vejamos uma propriedade útil dos úmeros biomiais Exemplo 9 Para todos os iteiros ão egativos e r, com 0 r, vale que ( ( r r Demostração 1 Igualdades desse tipo ormalmete podem ser provadas de duas maeiras A primeira delas, que veremos agora, é simplesmete maipulado a expressão algebricamete, ou seja, usado a fórmula e fazedo as cotas Se s r, etão r s e, assim, ( r! r!( r!! r!s!! ( s!s! ( s ( r Demostração A seguda maeira de demostrar a validade da igualdade origial é pesar a iterpretação combiatória dos úmeros evolvidos Para tato, seja A um cojuto com elemetos, e lembre-se de que ( r represeta o úmero subcojutos de A que possuem r elemetos Acotece que, ao escolhermos os r elemetos para formar osso subcojuto, digamos X, estamos também, automaticamete, gerado um subcojuto Y de r elemetos, que é o cojuto dos elemetos que ão foram escolhidos para X, ou seja, Y é o complemetar de X em A Reciprocamete, todo subcojuto Y de A, com r elemetos, determia uicamete um subcojuto X de A, este com ( r r elemetos, o qual tambémcoicide com o complemetar de Y em A Dessa forma, estabelecemos uma correspodêcia biuívoca etre os subcojutos X de A, com r elemetos cada, e os subcojutos Y de A, com r elemetos cada Portato, as quatidades de subcojutos de A com r elemetos e com r elemetos são iguais Mas isso é o mesmo que ( ( r r Outra forma de euciar o exemplo aterior é: para r,s iteiros ão egativos, vale que: ( ( r+s r s Exemplo 10 Um professor elaborou uma lista de exercícios com 10 questões e pediu que um aluo escolhesse 7 delas para resolver De quatas formas o aluo pode escolher o cojutos de questões que vai resolver? Solução Pela própria defiição, o úmero de maeiras de escolher 7 questões detre as 10 dadas é igual a C 10,7 (veja que a ordem em que as questões forem escolhidas ão importa Dessa forma, a resposta é: C 10,7 10! 7! 3! 10 9 8 7! 10 9 8 10 7! 3! 6 Aida em relação ao exemplo aterior, poderíamos ter usado o Exemplo 9 para obter que C 10,7 C 10,3 e, em seguida, a última igualdade listada o Exemplo 7 para chegar à resposta basicamete de cabeça Codificado subcojutos de um cojuto usado aagramas Ao logo desta seção, deotamos por I o cojuto {1,,,} Existe uma maeira bastate atural de represetar um subcojuto de I através uma sequêcia de símbolos, ode cada símbolo assume um etre dois valores possíveis, por exemplo, S ou N Dado um subcojuto B de I, para costruir a sequêcia que o codifica, basta percorrer a lista http://matematicaobmeporgbr/ 3 matematica@obmeporgbr
dos elemetos de I em ordem crescete e, para cada um deles, pergutar se ele pertece ou ão pertece ao cojuto B Caso a resposta seja sim, escrevemos o símbolo S a lista e, caso a resposta seja ão, escrevemos N (Por exemplo, se B é o subcojuto {,5,8} de I 9, etão B será codificado pela sequêcia: NSNNSNNSN (pois 1 ão pertece a B, pertece a B, 3 ão pertece, 4 ão pertece, e assim por diate Observe agora que, dada uma sequêcia desse tipo, também podemos facilmete recostruir o subcojuto de I que a gerou (No exemplo acima, isso equivaleria a, partido da sequêcia NSNNSNNSN, obter o cojuto B, o que é imediato Dessa forma, a quatidade de subcojutos de I é igual à quatidade total de sequêcias com símbolos, ode cada símbolo pode assumir um etre dois valores Pelo PFC, segue que o úmero total de tais sequêcias é igual a }{{} Isso vezes mostra que o total de subcojutos de I é igual a Agora, o que acotece se os restrigirmos apeas a subcojutos de I que possuem r elemetos, ode r é um úmero fixo? A quatidade de tais subcojutos é, por defiição, igual a ( r Mas veja que esses subcojutos são precisamete aqueles cujo código (coforme defiido acima possui exatamete r cópias do símbolo S e r cópias do símbolo N Assim, esses subcojutos são aqueles cujo código correspode a um aagrama de } SSS {{}} NNN {{} r vezes r vezes Por outro lado, sabemos que o úmero de tais aagramas é igual a Pr, r Etão, como tato ( r quato P r, r represetam a quatidade de subcojutos de I com r elemetos, cocluímos que ( Pr, r r Na verdade, isso ão é surpresa alguma, pois ambos os! lados da igualdade acima correspodem a r!