Exercícios de Álgebra Linear

Exercícios de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Mestrado Integrado em Engenharia Biológica Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Setembro de

Índice a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Sistemas de equações lineares) Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Matrizes) Resolução da a cha de exercícios9 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Determinante) Resolução da a cha de exercícios8 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Espaços lineares) Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Transformações lineares)8 Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Valores próprios e vectores próprios)9 Resolução da a cha de exercícios8 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Produtos internos e ortogonalização) Resolução da a cha de exercícios a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos9 a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos a Ficha de exercícios facultativos Resolução da a Ficha de exercícios facultativos

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Sistemas de equações lineares) Quais das seguintes equações são equações lineares em x; y e z? (a) x + p y + z (b) x + z (c) x + y z (d) x yz Diga qual dos seguintes pontos: (; ) ; (; ) ; (; ) ; ( ; ) é a solução do seguinte sistema de equações lineares nas variáveis x; y 8 < : x + y x y x y Diga quais dos seguintes pontos: (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; ; 9; ; do sistema de equações lineares nas variáveis x; y; z e w x y z x + y + z p são soluções Determine valores para x; y; z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação (a) xc H 8 + yo zco + wh O (b) xco +yh O zc H O + wo Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss x + y x + y x y (a) (b) (c) x + y x + y x + y 8 8 < x + y z < x + y z (d) x y + z (e) x y + z : : x y z x y + z 8 < (f) : 8 < (h) : 8 >< (j) >: x + y + z x + y + 8z x + y + z x + y z + w x + y + z + w 9 x + y z + 8w x + x x x + 9x x + x x + x x + x x 8 < (g) : 8 < (i) : x + y x y x + y x + y + z w x y + z + w x + y + z w 8 < x y + z w (k) x y + z + w : x + y 9z + w Discuta em função do parâmetro real os seguintes sistemas de equações lineares (nas variáveis x; y e z) quanto à existência ou não de solução (isto é, determine os valores (reais) de para os quais os seguintes sistemas de equações lineares: (i) tenham solução única, (ii) não tenham solução, (iii) tenham mais do que uma solução) Nos casos em que existirem soluções, determine-as

8 < (a) : 8 < (d) : x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z (b) x + y + z x + y + 8z 8 < x + y + z (c) x + y + z : x + y z 8 < x + y + z (e) x + y z : x + y + z + Discuta a existência ou não de solução dos seguintes sistemas de equações lineares em termos dos parâmetros reais e Nos casos em que existirem soluções, determine-as 8 8 z + w 8 < x + y + z >< < x + y z + w x + y + z + w (a) x + y z (b) (c) x y + z + w : x + y + z + w : x + y + z >: x y + z + ( + ) w x + y + z + w 8 Determine as condições a que a; b e c devem obedecer de forma a que os seguintes sistemas de equações lineares tenham solução: 8 8 < x + y z a < x y + z a (a) x y + z b (b) x + y z b : : x y + 8z c x + y + z c 9 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: (a) S f( + t; (b) S f(t; t) : t Rg t; ) : t Rg (c) S f(t; t; t) : t Rg (d) S f(t s; t + s ; s t + ) : s; t Rg (e) S f(t s; t + s ; s + ; t ) : s; t Rg (f) S f( s; s t; s; t ) : s; t Rg (g) S? (i) Determine os coe cientes a; b; c e d da função polinomial p(x) ax + bx + cx + d; cujo grá co passa pelos pontos P (; ); P (; ); P (; ) e P (; ) (ii) Determine os coe cientes a; b e c da equação da circunferência x + y + ax + by + c ; que passa pelos pontos P ( ; ); P ( ; ) e P (; )

Resolução da a Ficha de exercícios As equações das alíneas (a) e (b) são lineares O ponto (; ) é a solução desse sistema de equações lineares Os pontos: (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; ; 9; ; p são soluções desse sistema de equações lineares (a) 8 < Tem-se : x z y z w 8x w e assim, 8 8 x < x z >< w Logo, y z w, y : w 8 z w >: z w A solução geral do sistema é: X dado por: S s; s; s; s : s R x y z w j j 8 j s s s s 8 L +L L j j 8 j, para qualquer s R, isto é, o conjunto solução é Para s, tem-se a seguinte solução da equação química: x ; y ; z ; w : 8 < (b) Tem-se : j j j x z x + y z w y z 8 < x z Logo, y + z w : z + w L +L L 8 <, : e assim, j j j L +L L j j j x w y w A solução geral do sistema é S s; s; s; s : s R z w Para s, tem-se a seguinte solução para a equação química: x ; y ; z ; w : :

j (a) j L +L L j j x + y Logo, y, x y A solução geral do sistema é S f(; )g (b) j j L +L L j j Logo, x + y, x y A solução geral do sistema é S f( s; s) : s Rg (c) S? j j L +L L j j Logo, o sistema não tem solução (é impossível) (d) j j j L +L L 8 < Logo, : L +L L L +L L j j j x + y z y + z z 8 < x, y : z j j j L +L L A solução geral do sistema é S f(; ; )g (e) j j j L +L L L +L L j j 8 j 9 Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? L +L L j j j 8 (f) j 8 j j L +L L L +L L j j 8 j 8 L +L L j j j Logo, x + y + z y + z, x z y z + A solução geral do sistema é S f( s ; s + ; s) : s Rg

(g) j j j L $L j j j L +L L L +L L j j 8 j 8 8 L +L L j j j Logo, x y y, x y A solução geral do sistema é S f(; )g (h) j j 9 8 j L +L L L +L L j j j L +L L j j j x + y z + w Logo, z w, x y w + z w + A solução geral do sistema é S s t + ; s; t + ; t : s; t R (i) j j j L +L L L +L L L +L L j j j Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? j j 8 j L +L L (j) L +L L L +L L j 9 j j j j j j j j j j j L $L 8 < x + x x + x Logo, x x + x : x + x L L L +L L j 9 j j j 8 x 9 9x ><, x x >: j j j j x x + L +L L L +L L

A solução geral do sistema é dada por S 9 9s; s ; s + ; s : s R (k) j j 9 j L +L L L +L L j 8 j j Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? (a) Sejam A [A j B] L +L L L +L L j j j e B L $L j j j j j j L +L L L +L L L +L L j j ( ) ( + ) j Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f( s t; s; t) : s; t Rg Se então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S {z }? Se e então car A car [A j B] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( ) y + ( ) z ( ) ( + ) z A solução geral do sistema é então dada por S, : x ( + ) y ( + ) z ( + ) + ; + ; + (b) Sejam A [A j B] 8 j 8 j e B j L +L L 8 j 8

Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 >< x ( + ) z x + y + z ( ) y + (8 ) z, >: y + z A solução geral deste sistema é então dada por S ( + ) s; + s; s : s R Se então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S {z }? (c) Sejam A L +L L L +L L e B j j j [A j B ] L +L L j j j j j + j L +L L L +L L Se então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 < x z x + y + z, y z : y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f(8 + ( ) s; + ( ) s; s) : s Rg Se então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < x + y + z < x + y + ( ) z, y : : ( + ) z z A solução geral do sistema é então dada por S f( + ; ; )g (d) Sejam A L $L j j j e B L +L L L +L L [A j B ] j j j 9 j j j L +L L L $L

L +L L j j ( ) ( ) ( + ) j ( + ) ( ) Se então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f( s t; s; t) : s; t Rg Se então car A {z } < car [A j B ] O sistema não tem solução (é impossível) S {z }? Se e então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( ) y + ( ) z ( ) ( ) ( + ) z ( + ) ( ) A solução geral do sistema é então dada por S (, : x ( + ) ( + ) y ( + ) z ( + ) ( + ) ) + + ; ( + ) ; + + 8 < x + y + z (e) x + y z : x + y + z + [A j B] j j j + Sejam A L +L L L +L L e B + j + j + ( ) ( + ) j + Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível : e indeterminado, tendo-se x + y + z y : A solução geral deste sistema é então dada por, x z y : S f(s; ; s) : s Rg : Se então então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y z x y, z : z : A solução geral deste sistema é então dada por S f(s ; s; ) : s Rg :

Se então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } S?: Se e e então car A car [A j B] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( + ) y + ( ) ( + ) z +, : x ( + ) y z ( + ) A solução geral do sistema é então dada por S + ; ; : + (a) Sejam A L +L L L +L L e B j 8 j j L +L L [A j B ] j j j j 8 j j L +L L L +L L Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z x + 9z, y 8z y 8z A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( + 9s; 8s; s) : s Rg Se e S ;? então car A {z } < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } Se então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z y 8z ( ) z, : x ( 9 + ) ( ) y ( 8 + ) ( ) z ( ) ( ) 9 + A solução geral do sistema é então dada por S ; ; 8 + ;

(b) Sejam A L $L L +L L L +L L L $L j j j j L $L j j j j j j j j e B : [A j B ] j j j j L +L L L +L L ( )L +L L L +L L L +L L j j j j j j j j L $L j j j j ( ) + L $L Se ( ) então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 < 8 < x y : x + y + z + w z w w, : z w A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( s; s; ; ) : s Rg : Se ( S ;? ) então car A {z } < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } (c) Sejam A L $L (+)L +L L + + j j j e B L +L L L +L L + j j ( ) j + : [A j B ] j j + j + j j + j L $L (+)L +L L Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se

8 < : x y + z + ( + ) w y + z w ( ) w + + ( ) A solução geral do sistema é então dada por ( + ( + ) S ; + ( ) 8 >< x + +, + y z + >: w + + ( ) ; s + + ; s; (+) ( ) ) + ( ) + : Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x y + z + w x w, y + z y z A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( s; t; t; s) : s; t Rg Se ( e ) ou impossível) S ;? então car A {z } < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é {z } 8 (a) Sejam A L +L L L +L L 8 j a j b a j c a e B a;b;c a b c L +L L : [A j B a;b;c ] j a j b 8 j c j a j b a j c b + a Para que haja solução é necessário que car A car [A j B a;b;c ], isto é, é necessário que c b + a : L +L L L +L L (b) Sejam A L +L L L +L L j a 9 j b a j c a e B a;b;c a b c L +L L : [A j B a;b;c ] j a j b j c j a 9 j b a j c b a Como car A car [A j B a;b;c ], este sistema tem solução para quaisquer valores de a; b; c L +L L L +L L

9 (a) Sejam x + t e y t Logo x + y : (b) Sejam x t, y t e z Tem-se então o seguinte sistema: 8 < x + y : z (c) Sejam x t, y t e z t Tem-se então o seguinte sistema: 8 < x z : y z (d) Sejam x t s, y t + s e z s t + Logo s t x e assim y t + (t x) t x, t y + x + : Deste modo: s y + x + Com s y x + Tem-se então a seguinte equação linear: x y x + e t y + x + Isto é: z s t + y x + x y + z 8 y + x + + (e) Sejam x t s, y t + s, z s + e w t Logo t w + e s z Assim: 8 >< x (w + ) z >: y w + + z

Deste modo, obtém-se o sistema de equações lineares: 8 < x + z w : y z w (f) Seja S f( s; s t; s; t ) : s; t Rg Sejam x s, y s t, z s, w t Uma vez que s x e t w +, tem-se então o seguinte sistema linear não homogéneo y x (w + ) z ( x), x + y + w x + z (g) Por exemplo: 8 < : x + y x + y (i) Para que o grá co da função polinomial p(x) ax + bx + cx + d passe pelos pontos P (; ); P (; ); P (; ) e P (; ), é necessário que 8 >< >: p() p() p() p() O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b; c e d: 8 d >< a + b + c + d a + 9b + c + d >: a + b + c + d Ou seja: 8> < Atendendo a que: j 9 j j >: d a + b + c a + 9b + c a + b + c L +L L L +L L j 8 j j L L

tem-se L L j j j 8 >< >: L +L L a b c d j j j ; (ii) Para que os pontos P ( ; ); P ( ; ) e P (; ) pertençam à circunferência de equação x + y + ax + by + c ; é necessário que 8 < : ( ) + + a ( ) + b + c ( ) + + a ( ) + b + c + ( ) + a + b ( ) + c O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b e c: 8 < a + b + c a + b + c : a b + c Atendendo a que: j j j L +L L L +L L j 9 j j 9 L +L L j 9 j 9 j 9 ; tem-se 8 < : a b c 9

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Matrizes) Efectue, sempre que possível, as seguintes operações (i) (ii) + (iii) (iv) (v) p (vii) (viii) @ p A (ix) B @ (x) T T 8 9 (xi) C A p (vi) p T T T Determine as características e as nulidades das seguintes matrizes reais, identi cando os respectivos pivots (i) (ii) (iii) (iv) 8 9 (v) (viii) (vi) (ix) 9 8 9 (x) (vii) 8 8 Seja R Em função do parâmetro, calcule a característica e a nulidade das seguintes matrizes Em cada alínea, indique ainda (se existirem), justi cando, os valores de para os quais essas matrizes são invertíveis: (i) (iv) (ii) (v) (iii) (vi) +

Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) [] (iv) (vi) (ix) (xi) (vii) k k k k 8 Seja A ; 8, com k (x) 8 + + + (v) cos (viii) sen k k k k, com ; R: (xii) 8 9 sen cos, com k ; k ; k ; k (a) Determine a característica e a nulidade de A ; em função de e (b) Determine os valores dos parâmetros e para os quais A ; é invertível Seja A 8, com R (a) Determine a característica e a nulidade de A em função do parâmetro e diga, justi cando, quais são os valores de para os quais A é invertível (b) Para ; determine a inversa da matriz A a Seja B a;b a a b, com a; b R: (a) Determine a característica e a nulidade de B a;b em função de a e b (b) Para a e b calcule a matriz inversa da matriz B ;, isto é, (B ; ) (c) Determine a solução geral do sistema linear B ; X C, C T (d) Para b, determine a solução geral do sistema linear B a; X D, em que D é o simétrico da a coluna de B a; 8

(i) Resolução da a Ficha de exercícios [ ] (ii) Não é possível (iii) p p 8 p (iv) (v) Não é possível (vi) Não é possível (vii) p p p p viii) @ p A T p p p (ix) B @ T 8 9 C A T (x) T 8 (xi) T 8 (i) Seja A car A ; nul A Não existem pivots 9

(ii) Assim, sendo A L +L L, tem-se car A e nul A Pivots: e (iii) L $L Assim, sendo A L +L L L +L L L $L, tem-se car A e nul A Pivots: e (iv) 8 9 Assim, sendo A L +L L 9L +L L 8 8 8 L +L L 8, tem-se car A e nul A Pivots: e (v) L +L L L $L Assim, sendo A L +L L L +L L, tem-se car A e nul A Pivots: ; e (vi) 9 8 L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L

L +L L L +L L Assim, sendo A L +L L 9 8, tem-se car A e nul A Pivots: ; ; e (vii) Assim, sendo A L +L L L +L L L +L L L +L L, tem-se car A e nul A Pivots: e (viii) Sendo A, tem-se car A e nul A Pivots: e (ix) 9 L $L Assim, sendo A 9 9 L +L L L +L L, tem-se car A e nul A Pivot: (x) 8 8 Assim, sendo A L +L L L +L L 8 8 8, tem-se car A e nul A Pivot: (i) L +L L + L +L L +

Seja A Se então car A e nul A Se então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se, uma vez que é só neste caso que car A n o de colunas de A (ii) Seja A L +L L L +L L + + Se ou então car A e nul A L +L L Se e então car A e nul A + ( + ) + Assim, A é invertível se e só se e, uma vez que é só neste caso que car A n o de colunas de A (iii) + Seja A + L +L L Se então car A e nul A + + Se e então car A e nul A L +L L Se então car A e nul A ( ) ( + ) + ( + ) Assim, A é invertível se e só se colunas de A e, uma vez que é só neste caso que car A n o de (iv) Seja A L +L L L +L L + L +L L Se ou então car A e nul A +

Se e então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e colunas de A, uma vez que é só neste caso que car A n o de (v) Seja A L +L L L +L L Se então car A e nul A Se e então car A e nul A ( ) ( + ) ( ) Se então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e colunas de A, uma vez que é só neste caso que car A n o de (vi) Seja A L +L L L +L L L +L L Se então car A e nul A Se então car A e nul A Se então car A e nul A + ( ) ( + ) ( ) ( + ) Se então car A e nul A Se e e então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e colunas de A, uma vez que é só neste caso que car A n o de (i) j j j L $L j Logo

(ii) (iii) [] [] (iv) j j j L +L L j Logo j L +L L j L L j j L +L L (v) L +L L Logo, j j 8 9 j 8 9 L +L L L +L L j j j j j j é singular e como tal não é invertível L +L L (vi) L +L L Logo j j j L +L L j j j L L L L j j j L +L L j j j (vii) j j 8 j L +L L L +L L j 8 j j L +L L

L +L L L +L L L +L L L +L L Logo j 8 j j j j 8 j j 8 j 8 L L j j j j 8 j 8 j 8 j 8 j j 8 L L j j j j 8 L +L L L +L L L +L L (viii) Para k ; (k Z) cos sen j sen cos j L +L L cos cos sen j cos (cos )L L sen sen cos j sen (sen )L L j cos sen sen sen cos j sen ( sen )L +L L j cos sen ( sen )L +L L sen cos j sen cos sen ( sen ) sen cos L L cos Logo sen j cos sen j sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos L L L +L L Note que sen cos para todo o k ; (k Z), para todo o k ; (k Z) Se + k; (k Z) ; cos sen sen cos cos sen sen cos

Se k; (k Z), cos sen sen cos cos sen sen cos Se + k; (k Z) ; cos sen sen cos cos sen sen cos Se + k; (k Z), cos sen sen cos cos sen sen cos Logo, para todo o R cos sen sen cos cos sen sen cos (ix) Seja k k j k j k j k j k L +L L k L L Logo k k k k k L +L L k L L k L L j k k j k j k k k j k k k j k j k j k k j k k k k k k k k k k k k k L +L L k L L k L +L L k L L j k j k k j k k k j k k k k (x) Sejam k ; k ; k ; k

k j k j k j k j k L L L k L L k L L k L Logo L $L L $L j k j k j k j k k k k k k k j k j k j k j k k k k L L k L L L k L L k L (xi) 8 8 8 j j j j j j 8 j L +L L L +L L L +L L 8 L $L 8 j j j j 9 j j j : j j j j 8 j j 8 j L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L

L +L L L +L L L L L L L L L L L +L L L +L L L +L L L +L L Logo j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 8 8 8 B @ 9 L L L L L L L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L 8 8 j j j j j j j C A 8

(xii) j j j j j j j L +L L L +L L L +L L L $L L L L L L +L L L $L j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L $L L L L L L +L L 9

Logo B @ C A A ; L +L L L +L L L +L L + + + + + + + + + L $L + + + L +L L L +L L Se e então car A e nul A + + Se ( e ) ou ( e ) então car A e nul A Se e então car A e nul A L +L L L +L L L +L L Assim, A ; é invertível se e só se colunas de A ; e, uma vez que é só neste caso que car A ; n o de (a) Tem-se A 8 L +L L L +L L L +L L Logo, como car A + nul A, se então car A e nul A ; se então car A e nul A ; se então car A e nul A ; se e e então car A e nul A ( ) ( ) ( + ) ( ) :

Assim, A é invertível se e só se Rn f colunas de A ; ; g, uma vez que é só nestes casos que car A n o de (b) A j I Logo j j 8 j j L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L j j j j (A ) j j j j L L L L L +L L L +L L L +L L j j j j : (a) B a;b L $L a a b a a a a b L $L L +L L L +L L a a a b a a a b b L $L Se a ou ( a e b ) então car B a;b e nul B a;b Se a e b então car B a;b e nul B a;b (b) [B ; j I] L +L L L +L L j j j j j j j j L $L L +L L L +L L j j j j L +L L L +L L j j j j L L L L

L L L L Logo (B ; ) j j j j L +L L j j j j (c) Como B ; é invertível, B ; X C, X (B ; ) C, X 9 9 : (d) Seja X (x ; x ; x ; x ) B a; X D, A solução geral de B a; X D é dada por: a a a x x x x a a (Solução particular de B a; X D) + (Solução geral de B a; X ) O vector (; ; ; ) é uma solução particular de B a; X D Determinemos a solução geral de B a; X a a Tem-se a a a L +L L L $L L +L L L $L L $L L $L a a a L $L 8 < x + x + ax Logo, x + x : ax ax + x a a a a 8 x x ><, x + a x >: x ax

Assim, a solução geral de B a; X é dada por: ( s; + a s; s; as) : s R Logo, a solução geral do sistema linear B a; X D é dada por: f(; ; ; )g + s; + a s; s; as : s R s; + a s; s ; as : s R Resolução Alternativa [B a; j D] L $L L $L a j a a j a j a j a j a j a a j j L +L L L +L L L $L 8 >< x + y + aw Tem-se então y + z >: aw az + w a a j a a j j j a j a j a j a j 8 >< x z a, y >: + (z + ) w a az L $L L $L Logo, a solução geral do sistema linear B a; X D é dada por: a s ; + (s + ) ; s; a as : s R s; + a s; s ; as : s R :

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Determinante) Classi que quanto à paridade as seguintes permutações de números de a : (i) () (ii) () (iii) () (iv) () (v) () (vi) () (vii) () (viii) () Na expressão do determinante de uma matriz do tipo diga qual o sinal que afecta cada uma das seguintes parcelas: (i) a a a a a a (ii) a a a a a a (iii) a a a a a a (iv) a a a a a a Veri que que a (i) a a a a a a a a (ii) a a a a a a a a a a a a a a Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes singulares: (i) (ii) 8 8 8 (iii) + p p + p p (iv) cos sen sen cos (v) (vi) 8 8 (vii) (viii) (ix) (x) 8 9 8 (xi) (xii) (xiii) 8 a b (xiv) b a (xv) (xvi) b a b a b a Que condições devem os parâmetros reais a; b e c veri car para que a matriz a a b b c c seja invertível?

Veri que que a matriz a e b f c g d h não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é singular, onde A é dada por: (i) (ii) 8 Use a fórmula de inversão de matrizes para inverter: (i) (ii) (iii) 9 Sejam A 9 B Sem calcular A e B, determine a entrada (; ) de A e a entrada (; ) de B Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas: 8 < x + y x + y (i) (ii) x + z x + y : x + y + z Sejam C e D 9 8 Veri que que C e D são invertíveis e calcule: (i) det (C ) (ii) det C (C) (iii) det C T (tr C) C (iv) det C T tr C T C (v) det C T D D T C Sugestão: Sejam m N, escalar, A; B e S matrizes n n com S invertível, tem-se (a) det (AB) (det A) (det B) (b) det (B) n det B (c) det A T det A (d) det (A ) det A (e) tr B tr BT (f) (B) T B T (g) S m (S ) m a b c Sejam a; b; c; d; e; f R Sabendo que d e f ; calcule: g h i

d e f (i) g h i a b c (iv) (ii) a b c d a e b f c g h i a b c d e f g h i (v) (iii) a g d b h e c i f a + d b + e c + f d e f g h i a b c Sejam a; b; c R Sabendo que ; calcule: a b c a b c (i) (ii) a + b + c (iii) a + b + c + (iv) a + b + c + Sejam ; R Sabendo que ; calcule + Seja R Veri que que + + + + + + + + + + + + + + + a b c + Seja R Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n : : : + : : : + + : : : + Veri que que x y y x x y (y x ) (y x ) 8 Mostre que: a b a + b + c (i) a b a + b + c a b a + b + c a b c a b c a b c (ii) b + c c + a b + a a b c

(iii) a + b a b c a + b a b c a + b a b c a b c a b c a b c 9 Veri que que a + b c + d a + b c + d a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x e x se tem x x Sem calcular o determinante, diga qual o coe ciente de x na expressão x x x x 9 8 x Resolva as seguintes equações x (i) (ii) x x x x x x x x x x x x x (iii) x x x x Sabendo que ; e 8 são múltiplos de, justi que que é também múltiplo de, 8 sem calcular o determinante 8 Sem calcular o determinante, veri que que é múltiplo de Seja A (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n: Mostre que A não é invertível

Resolução da a Ficha de exercícios (i) () é par pois tem inversões (iii) () é ímpar pois tem inversões (v) () é ímpar pois tem inversões (vii) () é ímpar pois tem 9 inversões (ii) () é par pois tem inversões (iv) () é par pois tem inversões (vi) () é par pois tem inversões (viii) () é ímpar pois tem inversão (i) () é par pois tem inversões e () é par pois tem inversões Logo, tem-se +a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (ii) () é par pois tem inversões e () é ímpar pois tem inversões Logo, tem-se a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (iii) () é ímpar pois tem inversões e () é par pois tem inversões Logo, tem-se a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (iv) () é ímpar pois tem inversão e () é ímpar pois tem 9 inversões Logo, tem-se +a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (i) () é par pois tem inversões e () é ímpar pois tem inversões Atendendo à de nição de determinante, tem-se a a a a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (ii) () é par pois tem inversões e () é par pois tem inversões Atendendo à de nição de determinante, tem-se a a a a a a a a a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (i), logo a matriz é não singular 8

(ii) 8 8 8 (iii) + p + p (iv) cos sen (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii) 8 8 99 99, logo a matriz é não singular p p ( ), logo a matriz é não singular sen cos cos ( sen ), logo a matriz é não singular 8 8 8 9 + ( ) 8, logo a matriz é não singular + 8 + ( ), logo a matriz é não singular 8 por (vi), logo a matriz é não singular, logo a matriz é não singular por (vi), logo a matriz é singular, logo a matriz é não singular ( ) +, logo a matriz é não singular + ( )( )+ [ + + ( ) ( ) ( ) ] + [ + ] + 8 8, logo a matriz é não singular 9

(xiii) 8 8, logo a matriz é não singular por (xi) (xiv) 9 9 9 9 9, logo a matriz é singular (xv) ( ) + ( ) +, logo a matriz é não singular a b b a (xvi) b a a + b se e só se a b, logo a matriz é não singular se e só se b a b a a b Seja A a a b b c c com a; b; c R A matriz A é invertível se e só se det A Tem-se a a det A b b c c a a b a b a c a c a se a b ou a c Se a b e a c então a a det A b b c c a a b a b a c a c a a a b a b a (c a) [(c + a) (b + a)], a a b a b a c a (c a)(b + a) a a b a b a (c a) (c b) se b c Logo, a matriz A é invertível se e só se a b; a c e b c

Seja A a e b f c g d h com a; b; c; d; e; f; g; h R Se a ou h então det A, isto é, A não é invertível Se a e h então a a e b e b det A f c, g d g d h h isto é, A não é invertível Logo, A não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R, Determinemos todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é singular, isto é, todos os valores próprios de A (i) det (A I) ( + ) + Logo, det (A I), ( ou ) (ii) det (A I) + ( + ) ( ) + 8 Logo, det (A I), ( ou ou ) 8 (i) A det A (cof A)T (ii) A det A (cof A)T (iii) A det A (cof A)T 8 T T T 9 Tem-se det A 9 ( ) ( ) + ( ) ( + 8 ( ) 9)

Logo, Logo, A (cof A) T (;) det A (;) det A (cof A) (;) ( )+ det B 8 ( )( ) + B (cof B) T (;) det B (;) det B (cof B) (;) ( )+ 8 (i) x e y (ii) x det C invertível (i) det (C ) det C ; y e z 9 8, logo C é invertível det D, logo D é (ii) det C (C) (det C) det C (det C) (iii) det det C (iv) det C T tr C T (tr C) C det 88 C tr C (C ) T 8 9 (tr C) det (C ) det (C ) C T C det CT det (C ) det C (det C)

det C 8 (v) det C T D D T C 8 (det C) det D (det D) det C 8 (det D) 8 ( ) det C T det D det (D T ) C (i) (iv) d e f g h i a b c (ii) a b c d a e b f c g h i a b c d e f g h i (v) a g d b h e c i f (iii) a + d b + e c + f d e f g h i (i) a b c (ii) a b c a + b + c a + b + c + (iii) a b c (iv) a + b + c + a + b + c + a + b + c + a b c a b c + + + + + + + + + + + + + + + +

: : : + : : : + + : : : + : : : : : : : : : n x y y x x y x y x y x x y x (y x ) ( ) + det x y x (y x ) (y x ) 8(i) (ii) (iii) a b a + b + c a b a + b + c a b a + b + c b + c c + a b + a a b c a + b a b c a + b a b c a + b a b c a b c a b c a b c a + b + c a + b + c a + b + c a b c a a b c a a b c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 9 a + b c + d a + b c + d a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : e O coe ciente de x na expressão x x x x x é

(i) (ii) x x x x x x x x x x x x x x,, x x x x x x x x, + x, x, x ( x), (x ou x ) x x (iii) x x, x x x x, x x x x x x x x x, x x x x, x x x x, x x x x x x, x x x x, x x,, x x, (x ) ( x x ), (x ou x ) x x 8 8 8 coluna é também múltipla de Logo 8 8 8 8 Como ; e 8 são múltiplos de então a a é múltiplo de de, logo 8 8 + ( ) + ( ) + ( ) ( ) é múltiplo de Como a a coluna é múltipla Seja A (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n: Mostre que A não é invertível Dem (a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n), A T A Logo det A det A T det ( A) ( ) n det A n é ímpar det A, det A : Pelo que A não é invertível

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Espaços lineares) Veri que que os seguintes subconjuntos de R, com as operações usuais, não são subespaços de R (i) f(x; y) R : x g (ii) f(x; y) R : xy g (iii) f(x; y) R : y x g Veri que que os seguintes conjuntos, com as operações usuais, são (todos os) subespaços de R (i) f(; )g (ii) V k f(x; kx) : x Rg com k R (iii) U f(; a) : a Rg (iv) R No espaço linear R, considere o subconjunto U k f(x; y; k) : x; y Rg onde k é uma constante real Determine os valores de k para os quais U k é subespaço de R Considere o espaço linear V R Diga quais dos seguintes subconjuntos de V, com as operações usuais, são subespaços de V e indique os respectivos conjuntos geradores (i) f(x; y; z) R : z g (ii) f(x; y; z) R : x + y z g (iii) f(x; y; z) R : x > g (v) f(x; y; z) R : y x e z xg (iv) f(; ; z) : z Rg (vii) f(x; y; z) R : x + y + z e x y z g (viii) f(x; y; z) R : x y ou y zg (vi) f(x; y; z) R : x + y g (ix) f(x; y; z) R : x y e y + z g (x) f(x; y; z) R : xy g Seja P n o espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais: Diga quais dos seguintes subconjuntos de P, com as operações usuais, são subespaços de P e indique os respectivos conjuntos geradores (i) fa + a t + a t P : a g (ii) fa + a t + a t P : a a e a g (iii) fa + a t + a t P : a g (iv) fa + a t + a t P : a a g (v) fa + a t + a t P : a a + a g Seja M mn (R) o espaço linear de todas as matrizes do tipo mn com entradas reais Diga quais dos seguintes subconjuntos de M (R), com as operações usuais, são subespaços de M (R) e indique os respectivos conjuntos geradores a b c a b c (i) M (R) : b a + c (ii) M (R) : b < (iii) d a b c d e f d f M (R) : a c e f e + d :

Determine o espaço das colunas, o espaço das linhas e o núcleo das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) 8 Veri que que, com as operações usuais, o seguinte conjunto de matrizes 8 9 < ; ; ; : ; gera o subespaço 8 < : do espaço linear M (R) a b c d 9 M (R) : a; b; c; d R ; 9 Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ), v (; ; ) e v (; ; ) Mostre que os seguintes vectores são combinações lineares de v ; v e v (i) (; ; ) (ii) (; ; ) (iii) ( ; ; ) (iv) (; ; ) Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ; ), v (; ; ; ) e v (; ; ; ) Diga quais dos seguintes vectores pertencem ao subespaço L (fv ; v ; v g) (i) ( ; ; ; ) (ii) (; ; ; ) (iii) (; ; ; ) (iv) (; ; ; ) Determine o valor de k para o qual o vector u (; ; k) R é combinação linear dos vectores v (; ; ) e w (; ; ): Considere, no espaço linear P, os vectores p (t) + t + t, p (t) t + t, p (t) t + t e p (t) t t O vector q(t) + t + t pertence à expansão linear L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g)? Podem os vectores p (t), p (t), p (t) e p (t) gerar P? Veri que que os seguintes conjuntos de vectores geram R (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ) ; ( ; ; ); (; ; ); ( ; ; )g Escreva a matriz como combinação linear das matrizes A ; B, C :

