Universidade Federal do Rio Grande FURG Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 5 - CPES GEOMETRI NLÍTIC Prof. ntônio Maurício Medeiros lves Profª Denise Maria Varella Martinez
. INTRODUÇÃO UNIDDE 4 GEOMETRI NLÍTIC Geometria nalítica é uma parte da Matemática que, através de processos particulares, estabelece as relações eistentes entre a Álgebra e a Geometria (esta última já era do conhecimento dos gregos, há mais de dois mil anos). Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura geométrica qualquer podem ter suas propriedades estudadas, através de métodos algébricos. história nos diz que os estudos iniciais da Geometria nalítica se deram no século XVII. Dois franceses, Pierre de Fermat (6-665) e René Descartes (596-65), desenvolveram a geometria analítica de maneira independente. contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno teto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data de 66, mas somente foi publicado em 679, postumamente, junto com sua obra completa. Geometria nalítica de Descartes apareceu em 67 no pequeno teto chamado Geometria como um dos três apêndices do Discurso do Método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nessa obra Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. o relacionar a Álgebra com a Geometria, ele criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. Contudo, a Geometria nalítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deiadas por Fermat e Descartes. Mas, cada um a seu modo, sabiam que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Referências http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica.html http://www.somatematica.com.br/historia/analitica.php
. ESTUDO DO PONTO.. Plano Cartesiano O Plano Cartesiano, criado por Descartes, é formado por dois eios e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O horizontal é chamado de eio das abscissas (eio X) e o vertical de ordenada (eio Y). intersecção dos eios é chamada de origem. ssociando-se o conjunto de todos os números reais a cada um dos eios obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Os eios e y dividem o plano cartesiano em quadrantes, como pode ser observado na figura abaio. Qualquer ponto (,y) que não se encontrar sobre os eios, estará localizado nos quadrantes a seguir: y eio das ordenadas quadrante quadrante eio das abscissas quadrante 4 quadrante quadrante e y quadrante e y quadrante e y 4 quadrante e y y P(, y ) Dado um ponto P(, y ) do plano cartesiano: suas coordenadas são e y, sendo a abscissa e y a ordenada, conforme mostra a figura ao lado.
Todo par ordenado de números reais fica associado a um único ponto P do plano cartesiano. Os pontos pertencentes aos eios e y, respectivamente, são os pontos de coordenadas (,) e (,y ). O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo. lém disso, podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS... Distância entre dois pontos Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância d entre os pontos,y e,y. y y d y C Os pontos, e C formam o triângulo retângulo C, onde os lados C e C representam os catetos e a hipotenusa. distância entre os pontos e é a medida da hipotenusa do triângulo, que pode ser calculada por meio do Teorema de Pitágoras, definido como o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Dessa forma, podemos construir a distância entre os dois pontos e : Cateto C : y y; Cateto C : ; Hipotenusa : distância d (d (d ) ) (C ) ( (C) ) (y y ) 4
d ( ) (y y) Eemplo: Dados os pontos, e 4,5 y, determine a distância entre eles. Sabendo que e 4 ; e y 5, encontraremos a D y y 4 5 8 4 64 68 7 distância entre, e 4,5, fazendo:.. Ponto Médio de um segmento de reta Dado um segmento de reta tal que as coordenadas dos pontos e, são, y de M, são dadas por: y. s coordenadas do ponto médio de, chamado Observe no gráfico abaio que, o segmento de reta tem um ponto médio M y M M y, y M, e os triângulos MN e P são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, aplicamos o Teorema de Tales: M P N No entanto, M, então: M P P, logo e P N. M N N Sabendo que a distância de P e a distância entre M ( M M M N M ) M, temos: Teorema de Tales O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos proporcionais. Foi estabelecido por Tales de Mileto que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinados. Partindo desse principio básico observado na natureza, intitulou uma situação de proporcionalidade que relaciona as retas paralelas e as transversais. 5
