EXPOENTES DE LYAPUNOV E TEOREMA ERGÓDICO MULTIPLICATIVO

EXPOENTES DE LYAPUNOV E TEOREMA ERGÓDICO MULTIPLICATIVO Resumo. Introduz-se o conceito de expoente de Lyapunov no caso de transformações diferenciáveis e discutem-se alguns aspectos da extrutura que surge com a introdução deste conceito. Em particular enuncia-se o teorema ergódico multiplicativo na versão clássica e para transformações não invertíveis. Apresenta-se de seguida uma noção de expoente de Lyapunov para transformações não necessariamente diferenciáveis e mostra-se que numa classe alargada de repulsores de conjuntos hiperbólicos os dois conceitos coincidem.. Expoentes clássicos e teorema ergódico multiplicativo Consideremos uma função f : R R diferenciável com inversa diferenciável. Temos n n (f n ) (x) = f (f k (x)) = f (f k (x)). Deste modo, n log (f n ) (x) = n n log f (f k (x)) = n log f (f k (x)). n Relembra-se o seguinte resultado Teorema. (Teorema ergódico de Birkhoff). Dada φ : X R, uma função de L (X, µ) em que µ é uma medida de probabilidade f- invariante, temos que para µ-quase todo o ponto x X existe o ite φ n (x) = φ(f k (x)). m + n Além disso φ L (X, µ), é f-invariante e satisfaz φdµ = φ dµ. X O teorema ergódico de Birkhoff mostra que se log f L (R, µ) então n n X log f (f k (x)) = n log (f n ) (x) Date: 28 de Outubro de 2002.

2 existe para µ-quase todo o ponto. Tentemos generalizar para uma função diferenciável f : R n R n. Neste caso temos dois problemas:. df n x n df f k x não é uma igualdade. 2. df n x v = df f n x.df f n 2 x... df x v df f n x. df f n 2 x... df x v. Temos muitas direcções mas só a norma correspondente a df x reflecte este facto. Definimos o conceito de expoente de Lyapunov da seguinte forma: dada uma função diferenciável f : M M (supomos por simplicidade que M é um subconjunto aberto de R m ) definimos o expoente de Lyapunov (superior) do par (x, v) M T x M por λ + (x, v) = sup n log df n x v. Por uma questão de normalização e de forma a incluir o vector nulo na definição fazemos λ + (x, 0) =. Observação.2. Dada uma transformação invertível f : M M com inversa diferenciável podemos também definir o expoente de Lyapunov inferior (i.e. para tempo negativo) do par (x, v) M T x M por λ (x, v) = sup n n log df n x v. A seguinte proposição fornece algumas propriedades fundamentais do expoente superior. Proposição.. Para x M, v, w T x M e α R \ {0} temos. λ + (x, αv) = λ + (x, v); 2. λ + (x, v + w) max{λ + (x, v), λ + (x, w)}; 3. se λ + (x, v) λ + (x, w) então λ + (x, v+w) = max{λ + (x, v), λ + (x, w)}. Demonstração. Sejam x M, v, w T x M e α R \ {0}. Temos λ + (x, αv) = sup = sup o que mostra a afirmação. n log df x n (αv) = sup n log df n x v = λ + (x, v), n log ( α df n x v )