Encontre uma matriz que não pertença a L ; ; Antes de a determinar, explique porque é que essa matriz existe : Determine os vectores (a; b; c) de R que pertencem a L (fu; v; wg) onde Sejam u (; ; ); v (; ; ) e w (; ; ): A e B Veri que que o espaço das linhas de A é igual ao espaço das linhas de B: Conclua então que os espaços das colunas de A T e de B T são iguais Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço linear R (i) f(x; y; z; w) R : x e y + z g (ii) f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g (iii) f(x; y; z; w) R : x + y z e x + y + w e y z + w g 8 De na por meio de sistemas de equações homogéneas os seguintes subespaços (i) Em P : L (f t ; + tg) (ii) L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) (iii) L (f(; ; ); ( ; ; )g) (iv) L (f(; ; ); (; ; )g) (v) L (f(; ; ; )g) (vi) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) 9 Determine as condições que os parametros i ; i (i ; ) devem veri car para que os vectores ( ; ; ) e ( ; ; 9), no espaço linear R, sejam linearmente independentes Diga se os seguintes conjuntos de vectores em R são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Nos casos em que sejam linearmente dependentes, indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior n o possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (iv) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (v) f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g (com x; y; z R) Determine todos os valores de a para os quais f(a ; ; ); (; a; ); (; ; )g é uma base de R : Sejam U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) e V k L (f(; k; ; ); (; ; ; )g) subespaços de R : Determine os valores de k para os quais dim (U \ V k ) No espaço linear R, construa uma base que inclua os vectores: (i) (; ; ) e (; ; ) (ii) (; ; ) e ( ; ; ) (iii) ( ; ; ) e (; ; ) : 8

Veri que que os seguintes subconjuntos do espaço linear de todas as funções reais de variável real são linearmente dependentes Indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior n o possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores (i) S fcos t; sen t; cos tg (ii) S f; sen t; cos tg (iii) S fe t ; e t ; cosh tg (iv) S ; t; t ; (t + ) Determine uma base para cada subespaço L(S) e calcule a respectiva dimensão Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real Sejam f; g; h V, com f (t) sen t, g (t) cos t e h (t) t Mostre que o conjunto ff; g; hg é linearmente independente Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Em cada base de R encontrada, exprima o vector (; ) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada Isto é, determine as coordenadas do vector (; ) em cada base ordenada encontrada Relativamente a cada base ordenada de R, determine ainda o vector cujas coordenadas são (; ) (i) f(; ); (; )g (ii) f(; ); (; )g (iii) f(; )g (iv) f( ; ); (; )g (v) f(; ); (; ); (; )g (vi) f(; ); (; )g Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Em cada base de R encontrada, exprima o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada Isto é, determine as coordenadas do vector ( ; ; ) em cada base ordenada encontrada Relativamente a cada base ordenada de R, determine ainda o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g (iv) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (v) f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g (vi) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g 8 Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Em cada alínea indique uma base de R que inclua pelo menos dois vectores do conjunto apresentado (i) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (ii) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (iii) S f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (iv) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (v) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (vi) S f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g : Nesta alínea, veri que que (8; ; ; ) L (S) e determine uma base de L (S) que inclua o vector (8; ; ; ) 9 Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de P (espaço linear dos polinómios reais de grau menor ou igual a ) Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses conjuntos Determine as coordenadas do vector t em cada base ordenada de P encontrada Relativamente a cada base ordenada de P, determine ainda o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) (i) f + t t ; t + t ; t g (ii) ft t ; t ; + t; tg (iii) f + t ; t t ; t + t ; + tg (iv) f + t + t ; tg 9

(v) f + t t ; + t ; + t t ; + t t g (vi) f; t; t g Mostre que as matrizes ; ; e formam uma base para o espaço linear M (R): Seja S ; ;, ; Seja W um subespaço de M (R) gerado por S Determine uma base para W que inclua vectores de S Determine uma base para M (R) Qual é a dimensão do espaço linear M (R)? Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços de M (R) e calcule a respectiva dimensão: (i) O conjunto de todas as matrizes (reais) diagonais do tipo : (ii) O conjunto de todas as matrizes (reais) simétricas do tipo : Determine as dimensões e indique bases para: o núcleo, o espaço das linhas e o espaço das colunas das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) : Determine tambem a característica e a nulidade de cada uma delas Sejam U e V subespaços de W tais que dim U ; dim V e dim W Diga quais as dimensões possíveis para U \ V Determine bases e calcule as dimensões de U + V e U \ V, dizendo em que casos U + V é a soma directa U V (determine-a) dos subespaços U e V (i) U L (f(; ; ); (; ; )g) ; V L (f(; ; ); ( ; ; )g) em R : (ii) U f(x; y; z) R : x + y z e x + y g ; V L (f(; ; )g) em R : (iii) U L (f(; ; ); ( ; ; )g) ; V f(x; y; z) R : x + y + z g em R : (iv) U f(x; y; z) R : x y zg ; V f(x; y; z) R : x g em R : (v) U L (f + t; t g), V fa + a t + a t P : a a + a g em P (vi) U L (f + t; t g), V L (f + t + t ; t t ; + t + t g) em P (vii) U L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; 8); ( ; ; ; )g) ; V L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 8)g) em R : (viii) U f(x; y; z; w) R : x + y + z e y + z + w g,

V L (f(; ; ; ); (; 9; ; ); ( ; ; ; )g) em R : Neste alínea (viii) mostre que U V (ix) Seja U o subespaço de R gerado por Seja V o subespaço de R gerado por f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g Comece por escrever U e V como soluções de sistemas de equações lineares homogéneas (x) Sejam U e V subespaços de R gerados respectivamente por F e por G, com Seja A F f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ) ; (; ; ; )g ; G f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g : (i) Calcule a nulidade e a característica de A: (ii) Determine bases para o espaço das colunas de A e para o núcleo de A: (iii) Usando a alínea anterior, determine a solução geral do sistema de equações lineares homogéneo Au (iv) Resolva o sistema de equações Au b, com b (; ; ; ; ): Note que b é igual à a coluna de A e use esse facto de modo a encontrar uma solução particular de Au b 8 Utilize a informação da seguinte tabela para, em cada caso, determinar a dimensão do espaço gerado pelas linhas de A, do espaço gerado pelas colunas de A, do núcleo de A e do núcleo de A T Diga tambem se o correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível, determinando para esses casos, o número de parâmetros que entram na solução geral de AX B A 9 9 car A car [A j B] 9 Construa uma matriz cujo núcleo seja gerado pelo vector (; ; ) Existe alguma matriz cujo espaço das linhas contém o vector (; ; ) e cujo núcleo contém (; ; )? Quais são as matrizes do tipo cujo núcleo tem dimensão? Seja A M mn (R) tal que C(A) N (A) Prove que A M nn (R) com n par Dê um exemplo para n Seja A M nn (R) tal que car A n e A A Prove que A I

Sejam B f(; ); (; )g e B f(; ); (; )g duas bases ordenadas de R Seja v (; ) (i) Determine as coordenadas de v em relação à base B (ii) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B (iii) Determine as coordenadas de v em relação à base B, usando as alíneas anteriores (iv) Determine, directamente, as coordenadas de v em relação à base B (v) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B (vi) Determine as coordenadas de v em relação à base B, usando a alínea anterior, e compare com o resultado obtido em (i) Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ), v (; ) Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w + t, w + t Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B Sejam B f; t; t g e B f; + t; + t + t g duas bases ordenadas de P (i) Suponha que as coordenadas de um vector p(t) P em relação à base B são dadas por (; ; ) Determine as coordenadas do mesmo vector p(t) em relação à base B (ii) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B e utilize-a para determinar as coordenadas do vector t + t na base B 8 Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w t, w t Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B

9 Sejam B fv ; v ; v g e B fw ; w ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Suponha que a matriz S B B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B B Determine B Sejam B ; B ;, ; e ;, duas bases ordenadas de M (R) Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B e utilize-a para determinar as coordenadas do vector em relação à base B Seja B fv ; v g uma base ordenada de P Sejam (; ) e (; ) respectivamente as coordenadas de dois polinómios + t e t em relação à base B: Determine B Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P Suponha que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio p (t) em relação às bases B e B : Suponha ainda que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio q (t) em relação às bases B e B : Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B

Resolução da a Ficha de exercícios (i) Seja U f(x; y) R : x g Por exemplo: (; ) U, mas ( )(; ) ( ; ) U Logo, U não é subespaço de R (ii) Seja U f(x; y) R : xy g Por exemplo: (; ); (; ) U, mas (; ) + (; ) (; ) U Logo, U não é subespaço de R (iii) Seja U f(x; y) R : y x g Por exemplo: (; ) U, mas (; ) (; ) U Logo, U não é subespaço de R Atendendo às respectivas dimensões, os seguintes subespaços de R, com as operações usuais, são todos os subespaços de R (i) f(; )g é subespaço de R (ii) Seja V k f(x; kx) : x Rg com k R ( xo) Sejam (x ; kx ); (x ; kx ) V k e R Tem-se e, com (x; kx) V k, (x ; kx ) + (x ; kx ) (x + x ; k (x + x )) V k (x; kx) (x; k (x)) V k Logo, para todo o k R, V k é subespaço de R Em alternativa, uma vez que V k L (f(; k)g), para todo o k R, conclui-se que V k é subespaço de R (para todo o k R) (iii) Seja U f(; a) : a Rg Sejam (; a ) ; (; a ) U e R Tem-se (; a ) + (; a ) (; a + a ) U e, com (; a) U, Logo, U é subespaço de R Em alternativa, uma vez que conclui-se que U é subespaço de R (; a) (; a) U U L (f(; )g), (iv) R é subespaço de R

U k é subespaço de R se e só se k (i) Seja U f(x; y; z) R : z g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (ii) Seja U f(x; y; z) R : x + y z g Tem-se Uma vez que para quaisquer x; y R, tem-se: U f(x; y; x + y) : x; y Rg (x; y; x + y) (x; ; x) + (; y; y) x(; ; ) + y(; ; ), U L (f(; ; ); (; ; )g) Logo, U é subespaço de R Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A : (iii) Seja U f(x; y; z) R : x > g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (iv) Seja U f(; ; z) : z Rg Uma vez que (; ; z) z(; ; ), para qualquer z R, tem-se: Logo, U é subespaço de R U L (f(; ; )g) (v) Seja U f(x; y; z) R : y x e z xg Tem-se U f(x; x; x) : x Rg Uma vez que (x; x; x) x(; ; ), para qualquer x R, tem-se: U L (f(; ; )g) Logo, U é subespaço de R Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A : (vi) Seja U f(x; y; z) R : x + y g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (vii) Seja U f(x; y; z) R : x + y + z e x y z g Tem-se Uma vez que para qualquer y R, tem-se: Logo, U é subespaço de R U f(; y; y) : y Rg (; y; y) y(; ; ), U L (f(; ; )g) Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A (viii) Seja U f(x; y; z) R : x y ou y zg Tem-se: : U (x; y; z) R : x y [ (x; y; z) R : y z

Por exemplo: Logo, U não é subespaço de R (; ; ); (; ; ) U, mas (; ; ) + (; ; ) (; ; ) U (ix) Seja U f(x; y; z) R : x y e y + z g Tem-se Uma vez que para qualquer x R, tem-se: Logo, U é subespaço de R U f(x; x; x) : x Rg (x; x; x) x(; ; ), U L (f(; ; )g) Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A (x) Seja U f(x; y; z) R : xy g Por exemplo: (; ; ); (; ; ) U, mas (; ; ) + (; ; ) (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R O conjunto de todos os polinómios reais de grau igual a n: U fa + a t + + a n t n P n : a ; a ; :::; a n R e a n g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U : Seja P o espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a, com as operações usuais: (i) Seja U fa + a t + a t P : a g Tem-se Logo, U é subespaço de P U a t + a t : a ; a R L t; t (ii) Seja U fa + a t + a t P : a a e a g Tem-se U a + a t : a R Uma vez que para qualquer a R, tem-se: Logo, U é subespaço de P a + a t a ( + t ), U L + t (iii) Seja U fa + a t + a t P : a g Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U Logo, U não é subespaço de P

(iv) Seja U fa + a t + a t P : a a g Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U Logo, U não é subespaço de P (v) Seja U fa + a t + a t P : a a + a g Tem-se U a + a t + (a a ) t : a ; a R Uma vez que a + a t + (a a ) t a ( t ) + a (t + t ), para quaisquer a ; a R, tem-se: U L t ; t + t Logo, U é subespaço de P Seja M (R) o espaço linear de todas as matrizes do tipo com entradas reais a b c (i) Seja U M d (R) : b a + c Tem-se Uma vez que a a + c c d U a a + c c d a para quaisquer a; c; d R, tem-se: U L : a; c; d R + c ; ; + d Logo, U é subespaço de M (R) a b c (ii) Seja U M d f (R) : b < Por exemplo: a matriz nula U Logo, U não é subespaço de M (R) a b c (iii) Seja U M d e f (R) : a c e f e + d Tem-se U c b c d e e + d : b; c; d; e R, Uma vez que c b c d e e + d b + c + d + e,

para quaisquer b; c; d; e R, tem-se: U L ; ; ; Logo, U é subespaço de M (R) : (i) Seja A Seja u (x; y) R Atendendo a que o núcleo de A é dado por: Tem-se C(A) L (f(; )g) e L(A) L (f(; )g) x y, x y, N (A) u R : Au (x; y) R : x y f(x; x) : x Rg fx(; ) : x Rg L (f(; )g) (ii) Seja A Tem-se C(A) L (f(; )g) e L(A) L (f(; ; )g) Seja u (x; y; z) R Atendendo a que x y, x + y + z, z o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y; z) R : x + y + z f( y z; y; z) : y; z Rg fy( ; ; ) + z( ; ; ) : y; z Rg L (f( ; ; ); ( ; ; )g) (iii) Seja A Tem-se C(A) f(; )g e L(A) f(; ; )g O núcleo de A é dado por: N (A) R (iv) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ; ); (; ; )g) : Seja u (x; y; z) R Atendendo a que 8 x < y, : z 8 x + y + z z

o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y; z) R : x + y + z e z f(x; x; ) : x Rg fx(; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) (v) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ); (; )g), pois (; ) (; ) + (; ) Seja u (x; y) R Atendendo a que x y 8 ><, >: x x + y x + y o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y) R : x e x + y e x + y f(; )g (vi) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; )g) e L(A) L (f(; )g) Seja u (x; y) R Atendendo a que 8 < x, y : o núcleo de A é dado por: x + y x + y N (A) u R : Au (x; y) R : x + y f( y; y) : y Rg fy( ; ) : y Rg L (f( ; )g) (vii) Seja A Tem-se C(A) f(; ; )g e L(A) f(; )g 9

O núcleo de A é dado por: N (A) R (viii) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Seja u (x; y; z) R Atendendo a que x y z, x y z 8 ><, >: x + z y z z o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au f(; ; )g Observação: Como N (A) f(; ; )g e sendo A quadrada, tem-se L(A) C(A) R 8 Seja 8 < U : a b c d 9 M (R) : a; b; c; d R ; Uma vez que a b c a d com a; b; c; d R, tem-se 8 < U L @ : + b ; + c ; ; + d 9 A ;, 9 Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ), v (; ; ) e v (; ; ) Tem-se (i) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (ii) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) (iii) ( ; ; ) (; ; ) + ( )(; ; ) + ( )(; ; ) (iv) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; )

Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ; ), v (; ; ; ) e v (; ; ; ) Tem-se j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j L +L L j j j j L +L L j j j j j j j j Logo, (; ; ; ); (; ; L +L L j j j j j j j j j j j j j j j j ; ) L (fv ; v ; v g), com (; ; ; ) (; ; ; ) + (; ; ; ) + (; ; ; ) : (*) (; ; ; ) (; ; ; ) + ( )(; ; ; ) + ( )(; ; ; ) Atendendo a (*), ( ; ; ; ); (; ; ; ) L (fv ; v ; v g) Tem-se j j j k L +L L j j j k + L +L L j j j k + 8 Logo, 8 é o único valor de k para o qual o vector u (; ; k) R é combinação linear dos vectores v (; ; ) e w (; ; ): : Considere, no espaço linear P, os vectores p (t) + t + t, p (t) t + t, p (t) t + t e p (t) t t O vector q(t) + t + t pertence à expansão linear L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g)? Podem os vectores p (t), p (t), p (t) e p (t) gerar P? Tem-se j j j j j L +L L j L +L L L +L L j j j (**) Atendendo a (**), q(t) + t + t L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g) Logo, fp (t); p (t); p (t); p (t)g não pode gerar P :

(i) Seja U f(; ; ); (; ; ); (; ; )g Seja (x; y; z) R Tem-se Logo, U gera R (x; y; z) x(; ; ) + y(; ; ) + z(; ; ) (ii) Seja U f(; ; ); (; ; ); (; ; )g Seja (x; y; z) R Tem-se Logo, U gera R (x; y; z) x(; ; ) + (y x) (; ; ) + (z y) (; ; ) (iii) Seja U f(; ; ) ; ( ; ; ); (; ; ); ( ; ; )g Seja (x; y; z) R Determinemos os valores dos escalares ; ; ; para os quais se tem x y + + + z Ora a última igualdade é equivalente a x y z j x j y j z L +L L L +L L j x j y x j z x Logo 8>< x + y + s y z + s e assim x y z x + y + s com s R Logo, U gera R + >: x z + s s, s R y z + s + x z + s + s, A + B + C + + 8 ><, >: + + 8 <, :

Logo Seja U L ; ; Existe D M (R) tal que D U uma vez que a Seja c a c U M (R) e dim {z U} < dim M (R) {z } b a b U Tem-se U se e só se existirem escalares ; ; R tais que d c d a b A + B + C c d 8 a >< b a b A + B + C, +, + b d c d + >: L +L L L +L L j a j b j c j d L +L L L +L L j a j b a j a j b a j c a j d j c a j d + (b + a) c Logo, para que o sistema linear anterior seja possível é necessário que se tenha Deste modo podemos escrever a U c a e assim, sendo V c b d L $L d + (b + a) c L +L L L +L L j a j c a + c d j b a j d + (b + a) c b M d (R) : d + (b + a) c M (R) : d + (b + a) c, tem-se M (R) U V Ou seja, qualquer vector de V que não seja o vector nulo, esse vector não pertence a U Por exemplo U L ; ;

Sejam u (; ; ); v (; ; ) e w (; ; ): O vector (a; b; c) de R pertencerá a L (fu; v; wg) se existirem ; ; R tais que (a; b; c) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ), isto é, se o seguinte sistema (nas variáveis, e ) fôr possível e determinado: 8 < + a + b : c Considerando então a matriz aumentada deste sistema, tem-se: j a j a j b j b a j c L +L L j c L +L L j a a j b j c + b a Assim, o vector (a; b; c) de R pertencerá a L (fu; v; wg) se: c + b a L +L L Observação: Deste modo, tem-se L (fu; v; wg) R De facto, uma vez que v u w tem-se L (fu; v; wg) L (fu; wg) e como tal fu; v; wg não pode gerar R Sejam Tem-se e B A A L +L L L +L L Atendendo ao método de eliminação de Gauss: e B L +L L L +L L L(A) L(A ) e L(B) L(B ) : A B

Além disso, uma vez que tem-se Finalmente, como se tem sempre (; ; ) (; ; ) (; ; ), L(A) L(A ) L(B ) L(B) C(A T ) L(A) e L(B) C(B T ), conclui-se que C(A T ) C(B T ) (i) Seja U f(x; y; z; w) R : x e y zg Tem-se U f(; z; z; w) : z; w Rg Atendendo a que tem-se (; z; z; w) z(; ; ; ) + w(; ; ; ), U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) (ii) Seja U f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g Tem-se U f( y z w; y; z; w) : y; z; w Rg Atendendo a que ( y z w; y; z; w) y( ; ; ; ) + z( ; ; ; ) + w( ; ; ; ), tem-se U L (f( ; ; ; ); ( ; ; ; ); ( ; ; ; )g) (iii) Seja U f(x; y; z; w) R : x + y z e x + y + w e y z + w g Observe-se que U N (A), com A Tem-se A Logo, U N (A) N (A ) Assim, L +L L L +L L U (x; y; z; w) R : x + y z e y + z + w e w f( z; z; z; ) : z Rg fz( ; ; ; ) : z Rg L (f( ; ; ; )g) A

8 (i) Seja U L (f t ; + tg) um subespaço de P Seja p (t) U, com p (t) a + a t + a t Então, existirão ; R tais que Tem-se então a matriz aumentada j a j a L j a +L L p (t) a + a t + a t t + ( + t) j a j a j a + a L +L L j a j a j a + a a Logo, para que o sistema linear anterior seja possível é preciso que a + a a Assim, U p (t) a + a t + a t P : a + a a (ii) Seja U L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) Seja (x; y; z) U Então, existirão ; ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) + ( ; ; ) Tem-se então a matriz aumentada j x j y L j z +L L j x j y j z x Assim, U (x; y; z) R : z x Observação extra: U L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g), uma vez que ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) (iii) Seja V L (f(; ; ); ( ; ; )g) Seja (x; y; z) V Então, existirão ; R tais que Tem-se então a matriz aumentada j x j y L j z L (x; y; z) (; ; ) + ( ; ; ) j y j x j z L +L L j y j x j z x Assim, V (x; y; z) R : z x Observação extra: V L (f(; ; ); ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g), uma vez que ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) e (; ; ) ( ; ; ) + (; ; )

(iv) Seja W L (f(; ; ); (; ; )g) Seja (x; y; z) V Então, existirão ; R tais que Tem-se então a matriz aumentada j x j y L j z +L L L +L L (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) j x j y x j z x L +L L j x j y x j z y + x Assim, W (x; y; z) R : x y + z Observação extra: W L (f(; ; ); ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g), uma vez que (; ; ) (; ; ) + ( )(; ; ), ( ; ; ) (; ; ) + ( )(; ; ) e (; ; ) (; ; ) + ( ; ; ), (; ; ) (; ; ) + ( ; ; ) (v) Seja U L (f(; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) U Então, existirá R tal que Tem-se então a matriz aumentada j x j y j z j w (x; y; z; w) (; ; ; ) L +L L L +L L j x j y j x + z j w x Assim, U (x; y; z; w) R : y e x + z e w x então (vi) Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) Como (; ; ; ) (; ; ; ) + (; ; ; ) e (; ; ; ) (; ; ; ) (; ; ; ) U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) U Então, existirão ; R tais que Tem-se então a matriz aumentada j x j y j z j w (x; y; z; w) (; ; ; ) + (; ; ; ) L +L L L +L L L +L L j x j x + y j x + z 8 j x + w L +L L

Assim, L +L L j x j x + y j x + z j x + z + w L $L j x j x + z j x + y j x + z + w U (x; y; z; w) R : x + y e x + z + w : 9 Podemos colocar os vectores do conjunto f( ; ; ); ( ; ; 9)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss Se, tem-se A 9 L +L L L +L L + + 9 A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f( ; ; ); ( ; ; 9)g é linearmente independente se e ou Se, tem-se 9 L $L 9 L +L L 9 + Logo, o conjunto f( ; ; ); ( ; ; 9)g é linearmente independente se e ( ou ) Assim, o conjunto f( ; ; ); ( ; ; 9)g é linearmente independente se e só se e ou ou ( e ( ou )) (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L $L L +L L 8 8 L L L L L +L L L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é 8

linearmente dependente, mas o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente Procuremos então ; R tais que (; ; ) (; ; ) + (; ; ) Atendendo ao que já se fez e considerando a a coluna como o termo independente do sistema, tem-se 8 + 8 8 >< < < +,, : : >: Pelo que (; ; ) (; ; ) (; ; ) (ii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss A A L +L L L L +L L 8 +L L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente (iii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss A A L +L L L L +L L +L L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente Observação extra: encontrámos três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R, sem ser preciso veri car se gera R (iv) O conjunto f(; ; Facilmente se vê que f(; ; ); (; ; ); (; ; )g contém o vector nulo, logo é linearmente dependente ); (; ; )g é linearmente independente Facilmente também se vê que (; ; ) (; ; ) + (; ; ) 9

(v) Como a dimensão de R é, então qualquer conjunto de vectores de R com mais do que três vectores é linearmente dependente O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g é formado por quatro vectores de R, logo é linearmente dependente para quaisquer x; y; z R Resolução alternativa para veri car a dependência linear: Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss A x y z L +L L x y x z L +L L x y x A L +L L z (y x) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g é linearmente dependente para quaisquer x; y; z R, mas o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente Observação extra: encontrámos três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R, sem ser preciso veri car se gera R Procuremos então ; ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Atendendo ao que já se fez e considerando a a coluna como o termo independente do sistema, tem-se 8 8 8 + x + x x >< >< >< z + y + + y, + y x, (y x) z >: >: + z z >: (y x) z y + x Pelo que (x; y; z) x z + y (; ; ) + (y x) z (; ; ) + z y + x (; ; ) Podemos colocar os vectores do conjunto f(a ; ; ); (; a; ); (; ; )g como colunas de uma A matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss a A a a L $L a a L +L L

a L +L L a a a al +L L a a A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto S a (a ; ; ); (; a; ); (; ; ) é linearmente independente se e só se a f ; ; g Logo, uma vez que dim R e S a tem vectores, S a será uma base de R se e só se a f ; ; g Sejam U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) e V k L (f(; k; ; ); (; ; ; )g) subespaços de R : Determine os valores de k para os quais dim (U \ V k ) Coloquemos os vectores geradores de U e de V como colunas da matriz: k L $L k L +L L L +L L Note que U + V k L (U [ V k ) Como e k L +L L k dim (U \ V k ) dim U + dim V k dim (U + V k ) + dim (U + V k ) dim (U + V k ) então dim (U \ V k ) se e só se k dim (U + V k ) se k se k (i) Seja (x; y; z) R Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss x x x A y y y A L z +L L L z x +L L z x y As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Qualquer conjunto f(; ; ); (; ; ); (x; y; z)g em que z x y constitui uma base de R (ii) Seja (x; y; z) R Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (x; y; z)g

como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss x x x A y y + x x z A z L +L L x L $L z y + x L +L L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, qualquer conjunto em que y + x constitui uma base de R f(; ; ); ( ; ; ); (x; y; z)g (iii) Seja (x; y; z) R Podemos colocar os vectores do conjunto f( ; ; ); (; ; ); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss x x A y y + x A L z +L L L +L L z + x As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, qualquer conjunto em que z + x constitui uma base de R f( ; ; ); (; ; ); (x; y; z)g (i) Seja O conjunto S é linearmente dependente, pois: Mas, o conjunto S cos t; sen t; cos t cos t cos t sen t S cos t; sen t é linearmente independente pois se tivermos ; R tais que cos t + sen t, para todo o t R, então se zermos t obtemos e a seguir se zermos t obtemos Logo, Pelo que, o conjunto S fcos t; sen tg é uma base de L(S), pois gera L(S) e é linearmente independente E então, dim L(S) (ii) Seja S ; sen t; cos t

O conjunto S é linearmente dependente, pois: Mas, o conjunto cos t + sen t S cos t; sen t é linearmente independente pois se tivermos ; R tais que cos t + sen t, para todo o t R, então se zermos t obtemos e a seguir se zermos t obtemos Logo, Pelo que, o conjunto S fcos t; sen tg é uma base de L(S), pois gera L(S) e é linearmente independente E então, dim L(S) (iii) Seja O conjunto S é linearmente dependente, pois: Mas, o conjunto S e t ; e t ; cosh t cosh t et + e t S e t ; e t é linearmente independente pois se tivermos ; R tais que e t + e t, para todo o t R, então se zermos t obtemos + e a seguir se zermos t obtemos e + e Logo, Pelo que, o conjunto S fe t ; e t g é uma base de L(S), pois gera L(S) e é linearmente independente E então, dim L(S) (iv) Seja O conjunto S é linearmente dependente, pois: Mas, o conjunto S ; t; t ; (t + ) dim P e S tem vectores S ; t; t é linearmente independente pois trata-se da base canónica de P Logo, L(S) P e dim L(S) dim P Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real Sejam f; g; h V, com f (t) sen t, g (t) cos t e h (t) t Vejamos que o conjunto ff; g; hg é linearmente independente Sejam ; ; R tais que f + g + h

Note que f + g + h, f (t) + g (t) + h (t), para todo o t R,, sen t + cos t + t, para todo o t R Para t, t, t tem-se respectivamente as seguintes equações 8 8 sen + cos + >< >< sen + cos +, + >: sen + cos + >: + 8 <, : Logo, e assim o conjunto ff; g; hg é linearmente independente Observação Como ff; gg ff; g; hg, as funções sen t e cos t são linearmente independentes (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ); (; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A A L +L L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto formado pelos vectores das colunas e da matriz A: f(; ); (; )g é linearmente independente Temos assim, dois vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto B f(; ); (; )g é desde logo uma base de R (Não foi preciso veri car se B gera R ) Isto é, B é base de L(B) R e dim L(B) dim R Determinemos agora as coordenadas do vector (; ) em relação à base de R Isto é, queremos encontrar ; R tais que Formando a matriz aumentada do sistema, tem-se j j Logo, 8 < e assim, B f(; ); (; )g (; ) (; ) + (; ) : + L +L L j j 8 <, : (; ) (; ) + (; )

Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são (; por: (; ) + ( )(; ) ( ; ) ) nessa base, é dado (ii) O conjunto S f(; ); (; )g contém o vector nulo, logo o conjunto é linearmente dependente, pelo que não pode ser base de R No entanto, S f(; )g é linearmente independente e S é base de L(S ) L(S) Logo, dim L(S) (iii) O conjunto S f(; )g não pode ser base de R uma vez que tem só um vector e qualquer base de R tem sempre dois vectores (pois dim R ) No entanto, S f(; )g é linearmente independente e S é base de L(S) Logo, dim L(S) (iv) Facilmente se vê que o conjunto B f( ; ); (; )g é linearmente independente Temos assim, dois vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto B f( ; ); (; )g é desde logo uma base de R (Não foi preciso veri car se B gera R ) Determinemos agora as coordenadas do vector (; ) em relação à base de R Isto é, queremos encontrar ; R tais que B f( ; ); (; )g (; ) ( ; ) + (; ) Facilmente se vê que e Isto é, (; ) ( ; ) + (; ) Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são (; por: ( ; ) + ( )(; ) (; ) ) nessa base, é dado (v) Como a dimensão de R é, então qualquer conjunto de vectores de R com mais do que vectores é linearmente dependente O conjunto S f(; ); (; ); (; )g é formado por três vectores de R, logo é linearmente dependente e como tal não pode ser uma base de R No entanto, podemos colocar os vectores do conjunto S f(; ); (; ); (; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A A L +L L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto formado pelos vectores das colunas e da matriz A: B f(; ); (; )g é linearmente independente Temos assim, dois vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto B f(; ); (; )g é desde logo uma base de R (Não foi preciso veri car se B gera R )

Determinemos agora as coordenadas do vector (; ) em relação à base de R Isto é, queremos encontrar ; R tais que Formando a matriz aumentada do sistema, tem-se j j Logo, 8 < e assim, B f(; ); (; )g (; ) f(; ) + (; )g : + L +L L j j 8 <, : (; ) (; ) + (; ) Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são (; por: (; ) + ( )(; ) ( ; ) ) nessa base, é dado (vi) Bc f(; ); (; )g é a base canónica de R As coordenadas do vector (; ) em relação à base Bc são precisamente e Ainda em relação à base Bc, o vector cujas coordenadas nessa base são (; ) é precisamente o vector (; ) (i) O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g contém o vector nulo, logo o conjunto é linearmente dependente, pelo que não pode ser base Mas, L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) e facilmente se vê que o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente Logo, dim L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) e o conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) (ii) Facilmente se vê que o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de L (f(; ; ); (; ; )g) e dim L (f(; ; ); (; ; )g) (iii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A 8 8 A L +L L 8 L +L L L +L L 8

As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é linearmente independente Temos assim, três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R Vamos agora escrever o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores desta base Isto é, procuremos ; ; R tais que ( ; ; ) (; ; ) + ( ; ; ) + (; ; ) Temos então j j j L +L L L +L L Logo, 8>< Pelo que ( ; ; ) >: j 8 j j 8 + 8 9 8 (; ; ) + Finalmente e ainda em relação à base f(; ; ); ( ( ; ; ) nessa base, é dado por: >: 8 L +L L 8 ><, 9 ( ; ; ) + 9 (; ; ) j 8 j 8 j 98 ; ; ); (; ; )g de R, o vector cujas coordenadas são ( )(; ; ) + ( ; ; ) + ( )(; ; ) ( ; ; ) (iv) Facilmente se vê que o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente Temos então três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R Vamos agora escrever o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores desta base Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então: 8 < Pelo que ( ; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) : + + + 8 <, : ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) ( ; ; ) (v) Como a dimensão de R é, então qualquer conjunto de vectores de R com mais do que três vectores é linearmente dependente O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g