.4. Condição de alinhamento de três pontos Três pontos distintos,y,,y e,y somente se, pertencem à mesma reta. C estão alinhados se, e C Para verificarmos se os pontos estão alinhados efetuamos o cálculo do determinante da matriz de ordem, construída utilizando as coordenadas dos pontos, e C, onde as abscissas dos pontos constituirão a primeira coluna da matriz, as ordenadas a segunda coluna e a terceira coluna será complementada com o número um (). Se o valor do determinante for igual à zero, podemos afirmar que eiste colinearidade dos três pontos. y y y Eemplo: Verificar se os pontos,,,4 e 4,5 Testando a condição de alinhamento temos: 4 4 5 Logo, e C estão alinhados. 4 C estão alinhados. = ( 4 5 8) 6 5 6 7 7.4.4.5....4..5. 4....5. Coeficiente angular de uma reta O valor do coeficiente angular m de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação, formado pela intersecção da reta e o eio o, ou seja, m = tg. 6
O valor da tangente do ângulo [ tg ] pode ser encontrado da seguinte forma: Considere uma reta s que passa pelos pontos, e,y y e possui um ângulo de inclinação com o eio o igual a. semi-reta que passa pelo ponto e é paralela ao eio o forma um triângulo retângulo no ponto C. O ângulo do triângulo C será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais. Levando em consideração o triângulo C e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos: y y Portanto, m tg. Eemplo: O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos, e 4,7 vale: y y y 7 4 m tg. 4.6. Equação da reta que passa por um ponto: Consideremos as retas que passam pelo ponto C de coordenadas (,y ). 7
Considere,y e,y C feie. Sendo m o coeficiente angular da y y reta temos: m e y y m tribuindo todos os valores possíveis para o coeficiente angular m, obtemos as equações de todas as retas que passam pelo ponto C, com eceção da reta vertical. P como um ponto genérico de uma das retas do Então, a equação das retas que passam por,y m é dada por: y y m com m C e tem coeficiente angular Caso particular reta vertical do feie, que passa por,y C, tem a equação:. Eemplos: ) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto, 4 coeficiente angular. Usando y m y temos: y 4 ( ( )) y 4 e tem y 4 y 6 y 6 ) Determinar a equação da reta que passa pelos pontos, e 5, Calculando o coeficiente angular temos: m y y y 4. Usando o ponto, 5 5 6 : ( ( )) y y 6 y 4 E ainda, usando o ponto 5, : y ( 5) y 5 y 6 y 4. equação da reta que passa pelos pontos e e tem coeficiente angular / é y 4... 8
Outra forma de encontrarmos a equação da reta é utilizando a condição de alinhamento de três pontos. Considerando que os pontos P,y, e estão alinhados. Dessa forma, pela condição de alinhamento entre três pontos: y 5 y y 5y y 5y y 4 6y 8 y 4 5y. FORMS D EQUÇÃO D RET.. Equação reduzida da reta equação reduzida da reta é dada por m representa a inclinação da reta em relação ao eio das abscissas e o coeficiente linear b representa o valor numérico por onde a reta passa no eio das ordenadas y. y m c. O coeficiente angular Eemplo: char a equação reduzida da reta que passa em, e, y m b, e substituindo os pontos e obtemos o sistema:. Usando m. c m.() c m c, sendo m c 4m m Substituindo o valor de m em qualquer uma das equações temos: m c c 4.. Equação Geral da reta c, logo a equação reduzida é 4 4 y. 4 4 equação geral da reta é dada por: a by c, onde a, b e c são números reais constantes e a e b diferentes de zero. 9
Eemplo: char a equação geral da reta que passa pelos pontos, e 4,7. Indicando um ponto qualquer por P,y e usando a condição de alinhamento, obtemos: 4 y 7 y, aplicando Sarrus:...7. 4.y. 4 4y 4 4y 7 y 4 y y.4.7..y. 7 y..4.7..y....7. 4.y... Equação segmentária da reta Seja s uma reta qualquer do plano a by c, a equação segmentária da reta se dá pela divisão da equação por c. Portanto c / a y c / b a c by c c c, logo c c, onde é a abscissa do ponto de interseção com o eio e a b é a ordenada do ponto de interseção com o eio y. Eemplo: Determine a forma segmentária da equação da reta y 6 : y Usando, temos: c / a c / b y 6 6 6 6 y 6 6 y c a 6 ; c b 6
4. POSIÇÕES RELTIVS DE DUS RETS NO PLNO Sejam: - o ângulo que a reta r forma com o eio ; m seu coeficiente angular; - o ângulo que a reta s forma com o eio ; m seu coeficiente angular. 4.. Retas Paralelas s retas s e r são ditas paralelas r // sse m m tg tg Eemplo: Verifique se as retas r : y 7 e s : 5y 45 são paralelas. Determinando o coeficiente angular de cada uma das retas, temos: Reta r : y 7 : Isolando y ficamos com: y 7 7 y mr Reta s : 5y 45 : Isolando y ficamos com: 5y 45 45 y 5 y Como m m ms r s, as retas r e s são paralelas // s r.