EXPOENTES DE LYAPUNOV E TEOREMA ERGÓDICO MULTIPLICATIVO 3 Observe-se agora que n log df n x (v + w) n log ( df n x v + df n x w ) n log (2 max{ df n x v, df n x w }) n (log 2 + log max{ df n x v, df n x w }) n log 2 + max{ n log df n x v, n log df n x w }. Calculando sup estabelece-se 2, atendendo a que para duas sucessões a n e b n temos max{ sup a n, sup b n } = sup max{a n, b n }. Suponhamos seguidamente, sem perda de generalidade, que λ + (x, v) > λ + (x, w). Atendendo a (2) temos que λ + (x, v + w) λ + (x, v) = λ + (x, w + v w) max{λ + (x, v + w), λ + (x, w)}. Observa-se então que se max{λ + (x, v+w), λ + (x, v)} = λ + (x, v) obteríamos uma contradição. Conclui-se então que max{λ + (x, v + w), λ + (x, v)} = λ + (x, v + w). Obtemos portanto λ + (x, v + w) λ + (x, v) λ + (x, v + w), o que mostra (3) e conclui a demonstração. O resultado seguinte começa a caracterizar a estrutura introduzida pelos expoentes de Lyapunov. Teorema.3. Para cada x M existem um número inteiro positivo s + (x) dim M, números reais λ + (x) < < λ + s + (x) (x) e espaços lineares {0} = V 0 + (x) V + (x) V + s + (x) (x) = T xm tais que, para cada i =,..., s + (x), temos V + i (x) = {v T x M : λ + (x, v) λ + i (x)} e se v V + i (x) \ V + i (x) então λ+ (x, v) = λ + i (x). Demonstração. Vamos mostrar que se λ(x, v ),..., λ(x, v k ) são distintos então os vectores v,..., v k T x M são linearmente independentes. Suponhamos que eram linearmente dependentes. Então existem α,..., α k, não todos nulos, tais que α.v + + α k.v k = 0. Temos então = λ + (x, 0) = λ + (x, α.v + + α k.v k ) = max{λ + (x, v i ) : i m e α i 0} =, uma vez que por hipótese os λ + (x, v i ) são todos distintos e existem pelo menos dois α i s não nulos. Chegamos assim a uma contradição. Concluimos portanto que os vectores são linearmente independentes.

4 Portanto, existem no máximo m = dim M valores (diferentes de ) distintos para λ + (x, ). Sejam então λ + (x) < < λ + s + (x) (x), s+ (x) dim M, os valores distintos que λ + (x, ) pode assumir. Definindo V + i (x) = {v T x M : λ + (x, v) λ + i (x)}, concluimos que {0} V + (x) V + s + (x) (x) = T xm. Deste modo, se v V + i (x) \ V + i (x) temos que λ+ i (x) < λ(x, v) λ+ i (x). Como λ(x, v) não pode assumir nenhum valor em ]λ + i (x), λ+ i (x)[ conclui-se que λ(x, v) = λ + i (x). Se f : M M for um difeomorfismo temos um resultado análogo. Concretamente temos o resultado seguinte. Teorema.4. Para cada x M existem um número inteiro positivo s (x) dim M, números reais λ (x) > > λ s (x) (x) e espaços lineares T x M = V (x) V s (x)+(x) = {0} tais que, para cada i =,..., s (x) +, temos V i (x) = {v T x M : λ (x, v) λ i (x)} e se v V i (x) \ V i (x) então λ (x, v) = λ i (x). Demonstração. Paralela à demonstração do Teorema.3. Dado um difeomorfismo seria interessante compreender que relação existe entre os números s + (x) e s (x). Serão iguais sob determinadas condições? Seria também interessante saber o que podemos dizer sobre a extrutura dos conjuntos V + i (x) e V i (x). Começamos por fazer uma definição. Definição.5. Seja f : M M um difeomorfismo. Um ponto x M diz-se Lyapunov regular (ou simplesmente regular) em relação a f se se verificarem as seguintes condições:. s + (x) = s (x) def = s(x); 2. existe uma decomposição onde V + i (x) = i j= para cada i =,..., s(x); s(x) T x M = H i (x), i= H i (x) e V i (x) = s(x) H i (x) j=i