é formado por quatro vectores de R, logo é linearmente dependente Vamos procurar o número máximo de vectores linearmente independentes que, em conjunto, geram L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g como linhas de uma A matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L L L L L +L L A As linhas não nulas da matriz em escada A são linearmente independentes Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é formado por três vectores de R, linearmente independentes Atendendo a que a dimensão de R é, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R Uma vez que L(A) L(A ) temos então: Logo, L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) R dim L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g) Vamos agora escrever o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores da base Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então: 8 < Pelo que Finalmente e ainda em relação à base f(; ; ( ; ; ) nessa base, é dado por: f(; ; ); (; ; ); (; ; )g : ( ; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) : + + +, 8 <, : ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) ); (; ; ); (; ; )g de R, o vector cujas coordenadas são ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) ( ; ; ) 8

(vi) B c f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é a base canónica de R As coordenadas do vector ( ; ; ) em relação à base B c são precisamente ; e Ainda em relação à base B c, o vector cujas coordenadas nessa base são ( ; ; ) é precisamente o vector ( ; ; ) 8 (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: L +L L Logo, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente Temos assim, quatro vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; é desde logo uma base de R e dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) dim R (ii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L Logo, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente e é assim uma base do subespaço de R : L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) tendo-se dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) Atendendo ainda ao método de eliminação de Gauss, uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto apresentado: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g uma vez que ::: {z } car 9

(iii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L +L L L +L L L +L L L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, os vectores das colunas ; ; e da matriz A: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g são uma base de R, por serem quatro vectores linearmente independentes de um espaço linear de dimensão E dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) dim R (iv) Facilmente se vê que o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente Temos então quatro vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é desde logo uma base de R e dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) dim R (v) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L $L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L 8 8 L +L L 8 8 8 A

As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, os vectores das colunas ; e da matriz A formam um conjunto linearmente independente: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g Assim, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de tendo-se L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g), dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) Atendendo ainda ao método de eliminação de Gauss, uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto inicial: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g uma vez que ::: {z } car (vi) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L $L L +L L L $L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L 8 9 L +L L 8 9 A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, os vectores das colunas ; e da matriz A formam um conjunto linearmente independente: f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g Assim, o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g), tendo-se dim L (S) dim L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g) 8

Uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g : f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g Vejamos que (8; ; ; ) L (S) e determinemos uma base de L (S) que inclua o vector (8; ; ; ) Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então: L +L L L +L L L +L L (8; ; ; ) (; ; ; ) + ( ; ; ; ) + (; ; ; ) j 8 j j j L $L L $L j 8 j j j j j 8 j j L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L j 8 j j j (*) Logo, 8>< Pelo que >: (8; ; ; ) (; ; ; ) + ( ; ; ; ) + (; ; ; ) Atendendo a (*), o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (8; ; ; )g é uma base de L (S) que inclui o vector (8; ; ; ): Atendendo ainda ao método de eliminação de Gauss, uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto inicial: f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (8; ; ; )g uma vez que 8 ::: 8 {z } car 9 (i) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto + t t ; t + t ; t 8

como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L $L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto + t t ; t + t ; t, formado por três vectores de P, é linearmente independente Como a dimensão de P é, então o conjunto + t t ; t + t ; t é desde logo uma base de P tendo-se e Vamos agora escrever o vector L + t t ; t + t ; t P dim L + t t ; t + t ; t dim P t como combinação linear dos vectores da base + t t ; t + t ; t : Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então: 8>< t ( + t t ) + (t + t ) + ( t ) >: + +, 8 ><, >: Pelo que t ( + t t ) (t + t ) ( t ) Finalmente e ainda em relação à base f + t t ; t + t ; t g de P, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )( + t t ) + (t + t ) + ( t ) + t + t (ii) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto t t ; t ; + t; t 8

como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L $L L +L L L +L L L +L L 9 A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto dos vectores correspondentes às colunas ; e da matriz A: t t ; t ; + t é uma base de L t t ; t ; + t; t Como a dimensão de P é, então o conjunto t t ; t ; + t é desde logo uma base de P tendo-se e L t t ; t ; + t; t L t t ; t ; + t P dim L t t ; t ; + t; t dim P Vamos agora escrever o vector t como combinação linear dos vectores da base ft t ; t ; + tg Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então: 8>< Pelo que >: t (t t ) + ( t ) + ( + t) + +, 8 ><, + >: 8 ><, >: t (t t ) + ( t ) + ( + t) Finalmente e ainda em relação à base ft t ; t ; + tg de P, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )(t t ) + ( t ) + ( + t) t (iii) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto + t ; t t ; t + t ; + t 8

como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A A L +L L L +L L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto dos vectores correspondentes às colunas ; da matriz A: + t ; t t é uma base de tendo-se e L + t ; t t ; t + t ; + t, L + t ; t t ; t + t ; + t L + t ; t t dim L + t ; t t ; t + t ; + t dim L + t ; t t (iv) Facilmente se vê que o conjunto f + t + t ; tg é linearmente independente Logo, ele próprio é uma base de L + t + t ; t, e tem-se dim L + t + t ; t (v) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto + t t ; + t ; + t t ; + t t como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A L +L L L +L L L L L L L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto dos vectores correspondentes às colunas ; e da matriz A: + t t ; + t ; + t t é uma base de L + t t ; + t ; + t t ; + t t Como a dimensão de P é, então o conjunto + t t ; + t ; + t t 8

é desde logo uma base de P tendo-se L + t t ; + t ; + t t ; + t t e Vamos agora escrever o vector L + t t ; + t ; + t t P dim L + t t ; + t ; + t t ; + t t dim P t como combinação linear dos vectores da base + t t ; + t ; + t t : Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então: t ( + t t ) + ( + t ) + ( + t t ) Aplicando então o método de eliminação de Gauss à matriz aumentada do sistema anterior, temos: j j j j L j +L L L +L L j L L L L j j j L +L L j j j Logo, 8>< Pelo que t ( + t t ) + >: ( + t ) + ( ) ( + t t ) Finalmente e ainda em relação à base f + t t ; + t ; + t t g de P, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )( + t t ) + ( + t ) + ( + t t ) + t + t (vi) O conjunto f; t; t g é a base canónica de P As coordenadas do vector + t + t em relação a essa base são precisamente ; e Ainda em relação à base f; t; t g, o vector cujas coordenadas nessa base são ( ; ; ) é precisamente o vector + t + t 8

Como o espaço linear M (R) tem dimensão, então para veri car que as matrizes ; ; ; formam uma base de M (R) basta ver que são linearmente independentes Sejam ; ; ; R tais que + + +, onde é a matriz nula Queremos provar que Temos então: + + + + + isto é, 8> < ou ainda >: + + + + +, Aplicando então o método de eliminação de Gauss à matriz dos coe cientes do sistema homogéneo anterior, temos: L +L L L $L L $L L +L L L +L L Logo, a única solução do sistema é: (; ; ; ) (; ; ; ) Assim, o conjunto ; ; ; é uma base de M (R) Seja S ; ;, ; Seja W um subespaço de M (R) gerado por S Determinemos uma base para W que inclua vectores de S Sejam ; ; ; ; R tais que + + + + 8

Temos então: L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L pelo que sendo as primeiras colunas da matriz em escada anterior independentes, o conjunto de matrizes ; é uma base de W, atendendo também a que ; ; L ; A dimensão do espaço linear M (R) é Assim, para encontrar uma base de M (R), basta encontrar matrizes do tipo que sejam linearmente independentes O seguinte conjunto de matrizes do tipo : 8 9 < ; ; ; ; : é linearmente independente Logo, é uma base de M (R) (Chama-se a esta base, a base canónica de M (R)) ; ; (i) Uma matriz diagonal do tipo tem a seguinte forma: a b com a; b; c R c E tem-se a b c a + b + c Isto é, o subespaço formado por todas as matrizes diagonais do tipo, é gerado pelo conjunto 8 9 < D ; ; : ; Além disso, este conjunto é linearmente independente Temos então que o conjunto D é uma base do subespaço formado por todas as matrizes diagonais do tipo Logo, o subespaço tem dimensão 88

(ii) Uma matriz simétrica do tipo tem a seguinte forma: a b c b d e com a; b; c; d; e; f R c e f E tem-se a b c b d e c e f +d a + e + b + f + c Isto é, o subespaço formado por todas as matrizes simétricas do tipo, é gerado pelo conjunto 8 9 < S ; ; ; ; ; : ; Além disso, este conjunto é linearmente independente Temos então que o conjunto S é uma base do subespaço formado por todas as matrizes simétricas do tipo Logo, o subespaço tem dimensão + (i) A L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; )g) e o conjunto f(; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; )g), e o conjunto f(; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, Au, A u A equação u u 89

é equivalente à equação u + u Logo, N (A) f(u ; u ) : u Rg L (f(; )g) O conjunto S f(; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) (ii) A L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; )g) e o conjunto f(; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; )g), e o conjunto f(; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: Por de nição: Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, A equação é equivalente à equação ou seja a Logo, Como cara dim C(A) dim L(A) N (A) u R : Au Au, A u u u u u u u, u u N (A) f(u ; u ; u ; u ) : u ; u ; u Rg (u ; u ; u ; u ) u (; ; ; ) + u (; ; ; ) + u (; ; ; ), 9

tem-se: N (A) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: Como S é linearmente nula dim N (A) (iii) A As colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) e o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g), e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: A equação N (A) u R : Au u u u u é equivalente ao sistema 8 < Logo, : u u u N (A) f(u ; ; ; ) : u Rg L (f(; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; )g é linearmente independente N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) Como S é linearmente independente e gera (iv) A L +L L L +L L A 9

As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) e o conjunto f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g) L (; ; ); (; ; ); (; ; ), e quer o conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g ; quer o conjunto (; ; ); (; ; ); (; ; ), são bases para L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: Como se tem sempre: então e N (A) u R : Au n o de colunas de A cara + nula, N (A) fg nula dim N (A) Alternativamente poderíamos veri car que se tem mesmo Pelo método de eliminação de Gauss, temos A equação é equivalente ao sistema 8 < ou seja a Logo, N (A) fg Au, A u : u u u u + u u u u u u u u N (A) f(; ; )g 9

e como tal nula dim N (A) (v) A As colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) R, e o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: N (A) u R : Au A equação é equivalente ao sistema 8 < Logo, (vi) : u u u u u u N (A) f(; ; )g e nula dim N (A) A L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f( ; ; ); (; ; )g) e o conjunto f( ; ; ); (; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L(A ) L (f( ; ; ; ); (; ; ; )g), 9

e o conjunto f( ; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, Au, A u A equação u u u u é equivalente ao sistema u + u + u u + u ou seja a u u + u u u Logo, Como tem-se: N (A) f(u + u ; u ; u ; u ) : u ; u Rg (u + u ; u ; u ; u ) (u ; u ; u ; ) + (u ; ; ; u ) u (; ; ; ) + u (; ; ; ), N (A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) (vii) A L +L L L +L L L +L L 8 L +L L L +L L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) 9

ou seja a u u u + u e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g), e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, Au, A u A equação u u u u é equivalente ao sistema u + u + u u u u + u u u + u e ainda a u u u u u + u Logo, Como tem-se: N (A) f(u u ; u + u ; u ; u ) : u ; u Rg (u u ; u + u ; u ; u ) (u ; u ; u ; ) + ( u ; u ; ; u ) u (; ; ; ) + u ( ; ; ; ), N (A) L (f(; ; ; ); ( ; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) Sejam U e V subespaços de W tais que dim U ; dim V e dim W Tem-se dim (U \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) 9 dim (U + V ) : 9

Como U + V é subespaço de W, tem-se dim V dim (U + V ) dim W e assim dim (U + V ) f; ; g Logo, dim (U \ V ) f; ; g : Determine bases e calcule as dimensões de U + V e U \ V, dizendo em que casos U + V é a soma directa U V (determine-a) dos subespaços U e V (i) Em R, considere os subespaços: U L (f(; ; ); (; ; )g) e V L (f(; ; ); ( ; ; )g) Logo, U + V L (U [ V ) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) Facilmente se veri ca que f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g é uma base de U + V, ou melhor de R Logo, dim (U + V ) e Seja (x; y; z) U Tem-se j x j y L j z +L L L +L L Logo Seja (x; y; z) V Tem-se j x j y L j z +L L L +L L Logo Deste modo dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + j x j x + y j z x L +L L U (x; y; z) R : z x y j x j y x j z x L +L L V (x; y; z) R : z y x j x j x + y j z x y j x j y x j z y x U \ V (x; y; z) R : z x y e z y x L (f(; ; )g) e como tal, f(; ; )g é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V ) Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V (ii) Sejam U f(x; y; z) R : x + y z e x + y g ; V L (f(; ; )g) Tem-se (; ; ) U pois + Logo U \ V fg e dim (U \ V ) 9

Por outro lado, como tem-se U ( y; y; ) R : y R L (f( ; ; )g), U + V L (f( ; ; ); (; ; )g) e sendo f( ; ; ); (; ; )g uma base de U + V, dim (U + V ) Além disso, como U \ V fg, U + V U V L (f( ; ; ); (; ; )g) (iii) Em R, considere os subespaços: U L (f(; ; ); ( ; ; )g) e V f(x; y; z) : x + y + z g Seja v U, então v (; ; ) + ( ; ; ) ( ; ; + ), com ; R Para que v esteja também em V é preciso que: + + ( + ) isto é, +, Assim, Logo, v (; ; ) + ( ; ; ) U \ V ; ; ; ; ; ; : R L ; ; e como tal, ; ; é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V ) Tem-se V L (f( ; ; ); ( ; ; )g) Logo, U + V L (U [ V ) L (f(; ; ); ( ; ; ); ( ; ; ); ( ; ; )g) : Facilmente se veri ca que f(; ; ); ( ; ; ); ( ; ; )g é uma base de U + V, ou melhor de R Logo, dim (U + V ) : Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V (iv) Em R, considere os subespaços: U (x; y; z) R : x y z e V (x; y; z) R : x Tem-se U L (f(; ; )g) e V L (f(; ; ); (; ; )g) Como f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de U + V L (U [ V ) então dim (U + V ) e U + V U V R 9

Como U \ V fg então dim (U \ V ) (v) Em P, considere os subespaços: U L + t; t e V a + a t + a t P : a a + a Seja p (t) U Então existem ; R tais que Atendendo a j a j a L j a +L L p (t) a + a t + a t ( + t) + t j a j a a j a L +L L j a j a a j a a + a Logo, tem-se pelo que Assim, f + t; U V U + V U V e U \ V U V t g é uma base de U; de V, de U + V e de U \ V, tendo-se dim (U + V ) dim (U \ V ) Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V Logo (vi) Em P, considere os subespaços: U L + t; t e V L + t + t ; t t ; + t + t U + V L (U [ V ) L + t; t ; + t + t ; t t ; + t + t : Vejamos quais dos vectores do conjunto + t; t ; + t + t ; t t ; + t + t são linearmente independentes Coloquemos então os coe cientes desses vectores como colunas de uma matriz: A L +L L L +L L A (*) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto + t; t ; + t + t ; t t é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) e deste modo U + V P 98

Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto + t; t é base de U, tendo-se dim U, e como L +L L L +L L L +L L L +L L o conjunto + t + t ; t t ; + t + t é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V Determinemos U \ V Seja p (t) a + a t + a t + a t U Tem-se j a j a j a j a j a j a a L +L L j a j a a L +L L j a j a j a j a + a a Logo U a + a t + a t + a t P : a e a + a a Seja q (t) a + a t + a t + a t V Tem-se j a j a j a L +L L L j a +L L Logo Deste modo L +L L j a j a a j a a j a a + a j a j a a j a a j a L +L L L +L L j a j a a j a a j a + a a + a V a + a t + a t + a t P : a + a a + a U \ V a + a t + a t + a t P : a e a a + a e a + a + a + a a + a t + a t + a t P : (a ; a ; a ; a ) N @ A 99

Atendendo a que L +L L tem-se L $L L $L U \ V a + a t + a t + a t P : a a + a e a + a + a e a a + a t + a t + a t P : a a e a a e a a + a t + a t P : a R a + t + t P : a R L + t + t e como tal, f + t + t g é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V ) e (vii) Em R, considere os subespaços: Atendendo a que L $L A U L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; 8); ( ; ; ; )g) 8 8 8 8 9 V L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 8)g) L +L L L +L L L +L L L +L L 9 8 8 8 8 L $L A (*) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 8)g é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) e deste modo U + V R Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é base de U, tendo-se dim U, e como 8 L $L 8 L $L L L 8 8 L +L L

o conjunto L +L L 8 8 8L +L L f(; ; ; ); (; ; ; )g 8 é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Neste caso, como U \ V fg então U + V U V R : (viii) Em R, considere os subespaços: U (x; y; z; w) R : x + y + z e y + z + w e V L (f(; ; ; ); (; 9; ; ); ( ; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) V Então existem ; ; R tais que Atendendo a L +L L L +L L L +L L Logo, tem-se pelo que V (x; y; z; w) (; ; ; ) + (; 9; ; ) + ( ; ; ; ) j x 9 j y j z j w L $L j w j y w j z + w j x w j w 9 j y j z j x L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L j w j y w j 9 j x w + y (x; y; z; w) R : w + y + z e x 9 w + y (x; y; z; w) R : y + z + w e x + y + z U U + V U V e U \ V U V (*) Atendendo ainda a (*), o conjunto f(; ; ; ); (; 9; ; ); ( ; ; ; )g é linearmente dependente, sendo linearmente independente o seguinte seu subconjunto f(; ; ; ); (; 9; ; )g

Assim, f(; ; ; ); (; 9; ; )g é uma base de U; de V, de U + V e de U \ V, tendo-se dim (U + V ) dim (U \ V ) Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V (ix) Seja U o subespaço de R gerado por Seja V o subespaço de R gerado por Atendendo a que A L +L L L +L L L +L L f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L A (*) L +L L L +L L L +L L L +L L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é base de U, tendo-se dim U, e como L +L L L +L L L +L L L +L L

o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V Determinemos uma base para U \ V Atendendo a L +L L L +L L L +L L tem-se j x j x j x j x j x L +L L L +L L L +L L j x j x + x j x + x j x + x + x j x x + x j x j x + x j x + x j x + x j x L +L L L +L L L +L L L +L L j x j x + x j x + x j x + x + x j x x + x + x U (x ; x ; x ; x ; x ) R : x + x + x e x x + x + x Por outro lado, atendendo a j x j x j x j x j x L +L L L +L L tem-se Logo Como L +L L L +L L L +L L j x j x + x j x + x j x x + x j x + x + x j x j x + x j x + x j x j x + x L +L L L +L L L +L L j x j x + x j x + x j x x + x j 9x + x + x + x V (x ; x ; x ; x ; x ) R : x x + x e 9x + x + x + x U \ V 9 (x ; x ; x ; x ; x ) R : x + x + x e x x + x + x e x x + x e 9x + x + x + x L +L L L +L L L +L L L +L L

tem-se 8 < pelo que L +L L : x + x + x x + x + x + x x L L L +L L 8 < x x x, x : x + x x x U \ V x x ; x + x ; x ; ; x R : x ; x R L ; ; ; ; ; ; ; ; ; Como o conjunto ; ; ; ; ; ; ; ; ; gera U \ V e é linearmente independente, então é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V ) (x) Atendendo a que A L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L L +L L A (*) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ) ; (; ; ; )g é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) e assim U + V R Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto é base de U, tendo-se dim U, e como L +L L L +L L L +L L f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g L +L L L +L L L +L L

o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Uma base para U \ V Atendendo a tem-se L +L L L +L L Por outro lado, atendendo a tem-se Logo L +L L L +L L j x j x j x j x L +L L j x j x j x + x x j x x j x j x j x + x j x L +L L U (x ; x ; x ; x ) R : x x + x + x j x j x j x j x L +L L L +L L L +L L j x j x x j x x + x j x x + x L +L L L +L L j x j x j x + x x j x x + x + x j x j x x j x x j x x L +L L L +L L L +L L j x j x x j x x + x j x x x + x V (x ; x ; x ; x ) R : x + x x + x U \ V (x ; x ; x ; x ) R : x x + x + x e x + x x + x Como o conjunto (x ; x ; x ; x ) R : x x e x x + x f( x + x ; x ; x ; x ) : x ; x ) Rg L (f( ; ; ; ) ; (; ; ; )g) f( ; ; ; ) ; (; ; ; )g gera U \ V e é linearmente independente, então é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V )

(i) A L +L L L +L L Como A tem colunas e então L +L L L +L L L +L L cara dim C(A) dim L(A) n o de colunas de A cara + nula, nula, isto é, dim N (A) L +L L L +L L A (ii) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g) e o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é uma base de C(A) Por de nição: N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, A equação matricial é equivalente ao sistema 8 < Au, A u ou seja a 8 < Logo, : u u u u u u u + u + u u + u u : u u u u u u N (A) f(u u ; u ; u ; u ; ) : u ; u Rg

Como tem-se: (u u ; u ; u ; u ; ) (u ; u ; ; ; ) + ( u ; ; u ; u ; ) u (; ; ; ; ) + u ( ; ; ; ; ), N (A) L (f(; ; ; ; ); ( ; ; ; ; )g) Facilmente se veri ca que o conjunto S f(; ; ; ; ); ( ; ; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) (iii) A solução geral do sistema de equações lineares homogéneo Au é dada por com ; R (; ; ; ; ) + ( ; ; ; ; ), (iv) Uma solução particular de Au b, com b (; ; ; a solução geral de Au b é dada por: ; ), é por exemplo u (; ; ; ; ) Logo, (; ; ; ; ) + (; ; ; ; ) + ( ; ; ; ; ) Observação Note que se tem sempre: n o de colunas de A cara + nula Logo, 8 (i) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então car A dim L(A) dim C(A) nul A dim N (A) nul A T dim N (A T ) O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e determinado Neste caso, na solução geral de AX B, não existe nenhum parâmetro Logo, (ii) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : nul A T dim N (A T ) :

O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é impossível Logo, (iii) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e indeterminado Neste caso, na solução geral de AX B, existem dois parâmetros Logo, (iv) Se A M 9 (R) é tal que car A e car[a j B] então Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e indeterminado Neste caso, na solução geral de AX B, existem parâmetros Logo, (v) Se A M 9 (R) é tal que car A e car[a j B] então Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é impossível Logo, (vi) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : nul A T dim N (A T ) : 8

O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e indeterminado Neste caso, na solução geral de AX B, existem parâmetros Logo, (vii) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e determinado Neste caso, na solução geral de AX B, não existe nenhum parâmetro 9 Queremos encontrar A tal que N (A) L (f(; ; )g) Por de nição Por outro lado, temos N (A) u R : Au L (f(; ; )g) f(; ; ) : Rg (u ; u ; u ) R : u e u u Por exemplo: veri ca pois Au, A N (A) L (f(; ; )g), u u u 8 < u + u, : u Não é possível encontrar A tal que (; ; ) L(A) e (; ; ) N (A), pois se (; ; ) N (A) então a primeira entrada de todas as linhas de A é Pelo que, nesse caso, não se pode ter (; ; ) L(A) Seja A M (R) tal que nul A Uma vez que n o de colunas de A cara + nula, 9

então car A Isto é, A Seja A M mn (R) tal que C(A) N (A): Logo, o n o de linhas de A é igual ao n o de colunas de A Isto é, m n Além disso, como tem-se Pelo que, A M nn (R) com n par Exemplo: n cara + nula, A n dim N (A) : Seja A M nn (R) tal que car A n Logo, A é invertível Isto é, existe A tal que AA A A I Além disso, se A fôr tal que A A, então Logo, A I A AI A(AA ) (AA)A A A AA I Sejam B f(; ); (; )g e B f(; ); (; )g duas bases ordenadas de R Seja v (; ) (i) Tem-se v (; ) + (; ) Logo, e são as coordenadas de v em relação à base B (ii) Tem-se S B B uma vez que (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) + (; ) (iii) As coordenadas de v (; ) em relação à base B, são dadas por: S B B, uma vez que e são as coordenadas de v em relação à base B, (iv) Tem-se v (; ) (; ) + (; )

(v) Tem-se S B B uma vez que (; ) (; ) (; ) e (; ) (; ) (; ), Observação: S B B (S B B ) e S B B (S B B ) (vi) As coordenadas de v (; ) em relação à base B, são dadas por: S B B, uma vez que e são as coordenadas de v em relação à base B Seja Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ), v (; ) S B B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B Uma vez que S B B, então w v + v (; ) + (; ) (; ) e w v + v (; ) + (; ) (; ) Logo,, B f(; ); (; )g Seja Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w + t, w + t S B B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B Uma vez que S B B, então v ( + t) ( + t) + t e v ( + t) + ( + t) + t Logo,, B f + t; + tg

Sejam B f; t; t g e B f; + t; + t + t g duas bases ordenadas de P (i) Sejam ; e as coordenadas de um vector p(t) P em relação à base B Determinemos as coordenadas do mesmo vector p(t) em relação à base B Tem-se p(t) + ( + t) + + t + t + t + t + ( t) + t É fácil ver que, e Resolução alternativa: Tem-se S B B, uma vez que + ( t) + t, + t ( t) + t e + t + t ( t) + t Logo, as coordenadas de p(t) em relação à base B são dadas por: S B B, então onde ; e são as coordenadas de p(t) em relação à base B (ii) Determinemos a matriz S B B de mudança da base B para a base B Como + ( + t) + ( + t + t ) Além disso, bastaria ver que t ( + t) + ( + t + t ) t ( + t) + ( + t + t ) S B B S B B (S B B ) Logo, como as coordenadas do vector S B B t + t + ( t) + t t + t na base B são dadas por, ou seja t + t ( + t) + + t + t

Seja 8 Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w t, w t S B B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B Uma vez que S B B, então w v v e w v + v Isto é, tem-se o sistema 8 < v v t : v + v t, cuja matriz aumentada é dada por j t j t Pelo método de eliminação de Gauss: j t j t L +L L, j t j t Logo, v t e v (v + t) + t Logo, B + t; t Seja 9 Sejam B fv ; v ; v g e B fw ; w ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) S B B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B fw ; w ; w g Uma vez que S B B, então v w + w w ; v w + w w e v w + w + w Isto é, tem-se o sistema 8 < w + w w (; ; ) w + w w (; ; ) : w + w + w (; ; ),,

cuja matriz aumentada é dada por j j j Pelo método de eliminação de Gauss: j (; ; ) j (; ; ) L j (; ; ) +L L L +L L L +L L j (; ; ) j (; ; ) j ( ; ; ) j (; ; ) j (; ; ) j ( ; ; ) L +L L Tem-se então o sistema 8>< w + w w (; ; ) >: w (; ; ) w ( ; ; ) Logo, w ; ; ; w (; ; ) e w (; ; ) (; ; ) + ; ; B ; ; ; (; ; ); ; ; ; ; Logo, e Sejam B B ; ; ; ;,, duas bases ordenadas de M (R) Determinemos a matriz S B B de mudança da base B para a base B Queremos encontrar a ; a ; a ; a ; b ; b ; b ; b ; c ; c ; c ; c ; d ; d ; d ; d R tais que a + a + a + a b c d + b + c + d + b + c + d + b + c + d

Atendendo a L $L j j j j j j j j L +L L Logo, tem-se a b c d Isto é, tem-se os seguintes sistemas: 8 a + a + a + a >< a + a a + a >: a 8 >< >: c + c + c + c c + c c + c c L +L L L +L L L +L L L +L L j j j j j j j j j j j j + a + a + a + b + b + b + c + c + c + d + d + d 8 >< >: 8 >< >: b + b + b + b b + b b + b b d + d + d + d d + d d + d d L $L L +L L que são equivalentes a 8>< a a 8 >< b b >: a a >: b b

8 c 8 d >< c >< d c d >: >: c d Logo, a matriz S B B de mudança da base B para a base B é dada por: Assim, as coordenadas do vector S B B em relação à base B são dadas por Isto é, + + + Seja B fv ; v g uma base ordenada de P Sejam (; ) e (; ) respectivamente as coordenadas de dois polinómios + t e t em relação à base B: Determine B Tem-se + t v v + t v,, t v + v t v v + t, + t t Logo B + t; t v t Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P Suponha que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio p (t) em relação às bases B e B : Suponha ainda que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio q (t) em relação às bases B e B : Determine a matriz S B B de mudança da base B para a base B

Seja a S B B c b d Tem-se a c b d e a c b d Logo 8> <, a b c d >: a b c d a + b c + d, a b c d, e assim S B B

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Transformações lineares) Sejam a; b R Considere a aplicação T a;b : R R de nida por T a;b (x) ax + b Determine os valores de a e de b para os quais T a;b é linear Diga quais das seguintes transformações são lineares Determine para cada transformação linear a correspondente matriz que a representa em relação às respectivas bases canónicas (ordenadas) Determine também, se possível, para cada uma dessas transformações lineares, bases para o núcleo N (T ) e para o contradomínio I(T ), bem como as respectivas dimensões (de N (T ) e de I(T )) Diga ainda quais são injectivas, sobrejectivas e bijectivas (i) T : R R com T (x; y) (x + y; x y) (ii) T : R R com T (x; y) ( y; x) (iii) T : R R com T (x; y; z) (x; x; x) (iv) T : R R com T (x; y; z) (; ) (v) T : R R com T (x; y) x (vi) T : R R com T (x; y; z) (; ; ) (vii) T : R R com T (x) (x; ; x) (viii) T : R R com T (x; y; z) (x y; y) (ix) T : R R com T (x; y; z; w) (x y; w) (x) T : R R com T (x; y; z) ( z; y z; y; y + z) (xi) T : R R com T (x) (; ) (xii) T : R R com T (x; y; z) (x + y; z; x z) (xiii) T : R R com T (x; y; z) (x; y; z) (xiv) T : R R com T (x; y) (x cos y sen ; x sen +y cos ), R Aplicação que ao ponto de coordenadas (x; y) faz corresponder o ponto obtido por uma rotação de amplitude em torno da origem e no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio (xv) T : P P com T (p (t)) p ( t) tp (t), onde P fa + a t + a t : a ; a ; a Rg e p é a derivada de a ordem de p (xvi) T : P P com T (p (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t : p () p () (xvii) T : P M (R) com T (p (t)) p () p ( ) Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica (ordenada) Bc f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R é representada pela matriz M(T ; Bc; Bc) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R Determine, se possível, bases para o núcleo N (T ) e para o contradomínio I(T ), bem como as respectivas dimensões (de N (T ) e de I(T )) 8

Considere a base ordenada B fv ; v g de R, em que v (; ) e v (; ) e seja T : R R a transformação linear tal que (i) Calcule T (; ) T (v ) (; ), T (v ) ( ; ) (ii) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y) para qualquer (x; y) R (iii) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (iv) Determine as matrizes de mudança de base S B c B e S BB c Determine as coordenadas do vector (; ) na base B (v) Determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base ordenada B de R Determine as coordenadas do vector T (; ) na base B (vi) Determine a matriz M(T ; B c; B) que representa T em relação às bases ordenadas B c e B de R (vii) Determine a matriz M(T ; B; B c) que representa T em relação às bases ordenadas B e B c de R Considere as transformações lineares T e T cujas matrizes que as representam em relação às bases canónicas (ordenadas) de R e R são dadas respectivamente por M(T ; Bc; Bc) e M(T ; Bc; Bc) Determine as expressões gerais de (T T )(x; y) e (T T )(x; y; z) para quaisquer (x; y) R ; (x; y; z) R Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (y; y x; x) Determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base ordenada Seja B fv ; v ; v g de R com v (; ; ), v (; ; ), v ( ; ; ) Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação linear Determine a matriz M(S; B c S : M (R) M (R) de nida por S(A) A T ; B ) que representa S em relação à base canónica (ordenada) B c 8 Considere a transformação linear T : R R e a base canónica (ordenada) Suponha que se tem B c fv ; v ; v g de R, com v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) T (v ) v + v v, T (v + v ) v, T (v + v + v ) v + v 9 c