( r! Mas isso os forece um prova alterativa para a equação ( Veja também que se variarmos o valor de r de zero até e calcularmos o valor da soma das parcelas do tipo ( r, o resultado obtido será: ( 0 + ( 1 + ( ++ ( De fato, ao fazermos a soma do lado esquerdo, estaremos calculado quatos subcojutos de I possuem 0 elemetos, depois quatos possuem 1 elemetos, quatos possuem elemetos, e assim por diate, e, em seguida, somado esses valores Como todo subcojuto de I possui uma quatidade de elemetos de 0 a elemetos, ao fazermos essa soma estamoscotado o total de subcojutos de I, que é igual a Exemplo 11 Temos um grupo de 11 pessoas, a partir do qual será motado time de futebol Sabedo que o time possuirá 1 goleiro, 4 zagueiros, 3 meio campistas e 3 atacates, determie de quatas maeiras podemos atribuir essas fuções às 11 pessoas do grupo Solução 1 Seja P {P 1,P,,P 11 } o cojuto das 11 pessoas Usaremos a letras G (goleiro, Z (zagueiro, M (meio campista e A (atacate para desigar as fuções das pessoas o time Podemos motar uma lista com 11 dessas letras, idicado qual fução é ocupada por cada pessoa do cojuto, de forma que a primeira letra idica a fução de P 1, a seguda idica a fução de P, e assim por diate Por exemplo, AGAAMZZZMZM idica que P 1 é atacate, P é goleiro, P 3 é atacate, e assim por diate Em osso problema, temos que respeitar a codição de que, em uma tal sequêcia, deve haveruma letrag, quatro letras Z, três letras M e três letras A Assim, para resolver o problema, basta calcular o úmero de aagramas de GZZZZMMMMAAA, o que é igual a: P1,4,4,3 11 11! 1!4!3!3! 11 10 9 8 7 6 5 4600 (3 (3 Solução Também podemos resolver esse problema usado combiações Veja que temos C 11,1 11 maeiras de escolher quem será o goleiro Uma vez feito isso, detre as 10 pessoas restates teremos C 10,4 10 maeiras de escolher os 4 zagueiros Depois, teremos C 6,3 0 maeiras de escolher os 3 meio campistas detre os 6 jogadores restates Por fim, teremos C 3,3 1 maeira de escolher os 3 atacates detre os jogadores restates, uma vez que sobraram apeas 3 jogares Portato, pelo PFC, o úmero de maeiras de motarmos o time é igual a: 11 10 0 1 4600 Observe que o último cálculo da seguda solução do exemplo aterior poderia ter sido executado da seguite forma: ( 11 1 ( 10 4 ( 6 3 ( 3 11! 10! 3 1! 10! 4! 6! 11! 1!4!3!3! 6! 3! 3! 3! 3! 0! Daí, cocluímos, sem a ecessidade de refazer os cálculos, que a resposta obtida utilizado a Solução é igual à resposta obtida utilizado a Solução 1 Deixamos para o leitor, como exercício, justificar a seguite geeralização (o que pode ser feito de forma algébrica ou combiatória http://matematicaobmeporgbr/ 4 matematica@obmeporgbr
Problema 1 Mostre que se, 1,,, k são iteiros ão egativos tais que 1 + ++ k etão: ( ( ( ( P 1 1 k 1,,, k 1 Em vista do resultado acima, podemos itroduzir o coceito úmero multiomial 3 Dados iteiros ão egativos, 1,,, k, taisque 1 + ++ k defiimoso úmero multiomial escolhe 1,,, k como: ( 1,,, k o qual é igual a P 1,,, k 1!! k!, 3 Aplicações em problemas Nessa seção, cabe ao leitor tetar atecipar quado devemos usar arrajos e quado usar combiações para resolver um problema Exemplo 13 Cosiderado um grupo de 0 pessoas que participam de um coselho cosultor de uma empresa, calcule: (a O úmero de maeiras de escolher um presidete, um vice-presidete e um diretor para o coselho (b O úmero de maeiras de motar uma equipe de 4 pessoas do coselho para realizar uma tarefa Solução (a Devemos escolher 3 pessoas detre as 0, mas veja que o papeldessas3pessoasãoésimétrico, postoque elas irão desempehar fuções diferetes Logo, a ordem em que elas serão escolhidas é relevate, de forma que o úmero de maeiras de realizar as escolhas é igual a: A 0,3 0 19 18 