EXPOENTES DE LYAPUNOV E TEOREMA ERGÓDICO MULTIPLICATIVO 5 3. para cada v H i (x) \ {0} temos 4. m ± m log df x m v = λ + i (x) = λ def i (x) = λ i (x), com convergência uniforme em {v H i (x) : v = }; m ± s(x) m log det df x m = i= λ i (x) dim H i (x). () A condição. exige que tenhamos o mesmo número de valores distintos para λ + (x, v) e λ (x, v). As condições 2. e 3. exigem em particular que exista uma decomposição do espaço tangente numa soma directa de subespaços tal que o valor do expoente superior calculado em cada vector não nulo do subespaço H i (x) seja sempre o mesmo e seja ainda igual ao simétrico do valor correspondente para o expoente inferior. A condição 4. diz essencialmente respeito ao comportamento dos ângulos entre os espaços H i (x). A noção de ponto regular corresponde a uma exigência considerável da estrutura proveniente dos expoentes de Lyapunov λ + e λ, no entanto, do ponto de vista da teoria da medida, com condições de integrabilidade muito gerais, pode verificar-se que existem muitos pontos regulares. Seja µ uma mediada finita em M. Denotamos por L (M, µ) o conjunto das funções µ-integráveis em M. Define-se ainda, para cada a 0, o número log + a = max{log a, 0}. Temos o seguinte resultado devido a Oseledets. Teorema.6 (Teorema Ergódico Multiplicativo). Se f : M M é uma transformação diferenciável com inversa diferenciável e µ é uma medida finita f-invariante em M com log + df, log + df L (M, µ) então µ-quase todo o ponto é regular. Demonstração. Pode ver-se uma demonstração deste resultado em [?] Existe também uma versão do teorema anterior para o caso de transformações que não são necessariamente invertíveis. Teorema.7. Se f : M M é uma transformação diferenciável e µ é uma medida finita f-invariante em M com log + df L (M, µ) então para µ-quase todo o ponto x M temos m + m log df x m v = λ + i (x) para cada i =,..., s + (x) com convergência uniforme em qualquer subespaço F V + i (x) tal que F V + i (x) = 0 e além disso m + s + (x) m log det df x m = i= λ + i (x) dim k+ i (x). (2)

6 Demonstração. A demonstração deste resultado está contida quase na totalidade na demonstração do Teorema ergódico multiplicativo. A parte da demonstração que requer ideias novas diz apenas respeito à convergência uniforme. 2. Expoentes para transformações não necessariamente diferenciáveis Dadas uma transformação (não necessariamente diferenciável) f : R m R m e uma métrica d em R m definimos para cada x R m e k {,..., m} o número Λ + k (x) = inf sup L L x,k δ 0 n log sup y C x (δ,n) L d(f n x, f n y), (3) d(x, y) onde L x,k denota a família de conjuntos da forma x + F para algum subespaço F R m de dimensão k e C x (δ, n) = {y B x (δ, n)\{x} : [f j x, f j y] f j B x (δ, n) para j {0,..., n}}; onde B x (δ, n) = {y R m : d(f j x, f j y) < δ para j {0,..., n}}, (4) e [v, w] R m denota o segmento de recta entre v and w. Designamos os números Λ + (x) Λ + 2 (x) Λ + m(x) por expoentes de Lyapunov superiores de f no ponto x. Estes números desempenham o papel dos expoentes de Lyapunov para transformações não diferenciáveis. Observamos que os valores dos expoentes ficam inalterados substituindo d por uma métrica equivalente em R m. Podemos também definir de forma semelhante um expoente inferior para transformações invertíveis não necessariamente diferenciáveis. Concretamente Λ k (x) = inf sup L L x,k δ 0 n log sup y C x (δ,n) L d(f n x, f n y), (5) d(x, y) onde L x,k se define como anteriormente e alteramos um pouco as definições de B x (δ, n) e C x (δ, n) sem no entanto mudar a designação uma vez que a versão adequada fica determinada pelo expoente em causa. Assim, no caso do expoente Λ k (x) definimos para cada δ > 0 e cada inteiro negativo n os conjuntos C x (δ, n) = {y B x (δ, n)\{x} : [f j x, f j y] f j B x (δ, n) para j {n,..., 0}};