(i) Calcule T (v v + v ) (ii) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (iii) Determine duas bases ordenadas B fu ; u ; u g e B fw ; w ; w g de R de modo a que a matriz M(T ; B ; B ) que represente T em relação a essas bases B e B seja a matriz identidade: 9 Considere a transformação linear T : R R que em relação às bases ordenadas B fu ; u g de R e B fv ; v ; v g de R com u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), é representada pela matriz M(T ; B ; B ) Considere ainda as bases ordenadas B u ; u de R e B v ; v ; v de R com u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) (i) Determine as coordenadas do vector T ( ; ) na base B (ii) Determine as coordenadas do vector ( ; ) na base B (iii) Determine as coordenadas do vector T ( ; ) na base B (iv) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (v) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (vi) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y) para qualquer (x; y) R (vii) Determine a matriz M(T ; B ; B ) que representa T em relação às bases ordenadas B e B Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x + y; x + y z) (i) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação às bases canónicas (ordenadas) B c e B c de R e R respectivamente (ii) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iv) Determine a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; )

(v) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b) Veri que se existe algum vector (a; b) R para o qual essa equação seja impossível (vi) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b) Veri que se existe algum vector (a; b) R para o qual essa equação seja possível e determinada Considere a transformação linear T : R R cuja matriz M(T ; Bc; Bc) que a representa em relação à base canónica (ordenada) Bc de R é dada por M(T ; Bc; Bc) (i) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R (ii) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iv) Determine a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) (v) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) Veri que se existe algum vector (a; b; c) R para o qual essa equação seja impossível (vi) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) Veri que se existe algum vector (a; b; c) R para o qual essa equação seja possível e indeterminada Considere a transformação linear T : R R cuja matriz M(T ; B; B) que a representa em relação à base (ordenada) B fv ; v ; v g de R com v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), é dada por M(T ; B; B) (i) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga, justi cando, se T é sobrejectiva e se T é injectiva (ii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) (iii) Mostre que a equação linear T (x; y; z) (; ; ) não tem soluções (iv) Determine T (; ; ) e resolva a equação linear T (x; y; z) ( ; ; ) (v) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) Veri que se existe algum vector (a; b; c) R para o qual essa equação seja possível e indeterminada (vi) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x + y + z; x + y z; z)

(i) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (ii) Mostre que T é injectiva e determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R (iii) Justi que que T é um isomor smo (iv) Determine a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) Seja Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação T : M (R) M (R) de nida por T (X) AX XA, com A (i) Veri que que T é linear (ii) Determine a expressão geral de T (iii) Determine a matriz M(T ; Bc de M (R) B c ; B ) que representa T em relação à base canónica (ordenada) c (iv) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (v) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva Considere as transformações lineares T ; T : R R de nidas respectivamente por T (x; y) (x + y; x y) e T (x; y) (x + y; x y) : (i) Determine as matrizes M(T ; B c; B c) e M(T ; B c; B c) que representam respectivamente T e T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (ii) Determine a matriz A M(T T ; B c; B c) que representa T T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (iii) Determine, usando a alínea anterior, a expressão geral de T T, isto é, (T T )(x; y) para qualquer (x; y) R (iv) Determine, directamente a partir das expressões de T e de T, a expressão geral de T T (v) Mostre que T e T são invertíveis (vi) Determine as expressões gerais de T (x; y); T (x; y) e T T (x; y) para qualquer (x; y) R (vii) Determine a matriz M((T T ) ; B c; B c) que representa (T T ) em relação à base canónica (ordenada) B c de R e veri que que é igual a A, onde A é a matriz determinada em (ii) (viii) Veri que que (T T ) T T

Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica ordenada (Bc f(; ) ; (; )g) de R é representada pela matriz: M T ; Bc; Bc : Justi que que T é injectiva e resolva a equação linear T (x; y) (; ) Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y) x Seja M T ; Bc; Bc a matriz que representa a aplicação linear T : R R em relação às bases canónicas ordenadas B c fg e B c de R e R respectivamente Determine uma base para o núcleo: N (T T ) 8 Considere a transformação linear T : R R cuja representação matricial em relação as bases ordenadas B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R e B f(; ); (; )g de R é dada pela matriz: M(T ; B ; B ) Determine uma base para o contradomínio I (T ) e diga, justi cando, se T é sobrejectiva 9 Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x + y; y + z) Considere ainda a transformação linear T : R R cuja representação matricial em relação à base (ordenada) B f(; ); (; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz: M(T ; B; Bc) (i) Determine uma base para o núcleo N (T ) de T e diga, justi cando, se T é sobrejectiva (ii) Determine uma base para o contradomínio I(T ) de T e diga, justi cando, se T é injectiva (iii) Diga, justi cando, se se tem N (T ) + I(T ) R e determine a dimensão de N (T ) \ I(T ) (iv) Determine a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente 8 (v) Determine a solução geral da equação (T T ) (x; y) ; 8 Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y) (x + y; ; x + y) Considere ainda a transformação linear T : R R cuja representação matricial em relação à base (ordenada) B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz: M(T ; B; Bc) (i) Determine T (; ; ) e T (; ; ) (ii) Determine uma base para o contradomínio I(T ) de T e diga, justi cando, se T é sobrejectiva (iii) Determine uma base para o núcleo N (T ) de T e diga, justi cando, se T é injectiva (iv) Determine a solução geral da equação (T T ) (x; y) ( ; )

Considere a transformação linear T : R P de nida por T (; ; ) + t ; T (; ; ) t t e T ( ; ; ) + t + t + t (i) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R (ii) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iv) Resolva, em R ; a equação linear T (x; y; z) + t + t + t Seja R Considere a transformação linear T : R P de nida por T (x; y; z) z y + (y x) t + xt (i) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (ii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iii) Considere e resolva a equação linear T (x; y; z) + t Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P P de nida por T (p (t)) p (t) p (t), onde p (t) é a derivada de primeira ordem de p (t) (i) Determine a expressão geral de T (ii) Sendo B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P, determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B (iii) Justi que que T é um isomor smo e veri que que a expressão geral do isomor smo T é dada por T (p (t)) p (t) p (t) 8 p (t) para todo o p (t) P, onde p (t) é a derivada de segunda ordem de p (t) (iv) Resolva, em P ; a equação diferencial linear p (t) p (t) ( t) Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P P de nida por T (p (t)) t p (t) p (t), onde p (t) é a derivada de segunda ordem de p (t) (i) Determine a expressão geral de T (ii) Sendo B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P, determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B

(iii) Determine, se possível, uma base para N (T ) e uma base para I (T ) e diga, justi cando, se T é injectiva e/ou sobrejectiva (iv) Resolva, em P ; as equações diferenciais lineares: a) t p (t) p (t) t; b) tp (t) p () t Seja U o subespaço das matrizes simétricas de M (R), isto é, U A M (R) : A A T Considere a transformação linear T : U U de nida por com B (i) Determine a expressão geral de T T (A) AB + BA (ii) Determine uma base para U e calcule a matriz que representa T em relação a essa base (iii) Determine, se possível, uma base para N (T ) e uma base para I (T ) e diga, justi cando, se T é injectiva e/ou sobrejectiva (iv) Resolva, em U; a equação linear T (A) B Considere a transformação linear T : M (R) P cuja matriz M(T ; B ; B ) que a representa em relação às bases ordenadas B ; ; ; de M (R) e B f + t; t + t ; t + t ; t g de P é dada por M(T ; B ; B ) (i) Determine a expressão geral de T (ii) Justi que que T é um isomor smo e determine a expressão geral do isomor smo T, isto é, determine T a + a t + a t + a t a b (iii) Resolva a equação linear T + t + t c d + t Seja U o espaço linear das funções reais de variável real duas vezes diferenciável Considere a transformação linear T : U U de nida por T (f) f f + f Considere o subespaço S ff U : f f + f g de U (i) Mostre que o conjunto fe t ; te t g é uma base de S Sugestão: Mostre que se f S, então f (t) e t é um polinómio de grau menor ou igual a (ii) Mostre que dados a; b R, existe uma única função f S tal que f () a e f () b (iii) Determine a única solução f da equação diferencial linear T (f) que veri ca f () e f ()

Resolução da a Ficha de exercícios Sejam a; b R A aplicação T a;b : R R de nida por T a;b (x) ax + b é linear se e só se b e a R (i) Seja T : R R com T (x; y) (x + y; x y) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ) (; ) e T (; ) (; ) Tem-se N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) (x; y) R : (x + y; x y) (; ) (x; y) R : x y e x y f(; )g Logo T é injectiva e dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x + y; x y) : x; y Rg fx(; ) + y(; ) : x; y Rg L (f(; ); (; )g) Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Sendo T sobrejectiva e tendo-se dim (espaço de partida) dim (espaço de chegada) então T também é injectiva, como se constatou no facto de se ter N (T ) f(; )g Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva Observação: T é injectiva se e só se N (T ) fg, onde é o vector nulo do espaço de partida Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y Logo, e N (T ) N M(T ; B c; B c) N I(T ) C M(T ; B c; B c) C O conjunto f(; ); (; )g é uma base de I(T ), N f(; )g L (f(; ); (; )g)

(ii) Seja T : R R com T (x; y) ( y; x) T não é linear pois T (; ) (; ) (; ) (iii) Seja T : R R com T (x; y; z) (x; x; x) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (x; x; x) (; ; ) (; y; z) R : y; z R y(; ; ) + z(; ; ) R : y; z R L (f(; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; ; ); (; ; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x; x; x) : x Rg fx(; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) Como o conjunto f(; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; Bc; Bc) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; Bc; Bc) N @ I(T ) C M(T ; Bc; Bc) C @ A N @, A L (f(; ; ); (; ; )g) A L (f(; ; )g)

O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de N (T ) e o conjunto f(; ; )g é uma base de I(T ) (iv) Seja T : R R com T (x; y; z) (; ) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) T (; ; ) T (; ; ) (; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ) (x; y; z) R : x; y; z R R Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c Logo, dim N (T ) Uma vez que então dim I(T ) De facto dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida I(T ) f(; )g Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas Bc e Bc nos espaços de partida e de chegada respectivamente, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; B c; B c) N I(T ) C M(T ; B c; B c) C Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c, R L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) f(; )g (v) Seja T : R R com T (x; y) x T é linear e tem-se M(T ; B c; B c ), uma vez que T (; ) e T (; ) Note que B c fg é a base canónica de R Tem-se N (T ) (x; y) R : T (x; y) (x; y) R : x (; y) R : y R y(; ) R : y R L (f(; )g) 8

Como o conjunto f(; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f x : x Rg L (fg) Como o conjunto fg é linearmente independente e como gera I(T ) então fg é uma base de I(T ), a base canónica de R Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como N (T ) f(; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; B c; B c ), a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas Bc no espaço de partida e B c no espaço de chegada, tem-se x T (x; y) M(T ; Bc; B c ) y Logo, e N (T ) N M(T ; B c; B c ) N L (f(; )g) I(T ) C M(T ; B c; B c ) C L (f g) L (fg) O conjunto f(; )g é uma base de N (T ) e o conjunto fg é uma base de I(T ) (vi) T : R R com T (x; y; z) (; ; ) T não é linear pois T (; ; ) (; ; ) (; ; ) (vii) T : R R com T (x) (x; ; x) T é linear e tem-se M(T ; B c ; Bc), uma vez que T () (; ; ) Tem-se N (T ) fx R : T (x) (; ; )g fx R : (x; ; x) (; ; )g fg Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x; ; x) : x Rg fx(; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) 9

Como o conjunto f(; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) fg então T é injectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; B c ; Bc) a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas B c no espaço de partida e B c no espaço de chegada, tem-se T (x) M(T ; B c; B c) [x] Logo, e N (T ) N M(T ; B c ; Bc) N @ I(T ) C M(T ; B c ; Bc) C @ O conjunto f(; ; )g é uma base de I(T ), A N @ A L (fg) fg A L (f(; ; )g) (viii) T : R R com T (x; y; z) (x y; y) T não é linear, pois por exemplo: T ((; ; ) + (; ; )) T (; ; ) (; ) (; ) T (; ; ) + T (; ; ) (ix) Seja T : R R com T (x; y; z; w) (x y; w) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ; ) (; ); T (; ; ; ) ( ; ); T (; ; ; ) (; ) e T (; ; ; ) (; ) Tem-se N (T ) (x; y; z; w) R : T (x; y; z; w) (; ) (x; y; z; w) R : (x y; w) (; ) (x; y; z; w) R : x y e w (y; y; z; ) R : y; z R y(; ; ; ) + z(; ; ; ) R : y; z R L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x y; w) : x; y; w Rg fx(; ) + y( ; ) + w(; ) : x; y; w Rg L (f(; ); ( ; ); (; )g)

Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas Bc no espaço de partida e Bc no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z; w) M(T ; Bc; Bc) y z w Logo, e N (T ) N M(T ; B c; B c) N I(T ) C M(T ; B c; B c) C, L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) L (f(; ); (; )g) O conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de N (T ) e o conjunto f(; ); (; )g é uma base de I(T ) (x) Seja T : R R com T (x; y; z) ( z; y z; y; y + z) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ; ) e T (; ; ) ( ; ; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ; ) (x; y; z) R : ( z; y z; y; y + z) (; ; ; ) (x; ; ) R : x R L (f(; ; )g) Como o conjunto f(; ; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; ; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f( z; y z; y; y + z) : y; z Rg L (f(; ; ; ); ( ; ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ; ); ( ; ; ; )g

é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; Bc; Bc) N B @ N B @ I(T ) C M(T ; Bc; Bc) C B @ C A N B @, C A C A L (f(; ; )g) C A L (f(; ; ; ); ( ; ; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) e o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é uma base de I(T ) (xi) Seja T : R R com T (x) (; ) T é linear e tem-se M(T ; B c ; Bc), uma vez que T () (; ) Tem-se N (T ) fx R : T (x) (; )g fx : x Rg R Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c fg Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) De facto I(T ) f(; )g

Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) fg então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ) Sendo M(T ; B c ; Bc), a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas B c e B c nos espaços de partida e de chegada respectivamente, tem-se Logo, e N (T ) N T (x) M(T ; B c ; B c) x M(T ; B c ; B c) N I(T ) C M(T ; B c ; B c) C Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c fg R L (fg) f(; )g (xii) Seja T : R R com T (x; y; z) (x + y; z; x z) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (x + y; z; x z) (; ; ) f(; ; )g Logo, dim N (T ) e T é injectiva Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x + y; z; x z) : x; y; z Rg fx(; ; ) + y(; ; ) + z(; ; ) : x; y; z Rg L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva

Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; Bc; Bc), a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; Bc; Bc) N @ N @ I(T ) C M(T ; Bc; Bc) C @ A N @ O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) A A f(; ; )g A L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) (xiii) Seja T : R R com T (x; y; z) (x; y; z) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) f(; ; )g Logo, dim N (T ) e T é injectiva Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x; y; z) : x; y; z Rg R, isto é, T é sobrejectiva Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva

(xiv) Seja T : R R com T (x; y) (x cos y sen ; x sen + y cos ), R T é linear e cos sen cos sen M(T ; Bc; Bc), sen cos sen cos uma vez que T (; ) (cos ; sen ) e T (; ) ( sen ; cos ) Atendendo ao ex o (viii) da cha, tem-se, para todo o R, Logo M(T ; Bc; Bc) cos sen sen cos N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) f(; )g e dim N (T ), isto é, T é injectiva Sendo T injectiva e tendo-se dim (espaço de partida) dim (espaço de chegada) então T também é sobrejectiva Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) (xv) Seja T : P P com T (p (t)) p ( t) tp (t) : T é linear uma vez que, para todos os p (t) ; p (t) ; p (t) P, para todo o R, T (p (t) + p (t)) T ((p + p ) (t)) (p + p ) ( t) t (p + p ) (t) p ( t) + p ( t) tp (t) tp (t) p ( t) tp (t) + p ( t) tp (t) T (p (t)) + T (p (t)), T (p (t)) T ((p) (t)) (p) ( t) t (p) (t) p ( t) tp (t) (p ( t) tp (t)) T (p (t)) Sendo B f; t; t g a base canónica de P, tem-se M(T ; B; B), uma vez que T () t ; T (t) ( t) t t e Uma base para N (T ): Como T (t ) ( t) tt t + t t t: N (M(T ; B; B)) N @ A L (f(; ; )g),

então N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) L (f(; ; )g) L t + t Como f t + t g é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T ) Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): N (T ) a + a t + a t P : T a + a t + a t a + a t + a t P : a + a ( t) + a ( t) t (a + a t) a + a t + a t P : a + a a t + a a t + a t a t a t a + a t + a t P : a + a + a + ( a a ) t a + a t + a t P : a a e a a a a t + a t P : a R L t + t L t + t Como f t + t g é uma base de N (T ), dim N (T ) Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L (f; t; tg) L (f; tg) : Uma vez que o conjunto f; tg é linearmente independente e gera I (T ), então f; tg é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim P, tem-se I (T ) P, pelo que T não é sobrejectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ): Sendo p (t) a + a t + a t, com a ; a ; a R, tem-se T (p (t)) a + a ( t) + a ( t) t (a + a t) a + a a t + a a t + a t a t a t a + a ( t) + a ( t) Logo, I(T ) L (f; t; tg) L (f; tg) Uma vez que o conjunto f; tg é linearmente independente e gera I (T ), então f; tg é uma base de I (T ) (xvi) Seja T : P P com T (p (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t : T é linear uma vez que, para todos os p (t) ; p (t) ; p (t) P, para todo o R, T (p (t) + p (t)) T ((p + p ) (t)) (p + p ) () (p + p ) ( ) + ((p + p ) ( ) + (p + p ) ()) t + + ((p + p ) ( ) (p + p ) () (p + p ) ()) t

p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t + +p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t T (p (t)) + T (p (t)), T (p (t)) T ((p) (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t T (p (t)) Sendo B f; t; t g a base canónica de P, tem-se M(T ; B; B), uma vez que T () + ( + ) t + ( ) t t t ; e então Uma base para N (T ): Como N (M(T ; B; B)) N @ T (t) ( ) + (( ) + ) t + (( ) ) t t T (t ) + ( + ) t + ( ) t + t: L (f( ; ; )g), A N @ A N @ N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) L (f( ; ; )g) L + t + t A Como f + t + t g é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T ) Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): N (T ) a + a t + a t P : T a + a t + a t a + a t + a t P : p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t+ + (p ( ) p () p ()) t a + a t + a t P : p () p ( ) e p ( ) + p () e p ( ) p () p () 8 9 < a + a t + a t P : a (a a + a ) e (a a + a ) + (a + a + a ) e : ; (a a + a ) (a + a + a ) a a + a t + a t P : a a e a a a + a t + a t P : a R a + t + t P : a R L + t + t Como f + t + t g é uma base de N (T ), dim N (T )

Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L t t ; t ; + t L t ; + t : Uma vez que o conjunto f t ; + tg é linearmente independente e gera I (T ), então t ; + t é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim P, tem-se I (T ) P, pelo que T não é sobrejectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ): Sendo p (t) a + a t + a t, com a ; a ; a R, tem-se T (p (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t a a + a ( ) + a ( ) + a + a ( ) + a ( ) + a + a + a t+ + a + a ( ) + a ( ) (a + a + a ) a t a a + (a + a ) t + ( a a ) t a t t + a t + a ( + t) Logo, I(T ) L (ft t ; t ; + tg) L (ft t ; t g) Como o conjunto t t ; t é linearmente independente e gera I (T ), então ft t ; t g é uma base de I (T ) p () p () (xvii) Seja T : P M (R) com T (p (t)) p () p ( ) T é linear uma vez que, para todos os p (t) ; p (t) ; p (t) P, para todo o R, (p + p T (p (t) + p (t)) T ((p + p ) (t)) ) () (p + p ) () (p + p ) () (p + p ) ( ) p () + p () p () + p () p () + p () p ( ) + p ( ) p () p () p () p ( ) T (p (t)) + T (p (t)), + p () p () p () p ( ) (p) () (p) () T (p (t)) T ((p) (t)) (p) () (p) ( ) p () p () T (p (t)) p () p ( ) p () p () p () p ( ) Sendo B f; t; t g a base canónica de P e B ; ; ; 8

a base canónica de M (R) tem-se uma vez que então Cálculo de N (T ): Como T () M(T ; B ; B ) N (M(T ; B ; B )) N B @ ; T (t) N B @, ; T (t ) C A N B @ C A f(; ; )g ; N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) (; ; ) fg Logo, T é injectiva uma vez que dim N (T ) Resolução alternativa para calcular N (T ): N (T ) Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se Uma vez que o conjunto C A p (t) a + a t + a t P : T (p (t)) p () p () p (t) a + a t + a t P : p () p ( ) a + a t + a t a + a P : + a a a a a + a a + a t + a t P : a e a a fg I (T ) L T () ; T (t) ; T ; é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) t L ; ; 9 ; ; : é linearmente independente e gera I (T ), então ;

Como dim M (R), tem-se I (T ) M (R), pelo que T não é sobrejectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ): Sendo p (t) a + a t + a t, com a ; a ; a R, tem-se p () p () a + a T (p (t)) + a a p () p ( ) a a a + a a a a a + + Logo, I(T ) L a a a a + a ; ; ; a + a Como o conjunto ; é linearmente independente e gera I (T ), então é uma base de I (T ) Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica (ordenada) Bc f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R é representada pela matriz M(T ; Bc; Bc) Tem-se T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) x y z x y z (x + y + z; x + y; x y) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (x + y + z; x + y; x y) (; ; ) f(; ; )g Logo, dim N (T ) e T é injectiva Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x + y + z; x + y; x y) : x; y; z Rg L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g

é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; Bc; Bc) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; Bc; Bc) N @ N @ I(T ) C M(T ; Bc; Bc) C @ A N @ O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ), A A f(; ; )g A L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Considere a base ordenada B fv ; v g de R, em que v (; ) e v (; ) e seja T : R R a transformação linear tal que T (v ) (; ), T (v ) ( ; ) (i) Tem-se T (; ) T ((; ) + (; )) {z} T (; ) + T (; ) (; ) + ( ; ) ( ; ) T é linear Logo, (ii) Seja (x; y) R Tem-se (x; y) y(; ) + (x y)(; ) T (x; y) T (y(; ) + (x y)(; )) {z} yt (; ) + (x y)t (; ) T é linear y(; ) + (x y)( ; ) ( x + y; x y) (iii) Tem-se M(T ; Bc; Bc),

uma vez que, pela alínea (ii), T (; ) ( ; ) e T (; ) (; ) Observação: Poderíamos ter calculado T (; ) e T (; ) sem recorrer à alinea (ii), uma vez que (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) (; ) Logo, sendo T linear, tem-se (usando só o enunciado) T (; ) ( ; ) e T (; ) T (; ) T (; ) (; ) ( ; ) (; ) (iv) Tem-se uma vez que Tem-se uma vez que S B c B (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) (; ) S BB c (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) + (; ) As coordenadas do vector (; ) na base B são dadas por: S B c B Observação : Na verdade poderíamos ter determinado as coordenadas do vector (; ) na base B usando a de nição de coordenadas de um vector numa base: (; ) (; ) + (; ) Logo, as coordenadas do vector (; ) na base B são precisamente e Observação : Tem-se S BB c S B c B e S B c B S BB c (v) Determinemos a matriz M(T ; B; B) usando só a de nição de matriz que representa uma transformação linear em relação a uma base ordenada B no espaço de partida e no espaço de chegada Tem-se M(T ; B; B), uma vez que T (; ) (; ) (; ) + (; ) e T (; ) ( ; ) (; ) (; ) Determinemos agora as coordenadas do vector T (; ) na base B sem usar as alíneas anteriores Tem-se T (; ) T ((; ) + (; )) {z} T (; ) + T (; ) T é linear (; ) + ( ; ) ( ; ) (; ) (; )

Logo, as coordenadas do vector T (; ) na base B são e Resolução alternativa: Determinemos a matriz M(T ; B; B) e as coordenadas do vector T (; ) na base B usando as alíneas anteriores Tem-se Logo, Além disso tem-se (R ; B c) M(T ;B c ;B c ) T (R ; B c) S B c B # I I # S B c B (R ; B) (R ; B) T M(T ;B;B) M(T ; B; B) S B c BM(T ; Bc; Bc) S B c B SB c BM(T ; Bc; Bc)S BB c coordenadas de (; ) na base B c M(T ;B c ;B c ) T coordenadas de T (; ) na base B c S B c B # I I # S B c B coordenadas de (; ) na base B T M(T ;B;B) coordenadas de T (; ) na base B Logo, sendo e as coordenadas do vector (; ) na base Bc então as coordenadas do vector T (; ) na base B são dadas por M(T ; B; B)S B c B (vi) Determinemos a matriz M(T ; Bc; B) usando só a de nição de matriz que representa uma transformação linear em relação às bases ordenadas no espaço de partida e no espaço de chegada Tem-se M(T ; Bc; B), uma vez que e T (; ) ( ; ) (; ) (; ) T (; ) T ((; ) (; )) T (; ) T (; ) Resolução alternativa: Tendo em conta o diagrama (; ) ( ; ) (; ) (; ) + (; ) (R ; B c) M(T ;B c ;B c ) T (R ; B c) S B c B # I I # S B c B (R ; B) (R ; B) T M(T ;B;B)

tem-se M(T ; Bc; B) M(T ; B; B)S B c B (vii) Determinemos a matriz M(T ; B; Bc) usando só a de nição de matriz que representa uma transformação linear em relação às bases ordenadas no espaço de partida e no espaço de chegada Tem-se M(T ; B; Bc), uma vez que e T (; ) (; ) (; ) (; ) T (; ) ( ; ) (; ) + (; ) Resolução alternativa: Tendo em conta o diagrama (R ; B) M(T ;B;B) T (R ; B) tem-se S BB c # I I # S BB c (R ; Bc) (R ; Bc) T M(T ;B c ;B c ) M(T ; B; Bc) M(T ; Bc; Bc)S BB c Considere as transformações lineares T e T cujas matrizes que as representam em relação às bases canónicas (ordenadas) de R e R são dadas respectivamente por M(T ; Bc; Bc) e M(T ; Bc; Bc) Tem-se T : R R com Tem-se T : R R com T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) x y z x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y x y Logo, tem-se T T : R R linear com x (T T ) (x; y) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) y x y x y z (x + z; x + y) (y; y; x + y) x y (x + y; y)

e T T : R R linear com (T T ) (x; y; z) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) x y z x y z (x + y; x + y; x + y + z) Resolução alternativa: Tendo-se T : R R com T (x; y; z) (x + z; x + y) e T : R R com T (x; y) (y; y; x + y), então T T : R R é linear com e T T : R R é linear com (T T ) (x; y) T (T (x; y)) T (y; y; x + y) (x + y; y) (T T ) (x; y; z) T (T (x; y; z)) T (x + z; x + y) (x + y; x + y; x + y + z) x y z Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (y; y x; x) Considere a base ordenada B fv ; v ; v g de R com v (; ; ), v (; ; ), v ( ; ; ) Tem-se uma vez que M(T ; B; B), T (; ; ) (; ; ) (; ; ) (; ; ) + ( ; ; ), T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ( ; ; ) e T ( ; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ( ; ; ): Seja Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação linear S : M (R) M (R) de nida por S(A) A T

Tem-se uma vez que M(S; Bc ; Bc ) S S, S S ; : 8 Considere a transformação linear T : R R e a base canónica (ordenada) Bc fv ; v ; v g de R, com v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Suponha que se tem T (v ) v + v v, T (v + v ) v e T (v + v + v ) v + v Logo, e Assim: (i) T (; ; ) T (v ) (; ; ), T (; ; ) T (v ) T (v + v ) T (v ) v v + v ( ; ; ) T (; ; ) T (v ) T (v + v + v ) T (v + v ) v + v + v ( ; ; ) T (v v + v ) T (v ) T (v ) + T (v ) ( ; ; ) ( ; ; ) + (; ; ) (9; ; ); (ii) M(T ; Bc; Bc) (iii) Seja B Bc a base canónica ordenada de R Determinemos uma base ordenada B fw ; w ; w g de R de modo a que a matriz M(T ; B ; B ) que represente T em relação a essas bases B e B seja a matriz identidade: Tem-se T (; ; ) w ; T (; ; ) w e T (; ; ) w Logo, B f( ; ; ); ( ; ; ); (; ; )g

9 Considere a transformação linear T : R R que em relação às bases ordenadas B fu ; u g de R e B fv ; v ; v g de R com é representada pela matriz u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), M(T ; B ; B ) Considere ainda as bases ordenadas B u ; u de R e B v ; v ; v de R com (i) Tem-se u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) ( ; ) (; ) (; ) Logo, as coordenadas do vector ( ; ) na base B são e Deste modo, as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são dadas por M(T ; B ; B ) (ii) Tem-se ( ; ) (; ) + (; ) Logo, as coordenadas do vector ( ; ) na base B são e Resolução alternativa: Tem-se S B B, uma vez que u u + u e u u u Tendo em conta (por (i)) que as coordenadas do vector ( ; ) na base B são e, então as coordenadas do vector ( ; ) na base B são dadas por S B B (iii) Uma vez que (por (i)) as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são ; e, então Por outro lado, tem-se T ( ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ( ; ; 8) ( ; ; 8) (; ; ) + 9(; ; ) 8(; ; ) Logo, as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são ; 9 e 8 Resolução alternativa: Determinemos a matriz de mudança de base S B B Tem-se S B B,

uma vez que v v v + v; v v v + v e v v + v v Tendo em conta que (por (i)) as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são ; e, então as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são dadas por S B B 9 8 (iv) Determinemos uma base para N (T ) Seja u R e sejam ( ; ) as coordenadas de u em relação à base B f(; ); (; )g : Tem-se e como N (M(T ; B ; B )) N @ u N (T ), ( ; ) N (M(T ; B ; B )) Assim, dim N (T ) e T é injectiva A N @ A N @ N (T ) f(; ) + (; )g f(; )g A f(; )g, (v) Determinemos uma base para I (T ) Como f(; ); (; )g gera R, tem-se I(T ) L (ft (; ); T (; )g) L (f(; ; ) + ( ) (; ; ) + (; ; ); (; ; ) + (; ; ) + (; ; )g) Uma vez que o conjunto f(; ; L (f(; ; ); (; ; )g) ); (; ; )g é linearmente independente e gera I (T ), então f(; ; ); (; ; )g é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim R, tem-se I (T ) R, pelo que T não é sobrejectiva (vi) Determinemos a expressão geral de T, isto é, T (x; y), para todo o (x; y) R Considerando as bases canónicas de R e de R respectivamente: B c f(; ); (; )g ; B c f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, tem-se M(T ; Bc; Bc) S B Bc M(T ; B ; B ) S B Bc 8

Logo, para todo o (x; y) R, x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y x y x y x + y y (x y; x + y; y) Resolução alternativa à alínea (v) para encontrar uma base para I(T ): Tem-se I(T ) T (x; y) : (x; y) R (x y; x + y; y) : (x; y) R (x; x; ) + ( y; y; y) : (x; y) R x (; ; ) + y ( ; ; ) : (x; y) R L (f(; ; ) ; ( ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ) ; ( ; ; )g é linearmente independente e gera I (T ), então f(; ; ) ; ( ; ; )g é uma base de I (T ) Note que: L (f(; ; ) ; ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) (vii) Tem-se (R ; B ) M(T ;B ;B ) T S B B # I I # S B B (R ; B ) Logo, (R ; B ) T M(T ;B ;B ) (R ; B ) M(T ; B; B) S B B M(T ; B ; B ) S B B SB B M(T ; B ; B )S B B Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x + y; x + y z) (i) Tem-se M(T ; B c; B c) uma vez que T (; ; ) (; ); T (; ; ) (; ) e T (; ; ) (; ) (ii) Tem-se, N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ) (x; y; z) R : (x + y; x + y z) (; ) (x; x; ) R : x R L (f(; ; )g) 9

Logo, o conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) e dim N (T ) T não é injectiva, uma vez que N (T ) f(; )g (iii) Tem-se I(T ) f(x + y; x + y z) : x; y; z Rg C L (f(; ); (; )g) Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) e tem-se dim I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva (iv) O vector (; ; ) é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) (; ) Logo, a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ) é dada por: f(; ; )g + N (T ) ( + t; t; ) R : t R (v) Não existe nenhum vector (a; b) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b) seja impossível, uma vez que T é sobrejectiva (vi) Não existe nenhum vector (a; b) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b) seja possível e determinada, uma vez que T não é injectiva Considere a transformação linear T : R R cuja matriz M(T ; Bc; Bc) que a representa em relação à base canónica (ordenada) Bc de R é dada por M(T ; Bc; Bc) (i) Seja (x; y; z) R Tem-se T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) x y z x y z (x + y + z; x + y + z; z) (ii) Tem-se N (T ) N @ Logo, T é injectiva e dim N (T ) A N @ A f(; ; )g