4.. Retas concorrentes e Intersecção de duas retas Duas retas são ditas concorrentes se elas se interceptam em um ponto. Para que as retas r e s sejam concorrentes seus coeficientes angulares devem ser diferentes. Portanto, r s mr ms. Para encontrar a intersecção de duas retas, devemos resolver o sistema formado por suas respectivas equações. Eemplo: char a intersecção das retas r : y 4 e s : y 8. Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, temos: y 4 y 8 4 Substituindo em qualquer uma das equações temos: s : y 8 y 8 y 6 y 6 y Logo, o sistema é possível e determinado, ou seja, possui uma única solução, que é o par ordenado,. Isso significa que eiste somente um ponto que pertence ás duas retas, ou seja, o ponto P,.
4.. Retas perpendiculares Duas retas r e s são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos retos e m.m. Eemplo: r s Verificar se as retas r : 5y 5 e s : 5 y são perpendiculares. Determinando o coeficiente angular de cada reta temos: Reta r : 5y 5 : Reta s : 5 y Usando m.m temos: r s 5 5y 5 y 5 y mr 5 5 5 y 5 y 5 5 y 4 ms 5 5. Logo, concluímos que as retas são perpendiculares 5 5 r s. 5. DISTÂNCI ENTRE PONTO E RET distância entre um ponto,y P e uma reta s é calculada unindo P a s através de um segmento PQ, que deverá formar com s um ângulo reto 9. Para estabelecer a distância entre os dois é necessária a utilização da equação geral da reta e da coordenada do ponto.
Estabelecendo a equação geral da reta : a by c e a coordenada do ponto,y ponto e uma reta dada por: P s, chegamos à fórmula da distância entre um d a b y a b c Eemplo: char a distância do ponto, d a P à reta r : 6 8y 4. Sendo: 6; b 8; c 4; ; y Usando b y a b a c 6. 6 8. 4 4 4 8 8 4 8 6 64 5 4 Logo a distância do ponto P a reta s é de ou, 8 unidades. 5 6. ÂNGULO FORMDO POR DUS RETS Sejam r e s duas retas distintas e concorrentes que formam, entre si, um ângulo, onde m r e m s são os coeficientes angulares das retas, respectivamente. tangente de é dada por: ms mr tg. m.m s r 4
Se uma das retas for vertical e a outra oblíqua, o ângulo formado entre elas é tal que tg. m r Eemplo: Determinar o valor do ângulo formado pelas retas r : y 4 5 s : y 7. Reta r : y 4 5 m r e Reta s : y 7 y 7 ms Usando ms mr tg temos: m.m s r tg. 6 5 5 7. ESTUDO D CIRCUNFERÊNCI circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância ao ponto C é igual a um valor r. O ponto C é chamado centro da circunferência, e a medida do 5
segmento de reta que liga um ponto qualquer da circunferência ao centro é chamado de raio. 7.. Equação da circunferência Sejam C a,b o centro e,y P um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência. través do cálculo da distância entre dois pontos temos: d ( a) (y b) r ; r a yb é a equação reduzida da circunferência. Quando o centro da circunferência for C,, a equação da circunferência será y r r r.desenvolvendo a equação reduzida da circunferência temos: a yb a a y by b y a by a b r é a equação geral da circunferência. Eemplo: Determinar a equação de uma circunferência com centro no ponto O, e raio. Usando a yb r, temos: r a yb y y y 6 y Logo a equação é ( ) (y ) 9 ou y 6 y. 7... Identificação do centro e do raio da circunferência identificação do centro e do raio da circunferência pode ser feita através do método de completar quadrados. Vejamos como eemplo a equação dada por: y 6 4y 4 6
