PROGRAMAÇÃO DE ORDENS DE PRODUÇÃO COM DIFERENTES INSTANTES DE LIBERAÇÃO PARA UMA DATA ÚNICA DE ENTREGA Claudo Fernando Furlan (USP) claudo.furlan@pol.usp.br Débora P. Roncon (USP) droncon@usp.br Resumo Este trabalho apresenta uma heurístca construtva para o problema de programação de ordens de produção com data de entrega comum para todas as ordens que serão processadas em uma únca máquna. Para evtar estoques antecpados e mesmo atrasos na entrega, são aplcadas penaldades tanto para adantamento como para o atraso. O objetvo é mnmzar a somatóra das penaldades aplcadas as entregas adantadas e as atrasadas. Para sto este trabalho vem propor uma heurístca adaptada do algortmo de Srdharan e Zhou (1996). O desempenho da heurístca proposta é avalado através de um estudo comparatvo com resultados ótmos obtdos em problemas de pequena dmensão. Palavras-Chave: Programação de produção; Heurístca e Adantamentos e Atrasos Penalzados.
1. INTRODUÇÃO Na década de 70, os japoneses craram uma flosofa de trabalho chamada Just n tme (JIT), que sgnfca que todas as atvdades tnham que começar e termnar no tempo correto, nem antes e nem depos, sendo a fabrcante de veículos automotores Toyota sua precursora, conforme escreve Womack e Jones (1992). No ambente de produção o JIT tem sdo amplamente utlzado, conforme descreve Arnold (1999), JIT é a elmnação de todo desperdíco e a melhora contínua da produtvdade... que um dos objetvos da programação é fazer a melhor utlzação dos recursos da produção e assm nfluencar a produtvdade. Portanto, a programação de atvdades tem um papel mportante na melhora dos resultados quando utlzada segundo a premssa do JIT. Assm utlzando esta premssa de executar tarefas no tempo correto, a programação deve balancear a execução das atvdades de forma que elas não termnem antes da necessdade, assm como não sejam fnalzadas depos do nstante requerdo. Ilustrando os problemas de se adantar alguma atvdade, Bagch, Chang e Sullvan (1987) comentam que no caso de produtos fnalzados antes do tempo ncorre uma ocupação cada vez maor do espaço destnado ao estoque e conseqüente escassez de espaço, aperto no fluxo de caxa devdo ao captal parado aguardando sua data de entrega, e que geralmente ndca que a alocação e utlzação dos recursos não estão balanceadas, sto é, ndca nefcênca da cadea. Em relação a atrasar uma atvdade, e neste caso mas precsamente a entrega de um produto, Davs e Kanet (1993), salentam as conseqüêncas que este cenáro pode apresentar, como a perda da reputação em relação ao clente, custos de oportundade de perda de vendas e até penaldade fnancera por contrato de venda. Em resumo os custos envolvdos em ambas stuações demonstram a nefcênca do sstema em relação à capacdade envolvda e a programação das atvdades. Este trabalho tem como característca prncpal apresentar uma heurístca para a programação de ordens que estarão dsponíves em dferentes datas para serem processadas. Consderamos o ambente de máquna únca e penaldades guas para todas as ordens aplcadas ao adantamento e atraso em relação a data de entrega estabelecda, sendo as penaldades de atraso e adantamento dferentes entre s. Jeffrey Sdney (1977), nos dz o segunte em seu trabalho: A produção de produtos perecíves é um outro exemplo no qual estas penaldades aparecem. Suponha, por exemplo, um produtor químco combna um tem químco A, que deterora rapdamente com um segundo tem químco B para produzr o tem C. Se A é produzdo antes que B esteja pronto, ele se deterora. Se A é produzdo mas tarde, o atraso de C pode ser dspendoso. Em seu artgo Sdney exemplfca a partculardade de ter uma únca data de entrega que neste exemplo sera a da produção do tem C e fca nas entrelnhas a mportânca das penaldades para poder ajustar o processo das ordens o mas próxmo possível da data de entrega. Outro exemplo prátco é ctado por Kanet (1981), para o caso de produção de