(iii) Tem-se I(T ) f(x + y + z; x + y + z; z) : x; y; z Rg fx(; ; ) + y(; ; ) + z(; ; ) : x; y; z Rg L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) e tem-se dim I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva (iv) Como T (; ; ) T (; ; ) + T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) (; ; ), então o vector (; ; ) é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) (; ; ) Logo, a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) é dada por: f(; ; )g + N (T ) f(; ; )g (v) Não existe nenhum vector (a; b; c) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) seja impossível, uma vez que T é sobrejectiva (vi) Não existe nenhum vector (a; b; c) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) seja possível e indeterminada, uma vez que T é injectiva Considere a transformação linear T : R R cuja matriz M(T ; B; B) que a representa em relação à base (ordenada) B fv ; v ; v g de R com v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), é dada por M(T ; B; B) (i) Seja A M(T ; B; B) Seja u R e sejam ( ; ; ) as coordenadas de u em relação à base B Tem-se u N (T ), ( ; ; ) N (A) e como N (A) N @ A N @ A f( y; y; ) : y Rg L (f( ; ; )g), N (T ) f( y) (; ; ) + y(; ; ) + (; ; ) : y; z Rg f( y; y; y) : y Rg L (f(; ; )g)

O conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) pois gera N (T ) e é linearmente independente dim N (T ) T não é injectiva, uma vez que N (T ) f(; ; )g Como dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) e assim I(T ) R (pois dim R ), isto é, T não é sobrejectiva Expressão geral de T : T (x; y; z) x y z Assim, (8x y z; x z; x z) Cálculo alternativo de N (T ): Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (8x y z; x z; x (x; y; z) R : z x e x y (x; x; x) R : x R z) (; ; ) L (f(; ; )g) (ii) Quanto ao contradomínio: I(T ) L (ft (; ; ); T (; ; ); T (; ; )g) L(f(; ; ) + (; ; ) + (; ; ); (; ; )+ +(; ; ) + (; ; ); (; ; ) + (; ; ) + (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; ); (8; ; )g) L (f(; ; ); (8; ; )g) L (f(8; ; ); ( ; ; )g) Como o conjunto f(8; ; ); ( é uma base de I(T ) e tem-se dim I(T ) Cálculo alternativo de I(T ): Tem-se ; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(8; ; ); ( ; ; )g I(T ) f(8x y z; x z; x z) : x; y; z Rg L (f(8; ; ); ( ; ; ); ( ; ; )g) L (f(8; ; ); ( ; ; )g) C M(T ; B c; B c) (iii) É fácil ver que (; ; ) I(T ) Logo, a equação linear T (x; y; z) (; ; ) não tem soluções (iv) Tem-se T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) e assim T ; ; ; ;

Logo, a solução geral de é dada por: (x; y; z) R : T (x; y; z) T (x; y; z) ; ; ; ; ; ; ; ; ) + s (; ; ) : s R + N (T ) (v) Por exemplo o vector (; ; ) ou qualquer vector (a; b; c) I(T ), uma vez que sendo T não injectiva, sempre que a equação linear fôr possível, ela será indeterminada e Logo, e Assim, (vi) Tem-se e deste modo, para (x; y; z) R, T (v ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ); T (v ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) T (v ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (8; ; ) T (; ; ) T (v ) (8; ; ); T (; ; ) T (v ) T (v ) ( ; ; ) T (; ; ) T (v ) T (v ) ( ; ; ) M(T ; Bc; Bc) T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) x y z 8 8 (8x y z; x z; x z) x y z Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x + y + z; x + y z; z) (i) Tendo em conta que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; M(T ; Bc; Bc) ; ), tem-se

que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (ii) A matriz M(T ; Bc; Bc) é invertível pois M(T ; Bc; Bc) Logo, T é injectiva e como tal invertível, tendo-se M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) Determinemos (M(T ; B c; B c)) M(T ; B c ; B c) j I j j j j j j j j j j j j Logo, e como tal, para (x; y; z) R, M(T ; Bc; Bc) T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) x y z x y z (x y z; x + y + z; z) Observação: T T T T I Isto é, para qualquer (x; y; z) R ; T T (x; y; z) T T (x; y; z) (x; y; z), como se pode ver: T T (x; y; z) T (T (x; y; z)) T (x + y + z; x + y z; z) (x + y + z x y + z z; x y z + x + y z + z; z) (x; y; z); T T (x; y; z) T T (x; y; z) T (x y z; x + y + z; z) (x y z x + y + z + z; x y z x + y + z z; z) (x; y; z)

Demonstração alternativa da injectividade de T : Tem-se Logo, T é injectiva N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (x + y + z; x + y z; z) (; ; ) f(; ; )g (iii) Sendo T injectiva, como os espaços de partida e de chegada têm a mesma dimensão, então T é sobrejectiva Logo, T é linear e bijectiva, isto é, T é um isomor smo (iv) Tem-se T (x; y; z) (; ; ), (x; y; z) T (; ; ) ( ; ; ) Logo, a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) é: f( ; ; )g Seja Bc ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação ; T : M (R) M (R) de nida por T (X) AX XA, com A (i) Sejam X; X ; X M (R) e R Tem-se T (X + X ) A(X + X ) (X + X )A AX + AX X A X A AX X A + AX X A T (X ) + T (X ) : e a b (ii) Seja c d a T c T (X) A(X) (X)A (AX XA) T (X) M (R) Tem-se b d a c b d a b c d b + c d a d a b c Logo, a expressão geral de T é dada por: a T c b d b + c d a d a b c (iii) Tem-se M(T ; Bc ; Bc ),

uma vez que T T T T,,, : (iv) Tem-se a b N (T ) X M c d (R) : T (X) M (R) : a; b R L ; a b b a Logo, dim N (T ) Como N (T ) então T não é injectiva (v) Atendendo a que dim N (T ) e dim M (R), então dim I(T ) T não é sobrejectiva uma vez que I(T ) M (R) Determinemos uma base para I(T ) Tem-se a b I(T ) T (X) : X M c d (R) b + c d a M a + d b c (R) : a; b; c; d R L ; ; L ; Como o conjunto ; gera I(T ) e é linearmente independente, então é uma base de I(T ) Considere as transformações lineares T ; T : R R de nidas respectivamente por T (x; y) (x + y; x y) e T (x; y) (x + y; x y) e (i) Tem-se M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c)

uma vez que T (; ) (; ); T (; ) (; ); T (; ) (; ) e T (; ) (; ) (ii) A matriz M(T T ; B c; B c) que representa T T em relação à base canónica (ordenada) B c de R, é dada por M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) (iii) Tem-se, para qualquer (x; y) R, x (T T )(x; y) M(T T ; Bc; Bc) y x (x + y; x + y) y e (iv) Tem-se, para qualquer (x; y) R, x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y x (x + y; x y) y x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y x y (x + y; x y) Logo, (T T )(x; y) T (T (x; y)) T (x + y; x y) (x + y + x y; x + y x + y) (x + y; x + y): e (v) Tem-se N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) (x; y) R : (x + y; x y) (; ) f(; )g N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) (x; y) R : (x + y; x y) (; ) f(; )g Logo, T e T são injectivas e como tal são invertíveis (vi) Tem-se então M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) e M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c)

Determinemos (M(T ; Bc; Bc)) e (M(T ; Bc; Bc)) M(T ; Bc; Bc) j I j j j j j j j j ; M(T ; B c; B c) j I j j j j j j j j Logo, e como tal, para (x; y) R, e nalmente M(T ; B c; B c) T (x; y) M(T ; B c; B c) x y T (x; y) M(T ; Bc; Bc) x y T T (x; y) T e M(T ; B c; B c) T T x y x y (x; y) x + y; x x y; x + y x + y; x y, x + y; x y, y (vii) Tem-se De facto, M((T T ) ; Bc; Bc) M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) M((T T ) ; B c; B c) M(T T ; B c; B c) : (viii) Tendo em conta (vii) tem-se (T T ) (x; y) x y x y; x + y 8

Logo, como seria de esperar, (T T ) (x; y) T T (x; y) Seja A M (T ; Bc; Bc) Como A é invertível, pois det A, T é injectiva Logo, se a equação linear T (x; y) (; ) tiver solução, ela é única Como C (A) I (T ) e uma vez que C (A) pois: +, então (; ) é a solução única da equação linear T (x; y) (; ) Resolução alternativa da equação linear T (x; y) (; ): Como A é invertível, T é invertível e T (x; y) (; ), (x; y) T (; ) A Tem-se M (T ; B c; B c), pois T (; ) e T (; ) Logo M T T ; Bc; Bc M T ; Bc; Bc M T ; Bc; Bc e assim N (T T ) N (M (T T ; Bc; Bc)) N L (f(; )g) Pelo que f(; )g é base de N (T T ), uma vez que (; ) é linearmente independente e gera N (T T ) 8 Como M(T ; B ; B ), tem-se T (; ; ) (; ) (; ) (; ), T (; ; ) (; ) + (; ) (; ) e T (; ; ) (; ) (; ) (; ) Por outro lado, como B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g gera o "espaço de partida" R, tem-se I (T ) L (ft (; ; ); T (; ; ); T (; ; )g) L (f(; )g) Pelo que f(; )g é base de I (T ), pois (; ) é linearmente independente e gera I (T ) Tem-se dim I (T ) car (M(T ; B ; B )) car Como I (T ) R, pois dim I (T ) dim R, então T não é sobrejectiva 9 Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x+y; y+z) Considere ainda a transformação linear T : R R cuja representação matricial em relação àbase (ordenada) B f(; ); (; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz M(T ; B; Bc) (i) N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ) (x; y; z) R : (x + y; y + z) (; ) n (x; y; z) R : x z y o n y ; y; y o : y R L (f(; ; )g) 9

O conjunto f(; ; )g gera N (T ) e é linearmente independente, logo é uma base de N (T ) Tem-se dim N (T ) e dim N (T ) + dim I(T ) dim R, e assim dim I(T ) Logo, como I(T ) é um subespaço de R e dim I(T ) dim R, então I(T ) R e assim, T é sobrejectiva (ii) Como B f(; ); (; )g gera o "espaço de partida" R, tem-se I (T ) L (ft (; ); T (; )g) L (f(; ; ) ; (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ) ; (; ; )g gera I (T ) e é linearmente independente, então é uma base de I (T ) Tem-se dim I (T ) e dim N (T ) + dim I (T ) dim R, e assim dim N (T ) Logo, T é injectiva (iii) Tem-se L +L L L +L L L +L L 8 logo o conjunto f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g gera N (T ) + I(T ) e é linearmente independente, então é uma base de N (T ) + I(T ) Logo, como N (T ) + I(T ) é um subespaço de R e dim (N (T ) + I(T )) dim R, então N (T ) + I(T ) R Tem-se dim (N (T ) \ I(T )) dim N (T ) + dim I(T ) dim (N (T ) + I(T )) + e (iv) Como (; ) (; ) (; ) e (; ) (; ) + (; ), tem-se T (; ) T (; ) (; ) T é linear T (; ) T (; ) (; ; ) (; ; ) ; ; + ; ; ; ; T (; ) T (; ) + (; ) (; ; ) + (; ; ) ; ; T é linear T (; ) + T (; ) + ; ; ; ; Logo, a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; Bc; Bc)

(v) A matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ); T (; ; ) (; ) e T (; ; ) (; ) Logo, a matriz que representa T T em relação à base canónica Bc de R é dada por M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) Logo, tem-se Assim, como a matriz dada x y (T T ) (x; y) x y é invertível, a solução geral da equação (T T ) (x; y) 8 8 8 8 8 8, é Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y) (x+y; ; x+y) Considere ainda a transformação linear T : R R cuja representação matricial em relação à base (ordenada) B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz: M(T ; B; Bc) (i) T (; ; ) T (; ; ) T (; ; ) ( ; ) (; ) ( ; ) T (; ; ) T (; ; ) T (; ; ) (; ) ( ; ) (; ) (ii) Tem-se I (T ) T (x; y) : (x; y) R (x + y; ; x + y) : (x; y) R fx(; ; ) + y(; ; ) : x; y Rg L (f(; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; )g gera I (T ) e é linearmente independente, então é uma base de I (T ) Como dim I(T ) < dim R então I(T ) R e assim, T não é sobrejectiva (iii) N M(T ; B; B c) N N f(y z; y; z) : y; z Rg L (f(; ; ); ( ; ; )g) : Como os vectores (; ; ) e ( ; ; ) são as coordenadas na base B de vectores que geram o núcleo de T, tem-se (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; )

e (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) Como o conjunto f(; ; ); (; ; )g gera N (T ) e é linearmente independente, então é uma base de N (T ) Como N (T ) fg então T não é injectiva (iv) Pela de nição de M(T ; B; Bc) tem-se T (; ; ) (; ) Atendendo à alínea a), tem-se T (; ; ) ( ; ) e T (; ; ) (; ) Logo, a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; B c; B c) Por outro lado, como T (; ) (; ; ) e T (; ) (; ; ) Logo, a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; Bc; Bc) Logo, a matriz que representa T T em relação à base canónica Bc de R é dada por M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) Logo, tem-se e assim, (T T ) (x; y) (T T ) (x; y) ( ; ), x y x y A solução geral de (T T ) (x; y) ( ; ) é dada por: x Solução particular de + Solução geral de y x Como o vector ; é uma solução particular de e y N N L ; então, a solução geral de (T T ) (x; y) ( ; + N ; ) é dada por: ; + s ; : s R x y Considere a transformação linear T : R P de nida por T (; ; ) + t ; T (; ; ) t t e T ( ; ; ) + t + t + t

(i) Determinemos a expressão geral de T, isto é, determinemos T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R Seja (x; y; z) R Como f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g gera R, existem escalares ; ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) + ( ; ; ) Atendendo a j x j y j z j x j y x j z + x j x j y x j y + z, tem-se 8 < : + x + y y + z x 8 ><, >: (x + y) (x + z) (y + z) Logo (x; y; z) (x + y) (; ; ) + (x + z) (; ; ) + (y + z) ( ; ; ), e assim, como T é linear, T (x; y; z) (x + y) T (; ; ) + (x + z) T (; ; ) + (y + z) T ( ; ; ) (x + y) + t + (x + z) t t + (y + z) + t + t + t x + y + z + (y x) t + (x + y + z) t + (y x) t (ii) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (x; y; z) R : x + y + z + (y x) t + (x + y + z) t + (y x) t + t + t + t (x; y; z) R : x + y + z e (y x) (x; y; z) R : x y e z y y(; ; ) R : y R L (f(; ; )g) Logo, o conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) e dim N (T ) T não é injectiva, uma vez que N (T ) f(; ; )g (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva Como f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g gera R ; tem-se I (T ) L (ft (; ; ); T (; ; ); T ( ; ; )g) L + t ; t t ; + t + t + t :

Como: então o conjunto f + t ; t t g é linearmente independente e gera I(T ); sendo assim uma base de I(T ) Logo, tem-se dim I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de P e dim P então I(T ) P, isto é, T não é sobrejectiva (iv) Atendendo a ter-se T (; ; ) + t ; T (; ; ) t t e T ( ; ; ) + t + t + t + t + t + t + t + {z t + t } T ( ;;) T ( ; ; ) + t {z } T (;; ) (; ; ) T ( ; ; ) T ; ;, ; ; é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) + t + t + t Como, a solução geral de T (x; y; z) + t + t + t é dada por: T (; ; ) T é linear Solução particular de T (x; y; z) + t + t + t + (Solução geral de T (x; y; z) ) e como a solução geral de T (x; y; z) é dada por N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) L (f(; ; )g) então, a solução geral de T (x; y; z) + t + t + t é dada por: ; ; + L (f(; ; )g) ; ; + s(; ; ) : s R Seja R Considere a transformação linear T : R P de nida por (i) Tem-se 8 < : T (x; y; z) z y + (y x) t + xt N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (x; y; z) R : z y + (y x) t + xt + t + t + t (x; y; z) R : z y e (y x ou ) e x (; y; z) R : z y e (y ou ) 8 f(; ; )g se < f(; ; )g se fy(; ; ) R : : y Rg se L (f(; ; )g) se

Logo, se então f(; ; )g é uma base de N (T ) e assim T não é injectiva 8 < se dim N (T ) : se : Logo, como N (T ) f(; ; )g, para todo o Rn fg, então T é injectiva, para todo o Rn fg Logo, (ii) Seja (x; y; z) R, tem-se T (x; y; z) z y + (y x) t + xt z + x t + t + y ( + t) I(T ) T (x; y; z) : (x; y; z) R z + x t + t + y ( + t) : x; y; z R 8 L ; t + t ; + t < L (f; t + t ; + tg) se : L (f; t g) se Se então o conjunto f; t + t ; + tg é linearmente independente e gera I (T ), sendo assim uma base de I (T ) Se então o conjunto f; t g é linearmente independente e gera I (T ), sendo assim uma base de I (T ) Logo 8 < se dim I(T ) : se : Como I (T ) é um subespaço de P e neste caso ( ) dim I (T ) dim P, então I (T ) P, isto é, T é sobrejectiva se Se, como I (T ) P, T não é sobrejectiva Note que: para todo o R, dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida (iii) Considere e resolva a equação linear T (x; y; z) + t Atendendo a ter-se T (; ; ) + t então (; ; ) é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) + t Como, a solução geral de T (x; y; z) + t é dada por: Solução particular de T (x; y; z) + t + (Solução geral de T (x; y; z) ) e como a solução geral de T (x; y; z) é dada por N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) L (f(; ; )g) então, a solução geral de T (x; y; z) + t é dada por: (; ; ) + L (f(; ; )g) f(; ; ) + s(; ; ) : s Rg

Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P P de nida por onde p (t) é a derivada de primeira ordem de p (t) T (p (t)) p (t) p (t), (i) Seja p (t) P p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Tem-se T a + a t + a t a + a t + a t a + a t + a t a + a t a a t a t a + a + (a a ) t a t Logo, a expressão geral de T : P P é dada por: T a + a t + a t a + a + (a a ) t a t (ii) Seja B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P Determinemos a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B Como T (), T (t) t; T t t t tem-se M(T ; B; B) (iii) Como a transformação linear T : P P é invertível, pois M(T ; B; B) é invertível então T é linear e bijectiva, isto é, T é um isomor smo Sendo T um isomor smo, T também é um isomor smo Seja p (t) P p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Tem-se e Logo p (t) p (t) a 8 p (t) a + a t + a t a (M(T ; B; B)) a + a a a T (p (t)) a a a a a a a t a + a (a + a t) a t (*) a a a a a t a a a a a a t (**) 8 a Atendendo a (*) e a (**) conclui-se que a expressão geral do isomor smo T é dada por T (p (t)) p (t) p (t) 8 p (t)

para todo o p (t) P (iv) Tem-se p (t) p (t) ( t), T (p (t)) ( t), T é um isomor smo p (t) T ( t) (ii) (ii) ( t) ( ( t) ( )) 8 ( ( ) ( )) + t 9 t Logo, p (t) + t 9 t é a única solução da equação diferencial linear p (t) p (t) ( t) Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P P de nida por onde p (t) é a derivada de segunda ordem de p (t) T (p (t)) t p (t) p (t), (i) Seja p (t) P p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Tem-se T a + a t + a t t a + a t + a t a + a t + a t Logo, a expressão geral de T : P P é dada por: t a a a t a t a a t T a + a t + a t a a t (ii) Seja B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P Determinemos a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B Como T (), T (t) t; T t t t tem-se então (iii) Uma base para N (T ): Como M(T ; B; B) N (M(T ; B; B)) N @ A L (f(; ; )g), N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) L (f(; ; )g) L t Como ft g é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T )

Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): N (T ) a + a t + a t P : T a + a t + a t a + a t + a t P : t a a + a t + a t a + a t + a t P : a a t a + a t + a t P : a e a L t Como ft g é uma base de N (T ), dim N (T ) Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L (f ; t; g) L (f ; tg) : Uma vez que o conjunto f ; tg é linearmente independente e gera I (T ), então f ; tg é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim P, tem-se I (T ) P, pelo que T não é sobrejectiva (iv) (a) Resolva, em P ; a equação diferencial linear t p (t) p (t) t Como C (M(T ; B; B)) C @ A ; uma vez que, então + t é uma solução particular da equação diferencial linear t p (t) p (t) t: Como a solução geral de t p (t) p (t) t é dada por: Solução particular de t p (t) p (t) t + Solução geral de t p (t) p (t) e como a solução geral de t p (t) p (t) é dada por N (T ) L t, então a solução geral de t p (t) p (t) t é dada por: + t + L t + t + at : a R (b) Resolva, em P ; a equação diferencial linear tp (t) p () t 8

Como Seja T (p (t)) tp (t) p (), em que p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Logo T (p (t)) tp (t) p () t (a + a t) a a + a t + a t M(T ; B; B) uma vez que T () ; T (t) t; T (t ) t, onde B f; t; t g é a base canónica (ordenada) de P Logo a tp (t) p () t, T (p (t)) t, M(T ; B; B) a, a, a a a, M(T ;B;B) é invertível Isto é, a solução geral de a a a é: Veri cação: T Nota importante: Como então T é injectiva e tendo-se t t ; (M(T ; B; B)) tp (t) p () t t t dim N (T ) dim N (M(T ; B; B)) t + t dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ) dim I(T ), espaço de partida então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva e uma base para I(T ) é por exemplo a base canónica (ordenada) de P B ; t; t Cálculo alternativo de uma base de I(T ): Seja p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Como T (p (t)) T a + a t + a t tp (t) p () a + a t + a t 9

então I(T ) ft (p (t)) : p (t) P g L ; t; t Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L ; t; t e sendo o conjunto f ; t; t g linearmente independente então ; t; t é uma base de I (T ), tendo-se isto é, T é injectiva dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ) dim N (T ) +, dim N (T ), espaço de partida Seja U o subespaço das matrizes simétricas de M (R), isto é, U A M (R) : A A T Considere a transformação linear T : U U de nida por com B a (i) Seja b b U, com a; b; c R Tem-se c a T b b a c b b c T (A) AB + BA + a b b c b a + c a + c b Logo, a expressão geral de T : U U é dada por: a b b a + c T b c a + c b (ii) Determinemos uma base para U e a matriz que representa T em relação a essa base Seja A U Tem-se a b A a + b + c b c com a; b; c R Como o conjunto B ; ;

gera U e é linearmente independente, então B é uma base de U Por outro lado, como T + + + T + + + T + + + então a matriz que representa T em relação à base B é dada por: M (T ; B; B) (iii) Uma base para N (T ): Como N (M(T ; B; B)) N @ A N @ A L (f(; ; )g), então a b N (T ) A U : (a; b; c) L (f(; ; )g) L b c Como é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T ) Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): N (T ) a A b a A b a A b a A b A b U : T (A) c b U : A + A c b b a + c U : c a + c b b U : b e a + c c : c R L c c L

Como Uma base para I(T ): Como ; é uma base de N (T ), dim N (T ) ; gera U, tem-se I (T ) L T ; T ; T L ; ; L ; : Uma vez que o conjunto ; é linearmente independente e gera I (T ), então ; é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim U, tem-se I (T ) U, pelo que T não é sobrejectiva (iv) Resolva, em U; a equação linear T (A) B Como + T então é uma solução particular da equação linear T (A) B Como a solução geral de T (A) B é dada por: (Solução particular de T (A) B) + (Solução geral de T (A) ) e como a solução geral de T (A) é dada por N (T ) L então a solução geral de T (A) B é dada por: + L, + a a : a R Considere a transformação linear T : M (R) P cuja matriz M(T ; B ; B ) que a representa em relação às bases ordenadas B ; ; ;

de M (R) e B f + t; t + t ; t + t ; t g de P é dada por M(T ; B ; B ) (*) a (i) Seja c como b M d (R), com a; b; c; d R De (*), tem-se T T T T + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + + + + + + + + + então a T c b d at T é linear + bt + ct + dt a +b +c ( + t) +d a + t t + t + t + t + + t + t + t ( + t) + + t + t + ( + t) + + t + t + + t + t + t + t + t + t + + t + t + + t + t + t + + t + t + t + ( + t) + + t + t + + t + t + t + + t + t + t + b + t t t + c + t + t + t + d + t + t + t

a + b + c + d + a + b + c + d t + a b + c + d t + ( b + c + d) t Logo, a expressão geral de T : M (R) P é dada por: a T b b c a+ b+ c+ d+ a + b + c + d t+ a b + c + d t +( b + c + d) t (ii) Como a transformação linear T : M (R) P é invertível, pois M(T ; B ; B ) é invertível então T é linear e bijectiva, isto é, T é um isomor smo Sendo T um isomor smo, T também é um isomor smo Determinemos a expressão geral do isomor smo T, isto é, determinemos e Primeiro determinemos M(T ; B c ; B c ), onde B c T a + a t + a t + a t ; ; B c ; t; t ; t são respectivamente as bases canónicas de M (R) e de P A matriz de mudança da base B para a base B c é dada por: S B B c A matriz de mudança da base B para a base B c é dada por: S B B c ; Logo, a matriz que representa T em relação às bases B c e B c é dada por: M(T ; B; c B) c S B B cm(t ; B ; B ) S B B c

Note que a expressão geral de T obtida na alínea (i) pode ser obtida através da matriz M(T ; B; c B) c anterior: a b as coordenadas de T na base B b c c são dadas por Logo a T b b c M(T ; B; c B) c a b c d a b c d a + b + c + d a + b + c + d c b a + d c b + d a+ b+ c+ d+ a + b + c + d t+ a b + c + d t +( b + c + d) t Seja p (t) P, isto é, p (t) a + a t + a t + a t, com a ; a ; a ; a R Atendendo a que as coordenadas de T (a + a t + a t + a t ) em relação à base B c são dadas por: tem-se M(T ; B; c B) c a a a a a a a a T a + a t + a t + a t (a a a + a ) + (a a + a a ) + (a a + a ) a a a + a a a + a a a a + a a a a a a + a a a + a a a a + a a a + + (a a ) Ou seja, a expressão geral do isomor smo T : P M (R) é dada por: T a + a t + a t + a t a a a + a a a + a a a a + a a a,

Tem-se de facto: T T I M (R) e T T I P (iii) Atendendo à alínea anterior, a solução geral da equação linear a b T + t + t + t c d é dada por: a c b d T + t + t + t + + + Seja U o espaço linear das funções reais de variável real duas vezes diferenciável Considere a transformação linear T : U U de nida por T (f) f f + f Considere o subespaço S ff U : f f + f g de U (i) Mostre que o conjunto fe t ; te t g é uma base de S Sugestão: Mostre que se f S, então f (t) e t é um polinómio de grau menor ou igual a Seja f S Como f (t) e t f (t) e t f (t) e t f (t) e t f (t) e t f (t) e t + f (t) e t (f (t) f (t) + f (t)) e t fs então existe c R tal que para todo o t R f (t) e t c Assim, existe d R tal que para todo o t R Logo Tem-se assim: f (t) e t ct + d P L (f; tg) f (t) L e t ; te t S L e t ; te t ; onde o conjunto fe t ; te t g é linearmente independente uma vez que o conjunto f; tg é linearmente independente Logo o conjunto fe t ; te t g é uma base de S (ii) Mostre que dados a; b R, existe uma única função f S tal que f () a e f () b Sejam a; b R Sejam f; g S tais que f () g () a e f () g () b:

Como S L (fe t ; te t g), existem ; ; ; R tais que Como f () g () a tem-se Logo Por outro lado, como f () g () b, e Assim, e uma vez que, então Deste modo, para todo o t R isto é, f (t) e t + te t e g (t) e t + te t a f () e a g () : b f () e t + te t t e t + e t + te t t + b g () e t + te t t e t + e t + te t t + + + f (t) e t + te t e t + te t g (t) ; f g Pelo que dados a; b R, existe uma única função f S tal que f () a e f () b (iii) Determine a única solução f da equação diferencial linear T (f) que veri ca f () e f () A função identicamente igual a : f (f (t) ;para todo o t R) é uma solução particular de e então ff U : T (f) e f () e f () g : Atendendo à alínea anterior, existe uma única função f S tal que f () e f () Como para todo o t R, é a solução geral de Como a solução geral de f (t) e t + te t f () e f () f (t), ff U : T (f) e f () e f () g ff U : T (f) e f () e f () g :

é dada por: (Solução particular de ff U : T (f) e f () e f () g) + + (Solução geral de ff U : T (f) e f () e f () g), então a solução geral de ff U : T (f) e f () e f () g é dada por: f (t), para todo o t R 8

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Valores próprios e vectores próprios Diagonalização) Seja A 9 8 Veri que se é valor próprio de A e caso seja determine um vector próprio associado Sem calcular o polinómio característico, indique um valor próprio e dois vectores próprios associados linearmente independentes para a matriz : Determine os valores próprios de uma matriz A cujo traço seja igual a e cujo determinante seja igual a Determine uma matriz A real simétrica (A T A) cujos valores próprios sejam e e tal que (; ) seja um vector próprio associado ao valor próprio Considere a transformação linear T : R R que admite os vectores próprios v (; ; ); v ( ; ; ); v (; ; ); associados respectivamente aos valores próprios ; e Determine a expressão geral de T Considere a transformação linear T : R R de nida por (i) Diga quais dos seguintes vectores: são vectores próprios T (x; y; z) (; y + z; y + z) v (; ; ); v (; ; ); v (; ; ); v ( ; ; ); v (; ; ) (ii) Determine os valores próprios de T (iii) Diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (iv) Determine os subespaços próprios de T Considere a transformação linear T : R R de nida por T (; ) (; ) T (; ) (i) Veri que que os vectores v (; ) e v (; ) são vectores próprios de T (ii) Diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (iii) Indique uma base ordenada de R relativamente à qual a matriz que representa T seja uma matriz diagonal (iv) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T 9

8 Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A (i) Veri que que os vectores v (; ; ); v (; ; ) e v (; ; ) são vectores próprios de T (ii) Diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (iii) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (iv) Diagonalize T Isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D P AP : 9 Considere a transformação linear T : R R que em relação à base ordenada f(; ) ; (; )g de R é representada pela matriz: A (i) Determine os valores próprios de T e diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (ii) Determine bases para os subespaços próprios de T (iii) Diagonalize a matriz A Isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D P AP : Seja V um espaço linear de dimensão nita Seja T : V V uma transformação linear tal que T T Uma tranformação linear nas condições anteriores chama-se projecção (i) Mostre que os valores próprios de T são e : (ii) Justi que que T é diagonalizável Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x; y; x y) (i) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (ii) A transformação linear T representa geometricamente uma projecção sobre um plano, paralelamente a um vector Determine esse plano e esse vector Considere a transformação linear T : R R que representa geometricamente a projecção sobre o plano x + y + z, paralelamente ao vector (; ; ) (i) Explique o signi cado do plano e do vector referidos no enunciado (ii) Determine a expressão geral de T Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A 8

(i) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (ii) Mostre que não existe nenhuma base de R constituída por vectores próprios de T T é diagonalizável? Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x; y + z; z) (i) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (ii) Mostre que não existe nenhuma base de R em relação à qual T possa ser representada por uma matriz diagonal Considere a transformação linear T : R R de nida por (i) Determine o polinómio característico de T T (x; y; z) (y + z; y + z; y + z) (ii) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (iii) Determine uma base de R constituída por vectores próprios de T Determine a matriz que representa T nesta base ordenada (iv) Seja A a matriz que representa T na base canónica de R, isto é, A M(T ; B c; B c) Diagonalize a matriz A Isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D P AP (v) Determine A n e T n (x; y; z) Considere a transformação linear T : R R que em relação à base ordenada f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g de R é representada pela matriz: A (i) Determine o polinómio característico de T (ii) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (iii) Diagonalize a matriz A Isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D P AP (iv) Determine A n e T n (x; y; z) Sabendo que os vectores (; ; ); (; ; ) e (; ; ) são vectores próprios da matriz a b c, d e f determine a; b; c; d; e; f 8

8 Considere a transformação linear T : M (R) M (R) de nida por T (A) A + A T (i) Escolha uma base ordenada para M (R) e determine a matriz que representa T em relação a essa base ordenada (ii) Determine os valores próprios e os vectores próprios de T (iii) Diga se T pode ou não ser representada por uma matriz diagonal em relação a uma base ordenada apropriada de M (R) Em caso a rmativo, indique uma tal base ordenada e a correspondente matriz diagonal que representa T 9 Considere as matrizes A ; A ; A Veri que que A ; A e A são diagonalizáveis Isto é, determine matrizes de mudança de bases P ; P e P e matrizes diagonais D ; D e D tais que D P A P, D P A P e D P A P Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz a b, c com a; b; c R Determine os valores de a; b; c de modo a que exista uma base de R constituída só por vectores próprios de T 8