6840 (b Nessa caso, basta escolhermos 4 detre as 0 pessoas, pois a ordem das escolhas ão é relevate para determiar a equipe escolhida Assim, o úmero de maeiras é igual a: k uma escolha de 6 úmeros desse cartão Cotudo, o jogador tem a opção de marcar mais do que 6 úmeros Ao fazer isso, ele estará apostado em todos os jogos que podem ser formados com 6 úmeros do cojuto dos úmeros marcados Atualmete, o preço para apostar em um jogo é R$ 3, 50 Assim, ao marcar uma quatidade maior de úmeros em um cartão, o jogador irá pagar por todos os jogos que podem ser formados com os úmeros escolhidos (a Qual o total de jogos da Mega-Sea? (b Caso um apostador marque 9 úmeros do cartão, quato ele irá pagar e qual será a sua chace de gahar? Solução Para o item (a, de acordo com a defiição de jogo, a resposta claramete é C 60,6 60 59 58 57 56 55 6 5 4 3 50063860 É iteressate observar que o prêmio da mega-sea costuma ser por volta de milhões de reais Assim, o valor de gaho esperado ao apostar é de 000000/50063860, que é aproximadameter$0,04 Ou seja, é bem meor do que o valor da aposta Vejamos, agora, o item (b Ao marcar 9 úmeros da cartela, o jogador estará apostado em todos os jogos de 6 úmeros escolhidos detre os úmeros que ele marcou A quatidade de tais jogos é igual a C 9,6 C 9,3 9 8 7 3 84 Sedo assim, ele pagará por essa cartela 84 vezes R$3,50, ou seja, R$94,00 Suas chace de gahar serão de 84 em 50063860, ou seja, uma detre aproximadamete 596 mil possibilidades Isso é cerca de 0, 000168% Exemplo 15 A partir de primeiro de jaeiro de 016, as placas de idetificação de veículos (carros e motos, forecidas e cotroladas pelo DENATRAN, irão ter um ovo formato As placas, que atualmete são formadas por 3 letras seguidas de 4 úmeros, passarão a coter 4 (quatro letras e 3 (três úmeros, os quais poderão vir em quaisquer posições A Figura 15 mostra um exemplo de uma placa futura Cada letra é escolhida de um alfabeto C 0,4 0 19 18 17 4 3 4845 Exemplo 14 Um cartão da Mega-Sea cotém um cojuto de 60 úmeros, de 1 até 60 Um jogo cosiste em Figura 1: Exemplo de ovo modelo de placa, que será usado a partir de 016 http://matematicaobmeporgbr/ 5 matematica@obmeporgbr
que possui 6 letras e cada úmero é um dígito de 0 a 9 Calcule a quatidade de carros que podem ser idetificados usado o modelo de placa atual e quatos poderão ser idetificados usado o modelo ovo Solução Para o modelo atigo, podemos calcular a quatidade de placas diretamete usado o PFC Escolhedo cada letra e cada úmero de forma idepedete, e sabedo que há 6 possíveis escolhas para cada letra (podedo haver repetições, temos um total de 6 3 maeiras de escolher as 3 letras Ademais, temos um total de 10 4 maeiras de escolher os úmeros Logo, o total de placas o modelo atual é igual a 6 3 10 4 175760000 Vamos, agora, cotar o úmero de placas possíveis o modelo ovo Veja que temos um total de 7 caracteres, da mesma forma que o modelo atual, mas o ovo modelo teremos 4 letras e 3 úmeros Além disso, o ovo modelo as letras ão precisam aparecer o iício da placa Assim temos a liberdade adicioal de escolher quais posições serão ocupadas pelas letras O úmero de maeiras de realizar tal escolha é igual a C 7,4 7! 4!3! 7 6 5 35 3 Uma vez escolhidas as posições das letras, o úmero de maeiras de escolher as letras que ocuparão as posições escolhidas e os úmeros que ocuparão as posições restates é igual a 6 4 10 3 Pelo PFC, o total de placas possíveis é: 35 6 4 10 3 15994160000 Vejaqueoúmerodeplacasdomodeloovoé 35 6 10 91 vezesmaiordoqueaquatidadedeplacasomodeloatual, apesar de que o úmero total de caracteres cotiua sedo igual a 7 Exemplo 16 De quatas maeiras podemos escolher três úmeros do cojuto A {1,,,30}, de modo que sua soma seja ímpar? Solução Para que a soma de três úmeros iteiros seja ímpar, é ecessário que ou todos os três úmeros sejam ímpares ou que um deles seja ímpar e os outros dois sejam pares Assim, vamos