componentes para a montagem fnal de um produto, onde a data de entrega comum se refere ao níco da montagem do tem fnal. A fgura 1 a segur mostra uma stuação onde um clente faz um peddo de alguns tens, mas com a condção de que a entrega não pode ser parcal. Então a entrega terá data únca e assm os tens deverão estar todos prontos até aquela referda data. As ordens de produção (OP) são lberadas conforme a dsponbldade de matéra prma e programadas para serem processadas em uma únca máquna. Não é nteressante que os tens deste peddo termnem nem muto tempo antes assm como não devem atrasar. Portanto, tudo dependerá de uma boa programação. XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção OP tem 1 Ordem de Venda para o clente OP tem 2 OP tem 3 Máquna únca de processamento FIGURA 1 Stuação prátca de entrega de város tens para uma mesma data de entrega. Data únca de entrega 17
XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção Estes exemplos refletem a mportânca deste trabalho, assm como as dferentes datas de lberação das ordens, pos no ambente JIT matéras prmas também devem chegar no seu tempo certo. Com sso cada ordem poderá ter uma dferente data de lberação para o processo. Neste trabalho defnremos o problema em estudo assm como apresentando a heurístca de Srdharan e Zhou (1996) modfcada para atender as premssas defndas. O método de resolução é heurístco, pos de acordo com Valente e Alves (2003), este tpo de problema tem complexdade NP- Hard. Testes computaconas com problemas da lteratura e seus resultados serão apresentados. Resultados de problemas de pequena dmensão foram comparados com uma programação ótma para mostrar a efetvdade da mplementação desta heurístca. A motvação para a realzação deste trabalho é a ausênca de artgos que abordem este problema coma as mesmas característcas anterormente ctadas. Prncpalmente quando tratamos a data de entrega d como restrtva, sto é, seu valor é menor que a soma dos tempos de processamento de todas as ordens. 2. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA O problema consste de n ordens de produção com dferentes tempos de processamento p, sendo = 1...n, que devem ser processadas por uma únca máquna. Aqu podemos ressaltar que máquna únca pode ser nterpretada como uma célula de produção ou um centro de trabalho ou mesmo uma máquna gargalo da produção. As datas de chegada ou de lberação (r ) das ordens para entrar na máquna são dferentes, ou seja, as ordens não estarão todas dsponíves no mesmo nstante, portanto sua lberação será dnâmca ao longo do tempo. Consderaremos que os dados das ordens, tempo de processamento e data de lberação são determnístcos. Não será permtda nterrupção (preempton) do processamento da ordem antes da sua conclusão. A programação será defnda em função de mnmzar os atrasos e os adantamentos ponderados, sto é, tanto o adantamento como o atraso terão penaldades. O nstante de térmno de cada ordem será defndo como C e o níco denomnado s, logo, C = s + p. As penaldades serão defndas como a para o adantamento das ordens e b para o atraso e serão aplcadas sobre o tempo de adantamento E e atraso T respectvamente. Sendo E =max { d-c, 0 } e T = max {C -d, 0}. Este problema tem como partculardade data de entrega únca. Neste caso podemos ter dos tpos de entrega únca. O prmero chamado de data não restrtva que sgnfca que uma seqüênca ótma pode ser construída sem que o valor da data de entrega seja consderado. O segundo caso chamado de data restrta onde a data de entrega se encontra na segunte stuação: d < Σ p. E este segundo será o caso do estudo deste trabalho. O problema em estudo pode então ser lustrado conforme a fgura 2: As ordens O são defndas pelo par r e p, onde = 1 a n O 1 (r 1, p 1 ) Os tempos de térmno Cj são função da seqüênca, s e p C 1 O 2 (r 2, p 2 ). O n (r n, p n ). C n C2 d 18 FIGURA 2 Representação gráfca do problema.
