MEDIDAS DE POSIÇÃO: São meddas que possbltam represetar resumdamete um cojuto de dados relatvos à observação de um determado feômeo, pos oretam quato à posção da dstrbução o exo dos, permtdo a comparação das séres de dados etre s pelo cofroto desses úmeros. As prcpas meddas de posção (chamadas também de Meddas de Tedêca Cetral) são a MÉDIA, a MEDIANA e a MODA. Mas temos também os Decs, Quarts e Percets. A Méda, também chamada de Esperaça, Esperaça Matemátca, Valor Esperado ou, ada, Expectâca de uma Varável Aleatóra, pode ser: MÉDIA Artmétca Geométrca Harmôca Smples Poderada I) Méda Artmétca Smples: Quado se tratar de dados solados, a méda será a soma de todos os valores ( ) observados dvdda pelo úmero de observações, ou seja: Ode: soma dos valores observados úmero de observações Exemplo: Determar a Méda Artmétca Smples do segute cojuto de valores: 7, 9, 0, 4, 5 e 7 7 + 9 + 0 + 4 + 5 + 7 6 6 72 2 Quado se tratar de dados agrupados, a méda será a soma do produto dos valores observados pela freqüêca absoluta com que estes ocorrem, dvdda pela soma das freqüêcas absolutas da dstrbução, ou seja: F F Ode: soma dos produtos de cada valor observado pela F sua respectva freqüêca absoluta F soma das freqüêcas absolutas Exemplo: Dada a dstrbução a segur: 9 0 4 5 F 5 F 9 + 0 + 70 +5 e 24 F 0 2,4 0 OBS.: Se os dados estverem agrupados em tervalos de classe, deve-se cosderar como o poto médo do tervalo de classe. MEDIDAS DE POSIÇÃO Pedro Bello Pága
II) Méda Artmétca Poderada: Quado as observações tverem pesos dferetes, esses pesos terão fluêca sobre a méda. Assemelha-se ao cálculo da méda artmétca smples para dados agrupados, bastado que troquemos as freqüêcas pelos pesos. Etão: Mp P P Ode: P soma dos produtos de cada valor observado pelo seu respectvo peso P soma dos pesos Exemplo: Numa prova para Audtor Fscal, temos que a prova P. (Cohecmetos Geras) tem peso, as provas P.2 (Cohecmetos Específcos) e P. (Cohecmetos Especalzados por área) têm peso 2. Supodo que um caddato teha acertado: 55% da prova P. 75% da prova P.2 80% da prova P. Pela Méda Artmétca smples, teríamos (55 + 75 + 80)/ 70% de acertos em méda. Usado a Méda Artmétca Poderada, teremos: ( 55 ) + ( 75 2) + ( 80 2) + 2 + 2 65 7% 5 No exemplo acma, vmos que a M.A.P. fo maor do que a M.A.S., porque houve um maor percetual de acertos as matéras de maor peso. Caso cotráro, a M.A.P. sera meor do que a M.A.S. Podemos coclur, etão, que a M.A.P. é dretamete fluecada pelos pesos. III) Méda Geométrca (Mg): A Méda Geométrca de um cojuto de valores observados, 2,,... é a raz de ordem do produto desses valores, ou seja: Mg 2... Ode: Valor observado de ordem úmero de observações No exemplo ateror, a Mg sera: 55 75 80 0. 000 69,0 A Méda Geométrca é bem meos usada que a Méda Artmétca, pos para um úmero grade de observações apreseta a desvatagem de ter um processo de cálculo muto logo e trabalhoso. IV) Méda Harmôca (Mh): A Méda Harmôca de um cojuto de valores observados, 2,,... será o resultado da dvsão da quatdade de elemetos do cojuto pelo somatóro dos versos dos valores observados, ou seja: Mh Ode: soma dos versos dos valores observados úmero de observações MEDIDAS DE POSIÇÃO Pedro Bello Pága 2