precisar dividir o problema em dois casos Caso 1 No primeiro caso, para que todos os úmeros sejam ímpares, devemos escolher 3 úmeros do total dos 15 úmeros ímpares do cojuto A A quatidade de maeiras em que podemos fazer isso é ( 15 3 15 14 13 3 455 Caso No segudo caso, temos 15 possívels escolhas para o úmero ímpar, e ( 15 15 14 105 maeiras de escolher os dois úmeros pares Sedo assim, pelo PFC, o total de maeiras de escolher os úmeros, esse caso, é 15 105 1575 Como exatamete um dos dois casos acima deve ocorrer e eles estão ligados pelo coectivo ou, temos que o total de maeiras de escolher os três úmeros é 455+1575 030 Exemplo 17 Um batalhão possui 50 soldados, icluido os soldados Rya e Chuck Norris Determie de quatas formas podemos motar um time com 4 soldados para uma missão, de modo que: (a o soldado Rya participe dessa missão (b em o soldado Rya em o soldado Chuck Norris participem da missão (c Rya e Chuck Norris ão sejam escolhidos simultaeamete para a missão Solução (a Como Rya deve ser escolhido, precisamos apeas escolher os demais 3 soldados, detre os 49 restates, para a missão Assim, o úmero de maeiras de fazer isso é: ( 49 3 1844 (b Nesse caso, aida precisamos escolher 4 soldados para a missão, mas estes devem ser escolhidos detre os demais 48 soldados Assim, o úmero de maeiras é igual a ( 48 4 194580 (c A maeira mais fácil de fazer a cotagem, esse caso, é usado o método do complemetar: vamos cotar o total de times de 4 soldados (sem qualquer restrição e subtrair a quatidade de times que são ruis, ou seja, aqueles em que ambos Rya e Chuck Norris estão presetes O resultado dessa cota é igual a: ( 50 4 ( 48 30300 118 917 Para ão perdermos o costume, esse é mais um problema que pode ser resolvido de duas formas A seguda solução cosiste em dividir o problema em três casos, depedo se apeas Rya é selecioado (e Chuck Norris ão é, ou se apeas Chuck Norris é selecioado, ou se ehum deles é selecioado Deixamos para o leitor a tarefa de fazer os cálculos dessa solução alterativa, verificado que as respostas obtidas serão as mesmas que aquelas acima http://matematicaobmeporgbr/ 6 matematica@obmeporgbr
O próximo exemplo vem para chamar a ateção do leitor para o fato de que é possível que o euciado de um problema traga a palavra ordeado e, mesmo assim, sua solução evolva o uso de combiações, e ão de arrajos A maeira mais segura para tetarmos distiguir um caso do outro é tetado aplicar diretamete o PFC e verificado se estamos cotado objetos repetidamete Vale ressaltar que, quado falamos que combiações se referem a escolhas ão ordeadas equato arrajos se referem a escolhas ordeadas, estamos falado apeas sobre a ordem em que os r elemetos são escolhidos dete os elemetos dados, mas ão sobre o objeto fial a ser costruído após a escolha dos r elemetos Exemplo 18 Uma pessoa possui 8 discos com diâmetros distitos e deseja guardá-los em duas caixas, uma verde e a outra azul Cada caixa comporta uma pilha de quatro discos Detro de cada caixa, ela deseja empilhá-los de forma os discos estejas dispostos do maior para o meor, ou seja, um disco só pode ter acima de si mesmo outros discos de diâmetro meor De quatas formas ela pode fazer essa distribuição? Solução Observe que o fato dos discos precisarem ser guardados de forma ordeada (do maior para o meor, a verdade, os tira a liberdade de escolher/atribuir uma ordem qualquer para eles Na verdade, tudo que precisamos fazer para resolver o problema é escolher quais dos 8 discos serão guardados a caixa verde Uma vez feito isso, os demais discos deverão ser guardados a caixa azul, e a ordem em que os quatro discos de cada caixa serão guardados já está predetermiada Sedo assim, o úmero de maeiras de guardar os discos é igual ao úmero de maeiras de escolher 4 deles, detre os 8 discos dados, que é igual a: ( 8 8 7 6 5 70 4 4 3 Vejamos outros casos semelhates Exemplo 19 Supoha, agora, que temos 