Resolução da a Ficha de exercícios Como Seja det (A I) det det 9 8 A 9 8 det det 9 8 det {z } 8 9 então é valor próprio de A e atendendo a (*) (; ; ) N (A) L f(; ; )g, logo tem-se A isto é, (; ; ) é um vector próprio de A associado ao valor próprio Tem-se Logo, é um valor próprio de ao valor próprio ) linearmente independentes e e (; ; ) e (; ; ) são dois vectores próprios (associados Determinemos os valores próprios de uma matriz A cujo traço seja igual a e cujo determinante seja igual a a b Seja A M c d (R) Tem-se tr A, a + d e det A, ad bc Sejam e dois valores próprios de A Como tr A + e det A então + e 8

Logo isto é, os valores próprios de A são e [ e ( ) ], ( ou ), Determinemos uma matriz A real simétrica (A T A) cujos valores próprios sejam e e tal que (; ) seja umvector próprio associado ao valor próprio a b Seja A M c d (R) tal que A A T Logo b c Além disso, sendo e dois valores próprios de A tem-se a + b det (A + I) det b + a + d + ad + b d + e a b det (A I) det b d b a d + ad + sendo (; ) um vector próprio associado ao valor próprio tem-se a b, (a + b e b + d ) b d Logo e assim 8 >< >: b + a + d + ad + b a d + ad + a + b b + d a A b b d 8 8 a ><, b 8 8 >: d Considere a transformação linear T : R R que admite os vectores próprios v (; ; ); v ( ; ; ); v (; ; ); associados respectivamente aos valores próprios ; e Determinemos a expressão geral de T Seja (x; y; z) R Existem ; ; R tais que Logo j x j y j z (x; y; z) (; ; ) + ( ; ; ) + (; ; ) j x j y x j z x 8 j x j y x j z y + x

e assim x + y z, ( x + z), (x + z) Pelo que T (x; y; z) (x + z) T (; ; ) + ( x + z) T ( ; ; ) + ( x + y z) T (; ; ) (x + z) (; ; ) + ( x + z) ( ; ; ) + ( x + y z) (; ; ) x z; y x z; z x ou seja, a expressão geral de T é dada por: T (x; y; z) x z; y x z; z x Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (; y + z; y + z) (i) T (v ) (; ; ) Como não existe R tal que T (v ) v, então v não é vector próprio de T T (v ) (; ; ) ( )(; ; ) ( )v Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio T (v ) (; ; ) (; ; ) v Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio T (v ) (; ; ) Como não existe R tal que T (v ) v, então v não é vector próprio de T T (v ) (; ; ) (; ; ) v Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio (ii) Determinemos os valores próprios de T Seja A M(T ; Bc; Bc) Tem-se A, uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) 9 (( ) ) (( ) + ) ( ) ( ) Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são, e 8

(iii) Como é valor próprio de T então T não é invertível Como T tem valores próprios distintos, os vectores próprios correspondentes a cada um deles irão ser linearmente independentes e como tal irá existir uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável (iv) O subespaço próprio E é dado por E N (T I) base canónica N @ A N @ f(x; y; z) : y z g I) N (A) 8 f(x; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ; ), com s Rn fg A O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N (A + I) base canónica N @ A N @ A f(x; y; z) : x e y + z g f(x; y; z) : x e y + z g f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; s), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) I) N (A I) base canónica N @ A N @ A f(x; y; z) : x e y + z g f(x; y; z) : x e y zg f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; s), com s Rn fg 8

Considere a transformação linear T : R R de nida por T (; ) (; ) T (; ) (i) Como Tem-se Como (; ) (; ) + (; ) T (v ) T (; ) T [ (; ) + (; )] T é linear (; ) + (; ) (; ) (; ) v : (; ) (; ) + (; ) T (; ) + T (; ) Tem-se T (v ) T (; ) T (; ) + (; ) T é linear [(; ) + (; )] (; ) v : Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio T (; ) + T (; ) (ii) Como é valor próprio de T então T não é invertível Como os vectores v (; ) e v (; ) formam uma base de R pois são dois vectores linearmente independentes em R e dim R e além disso, v e v são vectores próprios de T, então existe uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável (iii) Seja B vp fv ; v g f(; ); (; )g Tem-se M(T ; B vp ; B vp ), uma vez que T (v ) v v + v e T (v ) v v + v e deste modo as coordenadas (; ) e (; ) constituem respectivamente a a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ) Logo, B vp é uma base de R em relação à qual T pode ser representada por uma matriz diagonal, por ser uma base formada só com vectores próprios de T (iv) Seja A M(T ; B vp ; B vp ), com B vp f(; ); (; )g O polinómio característico é dado por det(a I) Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são e 8

O subespaço próprio E é dado por E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A I)g f(; ) + (; ) : (; ) L (f(; )g)g f(; ) : Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A I)g f(; ) + (; ) : (; ) L (f(; )g)g f(; ) : Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg 8 Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A (i) Sejam v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Atendendo à matriz, tem-se T (v ) T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) v ; T (v ) T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) v ; T (v ) T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) v : Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio ; v é um vector próprio de T associado ao valor próprio ; v é um vector próprio de T associado ao valor próprio (ii) Como é valor próprio de T então T não é invertível Como os vectores v (; ; ); v (; ; ) e v (; ; ) formam uma base de R pois são três vectores linearmente independentes em R e dim R e além disso, v ; v e v são vectores próprios de T, então existe uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável 88

(iii) Seja A M(T ; B c; B c) Tem-se A, uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A Determinemos os valores próprios de T Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) Logo, os valores próprios de T são O subespaço próprio E é dado por e E N (T I) N (A I) N @ A N @ A N @ A (x; y; z) R : y f(x; ; z) : x; z Rg L (f(; ; ); (; ; )g) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ; t), com s; t Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N @ A N @ f(x; y; z) : x + y e y z g f(x; x; x) : x Rg L (f(; ; )g) A O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn fg 89

(iv) É possível ter então uma base de R constituída só por vectores próprios de T : uma vez que Note ainda que e com M(T ; B vp ; B vp ) B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E M(T ; B vp ; B vp ) S B c B vp SBvpB c S B c B vp A S B c B vp e A M(T ; B c; B c) Isto é, a matriz A é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal tendo-se (R ; B c) S B c B vp # I (R ; B vp ) A T (R ; B c) T M(T ;B vp;b vp) I # S B c B vp (R ; B vp ) Em resumo, existe P S BvpB c tal que D P AP com D M(T ; B vp ; B vp ) 9 Considere a transformação linear T : R R que em relação à base ordenada B f(; ) ; (; )g de R é representada pela matriz: A (i) Tem-se det (A I) det A Logo, como não é valor próprio de T então T é invertível Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) 9 [( ) ] [( ) + ] ( ) ( ) 9

Logo, os valores próprios de T são e Como T tem valores próprios distintos, os vectores próprios correspondentes a cada um deles irão ser linearmente independentes e como tal irá existir uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável (ii) O subespaço próprio E é dado por E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A ( ) I)g (; ) + (; ) : (; ) N (; ) + (; ) : (; ) N f(; ) + (; ) : (; ) L (f( ; )g)g f( ; ) : Rg L (f( ; )g) O conjunto f( ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u ( s; s), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A I)g (; ) + (; ) : (; ) N (; ) + (; ) : (; ) N f(; ) + (; ) : (; ) L (f(; )g)g f(; ) : Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg (iii) É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de T : B vp f( ; ); (; )g, uma vez que Logo, dim E + dim E dim R M(T ; B vp ; B vp ) 9

uma vez que e T ( ; ) ( ; ) ( ; ) + (; ) T (; ) (; ) ( ; ) + (; ) Deste modo, ( ; ) e (; ) constituem respectivamente a a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ) Além disso, sendo B f(; ) ; (; )g, tem-se M(T ; B vp ; B vp ) S B B vp A S B B vp com uma vez que S B B vp SBvpB e A M(T ; B ; B ) ( ; ) (; ) (; ) e (; ) (; ) + (; ) Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se com Observação: P S BvpB D P AP (R ; B ) P " I (R ; B vp ) e D M(T ; B vp ; B vp ) A T (R ; B ) T D I # P (R ; B vp ) Seja V um espaço linear de dimensão nita Seja T : V V uma transformação linear tal que T T Uma tranformação linear nas condições anteriores chama-se projecção (i) Mostre que os valores próprios de T são e : Dem Seja um valor próprio de T Logo existe v tal que Por outro lado, como T (v) v tem-se v T (v) T (v) (T T ) (v) T (T (v)) T (v) T é linear T (v) v v v v, ( ) v, v ( ou ) Logo, os valores próprios de T são e (ii) Tem-se T T, (T I) T 9

logo, para todo o u V pelo que (T I) (T (u)) (u),t (u) N (T I) I (T ) N (T I) Seja agora u N (T I) Logo (T I) (u), isto é, T (u) u, ou seja u I (T ) Deste modo e assim Por outro lado, sendo n dim V, atendendo a que isto é, N (T I) I (T ) I (T ) N (T I) n dim {z} V dim N (T ) + dim I (T ) espaço de partida dim N (T I) + dim N (T I) m g () + m g () n m g () + m g () então T é diagonalizável, uma vez que existirá assim uma base de V formada só com vectores próprios de T Considere a transformação linear T : R R de nida por T (x; y; z) (x; y; x y) (i) Determinemos os valores próprios e os subespaços próprios de T Seja Bc f(; ; ); (; ; ); (; ; )g a base canónica de R Seja A M(T ; Bc; Bc) Tem-se A, uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A Determinemos os valores próprios de T Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) Logo, os valores próprios de T são e 9

O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N @ A N @ f(; ; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são O subespaço próprio E é dado por u (; ; s), com s Rn fg E N (T I) N (A I) N @ (x; y; z) R : x + y + z (x; y; z) R : x y z A A f( y z; y; z) : y; z Rg L (f( ; ; ); ( ; ; )g) O conjunto f( ; ; ); ( ; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u ( s t; s; t), com s; t Rn fg (ii) Tem-se T T, razão pela qual a transformação linear T é uma projecção Como f( ; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é uma base de R formada só por vectores próprios de T, cujos valores próprios associados são respectivamente e, tendo-se T ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) T ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) T (; ; ) (; ; ) (; ; ) Assim, T projecta os elementos de R sobre um plano, paralelamente a um vector, sendo o plano dado por: L (f( ; ; ); ( ; ; )g) isto é, por: e o vector dado por: x + y + z (; ; ) 9

Considere a transformação linear T : R R que representa geometricamente a projecção sobre o plano x + y + z, paralelamente ao vector (; ; ) (i) O plano (x; y; z) R : x + y + z L (f( ; ; ); ( ; ; )g) é tal que e o vector (; ; ) é tal que T ( ; ; ) ( ; ; ) e T ( ; ; ) ( ; ; ) T (; ; ) (; ; ) Ou seja, os vectores que de nem o plano são vectores (de I (T )) (linearmente independentes) próprios de T associados ao valor próprio e o vector (; ; ) é um vector (de N (T )) próprio de T associado ao valor próprio : (ii) Seja (x; y; z) R Como f( ; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é uma base de R, as coordenadas de (x; y; z) em relação à base ordenada anterior irão ser ; ; tais que (x; y; z) ( ; ; ) + ( ; ; ) + (; ; ) Atendendo a j x j y j z j x j x + y j z j x j x + y j x + y + z e assim x + y + z, x y; y Pelo que T (x; y; z) yt ( ; ; ) + ( x y) T ( ; ; ) + (x + y + z) T (; ; ) y( ; ; ) + ( x y) ( ; ; ) + (x + y + z) (; ; ) (x; y; x y), isto é, a expressão geral de T é dada por: T (x; y; z) (x; y; x y) Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A (i) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) + 9

Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, o valor próprio de T é O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N (x; y) R : y f(x; ) : x Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ), com s Rn fg (ii) Não existe nenhuma base de R constituída só por vectores próprios de T uma vez que dim E < dim R Logo, T não é diagonalizável Considere a transformação linear T : R R de nida por Seja A M(T ; B c; B c) Tem-se T (x; y; z) (x; y + z; z) A uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A (i) O polinómio característico é dado por det(a I), ( ) ( ) + + Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são e O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N @ A N @ f(x; y; z) : y z g f(x; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) 9 A

O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ; ), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N @ A f(x; y; z) : x z g f(; y; ) : y Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; ), com s Rn fg (ii) Não existe nenhuma base de R constituída só por vectores próprios de T uma vez que dim E + dim E < dim R : Logo, a matriz A não é diagonalizável, isto é, não existe nenhuma base de R em relação à qual T possa ser representada por uma matriz diagonal Considere a transformação linear T : R R de nida por Seja A M(T ; B c; B c) Tem-se T (x; y; z) (y + z; y + z; y + z) A uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A (i) O polinómio característico é dado por det(a I), ( ) + ( ) [(( ) ) (( ) + )] ( ) ( ) + (ii) Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são, e 9

O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N @ A N @ f(x; y; z) : y z g f(x; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ; ), com s Rn fg A O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N @ A N @ f(x; y; z) : x + y + z e y + z g f(x; y; z) : x e y + z g f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; s), com s Rn fg A O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N @ A N @ f(x; y; z) : x + y + z e y + z g (x; y; z) : x z e y z z; z; z : z R L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn fg A (iii) É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de T : B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, 98

uma vez que dim E + dim E + dim E dim R Logo, a matriz que representa T na base B vp é dada por M(T ; B vp ; B vp ) uma vez que e T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ), T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) T (; ; ) (; 9; 9) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Deste modo, ( ; ; ), (; ; ) e (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ), (iv) Seja A a matriz que representa T na base canónica de R, isto é, A M(T ; Bc; Bc) Tem-se, por (iii), M(T ; B vp ; B vp ) Logo, atendendo ao diagrama (R ; B c) S B c B vp " I (R ; B vp ) A T (R ; B c) T M(T ;B vp;b vp) I # SB c B vp (R ; B vp ) tem-se com com D M(T ; B vp ; B vp ) P S B c B vp SBvpB c D P AP, Isto é, a matriz A é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal, e A M(T ; B c; B c) tem-se (v) Atendendo a que D P AP, A P DP 99

Logo, e A n P D n P para todo o (x; y; z) R n n + n + n + n + n T n (x; y; z) A n x y z n n n n y + n z + n y + + n z, + n y + + n z Considere a transformação linear T : R R que em relação à base B f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g (ordenada) de R é representada pela matriz: A Logo, a matriz que representa T em relação à base canónica B c de R é dada por: B M (T ; B c ; B c ) S BBc (S BBc ) 9 8 Note que deste modo, para todo o (x; y; z) R tem-se x T (x; y; z) B y (9x; x + y z; x y + 8z) z (i) O polinómio característico é dado por 9 det(a I) det(b I) (9 ) [( ) (8 ) ] 8 (9 ) + (9 ) ( 9) ( ) ( 9) ( ) (ii) Os valores próprios de T são os valores próprios de B, isto é, são os valores de para os quais det(b I) Logo, os valores próprios de T são 9 e

O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (B I) N @ A N @ (x; y; z) R : x y z A f(x; y; x y) : x; y Rg L (f(; ; ); (; ; )g) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio 9 são u (s; t; s t), com s; t Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (B I) N @ A N @ f(x; y; z) : x e y z g f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; s), com s Rn fg A (iii) É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de T : uma vez que B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E dim R Logo, a matriz que representa T na base B vp é dada por 9 M(T ; B vp ; B vp ) 9 uma vez que e T (; ; ) (9; ; ) 9(; ; ) + (; ; ) + (; ; ), T (; ; ) (; 9; 8) (; ; ) + 9(; ; ) + (; ; ) T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Deste modo, ( ; ; ), (; ; ) e (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ),

Logo, atendendo ao diagrama (R ; B c) S B c B vp " I (R ; B vp ) B T (R ; B c) T M(T ;B vp;b vp) I # SB c B vp (R ; B vp ) tem-se com com D M(T ; B vp ; B vp ) P S B c B vp SBvpB c D P BP, Isto é, a matriz B é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal 9 9, e B M(T ; B c; B c) tem-se Logo, e (iv) Atendendo a que B n P D n P 9 n 9 n n 9 n 9 n ( ) n D P BP, B P DP 9 n 9 n n 9 n 9 n n 9 n 9 n n 9 n n 9n + n 9n + n 9n + n 9n + n A n (S BBc ) B n S BBc 9 n 9 n n 9 n n 9n + n 9n + n 9n + n 9n + n

Por outro lado, T n (x; y; z) B n x y z n + 9n 9n n 9n n 9n n n + 9n n 9n n 9n 9n n 9n n 9 n x (9 n n ) x + 9n + n y + 9n + n z (9 n n ) x + 9n + n y + 9n + n z, para todo o (x; y; z) R Sabendo que os vectores (; ; ); (; ; ) e (; ; ) são vectores próprios da matriz A a b c, d e f existem ; e R tais que (; ; ) N (A I), (; ; ) N (A I) e (; ; ) N (A I), isto é, e a b c d e f a b c d e f a b c d e f Logo, tem-se respectivamente 8 >< a + b + c >: d + e + f 8 >< >: a c d f + >: 8 ><, a + b + c, d + e + f, 8 ><, a c >: d f

e 8>< a b + >: d e 8 ><, >: a b d e Assim, 8>< >: a b c d e f 8 Considere a transformação linear T : M (R) M (R) de nida por T (A) A + A T (i) Seja Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) A matriz M(T ; Bc ; Bc ) que representa T em relação à base canónica (ordenada) Bc M(T ; Bc ; Bc ), uma vez que e T T T T + + + + + + + + + + + +,,, é dada por

(ii) Seja A M(T ; Bc ; Bc ) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) ( ) ( ) [(( ) ) (( ) + )] ( ) Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são e O subespaço próprio E é dado por a b a b E N (T I) M c d (R) : (T I) c d a b a b a b M c d (R) : T c d I c d a b a b + c a M c d (R) : b c + b d c d a b a b + c M c d (R) : c + b d a b a b + c M c d (R) : c + b d a b M c d (R) : a e b + c e d c M c (R) : c R L O conjunto é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são s U, com s Rn fg s

O subespaço próprio E é dado por a b a b E N (T I) M c d (R) : (T I) c d a b a b a b M c d (R) : T c d I c d a b a b + c a M c d (R) : b c + b d c d a b a b + c a b M c d (R) : c + b d c d a b b + c M c d (R) : c + b a b M c d (R) : b c a c M c d (R) : a; c; d R L ; ; O conjunto ; ; é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são r s U, com r; s; t Rn fg s t (iii) É possível ter uma base de M (R) constituída só por vectores próprios de T : B vp ; ; ;, uma vez que dim E + dim E dim M (R) Logo, a matriz que representa T na base B vp é dada por M(T ; B vp ; B vp ) uma vez que T T + + + +, + +,,

e T T + + + + + + Deste modo, ( ; ; ; ), (; ; ; ), (; ; ; ) e (; ; ; ) constituem respectivamente a a, a, a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ) Logo, atendendo ao diagrama tem-se com com (M (R); Bc ) S B A T (M (R); B c ) c B vp " I I # SB c (M (R); B vp ) D M(T ; B vp ; B vp ) T M(T ;B vp;b vp) D P AP, B vp (M (R); B vp ), P S B c B vp SBvpB e A M(T ; B c c ; Bc ) Isto é, a matriz A é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal, 9 (i) Seja Tem-se det(a I) Os valores próprios de A são O subespaço próprio E é dado por A ( ) ( ) + + ( ) ( ) e E N (A I) N N N (x; y) R : x + y f(y; y) : y Rg L (f(; )g)

O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (A I) N N N (x; y) R : x + y f(x; x) : x Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de A : uma vez que Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se B vp f(; ); (; )g, dim E + dim E D P A P, com e P S BvpB c D (ii) Seja Tem-se det(a I) A ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) + ] ( ) ( ) Os valores próprios de A são e 8

O subespaço próprio E é dado por E N (A I) N @ A N @ A N @ A (x; y; z) R : y + z f(x; z; z) : x; z Rg L (f(; ; ); (; ; )g) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; t; t), com s; t Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (A I) N @ A N @ A N @ A (x; y) R : x + y + z e y + z f(z; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn fg É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de A : uma vez que Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E D P A P, com e P S BvpB c D 9

(iii) Seja Tem-se det(a I) A ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) + ] ( ) Os valores próprios de A são O subespaço próprio E é dado por e E N (A I) N @ A N @ A N @ A (x; y; z) R : x + y f( y; y; z) : y; z Rg L (f( ; ; ); (; ; )g) O conjunto f( ; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u ( s; s; t), com s; t Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (A I) N @ A N @ A N @ A (x; y) R : x + y e z f(y; y; ) : y Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s; ), com s Rn fg É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de A : B vp f( ; ; ); (; ; ); (; ; )g,

uma vez que Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se dim E + dim E D P A P, com P S BvpB c e D Considere a transformação linear T : R R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz a b, c com a; b; c R Determinemos os valores próprios de T Tem-se a b c ( ) O valor próprio de T é O subespaço próprio E é dado por E N B a C @ b A N B @ c a b c (x; y; z; w) R : ax e by e cz C A Assim, para que exista uma base de R constituída só por vectores próprios de T é necessário que se tenha a b c Caso contrário, teríamos dim E <

a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Produtos internos e ortogonalização) Diga quais das seguintes aplicações h; i : R R R de nem em R um produto interno (i) h( ; ); ( ; )i + (ii) h( ; ); ( ; )i + (iii) h( ; ); ( ; )i + Diga quais das seguintes aplicações h; i : R R R de nem em R um produto interno (i) h( ; ; ); ( ; ; )i + + (ii) h( ; ; ); ( ; ; )i (iii) h( ; ; ); ( ; ; )i + + + + Determine um produto interno em R tal que h(; ); (; )i Considere os vectores u p ; p e v p ; p Veri que que o conjunto fu; vg é ortonormado relativamente ao produto interno de nido em R por: hu; vi u v + u v, onde u (u ; u ) e v (v ; v ) Veri que porém que o mesmo conjunto fu; vg não é ortonormado relativamente ao produto interno usual de nido em R Considere em R o produto interno usual Determine o subespaço de R ortogonal aos vectores (; ; ; ) e (; ; ; ) Considere em R o produto interno de nido por: h( ; ; ); ( ; ; )i + + + + (i) Calcule kuk, para qualquer vector u ( ; ; ) R (ii) Considere os vectores u (; ; ), u ( pelos vectores: u e u ; u e u ; u e u ; ; ) e u (; ; ) Calcule os ângulos formados (iii) Justi que que o conjunto fu ; u ; u g é uma base ortonormada de R Calcule as coordenadas de um vector u R em relação a esta base Considere R com o produto interno usual Determine uma base ortonormada para o subespaço de R gerado pelos vectores: (; ; ; ); ( ; ; ; ) e (; ; ; ) 8 Considere R com o produto interno usual Considere também os seguintes subespaços de R : U L (f(; ; ); (; ; )g) e V (x; y; z) R : y z (i) Determine uma base ortogonal para U e uma base ortonormada para V (ii) Determine duas bases ortonormadas para R : uma que inclua dois vectores de U e outra que inclua dois vectores de V (iii) Determine o elemento de U mais próximo de (; ; ) e a distância entre (; ; ) e V?

9 Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) Determine uma base ortonormada para R que inclua dois vectores de C (A) (ii) Determine o elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) e a distância entre (; ; ) e N (A) Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) Determine uma base ortonormada para (N (A))? (o complemento ortogonal do núcleo de A) (ii) Determine uma base ortonormada para R que inclua dois vectores de C (A) (iii) Determine o elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) e a distância entre (; ; ) e (L (A))? Considere em R o seguinte subespaço: U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Determine uma matriz A do tipo cujo núcleo seja igual a U, isto é, tal que U N (A) De na o produto interno em R em relação ao qual a base f(; ); (; )g é ortonormada Considere a aplicação h; i : R R R de nida por h( ; ; ); ( ; ; )i + + (i) Veri que que h; i de ne um produto interno em R (ii) Seja V L (f(; ; )g) R Diga qual é o ponto de V mais próximo de (; ; ) (iii) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de V, em relação ao produto interno h; i (iv) Seja P V : R R a projecção ortogonal de R sobre V Indique, em relação ao produto interno h; i, uma base ortonormada de R para a qual a representação matricial de P V seja dada por Seja U o subespaço de R gerado pelos vectores v (; ; ) e v ; ; Escreva u (; ; ) na forma u u + u, com u U e u U? Considere R com o produto interno usual Em cada alínea seguinte, determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de U, isto é, para U? (i) U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) (ii) U L (f(; ; ; )g) (iii) U f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g (iv) U f(x; y; z; w) R : x z e x y + z w g

Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : (i) Determine uma base ortogonal para U (ii) Determine u U e v U? tais que U L (f(; ; ); (; ; )g) (; ; ) u + v (iii) Determine a distância entre o ponto (; ; ) e o plano f(; ; )g + U (iv) Determine a distância entre o ponto (x; y; z) e o plano U Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : U (x; y; z; w) R : x y + z e y z + w (i) Determine uma base ortonormada para U (ii) Determine uma base ortonormada para U? (iii) Determine as projecções ortogonais de (; ; ; ) sobre U e U? respectivamente (iv) Determine as representações matriciais de P U : R R e de P U? : R R em relação à base canónica de R (v) Determine a distância entre o ponto (; ; ; ) e o subespaço U (vi) Determine a distância entre o ponto (x; y; z; w) e o subespaço U 8 Considere P fa + a t + a t : a ; a ; a Rg com o produto interno de nido por: Considere também o seguinte subespaço de P : (i) Determine uma base ortonormada para U (ii) Determine uma base ortonormada para U? hp(t); q(t)i p( )q( ) + p()q() + p()q() U fp(t) P : p() g (iii) Determine as projecções ortogonais do polinómio + t sobre U e U? respectivamente (iv) Determine as representações matriciais de P U : P P e de P U? : P P em relação à base canónica f; t; t g de P (v) Determine a distância entre + t e U (vi) Determine a distância entre o polinómio a + a t + a t e o subespaço U 9 Considere a aplicação h; i : M (R) M (R) R de nida por ha; Bi tr(ab T )

Considere também o subespaço U de M (R) constituído por todas as matrizes simétricas reais do tipo : a b U M c d (R) : b c (i) Veri que que h; i de ne um produto interno em M (R) (ii) Determine uma base ortonormada para U (iii) Determine uma base ortonormada para U? (iv) Determine as representações matriciais de P U : M (R) M (R) e de P U? : M (R) M (R) em relação à base canónica ; ; ; de M (R) (v) Determine as projecções ortogonais da matriz sobre U e U? respectivamente (vi) Qual é a matriz simétrica mais próxima da matriz? (vii) Determine a distância entre e U a b (viii) Determine a distância entre e U c d

Resolução da a Ficha de exercícios (i) Consideremos a aplicação h; i : R R R, de nida por com ( ; ); ( ; ) R Por exemplo h( ; ); ( ; )i +, h(; ); (; ) + (; )i h(; ); (; )i h(; ); (; )i + h(; ); (; )i Logo, esta aplicação h; i não é um produto interno, uma vez que a condição de linearidade não é veri cada (ii) Consideremos a aplicação h; i : R R R, de nida por h( ; ); ( ; )i +, com ( ; ); ( ; ) R Tem-se h( ; ); ( ; )i e como é simétrica e os seus valores próprios ( p p + e ) são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em R Resolução alternativa: Para todos os ( ; ); ( ; ); ( ; ) R e R tem-se: h( ; ); ( ; )i + D ( ; ) + ( ; ); ( ; ) + + h( ; ); ( ; )i E D ( + ; + ); ( ; ) E ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + + + + + + D E h( ; ); ( ; )i + ( ; ); ( ; ) h( ; ); ( ; )i h ; ); ( ; )i + ( + ) h( ; ); ( ; )i

e h( ; ); ( ; )i + ( ) + ( p ) Logo: h( ; ); ( ; )i, ( e p ),, ( e ), ( e ): h( ; ); ( ; )i >, para todo o ( ; ) (; ) Assim, a aplicação h; i : R R R, de nida por é um produto interno h( ; ); ( ; )i + (iii) Consideremos a aplicação h; i : R R R, de nida por h( ; ); ( ; )i +, com ( ; ); ( ; ) R Tem-se h( ; ); ( ; )i : Como os valores próprios de não são todos positivos ( e ), logo, a aplicação h; i não de ne um produto interno em R, uma vez que a condição de positividade não é satisfeita Resolução alternativa: Vejamos que a condição de positividade não é satisfeita r h( ; ); ( ; )i, +, j j Logo, por exemplo tem-se: * r ; ; r + ; e r ; (; ) Assim, a condição: h( ; ); ( ; )i >, 8( ; ) (; ) não é satisfeita Logo, a aplicação h; i : R R R, de nida por não é um produto interno h( ; ); ( ; )i +

(i) Consideremos a aplicação h; i : R R R, de nida por com ( ; ; ); ( ; ; ) R Tem-se h( ; ; ); ( ; ; )i + +, h( ; ; ); ( ; ; )i e como é simétrica e os seus valores próprios () são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em R Resolução alternativa: Para todos os ( ; ; ); ( ; ; )( ; ; ) R e R tem-se: h( ; ; ); ( ; ; )i + + + + h( ; ; ); ( ; ; )i D E ( ; ; ) + ( ; ; ); ( ; ; ) D E ( + ; + ; + ); ( ; ; ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + + + + + + + + + D E h( ; ; ); ( ; ; )i + ( ; ; ); ( ; ; ) h( ; ; ); ( ; ; )i h ; ; ); ( ; ; )i + + ( + + ) h( ; ; ); ( ; ; )i h( ; ; ); ( ; ; )i + + e h( ; ; ); ( ; ; )i, ( e e ): Logo: h( ; ; ); ( ; ; )i >, 8( ; ; ) (; ; ) Assim, a aplicação h; i : R R R, de nida por h( ; ; ); ( ; ; )i + + 8

é um produto interno, o chamado produto interno usual de R (ii) Consideremos a aplicação h; i : R R R, de nida por Tem-se e como h( ; ; ); ( ; ; )i h( ; ; ); ( ; ; )i não é simétrica, logo, a aplicação h; i não de ne um produto interno em R Resolução alternativa: Por exemplo h(; ; ); (; ; )i h(; ; ); (; ; )i Logo, esta aplicação h; i não é um produto interno, uma vez que a condição de simetria não é veri cada (iii) Consideremos a aplicação h; i : R R R, de nida por com ( ; ; ); ( ; ; ) R Tem-se e como h( ; ; ); ( ; ; )i + + + +, h( ; ; ); ( ; ; )i é simétrica e os seus valores próprios det ( ) det ( ) [( ) ( ) ] ( ) + p p ( ) + ( + p ; p ; ) são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em R 9

Resolução alternativa: Para todos os ( ; ; ); ( ; ; )( ; ; ) R e R tem-se: h( ; ; ); ( ; ; )i + + + + D ( ; ; ) + ( ; ; ); ( ; ; ) + + + + h( ; ; ); ( ; ; )i E D ( + ; + ; + ); ( ; ; ) E ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + + + + + + + + + + + + + + + + + D E h( ; ; ); ( ; ; )i + ( ; ; ); ( ; ; ) h( ; ; ); ( ; ; )i h ; ; ); ( ; ; )i + + + + ( + + + + ) h( ; ; ); ( ; ; )i h( ; ; ); ( ; ; )i + + + + ( + ) + p e h( ; ; ); ( ; ; )i, ( e + e p ),, ( e e ): Logo: h( ; ; ); ( ; ; )i >, 8( ; ; ) (; ; ) Assim, a aplicação h; i : R R R, de nida por h( ; ; ); ( ; ; )i + + + + é um produto interno Sejam ( ; ); ( ; ) R Consideremos a aplicação h; i : R R R, de nida por h( ; ); ( ; )i + + + Atendendo a que a matriz é simétrica e tem os seus valores próprios ( e ) todos positivos, então esta aplicação de ne em R um produto interno Além disso, veri ca-se h(; ); (; )i, uma vez que h(; ); (; )i h(; ); (; )i h(; ); (; )i h(; ); (; )i

Considere os vectores u R por Tem-se hu; vi p ; p ; p e v p ; h( ; ); ( ; )i + p Considere o produto interno de nido em p ; p ; p p p + p p e hu; ui p + p e hv; vi p + p Logo, o conjunto fu; vg é ortonormado relativamente ao produto interno anterior No entanto, relativamente ao produto interno usual h; i de nido em R : tem-se hu; vi h( ; ); ( ; )i +, p, hu; ui e hv; vi Logo, o conjunto fu; vg não é ortonormado relativamente ao produto interno usual de nido em R Considere em R o produto interno usual Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Logo, o subespaço de R ortogonal a U é dado por: (x; y; z; w) R U? : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i N N (x; y; z; w) R : x e w (; y; z; ) R : y; z R L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é independente e gera U? então é uma base de U? e tem-se R U U? L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Considere em R o produto interno de nido por: h( ; ; ); ( ; ; )i + + + +, isto é, por h( ; ; ); ( ; ; )i

(i) Seja u ( ; ; ) R Tem-se kuk p h( ; ; ); ( ; ; )i q + + + (ii) Considere os vectores u (; ; ), u ( ; ; ) e u (; ; ) Tem-se e (iii) Atendendo a que arccos hu ; u i ku k ku k arccos :, arccos hu ; u i ku k ku k arccos : arccos hu ; u i ku k ku k arccos : hu ; u i hu ; u i hu ; u i e ku k ku k ku k então o conjunto fu ; u ; u g é uma base ortonormada de R Seja u ( ; ; ) R Tem-se u hu; u i u + hu; u i u + hu; u i u ( + ) u + u + u Logo, as coordenadas de um vector u ( ; ; ) R em relação à base ortonormada fu ; u ; u g são dadas por: +, e Considere R com o produto interno usual Seja U L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g) Determinemos a dimensão de U e uma base ortonormada para U Tem-se Logo, o conjunto fv ; v ; v g, com v (; ; ; ); v ( ; ; ; ) e v (; ; ; ), é uma base de U e como tal dim U Sejam u v, u v proj u v e u v proj u v proj u v Logo, o conjunto fu ; u ; u g, com u (; ; ; ), u ( ; ; ; ) (; ; ; ) ; ; ;

e u (; ; ; ) (; ; ; ) ; ; ; (; ; ; ) + ( ; ; ; ) ; ; ; é uma base ortogonal de U Uma base ortonormada para U: u ku k ; u ku k ; u ku k ( p p p ; ; ; ; ; p p p ; ; ; p ; p ; p ; p ) : 8 (i) O conjunto f(; ; ); (; ; )g gera U e é linearmente independente logo é uma base de U Atendendo ao método de ortogonalização de Gram-Schmidt, uma base ortogonal para U é: fu ; u g em que u (; ; ) e u (; ; ) Proj(; ; ) (; ; ) (;;) (; ; ) (; ; ) ; Assim uma base ortogonal para U é: (; ; ); ; ; Tem-se h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) ; V (x; y; z) R : y z f(x; y; y) : x; y Rg L (f(; ; ); (; ; )g) : Atendendo a que h(; ; ); (; ; )i, uma base ortonormada para V é: ( p p ) (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) (; ; ); ; k(; ; )k ; : (ii) Como U? L (; ; ); ; ;? L (f(; ; )g) ; uma base ortonormada para R que inclui dois vectores geradores de U é: ( p p p p ) (; ; ); ; ; ; ; ; : Como V? (x; y; z) R : y z? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i?