Segue abaxo a formulação matemátca do problema adaptada do trabalho de Bskup e Feldman (2001): Função Objetvo: n Mn α E + βt =1 T s + p d = 1,..., n; E d s p k ( x ) s + p s + R 1 = 1,..., n 1; k = + 1,..., n; k k k k = 1,..., n; s + p s + Rx = 1,..., n 1; k = + 1,..., n; T, E, s, r 0 { 0,1} x = 1,..., n 1; k = + 1,..., n; k s r = 1,..., n; = 1,..., n; (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Os tempos de adantamento e atraso são calculados pelas restrções (1) e (2). As restrções (3) e (4) determnam os tempos de níco das ordens. R é um valor grande o sufcente, defndo prevamente para não nterferr no resultado das restrções. Se a ordem precede a ordem k a restrção s + p < s k será verdadera se x k = 1. Por causa da adção de R (4) não é restrtva com xk = 1. Por outro lado, para x k = 0 a restrção(4) será defndo por s k + p k < s e (3) não é restrtva. Importante notar que a varável bnára é defnda em (6). A restrção (5) garante a não negatvdade das varáves e a restrção (7) defne que uma ordem só pode ser ncada se ela estver dsponível naquele nstante. Na lteratura encontramos alguns artgos que levam em consderação a data comum e as penaldades por atraso e adantamentos úncos a e b para todas as ordens, dos quas ctamos alguns: Panwalkar, Smth and Sedmann (1982), Emmons (1987), Bagch, Chang e Sullvan (1987) e Mondal e Sen (2001); mas em todos eles a data de lberação da ordem r é comum a todas as ordens, sto é, todas estão dsponíves para processamento no níco da programação. Artgos que levam em consderação dferentes datas de lberação podemos ctar Srdharan e Zhou (1996), Bank e Werner (2001), mas que utlzam como penaldade a e b para as ordens e Nandkeolyar, Ahmed e Sundararaghavan (1993) que penalzam o atraso e o adantamento gualmente com a =b, apenas o trabalho de Cheng, Chen, Shakhlevch (2002) penalza as ordens conforme o problema proposto acma, mas a data de entrega não é dada, é uma das varáves do problema. Um trabalho recentemente publcado é o de Valente e Alves (2003) que trabalha com as mesmas premssas do problema em estudo, mas com uma varante que é a data de entrega não restrta. Portanto, até o momento não conhecemos na lteratura dsponível artgos com as mesmas premssas do problema tratado neste artgo. 3. HEURÍSTICA PROPOSTA Devdo à complexdade do problema é proposta uma heurístca construtva por ela ser de rápda solução. Esta metodologa em geral apresenta menor complexdade de mplementação e obtêm-se respostas com grande rapdez o que é mportante em aplcações prátcas. A heurístca construtva a ser aplcada é uma adaptação da heurístca apresentada no artgo de Srdharan e Zhou (1996) denomnada de DT-ET, que são as ncas de Decson Theory for Earlness and Tardness problem. Esta heurístca leva em consderação uma teora de decsão na seleção da próxma ordem a ser processada avalando as conseqüêncas de cada alternatva de acordo com um crtéro dado e escolhe XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção 19
XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção a melhor alternatva, conforme descrto no artgo de Kanet e Zhou (1993), assm como uma vsão futura das ordens que estão para chegar. A motvação para a escolha desta heurístca fo baseada na estrutura proposta por Nandkeolyar, Ahmed e Sundararaghavan (1993) que realzaram um estudo sobre o problema E/T (Earlness and Tardness) para máquna únca com ordens chegando dnamcamente, ou seja, ordens com dferentes datas de lberação e consderando todas as penaldades guas. Este artgo avala dferentes heurístcas desenvolvdas de forma modular. Um dagrama em forma de fluxo de decsão é defndo utlzando os módulos. Estes módulos são dvddos em: Vsão Futura (FE, ncas de front end), Tema Prncpal (MT, ncas de man theme) e Inclusão de Tempo Ocoso na programação (BR, ncas de balancng routne). Estes módulos se referem a: (FE) geração de um cenáro futuro consderando ordens que estão para chegar