SOLUÇÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR Observações. O geoplano circular utilizado tem 4 pinos no círculo. Os pinos do geoplano circular são chamados de pontos. Os pontos do círculo são enumerados de 1 até 4 no sentido horário, iniciando pelo pino superior. 1. Representação dos elementos do círculo no geoplano. Semicircunferências: ACE e AFE Raio: AO, OD e OE Diâmetro: AE Corda: BC. Representação de varias cordas em um círculo. Comparação dos comprimentos das cordas: as cordas diminuem os seus comprimentos quando se afastam do centro do círculo. A maior das cordas do círculo é a que passa pelo centro, ou seja, o diâmetro do círculo. 3. Representação de vários diâmetros em um círculo. Todos os diâmetros do círculo têm o mesmo comprimento. O centro do círculo é o ponto comum a todos os diâmetros do círculo e também é o ponto médio de cada um dos diâmetros do círculo. 1
4. Representação de vários rádios do círculo: AO, OB, OC, OD, OE, OF, OG. Todos os rádios têm o mesmo comprimento que é s distância do centro à circunferência. Cada raio tem a metade do comprimento do diâmetro que o contém. Na figura, OB e OF são os raios contidos no diâmetro BF. 5. Representação do diâmetro AB do círculo com centro em O. AB determina no círculo as duas circunferências: ACB e ADB. 6. Um par de diâmetros perpendiculares entre si, AC e BD, determinam as quatro partes iguais de um círculo, isto é, os quatro quadrantes do círculo: I, II, III e IV. 7. Seja P um ponto interior ao círculo com centro em O. O diâmetro CD é a maior corda do círculo que passa por P. Na representação de diferentes cordas do círculo pelo ponto P, a menor dessas cordas é AB, a corda perpendicular ao diâmetro CD. 8. Comparando os comprimentos de diferentes cordas do círculo e considerando a sua posição com respeito ao centro do círculo, a conclusão é que a corda mais curta é a corda posicionada o mais longe possível do centro.
9. Sejam AB e CD duas cordas congruentes do círculo com centro O. Os triângulos ΔAOB e ΔCOD, têm os seguintes elementos correspondentes congruentes: AO e OD, BO e OC, AB e CD. Segue que os triângulos ΔAOB e ΔCOD são congruentes; logo, as suas alturas correspondentes são congruentes, assim EO e OF têm o mesmo comprimento. Resulta que as cordas AB e CD equidistam do centro O do círculo. Esta prova é válida para todo par de cordas congruentes no círculo. Por exemplo, para as cordas congruentes AB e AC na figura. 10. Dada uma corda AB, dentre os vários diâmetros que a interceptam, o diâmetro d = CD é perpendicular à corda no seu ponto médio P. Os dois segmentos determinados por CD em AB são congruentes, isto é, AP e PB são segmentos congruentes. 11. Seja AB corda do círculo com centro O, o raio do círculo é OP, M é o ponto de intersecção de AB e OP e sejam AM e MB segmentos congruentes. Nos triângulos congruentes os pares de lados AO e OB, AM e MB, OM é lado comum, de onde segue que ΔAMO e ΔBMO são congruentes. Em consequência, são congruentes os ângulos AMO e BMO, sendo med(amo ) + med(bmo ) = 180º; logo, eles são ângulos retos. Portanto, OP é perpendicular a AB. ΔAMO e ΔBMO são 1. As posições relativas de uma reta com respeito a um círculo são: - A reta é externa ao círculo. Reta por A e B, na figura. - A reta é secante ao círculo. Reta por C e D, na figura. - A reta é tangente ao círculo. Reta por E e F. 3