(L (f(; ; )g))?? L (f(; ; )g) ; e atendendo à alínea anterior, uma base ortonormada para R que inclui dois vectores geradores de V é: ( p p p p ) (; ; ); ; ; ; ; ; : (iii) O elemento de U mais próximo de (; ; ) é: P U (; ; ) (; ; ) P U?(; ; ) A distância entre (; ; ) e V? é: (; ; ) h(; ; ); (; ; )i (; ; ) (; ; ): d (; ; ); V? kp V (; ; )k (;;)V k(; ; )k p 9 Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base para C (A) pois gera C (A) e é linearmente independente O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base para R Como (; ; ) e (; ; ) são ortogonais, basta aplicar Gram-Schmidt a (; ; ): (; ; ) (; ; ) P (;;) (; ; ) P (;;) (; ; ) h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) (; ; ) Logo, o conjunto ( (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) k(; ; )k ; ; ; ) ( ; ; h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) ; ; p ; ; p ; (; ; ); é uma base ortonormada para R que inclui dois vectores de C (A): p ; ; p e p ; ; p ) p ; ; p

(ii) O elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) é: P L(A) (; ; ) (; ; ) P N (A) (; ; ) N (A)L(f(;;)g) (; ; ) h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) (; ; ) (; ; ) A distância entre (; ; ) e N (A) é: d ((; ; ); N (A)) P (N (A))?(; ; ) PL(A) (; ; ) p k(; ; )k : Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) Tem-se (N (A))? L (A) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base para N (A) pois gera N (A) e é linearmente independente Como h(; ; ); (; ; )i, os vectores (; ; ) e (; ; ) são ortogonais Logo, o conjunto ( p p ) (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) k(; ; )k ; ; ; (; ; ) é uma base ortonormada para (N (A))? (ii) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base para C (A) pois gera C (A) e é linearmente independente O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base para R Como (; ; ) e (; ; ) são ortogonais, basta aplicar Gram-Schmidt a (; ; ): (; ; ) (; ; ) P (;;) (; ; ) P (;;) (; ; ) h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) Logo, o conjunto ( (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) k(; ; )k ; ; ; ) ; ; (; ; ) ( p ; ; h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) ; ; p ; (; ; ); é uma base ortonormada para R que inclui dois vectores de C (A): p ; ; p p ; ; p ) e (; ; )

(iii) O elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) é: P L(A) (; ; ) (; ; ) P N (A) (; ; ) N (A)L(f( ;;)g) (; ; ) h(; ; ); ( ; ; )i k( ; ; )k ( ; ; ) (; ; ) ( ; ; ) (; ; ) A distância entre (; ; ) e L (A)? é: d (; ; ); (L (A))? PL(A) (; ; ) p k(; ; )k : Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) U Então existem ; R tais que (x; y; z; w) (; ; ; ) + (; ; ; ): Deste modo, o seguinte sistema (nas variáveis e ) tem que ser possível e determinado: 8 x >< + y + z >: w Considerando então a matriz aumentada deste sistema, tem-se: j x j x j y j z j y x L +L L j z x L j w +L L j w L +L L L +L L j x j y x j z y j x y + w Logo, para que o sistema anterior seja possível e determinado, é preciso que se tenha z y e x y+w Assim, U f(x; y; z; w) R : x y + w e z y g, isto é, U N (A), com A Seja B f(; ); (; )g uma base de R Vamos de nir um produto interno em R em relação ao qual a base B é ortonormada Seja Bc f(; ); (; )g a base canónica de R A matriz de mudança de base de Bc para B é dada por Sejam u; v R Tem-se S B c B S BB c u ( ; ) e v ( ; ),

onde ; e ; são as coordenadas na base Bc de u e v respectivamente Seja S S B c B Logo, tem-se a aplicação h; i : R R de nida por hu; vi (Su) T hv ; v G (Sv), com G i hv ; v i, hv ; v i hv ; v i ou seja, h( ; ) ; ( ; )i T + + + Como e a matriz expressão h( ; ) ; ( ; )i + + + é simétrica, sendo os seus valores próprios ( p + e p ) positivos, então a de ne um produto interno em R B f(; ); (; )g é ortonormada: h( ; ) ; ( ; )i + + + Além disso, é fácil veri car que para este produto interno a base h(; ) ; (; )i e h(; ) ; (; )i h(; ) ; (; )i Considere a aplicação h; i : R R R de nida por (i) Tem-se Como h( ; ; ); ( ; ; )i + + h( ; ; ); ( ; ; )i é simétrica e os seus valores próprios ( +p e p ) são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em R (ii) Seja V L (f(; ; )g) R Uma base ortonormada para V : (; ; ) (; ; ) k(; ; )k ; ; O ponto de V mais próximo de (; ; ) é P V (; ; ) (; ; ); ; ; ; ; ; 9 ; 9 ; 9 ;

Nota Em alternativa, como dim V, P V (; ; ) proj (;;) (; ; ) h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) 9 (; ; ) 9 9 ; 9 ; (iii) Tem-se V? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i (x; y; z) R : x x y + y (x; y; z) R : x + y (y; y; z) R : y; z R L (f(; ; ); (; ; )g) Como o conjunto fv ; v g, com v (; ; ) e v (; ; ), é independente e gera V? então é uma base de V? Sejam u v e u v proj u v Logo, o conjunto fu ; u g, com u (; ; ) e u (; ; ) de V? (; ; ) (; ; ), é uma base ortogonal (iv) Seja B ; ; ; p ; p ; ; (; ; ) : Como p ; p ; ; (; ; ) é uma base ortonormada para V?, então B é uma base ortonormada de R Atendendo a que P V ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; + p ; p ; + (; ; ), P V p ; p ; p ; p ; ; ; (; ; ) ; ; + p ; ; ; ; ; ; p ; + (; ; ) 8

e P V (; ; ) (; ; ); ; ; ; ; ; ; (; ; ) ; ; + p ; p ; + (; ; ), a matriz que representa P V em relação à base B é dada por: Logo, Consideremos em R o produto interno usual Seja U L (; ; ); ; ; e assim Deste modo, U? N P U?(; ; ) N h(; ; ); (; ; )i 9 k(; ; )k (; ; ) ; ; P U (; ; ) (; ; ) P U?(; ; ) (; ; ) com ; ; U e 9 ; ; U? (; ; ) ; ; 9 + ; ;, Tem-se L (f(; ; )g) 9 ; ; ; ; Considere R com o produto interno usual (i) Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Logo, U? (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i Tem-se então: 8 < Logo, Como : x x + y + w 8 < x, : y w U? (; w; z; w) R : z; w R L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) h(; ; ; ); (; ; ; )i 9

então o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base ortogonal de U? (ii) Seja U L (f(; ; ; )g) Logo, U? (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i Tem-se então: Logo, x + z + w, x z w pois U? ( z w; y; z; w) R : y; z; w R L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); ( ; ; ; )g), ( z w; y; z; w) y(; ; ; ) + z( ; ; ; ) + w( ; ; ; ) Como o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); ( ; ; ; )g é independente (basta colocar esses três vectores como linhas ou como colunas de uma matriz e aplicar de seguida o método de eliminação de Gauss obtendo-se uma matriz em escada de linhas) e gera U? então é uma base de U? Como (; ; ; ) e ( ; ; ; ) são ortogonais, basta aplicar Gram-Schmidt a ( ; ; ; ): ( ; ; ; ) Logo, o conjunto é uma base ortogonal de U? ( ; ; ; ) P (;;;) ( ; ; ; ) P ( ;;;) ( ; ; ; ) h( ; ; ; ); (; ; ; )i k(; ; ; )k (; ; ; ) ( ; ; ; ) ( ; ; ; ) (; ; ; ); ( ; ; ; ); ; ; ; h( ; ; ; ); ( ; ; ; )i k( ; ; ; )k ( ; ; ; ) ; ; ; (iii) Seja U f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g Logo, atendendo a que o produto interno é o usual (de R ), Tem-se: Assim, U (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i (L (f(; ; ; )g))? U? (L (f(; ; ; )g))?? L (f(; ; ; )g) Logo, o conjunto f(; ; ; )g é uma base ortogonal de U? (iv) Seja U f(x; y; z; w) R : x z e x y + z w g Logo, atendendo a que o produto interno é o usual (de R ), Tem-se: U (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i (L (f(; ; ; ); (; ; ; )g))?

Assim, U? (L (f(; ; ; ); (; ; ; )g))?? L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Como h(; ; ; ); (; ; ; )i então o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base ortogonal de U? Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : U L (f(; ; ); (; ; )g) (i) Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam Tem-se então: v (; ; ) e v (; ; ) proj (;;) (; ; ) v (; ; ) proj (;;) (; ; ) (; ; ) (; ; ) ; ; h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) Logo, o conjunto é uma base ortogonal de U (; ; ); ; ; (ii) Como o conjunto (; ; ); ; ; é uma base ortogonal de U, então k(; ; )k p p e ; ;, então o conjunto ( (; ; ) k(; ; )k ; ; ; ; ; ) ( p p ; ; p ; p ; p ; p ) é uma base ortonormada de U Por outro lado, tem-se: U? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i e h(x; y; z); (; ; )i N N

Logo, 8 < y + z Assim, Como então o conjunto : x 8 < y z, : x U? (; z; z) R : z R L (f(; ; )g) ; é uma base ortonormada de U? Deste modo, uma vez que se tem então Isto é, k(; ; )k p, ( p ; p ; R U U?, p ; p ) (; ; ) P U (; ; ) + P U?(; ; ) * p p p + p p p (; ; ); ; ; ; ; + * p p p + p p p + (; ; ); ; ; ; ; + * p p + p p + (; ; ); ; ; ; ; ; ; + ; ; {z } {z } U U? (; ; ) ; ; {z } U + ; ; {z } U? (iii) A distância entre o ponto (; ; ) e o plano f(; ; )g + U é dada por: d((; ; ); f(; ; )g + U) kp U?((; ; ) (; ; ))k kp U?(; ; )k k(; ; )k p (; ;) U? (iv) A distância entre o ponto (x; y; z) e o subespaço U é dada por: d((x; y; z); U) kp U?((x; y; z) (; ; ))k kp U?(x; y; z)k * p p + p p (x; y; z); ; ; ; ; p j y + zj

Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : (i) Tem-se então U (x; y; z; w) R : x y + z e y z + w U (y z; y; z; z y) R : y; z R L(f(; ; ; ); ( ; ; ; )g) Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam Tem-se então: v (; ; ; ) e v ( ; ; ; ) proj (;;; ) ( ; ; ; ) v ( ; ; ; ) proj (;;; ) ( ; ; ; ) ( ; ; ; ) ( ; ; ; ) + (; ; ; ) ; ; ; h( ; ; ; ); (; ; ; )i k(; ; ; )k (; ; ; ) Logo, o conjunto é uma base ortogonal de U Como k(; ; ; (; ; ; ); ; ; ; )k p e ; ; ; p, então o conjunto ( p p ; ; ; é uma base ortonormada de U p ; p ; p ; p p ) ; (ii) Como U (x; y; z; w) R : x y + z e y z + w e atendendo ao produto interno usual de R, Tem-se: U (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i (L (f(; ; ; ) ; (; ; ; )g))? Logo, U? (L (f(; ; ; ) ; (; ; ; )g))?? L (f(; ; ; ) ; (; ; ; )g) Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam v (; ; ; ) e v (; ; ; ) proj (; ;;) (; ; ; )

Tem-se então: v (; ; ; ) proj (; ;;) (; ; ; ) (; ; ; ) (; ; ; ) + (; ; ; ) ; ; ; h(; ; ; ) ; (; ; ; )i k(; ; ; )k (; ; ; ) Logo, o conjunto é uma base ortogonal de U? Como k(; (; ; ; ) ; ; ; ; ; ; )k p e ; ; ; p, então o conjunto ( p ; p p ; ; ; p p ; ; p ; p ) é uma base ortonormada de U? (iii) A projecção ortogonal P U de R sobre U é de nida por: P U : R R * (x; y; z; w) + (x; y; z; w); * (x; y; z; w); p p p + p p p ; ; ; ; ; ; + p ; p ; p p + p ; ; p ; p ; p, uma vez que o conjunto ( p p ; ; ; p ; p ; p ; p p ) ; é uma base ortonormada de U Logo, a projecção ortogonal de (; ; ; ) sobre U é dada por: * p p p + p p p P U (; ; ; ) (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p + (; ; ; ); ; p ; p p + p ; ; p ; p p ; ; ; ; :

A projecção ortogonal P U? de R sobre U? é de nida por: P U? : R R * (x; y; z; w) + (x; y; z; w); * (x; y; z; w); p ; p ; p p ; ; p ; + p p p ; ; p + ; p ; + p ; p ; p ; p, uma vez que o conjunto ( p ; p p ; ; ; p p ; ; p ; p ) é uma base ortonormada de U? Logo, a projecção ortogonal de (; ; ; ) sobre U? é dada por: * p p p + p p p P U?(; ; ; ) (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p p p p + + (; ; ; ); ; ; ; p p p p ; ; ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ; : Nota muito importante: Uma vez que se tem então para todo o (x; y; z; w) R, R U U?, (x; y; z; w) P U (x; y; z; w) + P U?(x; y; z; w) Logo, uma vez calculado P U (; ; ; ) pela de nição, como se fêz atrás, obtendo-se P U (; ; ; ) ; ; ;, então não precisamos de efectuar o cálculo de P U?(; ; ; ) pela de nição Basta efectuar: P U?(; ; ; ) (; ; ; ) P U (; ; ; ) (; ; ; ) ; ; ; ; ; ; (iv) Seja Bc f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g a base canónica de R Tem-se: * p p p + p p p P U (; ; ; ) (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p + p ; ; p ; p p ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ;

P U (; ; ; ) P U (; ; ; ) P U (; ; ; ) * p p p + p p p (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p + p ; ; p ; p p ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ; * p p p + p p p (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p + p ; ; p ; p p ; ; ; ; * p p p + p p p (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p + p ; ; p ; p p ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ; Logo, a representação matricial de P U : R R em relação à base canónica de R, é dada por: M(P U ; Bc; Bc) Tem-se: P U?(; ; ; ) P U?(; ; ; ) * * (; ; ; ); (; ; ; ); p ; ; ; ; + * * (; ; ; ); (; ; ; ); ; ; ; p ; p ; p + p ; ; p ; p p ; ; ; ; ; p ; p p ; ; + p + p + p ; ; p ; ; ; ; p p ; ; + p ; ; ; ; p + p ; p p ; ; + p ; p ; ; ; ; p ; p ; p p

P U?(; ; ; ) * * (; ; ; ); (; ; ; ); p ; ; ; ; + p ; p ; p ; p + p ; ; p ; ; ; ; p + p p ; ; + p ; p ; ; ; ; p ; p P U?(; ; ; ) * p p (; ; ; ); ; ; * p p (; ; ; ); ; ; ; ; ; p + p ; ; p ; p + p p ; ; + p ; p ; p ; p Logo, a representação matricial de P U? : R R em relação à base canónica de R, é dada por: M(P U?; Bc; Bc) (v) Escolhendo um ponto de U, por exemplo (; ; ; ), a distância entre (; ; ; ) e U é dada por: d((; ; ; ); U) kp U?((; ; ; ) (; ; ; ))k kp U?(; ; ; )k * (; ; ; ); * + (; ; ; ); p ; ; ; ; + p ; p ; p + p ; ; p ; p ; ; ; ; p ; p + p ; + p ; p ; ; ; ; p ; p p (vi) A distância entre (x; y; z; w) e U é dada por: d((x; y; z; w); U) kp U?((x; y; z; w) (; ; ; ))k kp U?(x; y; z; w)k * (x; y; z; w); * + (x; y; z; w); p ; p ; p ; p + p ; ; p ; p ; p ; p + p ; + p ; p ; p ; p

p x + x p y p p + z p + y p ; p z + w p p ; ; + p p p ; ; p ; p w + x y + z; w x + y z; x w y + z; w + x + y z q (w + x y + z) + (w x + y z) + (x w y + z) + (w + x + y z) 8 Considere P com o produto interno de nido da seguinte forma: Considere também o seguinte subespaço de P : (i) Tem-se: hp(t); q(t)i p( )q( ) + p()q() + p()q() U fp(t) P : p() g U a t + a t : a ; a R Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam Logo, L(ft; t g) p (t) t e p (t) t ht ; ti ktk t p (t) t ( ) ( ) + + ( ):( ) + : + : t t Logo, o conjunto ft; t g é uma base ortogonal de U Assim, o conjunto é uma base ortonormada de U t ktk ; t t p ; kt k t p (p p t; t ) (ii) Tem-se: Logo, 8 < : Logo, U? p(t) P : hp(t); ti e p(t); t (a a + a )( ) + a + a + a + a (a a + a )( ) + a + a + a + a U? a + a t : a R L(f + t g) 8 < a a, : a 8

Como k + t k então f + t g é uma base ortonormada de U? Observação Note que P U U?, tendo-se, neste caso, dim U e dim U? (iii) A projecção ortogonal P U de P sobre U é de nida por: P U : P P * p + p * p(t) p(t); t t + p(t); uma vez que o conjunto (p p ) t; t p + p t t, é uma base ortonormada de U Logo, a projecção ortogonal de + t sobre U é dada por: * p + p * p + p P U ( + t) + t; t t + + t; t t t + t A projecção ortogonal P U? de R sobre U? é de nida por: uma vez que o conjunto P U? : P P p(t) p(t); + t ( + t ), f + t g é uma base ortonormada de U? Logo, a projecção ortogonal de + t sobre U? é dada por: Nota muito importante: Uma vez que se tem P U?( + t) + t; + t ( + t ) t P U U?, então para todo o p(t) P, p(t) P U (p(t)) + P U?(p(t)) Logo, uma vez calculado P U?( + t) pela de nição, como se fêz atrás, obtendo-se P U?( + t) não precisamos de efectuar o cálculo de P U ( + t) pela de nição Basta efectuar: t, então P U ( + t) + t P U?( + t) t + t (iv) Seja B f; t; t g a base canónica de P Atendendo à alínea (iii), tem-se * p + p * p + p P U () ; t t + ; t t t 9

P U (t) P U (t ) * * t; t ; p + p t t + p + p t t + * * t; t ; p + p t t t p t + p t t e assim e Note que P U?() ; + t + t t P U?(t) t; + t + t P U?(t ) t ; + t + t M(P U ; B; B) M(P U?; B; B) I P U + P U? (v) Escolhendo um ponto de U, por exemplo t, a distância entre + t e U é dada por: d( + t; U) kp U?( + t t)k kp U?()k ; + t ( + t ) (vi) Escolhendo um ponto de U, por exemplo o polinómio nulo, a distância entre a + a t + a t e U, com a ; a ; a R, é dada por: d(a + a t + a t ; U) PU?(a + a t + a t ) a + a t + a t ; + t ( + t ) ja j t ja j 9 Considere no espaço linear M (R) o produto interno de nido da seguinte forma: ha; Bi tr(ab T ) Considere também o subespaço U de M (R) constituído por todas as matrizes simétricas reais do tipo : a b U M c d (R) : b c (i) Sejam ; R e A; A ; B M (R) Tem-se ha + A ; Bi tr((a + A ) B T ) tr(ab T + A B T ) tr é linear

a para todo o c tr(ab T ) + tr(a B T ) ha; Bi + ha ; Bi ha; Bi tr(ab T ) tr( A T T B T ) tr( BA T T ) tr(ba T ) hb; Ai T a b a b ha; Ai tr(aa T ) tr a + b + c + d c d c d b M d (R) e a c b d a ; c b a, a b c d, d c Logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em M (R) b d (ii) Tem-se: a U b L b d ; : a; b; d R ; pois a b b d O conjunto ; ; independente pois se tivermos: a + + b + d é uma base de U, uma vez que gera U, e é linearmente + então : Logo, e como tal, o conjunto ; ; é linearmente independente Vamos aplicar agora a este conjunto o método de ortogonalização de Gram-Schmidt Sejam A, A proj A, A proj A proj A

Logo, e Logo, o conjunto A então o conjunto A ; proj A ; A A ka k tr A T A ka k tr proj A ; tr tr ka k p ha ; A i ka k p ha ; A i ka k p ha ; A i ; p A ka k ; A A ka k ka k A T A A ka k proj A A tr tr ; A A ka k A T A ka k A ka k ka k A A ka k ka k é uma base ortogonal de U Como: ; q tr (A A T ) s q tr (A A T ) tr s q tr (A A T ) tr ( s tr, p,, " ; p p # ; )

é uma base ortonormada de U (iii) Tem-se a b a U? M c d (R) : c a b a ; e c d c b d b d ; ; e Logo, 8>< a b + c Ou seja, Como U? b b >: d : b R L s v u t tr s tr s tr ; T p, então o conjunto (" é uma base ortonormada de U? p p #) (iv) Seja B ; ; alínea (iii), tem-se P U * " + ; p + ; ; p a base canónica de M (R) Atendendo à ; #+ " p # + p +

e assim e Note que P U? P U? P U? P U? P U ; + * " p #+ " p # + ; p p + + ; P U ; + * " p #+ " p # + ; p p + + ; P U ; + * " p #+ " p # + ; p p + + ; * " p #+ " p # ; p p * " p #+ " p # ; p p * " p #+ " p # ; p p * " p #+ " p # ; p p M(P U ; B; B) M(P U?; B; B) I P U + P U?

(v) A projecção ortogonal da matriz P U? proj sobre U? é dada por: p p * " ; " tr @ tr tr p " p p p p " p # " " p p p p p # p #+ " # T " A # " p p p p # p p p p # # # Como se tem: a então para todo c b d M (R), a c b d M (R) U U?, a b P U c d a + P U? c b d Logo, P U P U? (vi) A matriz simétrica mais próxima da matriz P U é a matriz

(vii) A distância entre d e U é dada por: ; U P U? s ; s tr s tr p a (viii) A distância entre c a d c b d ; U b e U é dada por: d a b P U? c d proj p a b p c d * " p #+ " p a b ; p p c d * " p #+ a b ; p c d " p # a b tr p c d p p tr b p p a p d jb cj c #

cos (i) Considere A sen fórmula para A n (ii) Seja A a Ficha de exercícios facultativos sen (do tipo, com R) Obtenha, por indução, uma cos Obtenha, por indução, uma fórmula para A n Mostre que se AB A e BA B então A A e B B Diga de que tipos deverão ser as matrizes A e B de modo a poderem ser efectuados os seguintes produtos e desenvolva esses mesmos produtos (i) (A + B)(A B) (ii) (AB) (iii) (A + B) Veri que que as matrizes A e B não satisfazem a relação: AB ) A ou B O que pode concluir? E no caso de A ser invertível, o que concluiria acerca da veracidade da relação anterior? Sejam A uma matriz do tipo n n e B uma matriz do tipo n m quaisquer Prove que se A é simétrica (isto é A A T ) então B T AB tambem é simétrica Uma matriz A do tipo n n diz-se anti-simétrica se A T A Mostre que: (i) Os elementos da diagonal principal de uma qualquer matriz anti-simétrica são todos nulos (ii) Para qualquer matriz A do tipo n n, a matriz A A T é anti-simétrica (iii) Escrevendo A (A + AT ) + (A AT ), toda a matriz quadrada pode ser decomposta de modo único pela soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica Seja A uma matriz quadrada (do tipo n n) Mostre que: (a) A inversa de A quando existe é única (b) Se A fôr invertível então A tambem é invertível e (A ) A (c) Se A fôr invertível então A T tambem é invertível e (A T ) (A ) T (d) Se A fôr invertível e simétrica então A tambem é simétrica (e) Seja B uma matriz quadrada (do tipo n n) Veri que que: (i) Se A e B forem invertíveis então AB tambem é invertível e (AB) B A (ii) Se A; B e A + B forem invertíveis então A + B é invertível e (A + B ) A(A + B) B B(A + B) A Sugestão: comece por veri car que I + B A B (A + B) e I + A B A (A + B) (f) O que se pode dizer acerca da inversa do produto A A :::A n, onde A ; A ; :::; A n são matrizes invertíveis (todas com igual dimensão)? E a inversa de A m, m N, sendo A invertível?

8 Sejam A; B M nn (R) tais que AB I Mostre que A e B são invertíveis 9 Mostre que A [a ij ] do tipo é invertível se e só se a a a a Nesse caso escrevendo a a a a, veri que que A a a a a Que condições devem ser veri cadas para que a seguinte matriz diagonal do tipo n n seja invertível? Qual é a sua inversa? k k k n Veri que que todas as matrizes X do tipo que satisfazem a equação X I são: b a b I; ; ; c a Observe assim que a equação matricial X I tem um número in nito de soluções em contraste com a equação escalar x que tem apenas duas soluções ( e ) Mostre que: a b fx M (R) : XA AX; para todo o A M (R)g : R 8

Resolução da a Ficha de exercícios facultativos cos (n) sen (n) (i) (A ) n ; para todo o n N; (com R) sen (n) cos (n) 8 < ( ) k+ A, se n k, k ; ; ::: (ii) A n : ( ) k I, se n k, k ; ; ::: A (AB) (AB) A (BA) B ABB AB A B (BA) (BA) B (AB) A BAA BA B (i) A e B do tipo n n; (A + B)(A B) A + BA AB B : (ii) A do tipo m n e B do tipo n m, (AB) ABAB: (iii) A e B do tipo n n; (A + B) A + BA + AB + B : Conclui-se que a relação não é verdadeira No caso de A ser invertível teríamos AB ) B : B T AB é simétrica: (B T AB) T B T A T (B T ) T B T AB, pois A A T (A é simétrica) e (B T ) T B: (i) Seja A [a ij ] do tipo n n tal que A T A: Assim, em relação às respectivas diagonais principais tem-se: a ii e logo a ii ; para todo o i N: (ii) Seja A [a ij ] do tipo n n A matriz A a ii A T é anti-simétrica pois: (A A T ) T A T A (A A T ): (iii) Escrevendo A (A + AT ) + (A AT ), a matriz A pode ser decomposta pela soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica Esta decomposição é única: Sejam A simétrica e A anti-simétrica tais que A A + A : Logo, A T (A + A ) T A A : Pelo que A + A T A e A A T A : Assim, A (A + AT ) e A (A AT ): (a) Seja A do tipo n n: Suponhamos que existiam A e A do tipo n n tais que AA A A I e AA A A I Logo A AA A : Mas A A I, pelo que se obtem IA A : Isto é, A A : 9

Logo a inversa de uma matriz quando existe é única (b) Se A fôr invertível tem-se A A AA I: Logo A é invertível e (A ) A: (c) Se A fôr invertível tem-se A A AA I: Logo (A A) T (AA ) T I T : Pelo que Isto é, A T é invertível e (A T ) (A ) T A T (A ) T (A ) T A T I: (d) Se A fôr invertível e simétrica tem-se A A AA I e A A T : Logo (A A) T (AA ) T I T ; e assim A T (A ) T (A ) T A T I: Pelo que, como A é simétrica, tem-se A(A ) T I: Logo, como A é invertível, tem-se (A ) T A : Isto é, A é simétrica (e) (i) Se A e B forem invertíveis existem A e B com e tem-se: e Logo AB é invertível e (AB) B A : A A AA I e B B BB I; (AB)(B A ) A(BB )A AIA AA I (B A )(AB) B (A A)B B IB B B I: (ii) Se A e B forem invertíveis existem A e B e podemos escrever e são respectivamente equivalentes a B (A + B) I + B A e A (A + B) A B + I, B (A + B) (A + B )A e A (A + B) (A + B )B, Como por hipótese A + B é invertível tem-se Analogamente e partindo de: obtem-se I (A + B )A(A + B) B e I (A + B ) B(A + B) A (A + B)B I + AB e (A + B)A AB + I, I B(A + B) A(A + B ) e I A(A + B) B(A + B ) Deste modo A + B é invertível e (A + B ) A(A + B) B B(A + B) A (f) Se A ; A ; :::; A n são matrizes invertíveis então, por indução nita, prova-se que A A :::A n também é invertível e (A A : : : A n ) An : : : A A Tem-se A m invertível e (A m ) (A ) m

8 Sejam A; B M nn (R) tais que AB I Se B fôr singular então existe X M n (R) com X tal que BX Logo Assim, B é não singular, isto é, B é invertível X IX (AB) X A (BX) A Tendo-se AB I e B invertível, tem-se, uma vez que B também é invertível, A AI A BB (AB) B IB B, isto é, A é invertível e tem-se A (B ) B 9 Seja A [a ij ] do tipo Suponhamos que a, a e a a a a Logo, escrevendo a a a a, tem-se: a a A j a a a a j a a a j a L L a a a a j a L +L L a L L a a a a j a Logo, a a a a j a a a a a j a a a a a j a a A Se a e a, então A não é invertível a a L L L L a a a a a a L +L L j a j Se a e a, então a, caso contrário A não seria invertível Neste caso, com a, a, a e tem-se: a j a a A j a a j L L a j a a j a j a j a a j a a a a a a a a a L +L L a a L L a L L j a a a a j j a j Se a e a seria análogo Logo, A é invertível se e só se a a A a a, a a onde a a a a a a a a a a a a e

Nota: O ex o foi feito apenas com o recurso ao método de Gauss-Jordan Poderia ter sido efectuada outra resolução atendendo à fórmula de inversão de matrizes: A (cof A)T jaj Observe que jaj A matriz k k k n é invertível se só se k ; k ; : : : ; k n, e a sua inversa é dada por: k k k k k n k n a Seja X c b uma matriz do tipo tal que X d I a b a b a X + bc ab + bd c d c d ac + cd bc + d Logo, 8 a + bc >< ab + bd X I, ac + cd >: bc + d Se b, então a e d e (c ou a d) Logo, X I ou X I ou X c Se c então a e d e (b ou a d) Logo, b X I ou X I ou X Se b e c então a d e c a Logo, b a X a b b a