após o nstante de tomada de decsão de qual ordem será processada em seguda; (MT) defndo por uma regra de despacho para gerar uma seqüênca de ordens lberadas que será convertda em uma programação (regras como: EDD, SPT, FCFS, etc) e (BR) acetação de nserção ou não de tempo ocoso ou parada de máquna na programação das ordens. Após város testes comparatvos entre 12 heurístcas cradas através da combnação dos módulos Nandkeolyar, Ahmed e Sundararaghavan (1993) chegaram a conclusão de que a heurístca utlzando a conjunção FE+BR tem a melhor performance quando a máquna está congestonada. A heurístca construtva desenvolvda por Srdharan e Zhou (1996) tem em sua estrutura os dos módulos FE e BR. A déa básca da heurístca está resumda nestas duas perguntas: qual a próxma ordem a ser processada e quando começar seu processamento. Para responder a prmera questão ela consdera ordens a serem lberadas e as atuas na fla, e para responder a segunda ela avala a escolha de uma ordem em termos do mpacto sobre todas as outras não escolhdas. Para sto a heurístca consste de três procedmentos báscos: A Defnr quas ordens serão analsadas. B Programar uma ordem como próxma a ser processada e estmar o nstante de térmno das restantes. Refazer este cálculo para todas as ordens defndas em A. Calcular o custo total de cada programa. Escolher a ordem de menor custo. C Refazer os procedmentos A e B até que todas as ordens estejam programadas. A segur segue o algortmo da heurístca com as defnções dos parâmetros e varáves envolvdas. Parâmetros p j tempo de processamento da ordem j; r j data de chegada da ordem j; b - penaldade únca por atraso; a - penaldade únca por adantamento; d data de entrega comum; 20 Varáves C j nstante de térmno da ordem j em estudo; s j nstante de níco da ordem j em estudo; t 0 nstante de decsão; J conjunto das ordens que estão na fla; K conjunto das ordens que rão chegar dentro do período: [ t 0, max (t 0 +p j, d j )]; S(t 0 ) conjunto das ordens canddatas no nstante to, defndo pela unão dos conjuntos J e K (J U K) ; N número de ordens em S(t 0 ).
Antes de ncar o passo 1, é necessáro defnr o conjunto S(t 0 ), assm, somente as ordens contdas neste conjunto é que serão submetdas ncalmente a avalação da heurístca. Este conjunto será alterado a cada novo nstante t 0. O nstante t 0 será o nstante de térmno C j da ordem escolhda como próxma a ser processada. Para o nco da programação será consderado como zero ou o menor r j dsponível caso nenhuma ordem esteja dsponível no nstante zero. Para o passo a segur uma ordem j qualquer será escolhda do conjunto S(t 0 ) como a próxma a ser processada. Passo 1: Esta etapa defne qual o melhor valor que pode assumr para a ordem j em estudo. C { t + p, r + p d} * j max 0 j j j, = (8) Passo 2: Determne o nstante médo de conclusão, das ordens remanescentes no conjunto S(t 0 ): (9) (11) (10) (12) Passo 3: Determne o valor a ser assumdo por C j e, por consegunte, o melhor nstante de níco, s j, para a ordem em estudo: Se, α < β então, (13) Caso a condção não seja atendda consderamos então: C j = C j *, E a melhor data de níco será: (14) s j = C j p j Passo 4: Estme, agora, os nstantes de níco s e térmno C das ordens remanescente de S(t 0 ): Passo 5: Calcule para a ordem j em estudo qual sera seu custo total TC(j), como se ela fosse a próxma a ser processada. (15) (16) XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção (17) Passo 6: Retorne ao passo 1 utlzando agora uma nova ordem j contda em S(t 0 ) e refaça todos os passos até o passo 5. Quando todas as ordens tverem sdo nvestgadas pule para o próxmo passo. 21