EXPOENTES DE LYAPUNOV E TEOREMA ERGÓDICO MULTIPLICATIVO 7 onde B x (δ, n) = {y R m : d(f j x, f j y) < δ para j {n,..., 0}}, (6) e [v, w] R m se define como anteriormente. Designamos os números Λ (x) Λ 2 (x) Λ m(x) por expoentes de Lyapunov inferiores de f no ponto x. Gostaríamos agora de obter condições sob as quais temos igualdade entre os dois conceitos de expoente. A partir de agora f é uma transformação diferenciável. Começo por introduzir alguns conceitos. Definição 2.. Se J R m é um conjunto compacto f-invariante (i.e. tal que f J = J) dizemos que f é uma transformação expansora (diferenciável) em J e que J é um repulsor de f se existem constantes C > 0 e a > tais que d x g n v Ca n v, para todos os x J, v R m e n N. É imediato que uma transformação expansora diferenciável é um homeomorfismo local em cada ponto. Temos também a definição. Definição 2.2. Seja α (0, ]. Dizemos que f tem derivada α- itada no conjunto J R m se df x for invertível e para todo o x J. (df x ) +α df x < Temos os seguintes exemplos de transformações com derivada α-itada. Exemplo 2.3. Consideremos a transformação f : R 2 R 2, dada por fx = Ax, onde ( ) n 0 A = 0 m com n > m >, m, n Z. Nesta família de transformações podemos facilmente determinar elementos com derivada α-itada. De facto, basta notar que (d x f) +α d x f = m (+α) n, e portanto, fazendo n < m +α, obtemos transformações com derivada α-itada. Podemos transportar este exemplo para transformações em R n. Nomeadamente temos a seguinte generalização. Consideremos a transformação f : R n R n, dada por fx = Ax, onde todos os valores próprios da matriz A são distintos e tem módulo maior que um. Temos que (d x f) +α d x f = (min λ i ) α max λ i. i i Assim, escolhendo os números λ i de modo que max i λ i < (min i λ i ) α, obtemos transformações com derivada α-itada.

8 Os exemplos anteriores dão origem a muitos outros notando simplesmente que qualquer perturbação C de f (que corresponde a uma pequena variação de f e das suas derivadas) tem ainda derivada α-itada. Relembro que uma transformação se diz de classe C +α se for Hölder com expoente α. Denotamos por ρ + k (x), k =,..., m (m = dim M) os valores do expente de Lyapunov contados com as respectivas multiplicidades, i.e., tais que ρ dim V + Temos o seguinte resultado. (x)+(x) = = ρ i dim V + (x)(x) = λ+ i i (x). Teorema 2.4. Seja f : R m R m uma transformação de classe C +α com um repulsor compacto f-invariante J no qual tem derivada α- itada e seja µ uma medida finita f-invariante em J. Então Λ + k (x) = ρ + k (x) para µ-quase todo o ponto x J e k =,..., m. Demonstração. A desigualdade Λ + k (x) inf sup dim F =k n log sup v F \{0} df n x v v c + k (x) = ρ+ (x) µ q.t.p é relativamente simples de obter. Usa-se a diferenciabilidade de f para majorar uma determinada razão incremental (que no ite nos dá a norma da derivada na definição de c + k (x)) pelo supremo de outra razão incremental, num conjunto adequado. Para estabelecer a igualdade c + k (x) = ρ+ k (x), válida num conjunto de medida total, usa-se o Teorema ergódico multiplicativo para transformações não invertíveis. É aqui essencial a convergência uniforme. A outra desigualdade é mais complicada. Mostra-se de seguida que Λ + k (x) c+ k (x) = ρ+ (x) µ q.t.p Seja δ = δ(x) > 0 tal que f é um difeomorfismo em B x (δ). Como, para cada n N temos B x (δ, n) B x (δ), f é também um difeomorfismo local em B x (δ, n).

EXPOENTES DE LYAPUNOV E TEOREMA ERGÓDICO MULTIPLICATIVO 9 Seja y C x (δ, n + ) e j {0,..., n}. Temos df y j+ (df x j+ ) = df j fy df y(df x ) (df j fx ) = df j fy (df j fx ) + df j fy df y(df x ) (df j fx ) df j fy (df j fx ) = df j fy (df j fx ) + df j fy df y(df x ) (df j fy ) df j fy (df j fx ) df j fy (df j fy ) df j fy (df j fx ) = [ I + df j fy df y(df x ) (df j fy ) df j fy (df j fy ) ] df j fy (df j fx ) = [ I + df j fy (df y(df x ) I)(df j fy ) ] df j fy (df j fx ). Conclui-se que, df y j+ (df x j+ ) df j fy (df j fx ) + df j fy. (df y(df x ) I). (df j fy ) + C df j fy. df y df x. (df j fy ) C = max{ (df y ) : y J} (7) + C 2 df j fy. y x α. (df j fy ), C +α, i.e., derivada Hölder com expoente α Vamos agora estudar os termos à direita da desigualdade. y x = h j (f j y) h j (f j x) d(h j ) z f j y f j x, (8) onde h j é a inversa local de f j e onde z é um ponto no segmento de recta entre f j y e f j x e logo em f j B x (δ, n + ), pela definição de C x (δ, n + ). Assim f l h j z f l B x (δ, n + ) B f l x(δ) (9) para l = 0,..., j. Como a derivada de f é α-itada em J e J é compacto, existem λ < suficientemente grande e δ suficientemente pequeno tais que (df z ) +α df z < λ para todo o z numa vizinhança-δ de J, J δ. Seja agora β > 0 tal que e αβ λ <. Fazendo de novo δ suficientemente pequeno podemos assumir que, se v, w J δ e d(v, w) < 2δ se tem log (dfv ) log (df w ) β. Basta notar que J é compacto e v log (df v ) é contínua. Temos assim (df f l h j z) e β (df f l y), (0) para l = 0,..., n.