Logo, todas as matrizes X que satisfazem X I são: b I; ; c ; a a b b a Observe assim que a equação matricial X I tem um número in nito de soluções em contraste com a equação escalar x que tem apenas duas soluções ( e ) x x Seja X Suponhamos que x x XA AX; a a para todo o A M a a (R) Temos então que: 8 x a + x a a x + a x 8 >< XA AX, >: x a + x a a x + a x ><, x a + x a a x + a x >: x a + x a a x + a x x a a x x (a a ) a (x x ) (x x )a (a a )x Se a e a a a, então x x Se a e a a a, então x e x x Se a e a a a, então x e x x Se a e a a a, então x x Logo, a matriz X tal que XA AX; para todo o A M (R), é dada por: X, com R

a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço linear real e o seu vector nulo Mostre que: (i) Se u + v u + w, então v w: (ii) para todo o escalar R: (iii) u para todo o vector u V: (iv) ( u) u para todo o u V: (v) Mostre que o vector nulo V é único (vi) Mostre que o simétrico u de um qualquer vector u de V é único (vii) ( )u u para todo o u V: (viii) Se u, então ou u : (ix) Se u e u u, então : Veri que que o conjunto de todos os polinómios reais de grau igual a n: fa + a t + + a n t n P n : a n g, munido das operações usuais, não é um espaço linear (i) Mostre que P é um subespaço de P : (ii) Mostre que P n é um subespaço de P n+ : (iii) Seja P o espaço linear de todos os polinómios reais (de qualquer grau) Mostre que P n é um subespaço de P: Quais dos seguintes subconjuntos de M nn (R), com as operações usuais, são sub-espaços? (i) O conjunto de todas as matrizes simétricas do tipo n n: (ii) O conjunto de todas as matrizes invertíveis do tipo n n: (iii) O conjunto de todas as matrizes diagonais do tipo n n: (iv) O conjunto de todas as matrizes singulares do tipo n n: (v) O conjunto de todas as matrizes triangulares superiores do tipo n n: Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real Quais dos seguintes subconjuntos de V, com as operações usuais, são subespaços? (i) O conjunto de todas as funções limitadas (ii) O conjunto de todas as funções pares, isto é, tais que f(x) f( (iii) O conjunto de todas as funções racionais, isto é, as que são quocientes de funções polinomiais (iv) O conjunto de todas as funções crescentes (v) O conjunto de todas as funções f tais que f() f(): (vi) O conjunto de todas as funções f tais que f() + f(): Seja fv ; v ; v g uma base de um espaço linear V Prove que fv + v ; v + v ; v + v g é também uma base de V Seja A uma matriz (real) invertível do tipo n n Prove que, se fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de R n, então fav ; Av ; : : : ; Av n g é também uma base de R n 8 Sejam V um espaço linear e S fv ; v ; : : : ; v n g Prove que o conjunto S é uma base de V se e só se todo o vector de V se escrever de maneira única como combinação linear dos elementos de S x):

9 Seja fv ; v g uma base de um espaço linear U Considere os vectores w av + bv e w cv + dv, com a; b; c; d R Prove que fw ; w g é também uma base de U se e só se ad bc Sejam A uma matriz m n e B uma matriz n p Mostre que dim C (AB) dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) Sugestão: Considere (no caso em que N (A)\C (B) fg) uma base fx ; : : : ; x s g para N (A)\C (B) e suponha (no caso em que AB ) que fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B) Mostre que fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) Considere os seguintes r vectores de R n : Mostre que se jx jj j > x (x ; x ; : : : ; x n ); x (x ; x ; : : : ; x n ); : : : ; x r (x r ; x r ; : : : ; x rn ): r P i(ij) jx ij j para todo o j ; : : : ; r então o conjunto x ; x ; : : : ; x r é linearmente independente Sugestão: Considere v (v ; : : : ; v n ) x + x + + r x r ; com ; ; : : : ; r R e mostre que se existir j (com j f; : : : ; rg) tal que j j j > j i j; para todo o i ; : : : ; r; então v j

Resolução da a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço linear real e o seu vector nulo (i) Suponhamos que u + v u + w Queremos ver que v w Ora, Logo, v w: v + v (( u) + u) + v ( u) + (u + v) u+vu+w ( u) + (u + w) (( u) + u) + w + w w (ii) Queremos ver que para todo o escalar R Ora, + ( + ) + ) por (i) (iii) Queremos ver que u para todo o vector u V Ora, u + u ( + ) u u + u ) por (i) u (iv) Queremos ver que ( u) u para todo o u V Ora, u + ( u) ) ( u) u (v) Queremos ver que o vector nulo V é único Ora, seja w V tal que u + w u, para todo o u V Então, u + w u u + ) por (i) w (vi) Queremos ver que o simétrico u de um qualquer vector u de V é único Ora, seja w V tal que u + w Então, u + w u + ( u) ) w u por (i) (vii) Queremos ver que ( )u u para todo o u V Ora, Logo, como o simétrico é único, ( )u u u + ( ) u u + ( ) u ( + ( )) u u (viii) Queremos ver que: se u, então ou u : Suponhamos que u Se, então u u u (u) por (iv) Como ) u, então u ) Logo, u ) _ u (ix) Queremos ver que: se u e u u, então Suponhamos que u e u u Ora, como u e ( ) u, então, atendendo a (viii) Isto é,

O conjunto de todos os polinómios reais de grau igual a n: U fa + a t + + a n t n P n : a ; a ; :::; a n R e a n g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U (i)? P P e: Logo, P é subespaço de P (ii)? P n P n+ e: Logo, P n é subespaço de P n+ (iii)? P n P e: Logo, P n é subespaço de P P L ; t; t P n L (f; t; :::; t n g) P n L (f; t; :::; t n g) (i) Seja U A M nn (R) : A A T : Sejam A ; A U e R Tem-se A + A A T + A T (A + A ) T U e, com A U, A A T (A) T U Logo, U é subespaço de M nn (R) (ii) Seja U fa M nn (R) : A é invertívelg : Por exemplo: a matriz nula não pertence a U Logo, U não é subespaço de M nn (R) (iii) Seja U f(a ij ) M nn (R) : a ij se i j, com i; j ; :::; ng : Sejam (b ij ); (c ij ) U e R: Tem-se (b ij ) + (c ij ) (b ij + c ij ) U, pois b ij + c ij se i j, com i; j ; :::; n E, com (a ij ) U, (a ij ) (a ij ) U, pois a ij se i j, com i; j ; :::; n Logo, U é subespaço de M nn (R) (iv) Seja Por exemplo, para n : ; U fa M nn (R) : A é singularg : U, mas + U

Logo, U não é subespaço de M nn (R) (v) Seja Sejam Tem-se U f(a ij ) M nn (R) : a ij se i > j, com i; j ; :::; ng : (b ij ); (c ij ) U e R: (b ij ) + (c ij ) (b ij + c ij ) U, pois b ij + c ij se i > j, com i; j ; :::; n E, com (a ij ) U, (a ij ) (a ij ) U, pois a ij se i > j, com i; j ; :::; n Logo, U é subespaço de M nn (R) Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real (i) Seja U ff : Dom f R R tais que 9k > : jf(x)j k; 8x Dom fg o conjunto de todas as funções limitadas Sejam f ; f U e R Tem-se pois f + f U, j(f + f ) (x)j jf (x) + f (x)j jf (x)j + jf (x)j para todo o x Dom f \ Dom f E, com f U, pois f U, j(f) (x)j jj jf(x)j jj k, fu para todo o x Dom f Logo, U é subespaço de V (ii) Seja k + k, f ;f U U ff : Dom f R R tais que f(x) f( x); 8x Dom fg o conjunto de todas as funções pares Sejam f ; f U e R Tem-se pois f + f U, (f + f ) (x) f (x) + f (x) f ;f U f ( x) + f ( x) (f + f ) ( x), para todo o x Dom f \ Dom f E, com f U, pois f U, (f) (x) f(x) fu f( x) (f) ( x), para todo o x Dom f Logo, U é subespaço de V 8

(iii) O conjunto de todas as funções racionais, isto é, as que são quocientes de funções polinomiais, é um subespaço de V (iv) Seja U ff : Domf R R tais que f é crescenteg: Se f fôr crescente então f é decrescente, isto é, f U ) f U Logo, U não é subespaço de V (v) Seja U ff : Dom f R Sejam f ; f U e R Tem-se pois R tais que f() f(); 8x Dom fg f + f U, (f + f ) () f () + f () f ;f U f () + f () (f + f ) (), para todo o x Dom f \ Dom f E, com f U, pois f U, (f) () f() fu f() (f) (), para todo o x Dom f Logo, U é subespaço de V (vi) Seja Sejam f ; f U Tem-se U ff : Domf R R tais que f() + f()g: (f + f ) () f () + f () f ;f U + f () + f () + (f + f ) (), isto é, f + f U Logo, U não é subespaço de V Dem Seja fv ; v ; v g uma base de um espaço linear V Observe-se que fv + v ; v + v ; v + v g L (fv ; v ; v g), pelo que L(fv + v ; v + v ; v + v g) L (fv ; v ; v g) Mas, como 8>< v (v + v ) (v + v ) + (v + v ) tem-se Logo, >: v (v + v ) (v + v ) + (v + v ) v (v + v ) (v + v ) + (v + v ) L (fv ; v ; v g) L(fv + v ; v + v ; v + v g) L(fv + v ; v + v ; v + v g) L (fv ; v ; v g) V 9

Vejamos agora que o conjunto fv + v ; v + v ; v + v g é linearmente independente: Sejam ; ; R tais que (v + v ) + (v + v ) + (v + v ) Isto é, ( + )v + ( + )v + ( + )v Como fv ; v ; v g é uma base de V, em particular é linearmente independente Logo, 8 < + + : + o que é equivalente ao sistema homogéneo: com A A : Como det A, então A é invertível e tem-se Logo, fv + v ; v + v ; v + v g é uma base de V pois trata-se de um conjunto de vectores linearmente independente que gera V Seja A uma matriz (real) invertível do tipo n n Suponhamos que fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de R n Queremos provar que fav ; Av ; : : : ; Av n g é também uma base de R n Dem Vejamos primeiro que o conjunto fav ; Av ; : : : ; Av n g é linearmente independente Sejam ; ; : : : ; n R tais que (Av ) + (Av ) + + n (Av n ) Queremos ver que : : : n Observe-se que Logo, (Av ) + (Av ) + + n (Av n ) A( v ) + A( v ) + + A( n v n ) A( v + v + + n v n ) (Av ) + (Av ) + + n (Av n ) () A( v + v + + n v n ) Como A é invertível, tem-se Como fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de R n, então A A( v + v + + n v n ) A, I( v + v + + n v n ), v + v + + n v n : : : n : Logo, fav ; Av ; : : : ; Av n g é um subconjunto de R n formado por n vectores linearmente independentes Como a dimensão de R n é n, então é uma base de R n fav ; Av ; : : : ; Av n g

8 Sejam V um espaço linear e S fv ; v ; : : : ; v n g Dem ()) Suponhamos que S é uma base de V Queremos provar que todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S Assim, seja v um vector qualquer de V Como S é uma base de V, então em particular gera V Pelo que, existem ; ; : : : ; n R tais que v v + v + + n v n Suponhamos que também existiam ; ; : : : ; n R tais que v v + v + + n v n Logo, ( )v + ( )v + + ( n n )v n Como fv ; v ; : : : ; v n g é um conjunto linearmente independente (por ser base), então temos ; ; : : : ; n n Logo, conclui-se que todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S (() Suponhamos agora que todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S Queremos provar que S fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de V Como todo o vector de V se escreve como combinação linear dos elementos de S, então S gera V Falta ver que S é linearmente independente Assim, sejam ; ; : : : ; n R tais que v + v + + n v n Como v + v + + v n, e uma vez que por hipótese todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S, conclui-se que : : : n Logo, S fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de V Fica assim provada a equivalência referida na questão 9 Seja fv ; v g uma base de um espaço linear U Considere os vectores w av + bv e w cv + dv ; com a; b; c; d R Queremos provar que fw ; w g é também uma base de U se e só se ad bc Dem (() Suponhamos que ad bc Vejamos que fw ; w g é uma base de U Vamos começar por veri car que o conjunto fw ; w g é linearmente independente: Sejam ; R tais que Queremos ver que Observe-se que w + w w + w (av + bv ) + (cv + dv ) ( a + c)v + ( b + d)v

Logo, w + w, ( a + c)v + ( b + d)v Como o conjunto fv ; v g é uma base de U, em particular é linearmente independente Logo, Isto é, a c b d Ou seja, a c onde A, b d é, A é invertível e como tal: a + c b + d R e A, Como ad bc e det A ad bc, então det A, isto A A A, I, Logo, e deste modo o conjunto fw ; w g é linearmente independente Como dim U e como w ; w são dois vectores de U, linearmente independentes, então conclui-se que fw ; w g é uma base de U (não sendo necessário veri car se o conjunto fw ; w g gera U) ()) Reciprocamente, se fw ; w g é uma base de U, em particular é linearmente independente, e como tal tem-se ( w + w ) ) ( ) Isto é, a equação a c onde A, b d ter-se det A, isto é, ad bc e A,, tem como solução única O que é equivalente a Demonstração alternativa Como o conjunto fv ; v g é uma base do espaço linear U então dim U Logo, se o conjunto fw ; w g fôr linearmente independente então será uma base do espaço linear U Assim, bastará provar que o conjunto fw ; w g é linearmente independente se e só a b se a matriz fôr invertível Seja o vector nulo do espaço linear U Sejam c d ; R tais que w + w : a b Queremos ver que se e só se a matriz fôr invertível Observe-se que c d Logo, w + w (av + bv ) + (cv + dv ) ( a + c)v + ( b + d)v w + w, ( a + c)v + ( b + d)v Como o conjunto fv ; v g é uma base do espaço linear U, em particular é linearmente independente Logo, a + c b + d R

Isto é, a c b d a c Ou seja, A, onde A, e b d Como a equação A apenas admite a solução trivial se e só se a matriz A fôr invertível e como a matriz A é invertível se a b e só se a matriz A T fôr invertível, tem-se então o resultado pretendido c d Sejam A uma matriz m n e B uma matriz n p Mostre que dim C (AB) dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) Sugestão: Considere (no caso em que N (A)\C (B) fg) uma base fx ; : : : ; x s g para N (A)\C (B) e suponha (no caso em que AB ) que fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B) Mostre que fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) Dem Se N (A) \ C (B) fg, então dim (N (A) \ C (B)) e dim C (AB) dim C (B) : Suponhamos então que N (A) \ C (B) fg Seja fx ; : : : ; x s g uma base para N (A) \ C (B) e suponhamos que AB (no caso em que AB tem-se dim C (AB) e dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) uma vez que C (B) N (A)): Seja fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B) Nesse caso dim C (AB) s + t Vejamos que fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) Seja b C (AB) Tem-se ABz b para algum z Mas, como Bz C (B), então existem escalares ; : : : ; s ; ; : : : ; t tais que sx tx Bz i x i + j y j Logo, b ABz A sx i x i + i isto é, fay ; : : : ; Ay t g gera C (AB) i tx j y j i j sx i Ax i + i tx j j Ay j fx ;:::;x sgn (A) tx j Ay j, Vejamos que fay ; : : : ; Ay t g é linearmente independente Suponhamos que existiam escalares ; : : : ; t tais que tx j Ay j Tem-se e então j tx j Ay j A j tx j y j tx j y j N (A) \ C (B) E assim, existem escalares ; : : : ; s tais que j tx j y j j j sx i x i : i j

tx sx tx sx Como j y j i x i, j y j i x i j i j i e atendendo a que fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B), tem-se : : : t : : : s e assim o conjunto fay ; : : : ; Ay t g é linearmente independente Logo, o conjunto fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) e assim dim C (B) s + t dim (N (A) \ C (B)) + dim C (AB),, dim C (AB) dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) Considere os seguintes r vectores de R n : x (x ; x ; : : : ; x n ); x (x ; x ; : : : ; x n ); : : : ; x r (x r ; x r ; : : : ; x rn ): Mostre que se jx jj j > r P i(ij) jx ij j para todo o j ; : : : ; r então o conjunto x ; x ; : : : ; x r é linearmente independente Sugestão: Considere v (v ; : : : ; v n ) x + x + + r x r ; com ; ; : : : ; r R e mostre que se existir j (com j f; : : : ; rg) tal que j j j > j i j; para todo o i ; : : : ; r; então v j Dem Seja v (v ; : : : ; v n ) x + x + + r x r ; com ; ; : : : ; r R Suponhamos que existe j (com j f; : : : ; rg) tal que j j j > j i j; para todo o i ; : : : ; r Queremos mostrar que v j Suponhamos então (com vista a uma contradição) que v j Nesse caso, teríamos rx i x ij i {z } v j, j x jj rx i x ij i ij Como j j j jx jj j j j x jj j rx i x ij i ij rx j i x ij j i ij rx j i j jx ij j i ij j i jj j j i;:::;r B j j j @ rx C jx ij ja i ij

e j (com j f; : : : ; rg) então teríamos o que contradiz a hipótese de se ter jx jj j jx jj j > B @ rx C jx ij ja i ij rx i(ij) para todo o j ; : : : ; r Logo mostrámos que a existir j (com j f; : : : ; rg) tal que j j j > j i j; para todo o i ; : : : ; r; então v j, o que equivale a dizer que o conjunto x ; x ; : : : ; x r jx ij j é linearmente independente

a Ficha de exercícios facultativos Seja T : R n R n uma transformação linear invertível Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T e determine o valor próprio de T que lhe está associado Seja V um espaço linear Seja T : V V uma transformação linear Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Seja A uma matriz do tipo n n Mostre que se é um valor próprio de A então k é um valor próprio de A k, onde k é um inteiro positivo Uma matriz A do tipo n n diz-se nilpotente se A l para algum inteiro positivo l Mostre que se A é nilpotente então o único valor próprio de A é Seja A uma matriz n n Veri que que A e A T têm os mesmos valores próprios Seja A uma matriz n n cuja soma das suas colunas é constante e igual a r Mostre que r é um valor próprio de A: Seja A M nn (R) Seja P uma matriz diagonalizante para A Determine uma matriz diagonalizante para A T em termos de P 8 Seja Q uma matriz n n real ortogonal, isto é, tal que Q Q T Mostre que se n fôr ímpar então Q tem o valor próprio ou tem o valor próprio 9 Determine uma matriz A real tal que det A < Mostre que A é diagonalizável Seja A uma matriz n n e seja um valor próprio de A com multiplicidade algébrica igual a n Mostre que se A fôr diagonalizável então A é uma matriz diagonal Seja V um espaço linear e seja T : V V uma transformação linear tal que todos os vectores não nulos de V são vectores próprios Mostre que T tem um único valor próprio Sejam A e B duas matrizes do tipo n n Mostre que AB e BA têm os mesmos valores próprios Sejam A e B duas matrizes tais que AB BA Mostre que A e B têm um vector próprio em comum Sugestão: Sendo um valor próprio de A, considere C a matriz cujas colunas formam uma base ordenada S de N (A I) e veri que que (A I) BC Finalmente considere a matriz P cujas colunas são respectivamente as coordenadas das colunas de BC em relação à base S e sendo v um vector próprio de P mostre que Cv é um vector próprio comum a A e B Seja A uma matriz n n e sejam ; escalares, com, tais que Mostre que A é diagonalizável (A I) (A I) :

Resolução da a Ficha de exercícios facultativos Seja T : R n R n uma transformação linear invertível Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T e determine o valor próprio de T que lhe está associado Dem Tem-se com u Como T é invertível e T é linear, T (u) u, u T (u) T (u) Por outro lado, tem-se uma vez que u e T é invertível Logo, T (u) u Isto é, u é um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Seja V um espaço linear Seja T : V V uma transformação linear Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Dem Tem-se com u Logo, como T é linear, T (u) u, T (u) (T T ) (u) T (T (u)) T (u) T (u) u u, isto é, u é um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Seja A uma matriz do tipo n n Mostre que se é um valor próprio de A então k é um valor próprio de A k, onde k é um inteiro positivo Dem Sendo k um inteiro positivo, tem-se A k k I (A I)(A k + A k + + A k + k I) Logo, se é um valor próprio de A então k é um valor próprio de A k, onde k é um inteiro positivo Uma matriz A do tipo n n diz-se nilpotente se A l para algum inteiro positivo l Mostre que se A é nilpotente então o único valor próprio de A é Dem Suponhamos que A l para algum inteiro positivo l Seja um valor próprio de A Pelo ex o anterior, l é um valor próprio de A l Como A l, então: det(a l l I) det( l I) ( ) n l

Logo e como tal, é o único valor próprio de A Seja A uma matriz n n Veri que que A e A T têm os mesmos valores próprios Dem Tem-se det(a I) det (A I) T det(a T I) Isto é, as matrizes A e A T têm os mesmos valores próprios Seja A uma matriz n n cuja soma das suas colunas é constante e igual a r Mostre que r é um valor próprio de A: Dem Tem-se a a a n A a a a n a n a n a nn a a a n r a + a + + a n ṛ r r a n Logo r é um valor próprio de A, associado ao vector próprio (; ; : : : ; ) a n a nn Seja A M nn (R) Seja P uma matriz diagonalizante para A Determine uma matriz diagonalizante para A T em termos de P e Dem Tem-se D P AP D D T P AP T P T A T P T Logo, a matriz (P ) T é uma matriz diagonalizante para A T 8 Seja Q uma matriz n n real ortogonal, isto é, tal que Q Q T Mostre que se n fôr ímpar então Q tem o valor próprio ou tem o valor próprio Dem Atendendo a que QQ T I tem-se (det Q) det Q det Q det Q det Q T det QQ T det I, (det Q ou det Q ) Logo: Se det Q det (Q I) det Q I Q T det Q det I Q T ( ) n det Q det Q T I n é ímpar det Q det 8 h (Q I) T i det (Q I),

, det (Q I), det (Q I) isto é, é valor próprio de Q; Se det Q det (Q + I) det Q I + Q T det Q det I + Q T det Q det Q T + I h i det (Q + I) T det (Q + I), isto é, é valor próprio de Q, det (Q + I), det (Q + I), det (Q ( ) I) 9 Determine uma matriz A real tal que det A < Mostre que A é diagonalizável a b Dem Seja A M c d (R) Sejam e dois valores próprios de A Como det A < então e são dois valores próprios distintos de A, pelo que os vectores próprios correspondentes são linearmente independentes, constituindo assim uma base de R, razão pela qual A é diagonalizável Seja A uma matriz n n e seja um valor próprio de A com multiplicidade algébrica igual a n Mostre que se A fôr diagonalizável então A é uma matriz diagonal Dem Seja um valor próprio de A com multiplicidade algébrica igual a n Como A é do tipo n n, então é o único valor próprio de A Assim, A fôr diagonalizável se e só se dim N (A I) m g () m a () n o que é equivalente a ter-se isto é, ou seja, A é uma matriz diagonal A I (matriz nula) A I Seja V um espaço linear e seja T : V V uma transformação linear tal que todos os vectores não nulos de V são vectores próprios Mostre que T tem um único valor próprio Dem Suponhamos, com vista a uma contradição, que e eram dois valores próprios distintos de T Sejam v e v vectores próprios de T associados respectivamente aos valores próprios e Logo, o conjunto fv ; v g é linearmente independente Por outro lado T (v + v ) T (v ) + T (v ) v + v 9

e como cada vector não nulo de V é um vector próprio de T, então v + v é um vector próprio de T e assim, existe um escalar tal que Deste modo, tem-se ou seja T (v + v ) (v + v ) v + v v + v v + v ( ) v + ( ) v Como o conjunto fv ; v g é linearmente independente, então ter-se-ia isto é, e contrariando o facto de se ter assumido que e eram dois valores próprios distintos de T Logo, T tem um único valor próprio Sejam A e B duas matrizes do tipo n n Mostre que AB e BA têm os mesmos valores próprios Dem Sejam A; B M nn (R) Atendendo a que det (AB I) det (AB) det (BA) det (BA I) ; é valor próprio de AB se e só se é valor próprio de BA Seja um valor próprio de AB, com Então existe u tal que ABu u Seja w Bu: Como u e B é invertível então w Logo, (BA) w (BA) Bu B (AB) u Bu (Bu) w Isto é, é valor próprio de BA com w como vector próprio associado Seja um valor próprio de BA, com Então existe u tal que BAu u Seja w Au: Como u e A é invertível então w Logo, (AB) w (AB) Au A (BA) u Au (Au) w Isto é, é valor próprio de AB com w como vector próprio associado Sejam A e B duas matrizes tais que AB BA Mostre que A e B têm um vector próprio em comum Sugestão: Sendo um valor próprio de A, considere C a matriz cujas colunas formam uma base ordenada S de N (A I) e veri que que (A I) BC Finalmente considere a matriz P cujas colunas são respectivamente as coordenadas das colunas de BC em relação à base S e sendo v um vector próprio de P mostre que Cv é um vector próprio comum a A e B

Dem Suponhamos que as matrizes quadradas A e B são do tipo n n Seja um valor próprio de A Tem-se N (A I) fg Seja r dim N (A I) Seja C a matriz n r cujas colunas formam uma base ordenada S de N (A I) Tem se (A I) BC ABC BC BAC BC B (A I) C B ABBA Seja P (p ij ) a matriz r r cujas colunas são respectivamente as coordenadas das colunas de BC em relação à base S Tem-se, para k ; :::; r Logo, tem-se [BC] {z k } coluna k de BC rx i p ik [C] i {z} coluna i de C BC CP rx [C] i p ik Seja v um vector próprio de P associado a um valor próprio Tem-se v e Cv pois C tem característica máxima ( n o de colunas) Além disso, B (Cv) (BC) v (CP ) v C (P v) C (vi) (Cv), isto é, Cv é um vector próprio de B associado ao valor próprio Por outro lado, tem-se A (Cv) (AC) v (IC) v (Cv), isto é, Cv é um vector próprio de A associado ao valor próprio Logo, Cv é um vector próprio comum a A e B i Seja A uma matriz n n e sejam ; escalares, com, tais que Atendendo a que (A I) (A I) : det (A I) det (A I), (det (A I) ou det (A I) ) então é valor próprio de A ou é valor próprio de A Suponhamos sem perda de generalidade (uma vez que (A I) (A I) (A I) (A I)) que é um valor próprio de A Atendendo a que então isto é, C (A I) N (A I) fg n nul (A I) car (A I) dim C (A I) dim N (A I) nul (A I) n nul (A I) + nul (A I) Logo, atendendo a que nul (A I) + nul (A I) n, tem-se ou seja, A é diagonalizável nul (A I) + nul (A I) n

a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço euclidiano real Veri que que para todos os u; v; w V; R se tem: (i) hu; vi hv; ui (iii) hu; v + wi hu; vi + hu; wi (ii) hu; vi hu; vi hu; vi (iv) hu + v; wi hu; wi + hv; wi (v) hu + w; v + wi hu; vi + hu; wi + hw; vi + kwk (vi) hu; i h; ui (vii) hu; vi se e só se ku + vk ku vk (viii) hu; vi se e só se ku + vk kuk + kvk : (ix) hu; vi se e só se ku + cvk kuk para todo o real c (x) hu + v; u vi se e só se kuk kvk (xi) Lei do paralelogramo ku vk + ku + vk kuk + kvk Seja V um espaço euclidiano real (i) Seja u V Veri que que se hu; vi para qualquer v V então u (ii) Sejam u; v V Veri que que u v se e só se hu; wi hv; wi para qualquer w V Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja S fu ; :::; u n g uma base ortonormada de V Seja T : V V uma transformação linear Veri que que a matriz A (a ij ) que representa T em relação à base S é dada por A (a ij ) (ht (u j ); u i i) Seja V um espaço euclidiano de dimensão n Seja fu ; :::; u k g um conjunto linearmente independente de k vectores de V Considere a transformação linear T : V V de nida por T (v) kx hv; u i i u i, i com v V Mostre que T é invertível se e só se k n Seja V um espaço euclidiano real Seja T : V V uma transformação linear tal que kt (w)k kwk para qualquer w V Mostre que ht (u); T (v)i hu; vi, para quaisquer u; v V Mostre que os valores próprios associados a uma matriz unitária têm módulo

Resolução da a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço euclidiano real As alíneas (i), (ii), (iii) e (iv) são consequência da de nição de produto interno Sejam u; v; w V; R (v) Atendendo à condição de linearidade do produto interno: hu + w; v + wi hu; vi + hu; wi + hw; vi + hw; wi hu; vi + hu; wi + hw; vi + kwk (vi) Atendendo à condição de linearidade do produto interno: hu; i hu; vi hu; vi e h; ui hv; ui hv; ui (vii) Se hu; vi então ku + vk hu + v; u + vi kuk + hu; vi + kvk kuk + kvk kuk hu; vi + kvk hu v; u vi ku vk, isto é, ku + vk ku vk Se ku + vk ku vk então ku + vk ku vk e esta última equação é equivalente à equação kuk + hu; vi + kvk kuk hu; vi + kvk, isto é, hu; vi (viii) Atendendo a que ku + vk hu + v; u + vi kuk + hu; vi + kvk, então tem-se ku + vk kuk + kvk se e só se hu; vi (ix) Seja c R Se hu; vi então ku + cvk hu + cv; u + cvi kuk + c hu; vi + c kvk kuk + c kvk kuk, para todo o real c, isto é, ku + cvk kuk para todo o real c Se ku + cvk kuk para todo o real c, então kvk c + hu; vi c, para todo o real c, se e só se hu; vi (fórmula resolvente)

(x) Se hu + v; u vi então hu + v; u vi kuk kvk Logo, kuk kvk Se kuk kvk então kuk kvk hu + v; u vi Logo, hu + v; u vi (xi) ku vk + ku + vk hu v; u vi + hu + v; u + vi kuk hu; vi + kvk + kuk + hu; vi + kvk kuk + kvk Seja V um espaço euclidiano real (i) Seja u V Se hu; vi para qualquer v V então, em particular para v u, tem-se hu; ui Logo, u (ii) Sejam u; v V Se u v então hu; wi hv; wi, para qualquer w V Se hu; wi hv; wi para qualquer w V, então hu v; wi, para qualquer w V Logo, atendendo à alínea anterior, tem-se u v Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja S fu ; :::; u n g uma base ortonormada de V Seja T : V V uma transformação linear A matriz A (a ij ) que representa T em relação à base S é dada por A (a ij ) (ht (u j ); u i i), uma vez que, para j ; :::; n, T (u j ) ht (u j ); u i u + ::: + ht (u j ); u n i u n Seja V um espaço euclidiano de dimensão n Seja fu ; :::; u k g um conjunto linearmente independente de k vectores de V Considere a transformação linear T : V V de nida por T (v) kx hv; u i i u i, i com v V Mostre que T é invertível se e só se k n

Dem Atendendo a que T é invertível se e só se N (T ) fg, bastará ver que N (T ) fg se e só se k n Se N (T ) fg então teremos k n, caso contrário, isto é, caso k < n ter-se-ia (L (fu ; :::; u k g))? fg : Assim, para v (L (fu ; :::; u k g))?, com v, teríamos T (v), ou seja N (T ) fg O que não pode ser pois suposemos N (T ) fg Logo, se N (T ) fg então tem-se k n Suponhamos agora que se tem k n Nesse caso, o conjunto fu ; :::; u n g é uma base de V Queremos ver que se tem N (T ) fg Seja v V tal que T (v) Logo, nx hv; u i i u i i Assim, atendendo a que o conjunto fu ; :::; u n g é linearmente independente, tem-se hv; u i i, para todo o i ; :::; n Finalmente, como o conjunto fu ; :::; u n g gera V, tem-se hv; ui, para qualquer u V Logo v e assim N (T ) fg Seja V um espaço euclidiano real Seja T : V V uma transformação linear tal que kt (w)k kwk para qualquer w V Mostre que ht (u); T (v)i hu; vi, para quaisquer u; v V Dem Sejam u; v V Tem-se hu; vi ku + vk kuk kvk kt (u + v)k kt (u)k kt (v)k kt (u) + T (v)k kt (u)k kt (v)k ht (u); T (v)i Seja U uma matriz unitária Isto é: U H U Seja um valor próprio de U e v um vector próprio associado: Uv v Logo e assim v H U H (Uv) H (v) H v H v H U H Uv v H Uv, v H U H U v v H (Uv),, v H Iv v H v, v H v v H v jj, jj kvk, v jj