Sabemos que a a a colocada na forma: 6... y 4y... 4. Portanto a equação a cima pode ser Para que a epressão seja um quadrado perfeito, vamos completar a epressão com 9. 6 9 ; a 9. Para que a epressão seja um quadrado perfeito vamos completar a y ; a 4. epressão com 4. 4y 4 y Para que a igualdade seja mantida devemos somar ao segundo membro da epressão os números 9 e 4. 6 9 y 4y 4 4 9 4 ou 9 y Desta forma a equação y 6 4y 4 representa uma circunferência de centro C, e raio. 7... Posições relativas entre circunferência e ponto no plano ) Ponto Interno à Circunferência Nesse caso o raio é menor que a distância do ponto P ao centro da circunferência, logo dcp r. ) Ponto Eterno à Circunferência Nesse caso o raio é maior que a distância do ponto P ao centro da circunferência, logo dcp r. 7
C) Ponto pertence à Circunferência Nesse caso o raio é igual à distância do ponto P ao centro da circunferência, logo dcp r. Eemplo: Verificar se os pontos,,, e 6, C pertencem a circunferência y 6 4y 9. Pelo método de completar quadrados temos: 6 9 y 4y 4 9 9 4 y C, e o raio, r. y Ponto, :Substituindo as coordenadas na equação temos: 6 4y 9 6. 4. 9 4 6 8 9 4 4 d d Logo a circunferência e a distância do ponto ao centro C é 4 d (igual a r ). y Ponto, :Substituindo as coordenadas na equação temos: 6 4y 9 6. 4. 9 9 9 8 9 Logo a circunferência. distância de até o centro é.o centro é d (menor que r ). Significa que está na região interior da circunferência. Ponto C 6, : Substituindo as coordenadas na equação temos: 6 y Logo 6 4y 9 6.6 4. 9 6 9 6 9 6 C a circunferência. distância de C até o centro é : 8
d C 6 9, 6 d (maior que C r ). Significa que C está na região eterior à circunferência. 7... Posições relativas entre circunferência e reta no plano Uma reta qualquer comparada à circunferência pode ser tangente, secante ou eterna à circunferência. ) Reta tangente à circunferência É aquela que toca a circunferência em um só ponto. distância entre o centro O e a reta s é igual ao raio. ) Reta secante à circunferência reta intercepta a circunferência em dois pontos distintos. distância entre o centro O e a reta s é menor que a medida do raio. C) Reta eterna à circunferência Nesse caso, a reta não possui nenhum ponto em comum com a circunferência. distância entre o centro O e a reta s é menor que a medida do raio. 9
Eemplo: Dada a circunferência y 6 4y 5 estudar a posição relativa das retas: a) y b) y c) y 5 Para fazer esse estudo precisamos encontrar a intersecção da equação da circunferência com a da reta selecionada a partir da resolução do sistema: a) y y 6 4y 5 Substituindo a equação da reta y em y 6 4y 5, temos: 6 4 5 6 4 4 5 Substituindo em y y Significa que só há um ponto em comum entre a reta e a circunferência, o ponto, P. ssim, a reta y é a reta tangente à circunferência. b) y y 6 4y 5 Substituindo a equação da reta y em y 6 4y 5, temos: b 6 4 4 4 6 4 8 5 7 4ac 5 4..7 4 56 5 Logo, não eiste raiz real, pois 5<. Significa que não eiste ponto que esteja na reta e na circunferência. ssim, a reta y é eterior à circunferência. c) y y 5 6 4y 5
Isolando y na equação da reta y 5 y 5 e substituindo em y 6 4y 5 b 5 6 4 5 5 6 5 6 4ac 6 6 6 6. ' 6 6 6 '' 6 6 6, temos: 5 4.. 6 Logo eistem dois pontos que estão na reta e na circunferência: 6, 5 P, 5. Logo, a reta y 5 é secante à circunferência. P e