0 Desta forma, visto que d(h j ) z = (df j h j z ) temos que j d(h j ) z = (df j h j z ) (df f l h j z) C 3 e βj onde Obtemos Deste modo Conclui-se que l=0 C 3 = sup w J δ (df w ) / inf w J δ (df w ). y x α δ α d(h j ) z α C 3 α δ α e αβj df j fy (df j fy ) j (df f y), l l= j (df f y) α. () l l= j ( df f y (df l f y) ). (2) l l= Regra da composta (3) y x α C 3 α δ α e αβj λ j = C 3 α δ α (e αβ λ) j. Derivada α-itada Assim, para x J, n N, y C x (δ, n + ) e j {0,..., n} df y j+ (df x j+ ) df j fy (df j fx ) ( + Cγ j ) n + ( + Cγ j ) < ( + Cγ j ) τ j= Repetir processo Dada uma transformação linear A, define-se para cada subespaço F R m, Av A F = sup v F \{0} v. Deste modo, dadas transformações lineares A e B, temos BA F = Fazendo então A = df n x BAv sup v F \{0} v j= B A F. e B = df n y (df n x ) conclui-se que df n y F df n y (df n x ) df n x F τ df n x F para x J, n N e y C x (δ, n). Seja agora w = y x F. Então d(f n x, f n y) 0 df n x+tw F dt sup df z n F d(x, y) τ df x n F d(x, y). z C x (δ,n) (x+f )

EXPOENTES DE LYAPUNOV E TEOREMA ERGÓDICO MULTIPLICATIVO Temos portanto que pelo que sup n log d(f n x, f n y) d(x, y) sup y C x(δ,n) (x+f ) τ df n x F, d(f n x, f n y) d(x, y) sup n log df n x F, e logo Λ + k (x) inf dim F =k n log df x n F = c + k (x). A demonstração fica concluida notando que, como foi referido no inicio, c + k (x) = ρ+ k (x) num conjunto de medida total. Existe ainda uma versão do teorema anterior para conjuntos hiperbólicos. Teorema 2.5. Seja f : R m R m um difeomorfismo de classe C +α com um conjunto hiperbólico compacto f-invariante Λ tal que df x E s (x) +α (df x E s (x)) < e (df x E u (x)) +α df x E u (x) < (4) para todo o x Λ. Seja ainda µ uma medida finita f-invariante em Λ. Então Λ + k (x) = ρ+ k (x) = ρ k (x) = Λ k (x) para µ-quase todo o ponto x Λ e k =,..., m. Demonstração. A demostração utiliza técnicas semelhantes à demostração anterior. Este teorema é natural atendendo a que temos uma condição semelhante à condição de derivada α-itada na direcção onde temos contracção e na direcção onde temos expansão. Referências. L. Barreira and Ya. Pesin, Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory, University Lecture Series 23, American Mathematical Society, 2007. 2. L. Barreira e C. Silva, Lyapunov Exponents for continuous transformations and dimension theory, preprint. Departamento de Matemática, Universidade da Beira Interior, Rua Marquês d Ávila e Bolama, 620-00 Covilhã E-mail address: csilva@noe.ubi.pt