Passo 7: Seleconar a ordem j com o menor TC calculado. Utlzar s j e C j calculados no passo 3. Programe esta ordem como a próxma da seqüênca. XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção Atualze t 0, volte a defnr o conjunto S(t 0 ) e nce no passo 1 novamente. Após a seqüênca montada, a mesma é analsada para checar se há algum tempo ocoso entre ordens que se ncam antes da data de entrega e que podera ser removdo adantando a ordem ou as ordens anterores. Como por exemplo, supondo que a prmera ordem da programação começa no nstante zero e fnalza no nstante 3. A segunda ordem só pode ncar no nstante 5 porque sua data de lberação mpede que comece no nstante anteror. Então a prmera ordem deverá ser adantada a começar no nstante 2 para que termne no nstante 5, removendo o tempo ocoso que tnha entre as ordens e assm por dante. 4. RESULTADOS COMPUTACIONAIS Os dados para a realzação dos testes foram gerados utlzando o programa em Pascal desenvolvdo por Bskup e Feldmann (2001). Neste programa os dados são gerados aleatoramente dentro de uma faxa defnda para cada parâmetro. Para manter a mesma déa dos autores, foram mantdas a semente e a dstrbução unforme de valores de geração, logo os tempos de processamento, são os mesmos gerados por Bskup e Feldmann. São gerados 70 problemas dferentes dvddos em 7 dferentes tamanhos (10, 20, 50, 100, 200, 500 e 1000 ordens) e cada um com 10 dferentes replcações. Para o tempo de processamento a faxa da dstrbução unforme adotada fo [1-20], para penaldade por adantamento [1-10] e para penaldade por atraso [1-15]. Para datas de lberação da ordem uma adaptação do programa orgnal de Bskup e Feldmann (2001) fo realzada. A faxa de valores defnda para a geração das datas de lberação fo baseada nos trabalhos de Akturk e Ozdemr (2001) e Chu (1992), que vara conforme a faxa de dstrbução [0-k], e cujo lmte superor k é defndo por um fator multplcador α sobre a somatóra dos tempos de processamento., onde a = 0,5 (18) 22 Conforme a equação (18), a dstrbução unforme de valores para gerar as datas de lberação é função da somatóra dos tempos de processamento de cada replcação do problema. Logo, a faxa de geração da data de lberação será [0, k] para cada um dos problemas como mostra a tabela 1. Número de Ordens por Problema Réplca 10 20 50 100 200 500 1000 1 58 109 275 568 1065 2609 5306 2 65 119 256 641 1066 2718 5124 3 63 117 268 537 1001 2641 5234 4 51 115 239 523 1075 2742 5141 5 47 94 271 530 1086 2548 5343 6 44 104 274 526 1036 2569 5283 7 52 122 277 521 1030 2672 5283 8 40 101 319 593 1049 2675 5174 9 46 70 229 541 1038 2704 5176 10 64 108 253 532 1064 2638 5287 TABELA 1 Lmte Superor (k) para a geração das datas de lberação
A data de entrega d é gerada pela somatóra dos tempos de processamento do problema e multplcado pelo fator h., sendo o fator h = 0,2; 0,4; 0,6 e 0,8 (19) Os testes levaram em consderação 4 dferentes datas de entrega defndas pelo fator h, sendo portanto gerados 280 problemas. A heurístca proposta fo mplementada na lnguagem Pascal e os testes realzados em um computador com processador de AMD K6-II de 500 MHz e 64 Mb de memóra RAM. Os problemas com 10 ordens foram também resolvdos de forma exata através do software LINDO (Lnear, Interactve and Dscrete Optmzer), com o ntuto de avalar a performance da heurístca proposta. A tabela 2 fornece uma comparação entre os resultados obtdos para os 40 casos testados. Os valores gerados pelo LINDO estão defndos na tabela como FO*. Problemas h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Méda 0,2 FO 1953 4638 5826 4666 1216 2730 4670 3568 531 2812 FO* 1953 4494 5826 4666 1128 2730 4670 3568 521 2616 FO/FO* (%) 0,0% 3,2% 0,0% 0,0% 7,8% 0,0% 0,0% 0,0% 1,9% 7,5% 2,0% 0,4 FO 1361 2908 3618 2898 1096 2226 2861 2418 372 1792 FO* 1308 2908 3618 2786 968 1800 2861 2408 306 1562 FO/FO* (%) 4,1% 0,0% 0,0% 4,0% 13,2%23,6% 0,0% 0,42%21,6%14,7% 8,2% 0,6 FO 1273 2138 2634 2432 1096 2086 2172 2416 319 1152 FO* 1082 2079 2592 2142 844 1587 1968 2042 290 874 FO/FO* (%) 17,7% 2,8% 1,6% 13,5%29,8%31,4%10,4%18,3%10,0%31,8%16,7% 0,8 FO 1389 2307 2376 2696 1096 2086 2561 3004 354 926 FO* 1072 1726 2130 2068 844 1315 1829 1684 234 714 FO/FO* (%) 