Sinais e Sistemas Unidade 2 Conceitos de Matemática de Variável Complexa Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com
Conteúdo da unidade Introdução Propriedades dos números complexos Operações com números complexos Aula 01 Fundamentos axiomáticos Funções de variável complexa Funções harmônicas complexas Resíduos e pólos Aula 02 Aula 03 2
Aula 02 Funções de variável complexa Funções unívocas e plurívocas Funções inversas e transformações Funções elementares Funções polinomiais Funções racionais algébricas Fórmula de Euler (expoentes complexos) Funções exponenciais Funções logarítmicas Funções algébricas e transcendentais Funções harmônicas complexas Funções trigonométricas circulares Funções trigonométricas hiperbólicas 3
Funções de variável complexa Variáveis e funções = qualquer conjunto de números (variável complexa) Se podemos associar a cada variável vel complexa um ou mais valores de uma variável vel complexa w, diemos que w é função de e escrevemos w = f(). muitas vees é chamada de variável independente enquanto que w échamada de variável dependente Exemplo: f() = ², então, f(2j) = (2j)² = 4 4
Funções de variável complexa Funções unívocas e plurívocas Se a cada valor de corresponde somente um valor de w, diemos que w é uma função unívoca de. Se a cada valor de corresponde mais de um valor de w, diemos que w é uma função plurívoca de Exemplos w = ² Função unívoca ( = 15 8j w = 161+240j) w = 1/2 Função plurívoca ( = 15 8j w = 1 4j ou w = 1+4j) 5
Funções de variável complexa Funções inversas Algumas vees, dada uma função w = f(), podemos obter o que se conhece por função inversa de f. Notação: = g(w) = f 1 (w) 6
Funções de variável complexa Transformações Se w = u + vj (onde u e v são funções reais) é uma função unívoca de = x + yj (onde x e y são reais), podemos escrever u + vj = f(x + yj). Igualando as partes reais e imaginárias temos que u = u(x, y) e v = v(x, y) 7
Funções de variável complexa Uma transformação leva de um conjunto de pontos (curva PQ) em outro conjunto de pontos, dito imagem, (curva P Q ) Exercício: Seja w = ² e = x + yj. a) Obtenha a transformação w b) Obtenha a imagem P(1, 2) (plano ) no plano w a) w = ² u + vj = (x + yj)² u + vj = x² y²+ 2xyj Logo, u = x² y² e v = 2xy b) P(1, 2) P ( 3, 4) 8
Funções de variável complexa Funções polinomiais As funções polinomiais são definidas por n n 1 1 0 1 n1 w a a a a P Onde a0 0, a 1,, a n são constantes complexas e n éum inteiro positivo, dito o grau do polinômio P() A transformação w a b é chamada de transform. linear n 9
Funções de variável complexa Funções racionais algébricas As funções racionais algébricas são definidas por P w Q Onde P() e Q() são polinômios O caso especial P a b w, cd 0 Q c d É conhecido como transformação bilinear ou linear fracionária 10
Funções de variável complexa Fórmula de Euler Seja a série infinita e x = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! +... A mesma possui validade quando x = θj Assim, expandindo a série, obtém se: θj e cosθ jsenθ, e2,71828 Observar que θj r θ r cosθ jsenθ re Forma compacta de expressar uma variável complexa 11
Funções de variável complexa Funções exponenciais As funções exponenciais são definidas por xyj x yj Euler x w e e e e e cosy jseny Onde e = 2,71828 éa base natural dos logaritmos Se a éreal e positivo, logo w a e lna Onde ln a éo logaritmo natural de a Se a = e, esta redu se à anterior Propriedades: a) b) e e e 1 2 1 2 e e e 1 2 1 2 12
Funções de variável complexa Funções logarítmicas A função logarítmica natural éinversa da função exponencial w lnlnr jθ2 kπ, k 0, 1, 2, Onde jθ jθ2kπ e e, r e θ Notar que ln éuma função plurívoca cujo ramo principal é w lnln r jθ, 0 θ2π Mudança de base: w log a ln lna Propriedades: log log log 1 2 1 2 13
Funções de variável complexa Funções algébricas e transcendentais Se w éuma solução da equação polinomial a seguir, onde P 0 0, P1,, Pn são polinômios em e n éum inteiro positivo, então w = f() é chamada função algébrica de n n1 1 P w P w P w P 0 1 n1 n 0 Qualquer função que não puder ser expressa como solução da equação anterior échamada de função transcendental Exemplos: funções logarítmicas e trigonométricas hiperbólicas 14
Funções harmônicas complexas Funções circulares Seja uma variável complexa e sen e cos tg j j e 2j e 2 j j j sen e e sen j j e e j j Imaginário x 10 5 2 1 0-1 5 15 x 10 4 0 10 5 Real -5 0 Ângulo (rad) wt = linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1; = wt*(a + b*j); w1 = sin(); plot3 (wt, real(w1), imag(w1)); xlabel ('Ângulo (rad)'); ylabel ('Real') label ('Imaginário') 15
Funções harmônicas complexas Propriedades 2 2 a) sen cos 1 2 2 b) 1tg sec 2 2 c) 1cotg csec d) sensen e) coscos f) sen sen cos cos sen 1 2 1 2 1 2 g) cos cos cos sen sen 1 2 1 2 1 2 16
Funções harmônicas complexas Funções hiperbólicas Seja uma variável complexa e senh e cosh tgh e 2 e 2 senh e e senh e e Imaginário x 10 4 2 0-2 -4-6 2 1 x 10 5 Real 15 10 0 5-1 0 Ângulo (rad) wt = linspace(0,4*pi,1000); a = 1; b = 1; = wt*(a + b*j); w1 = sinh(); plot3 (wt, real(w1), imag(w1)); xlabel ('Ângulo (rad)'); ylabel ('Real') label ('Imaginário') 17
Funções harmônicas complexas Propriedades 2 2 a) cosh senh 1 2 2 b) 1 tgh sech 2 2 c) cotgh 1 csech d) senhsenh e) coshcosh f) senh senh cosh cosh senh 1 2 1 2 1 2 g) cosh cosh cosh senh senh 1 2 1 2 1 2 18
Funções harmônicas complexas Relação entre funções circulares e hiperbólicas j j a) sen j j senh b) cos cosh c) tg j j tgh d) senh j j sen e) cosh cos f) tgh j j tg 19
Bibliografia [1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw Hill do Brasil, 1973. [2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New York: McGraw Hill, 1996. 20