9 discos de diâmetros distitos e desejamos distribuí-los em 3 caixas, com 3 discos em cada caixa De quatas maeiras podemos fazer isso, cosiderado que: (a as caixas possuem cores diferetes e os discos podem ser colocados em qualquer ordem, detro de cada uma delas? (b as caixas possuem cores diferetes e os discos devem ser guardados ordeados, do meor para o maior, em cada uma das caixas? (c as caixas são idêticas e os discos devem ser guardados ordeados, do meor para o maior, em cada uma das caixas? Solução (a Digamos que temos uma caixa azul, uma verde e uma amarela Nesse caso, temos a liberdade de escolher tato a caixa em que cada disco será guardado como a ordem dos discos em cada caixa Veja que podemos simplesmete cosiderar qualquer permutação dos 9 discos e colocar os três primeiros, a ordem em que aparecerem a permutação, detro da caixa azul, os três seguites a caixa verde e os outros três a caixa amarela (também respeitado a ordem da permutação Logo o úmero de maeiras de guardá-los as caixas é 9! 36880 Uma maeira alterativa de resolver o problema é escolhe quais discos serão colocados caixa a caixa Para a primeira caixa, digamos a caixa azul, temos A 9,3 9 8 7 maeiras de escolher 3 dos 9 discos de forma ordeada (usado a ordem da escolha para colocá-los detro da caixa azul De forma aáloga, temos A 6,3 maeiras de escolher 3 dos 6 discos restates e colocá-los detro da caixa verde Por fim, temos A 3,3 3! maeiras de atribuir uma ordem para os 3 discos restates e colocá-los a caixa amarela, respeitado tal ordem Pelo PFC, o total de maeiras de guardá-los é igual a: A 9,3 A 6,3 A 3,3 9! (b Digamos que temos uma caixa azul, uma verde e uma amarela Como a ordem dos discos detro de cada caixa já está predetermiada, basta escolher quais 3 dos 9 discos guardaremos a caixa azul e, em seguida, escolher três detre os 6 restates para guardarmos a caixa verde Os discos que sobrarem deverão ser guardados a caixa amarela Sedo assim, o úmero de maeiras de guardá-los é (apeas ( ( 9 6 9! 6! 3 3 3! 6! 3! 3! 9! 3! 3! 3! 1680 (c Agora, ão temos sequer a liberdade de distiguir uma caixa da outra, já que todas as caixas são idêticas Observemos primeiro as 1680 possíveis soluções do item (b; em seguida, para cada uma dessas soluções, igoremos as cores das caixas, ou seja, pitemos todas as caixas de braco Como resultado, algumas das soluções, que ates eram distitas, passarão a ser idistiguíveis Mais precisamete, para partir de soluções de (b que eram diferetes e obter uma mesma solução de (c, precisaremos permutar as três cores das caixas (matedo ialteradas as ordes dos discos detro de cada uma delas Como isso pode ser feito de 3! 6 maeiras, cada 6 soluções de (b correspodem a uma solução de (c Portato, o úmero de maeiras de guardar os discos é igual a (apeas 1680 6 80 http://matematicaobmeporgbr/ 7 matematica@obmeporgbr
Dicas para o Professor Ates de itroduzir arrajos, o professor pode fazer algus exemplos simples Por exemplo, fixado 5 e r, pode-selistartodososa 5, arrajose, emseguida, agrupar os arrajos que correspodem a uma mesma combiação, mostrado, assim, todas as combiações de 5 objetos, escolhidos a Veja que C 5, A 5, / Porém, é importate ressaltar que, o caso geral, temos C,r A,r /r!, ou seja, A,r será dividido por r! e ão dividido por r, como podese imagiar após a aálise do exemplo sugerido acima (No caso particular ao qual aludimos, isto se deve à ifeliz coicidêcia! É importate, também, sempre justificar porquevocêprecisadividir oresultadoporr!, oscasosem que isso for realmete ecessário Acoselhamos, aida, a resolução de muitos exercícios Além daqueles que estão cotidos aqui, deve-se usar as listas de exercícios do próprio portal Sugestões de Leitura Complemetar 1 P C P Carvalho, A C de O Morgado, P Feradez e J B Pitombeira Aálise Combiatória e Probabilidade SBM, Rio de Jaeiro, 000 http://matematicaobmeporgbr/ 8 matematica@obmeporgbr