29,6%33,7%11,5%30,4%29,8%58,6%40,0%78,4%51,3%29,7%39,3% TABELA 2 Comparação da Heurístca proposta com o software LINDO A tabela 2 mostra que a heurístca proposta tem uma perda de aderênca cada vez maor em relação ao valor ótmo conforme o fator h é ncrementado, sto é, para os problemas com valor de h=0,8 a méda das dferenças entre o encontrado pela heurístca e o valor ótmo fo de 39,3%, já com h=0,6 esta dferença méda ca para 16,7%, para h=0,4 a méda é 8,2% e por últmo h=0,2 a dferença méda ca para 2,0%. Em resumo esta heurístca conseguu ter sua melhor performance e até atngr o ótmo (em 9 problemas, ou melhor, 22,5 % dos problemas) quando a data de entrega comum é altamente restrtva, sto é h=0,2. Isto ndca que a heurístca possu uma boa performance quando a maora das ordens está em atraso e se quer mnmzar este atraso. Para os outros casos apesar da méda ser maor há algumas exceções que produzem bons resultados, como nos problemas 2, 3 e 7 com h=0,4 que atngram o ótmo, os problemas 2 e 3 com h=0,6 e o problema 3 com h=0,8 cuja varação são respectvamente 2,8%; 1,6% e 11,6%; e que poderam ser utlzados em um estudo futuro para melhora da heurístca. XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção 23
5. CONCLUSÃO XI Smpep - Smpóso de Engenhara Produção Neste artgo fo apresentada uma heurístca construtva para mnmzar a soma das penaldades de atraso e adantamento das ordens de produção em relação à data de entrega comum e restrta. O método proposto fo submetdo a testes computaconas para mostrar sua efcênca em comparação aos resultados ótmos obtdos para pequenos problemas. Esta heurístca, ncalmente concebda para resolver problemas com penaldades e data de entrega dferentes para cada ordem, ou seja, α, β e d e agora adaptada para resolver problemas de data únca e penaldades do tpo α e β, tem potencal de solução já que a mesma ncorpora uma vsão futura das ordens que estão para chegar e analsa se não exste ordem em potencal para ser programada antes das que já estão na fla. Portanto, cabe ressaltar que esta heurístca tem espaço para sofrer melhoras a ponto de reduzr, prncpalmente, a varação que exste nos resultados para datas de entrega cujo fator h está entre 0,6 e 0,8. Novos testes estão em fase de desenvolvmento a fm de consegurmos uma melhor performance da heurístca proposta. 6. REFERÊNCIAS ARNOLD, J. R. T. Admnstração de Materas. São Paulo: Atlas, Cap. 15, 1999. AKTURK, M. S.; OZDEMIR, D. A New Domnance Rule to Mnmze Total Weghted Tardness wth Unequal Release Dates. European Journal of Operatonal Research, Vol 135, p.394-412, 2000. BAGCHI, U.; SULLIVAN, R.; CHANG Y. (1987), Mnmzng Mean Square Devaton of Completon Tmes About a Common Due Date. Management. Scence, Vol. 33, p.894-906, 1999. BANK, J.; WERNER, F. Heurstc Algorthms for Unrelated Parallel Machne Schedulng wth a Common Due Date, Release Dates, and Lnear Earlness and Tardness Penaltes. Mathematcal and Computer Modellng, Vol. 33, p.363-383, 2001. BISKUP, D.; FELDMANN, M. Benchmarks for Schedulng on a Sngle Machne Aganst Restrctve and Unrestrctve Common Due Date. Computers & Operatons Research, Vol. 28, p.787-801, 2001. CHENG, T. C. E.; CHEN, Z. L.; SHAKHLEVICH N. V. Common Due Date Assgnment and Schedulng wth Ready Tmes. Computers and Operatons Research, Vol. 29, p.1957-1967, 2002. CHU, C. A Branch-and-Bound Algorthm to Mnmze Total Tardness wth Dfferent Release Dates. Naval Research Logstcs, Vol. 39, p.265-283, 1992. DAVIS, J. S.; KANET, J. J. Sngle-Machne Schedulng wth Early and Tardy Completon Costs. Naval Research Logstcs, Vol. 40, p.85-101, 1993. EMMONS, H. Schedulng to a Common Due Date on Parallel Common Processors. Naval Research Logstcs Quartely, Vol. 34, p.803-810, 1987. KANET, J. J. Mnmzng the Average Devaton of Job Completon Tme About a Common Due Date. Naval Research Logstcs Quartely, Vol. 28, p.643-651, 1981. 24
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