13. Seja P ponto exterior ao círculo e as retas PA e PB são retas tangentes ao círculo, com pontos de tangência C e D, respectivamente. Os triângulos ΔPCO e ΔPDO são retângulos em C e em D, respectivamente Eles têm os catetos correspondentes CO e DO congruentes e a hipotenusa PO comum, segue que ΔPCO e ΔPDO são triângulos congruentes; logo, os outros catetos também são congruentes, isto é, PC e PD são congruentes. 14. Sejam as retas por PA e por PC retas tangentes ao círculo com ponto comum P e com pontos de tangência C e D, respectivamente. A semirreta r = PE tem origem em P e passa por O, o centro do círculo. Os triângulos ΔPCO e ΔPDO são retângulos em C e em D, respectivamente; eles têm os catetos congruentes CO e DO, a hipotenusa PO comum e os catetos congruentes PC e PD, pela Atividade 13. Segue que ΔPCO e ΔPDO são triângulos congruentes; logo, os ângulos correspondentes OPC e OPC são congruentes 15. A medida em graus do ângulo central determinado por dois pontos consecutivos do círculo é de 15º. 16. Representação de ângulos centrais no círculo e cálculo das medidas correspondentes. med(a ) = 60º med(b ) = 135º med(c ) = 45º 4
17. Representação no geoplano de um ângulo inscrito e de um ângulo central determinado pelos mesmos pontos da circunferência. Cálculo das medidas: med(d ) = 5 1 º med(e ) = 105º 18. Todo ângulos inscrito no círculo que subtende uma semicircunferência mede 90º. 19. Representação de ângulos inscritos no círculo e cálculo das medidas. med(f ) = 30º med(g ) = 60º med(h ) = 105º 5
0. Representação de diferentes ângulos inscritos congruentes. Os ângulos ACB, ADB, AEB e AEB são ângulos inscritos no círculo e todos são ângulos congruentes. med(acb ) = med(adb ) = med(aeb ) = med(afb ) = 30º. 1. Representação de ângulos semi-inscritos ou ângulos tangenciais do círculo.. Representação do diâmetro AB de um círculo e do triângulo ΔAPB. O ângulo com vértice P é ângulo inscrito e mede med(p ) = 90º. O triângulo ΔAPB, vide (I), é triângulo retângulo, a hipotenusa do triângulo coincide com o diâmetro do círculo. I II Em (II), os ângulos C, D, E, F, G, H, J, K, L, M e N são ângulos retos. 6
3. Construção e classificação de diferentes triângulos inscritos no círculo do geoplano circular. ΔA: triângulo obtusângulo escaleno ΔB: triângulo retângulo escaleno ΔC: triângulo acutângulo isóscele 4. Construção dos triângulos equiláteros diferentes possíveis inscritos no círculo do geoplano. 5. Seja o triângulo equilátero ΔABC inscrito no círculo com centro O e raio r. i. A apótema a do ΔABC é dada por a = r cos 60 = r ii. Cálculo do perímetro P do ΔABC. O lado l do ΔABC segue de l = r sen 60 = 3 r. Logo, o perímetro P = 3 l = 3 3 r. A área de um polígono regular convexo é igual ao produto do semiperímetro pela apótema, segue Área(ΔABC) = P a = 3 3 r r = 3 3 4 r. 7
6. Exemplo de quadrilátero que não pode ser inscrito em um círculo é o losango ou rombo ABCD representado na figura. 7. Construção dos quadrados diferentes inscritos no círculo do geoplano circular. 8. Construção de retângulos inscritos em um círculo. Seja um paralelogramo ABCD inscrito no círculo, logo, os lados opostos são paralelos e iguais. Segue que as diagonais passam pelo centro do círculo, isto é, elas são diâmetros do círculo. Em consequência, os quatro ângulos do polígono são ângulos retos. Logo, o paralelogramo é um retângulo. 8
9. Representação do trapézio isóscele inscrito em um círculo. 30. Seja o quadrado ABCD inscrito no círculo com centro O e raio r. i. A apótema a do quadrado é dada por a = r ii. O lado l do quadrado ABCD é l = r. Cálculo do perímetro P de ABCD: P = 4 l = 4 r. Área(ABCD) = P a = 4 r r = r. 31. Representação de hexágonos convexos inscritos em um círculo. 9
3. Construção dos hexágonos regulares diferentes possíveis inscritos em um círculo. 33. Seja o hexágono regular convexo ABCDEF inscrito no círculo com centro O e raio r. i. A apótema a De ABCDEF é dada por a = r cos 30 = 3 r ii. Cálculo do perímetro P do ΔABC. O lado l do ΔABC segue de l = r sen 30 = r. Logo, o perímetro P = 6 l = 6 r. Área(ABCDEF) = P a = 6 r 3 r = 3 3 r. 34. Representação de octógonos irregulares convexos inscritos em um círculo. 10
35. Construção dos hexágonos regulares convexos inscritos no círculo do geoplano circular. 11