No exemplo ateror, a Mh sera: 55 + + 75 80 240 + 76 + 65.200.200 68,6 58 Pelo mesmo motvo da Méda Geométrca, a Méda Harmôca também é pouco usada. OBS.: Relação etre as Médas Artmétca, Geométrca e Harmôca A Méda Geométrca de um cojuto de úmeros postvos, 2,,... é maor ou gual à Méda Harmôca e meor ou gual à Méda Artmétca, ou seja: Mh Mg Com efeto, o exemplo dado (otas de um caddato a Audtor Fscal), temos que: 68,6 (Mh) 69,0 (Mg) 70,0 ( ) PROPRIEDADES DA MÉDIA: ) A méda de uma costate é a própra costate. K ΣK K 2) Multplcado uma Varável Aleatóra por uma costate, sua méda fcará multplcada por essa costate. Σ ΣK K médas. ) A méda da soma ou dfereça de 2 Varáves Aleatóras é a soma ou dfereça das ± Y ± Y 4) Somado ou subtrado uma costate a uma V.A., a sua méda fcará somada ou subtraída da mesma costate. ± K ± K 5) A méda do produto de 2 Varáves Aleatóras depedetes é o produto das médas. Y Y MEDIDAS DE POSIÇÃO Pedro Bello Pága
CÁLCULO SIMPLIFICADO DA MÉDIA: Tal procedmeto é partcularmete útl de ser aplcado quado os valores observados forem grades e a ampltude etre tas valores for costate, pos o cálculo smplfcado reduz a magtude das operações, facltado o cálculo. Exemplo: Caso tvéssemos a segute dstrbução: 7 9 2 2 25 F 8 2 5 7 5 O cálculo da méda pelo processo ormal sera: F F 7 8 6 9 2 228 2 5 5 2 7 6 25 5 25 Σ 47 965 965 47 20,5 Obteremos este mesmo resultado, pelo cálculo smplfcado da méda, crado uma varável Z e arbtrado um valor zero (de preferêca o valor ou a classe do meo ou próxma do meo). Os valores de Z localzados a tabela acma desse zero serão -, -2,...,- e os valores localzados abaxo serão, 2,...,. A segur, multplcaremos os valores Z pelas respectvas ΣZ F freqüêcas a fm de obter a méda Z. ΣF Assm, o exemplo dado, teremos: F Z Z F 7 8-2 -6 9 2 - -2 2 5 0 0 2 7 7 25 5 2 0 Σ 47 - Z 47 0,2404 Para voltarmos à varável e ecotrarmos, usaremos a fórmula: h Z + o Ode: h ampltude etre os valores ou a ampltude dos tervalos de classe Z méda da varável Z o valor da varável ou o poto médo do tervalo de classe ode arbtramos Z 0 No exemplo dado, h 2 e o 2. Etão, teremos: 2 (-0,2404) + 2-0,46808 + 2 20,5 (mesmo valor ecotrado pelo cálculo ateror) MEDIDAS DE POSIÇÃO Pedro Bello Pága 4
V) Moda: É o valor que mas aparece ou o de maor freqüêca smples (absoluta ou relatva) uma dstrbução de freqüêca. A Moda pode ão exstr; exstdo, pode ão ser úca. Uma dstrbução pode ser: Amodal (ão há Moda todas os valores observados aparecem o mesmo úmero de vezes), Umodal (uma só Moda), Bmodal (quado tem duas Modas) ou Multmodal (tem váras Modas). Exemplo: Notas dos aluos de uma turma: Nota ( ) F 0 0 2 2 4 5 4 6 8 7 2 8 9 0 0 Σ 25 MODA Nesse caso a dstrbução é Umodal e sua Moda é 6 Quado os dados estverem agrupados em tervalos de classe, usaremos a fórmula de Czuber para cálculo da Moda: Mo + + 2 h Ode: lmte feror da classe modal dfereça etre a freqüêca da classe modal e a medatamete ateror 2 dfereça etre a freqüêca da classe modal e a medatamete posteror h ampltude da classe OBS.: Classe modal é a classe que cotém a maor freqüêca. Exemplo: Nota ( ) F 0 2 2 2 4 2 4 6 7 6 8 0 8 0 4 Σ 25 Usado a fórmula de Czuber para cálculo da Moda: 2 Mo 6 + 2 Mo 6 + Mo 6,67 + 6 MEDIDAS DE POSIÇÃO Pedro Bello Pága 5