Prof. Ilydio Pereira de Sá UERJ USS PEDRO II

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A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 1 A MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA E A MATEMÁTICA FINANCEIRA 1) INTRODUÇÃO...o cohecimeto que se itroduz as escolas já é uma escolha de um uiverso muito mais vasto de cohecimeto e pricípios sociais possíveis. É uma forma de capital cultural que provém de alguma parte, e em geral reflete as perspectivas e creças de poderosos segmetos de ossa coletividade social. Já a sua produção e propagação como mercadoria ecoômica e pública - a forma de livros, filmes, materiais... é cotiuamete filtrado através de vículos ideológicos e ecoômicos...uma vez que esses valores agem através de ós, quase sempre icoscietemete, a questão ão está em como se mater acima da escolha. Está, ates em quais são os valores que se devem, fudametalmete, escolher (APPLE,M. Ideologia e Currículo, 1979:19). Uma coceituada loja, uma promoção, oferece as seguites opções de compra: à vista, com 30% de descoto sobre o preço de tabela; com um acréscimo de 20% sobre o preço de tabela, em dois pagametos iguais (etrada mais outro para 30 dias). Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrado a seguda opção oferecida? Será que o professor, o educador matemático em geral, teve em sua formação escolar elemetos para respoder à questão acima, para descobrir que o iocete aúcio está iserida uma taxa de juros de 500% em apeas um mês? Será que temos codições de discutir questões como essa em classes da Educação Básica? Com o surgimeto da LDB, os PCNs e dos projetos políticos pedagógicos das Escolas, ovos espaços e ovas discussões se abriram para ós, educadores em geral. Costatemete somos covidados a tetar ovas experiêcias, ovos camihos. Dessa forma, ão podemos cotiuar a miistrar coteúdos tão descoexos da realidade de ossos aluos, e até mesmo da ossa vida, só porque alguém, em algum mometo, os selecioou, priorizou ou hierarquizou. Não podemos os cotetar em respoder evasivamete, que tudo o que esiamos ossos aluos aida precisarão algum dia ou que vai cair a prova, quado questioados que somos sobre a validade ou iteção do que esiamos. Nesse aspecto a Matemática Comercial e Fiaceira, tão presete desde cedo a vida de todas as pessoas, pode desempehar um importate papel para ossa prática docete. Sabemos que, ormalmete, os cursos de Formação de Professores (ível médio ou superior) a Matemática Comercial e Fiaceira ão costuma ser abordada e, quado isso ocorre, ela tem um efoque superficial ou meramete técico, da mesma forma que é miistrado para um profissioal de Ecoomia, ou Admiistração. Nosso efoque estará respaldado em diversos aos de pesquisa e esio em classes de esio fudametal, médio, e superior, bem como em cursos de atualização de professores e priorizará mostrar que temos várias oportuidades de iserir a Matemática Fiaceira a Educação Básica, explorado situações do cotidiao dos aluos ou do mercado fiaceiro brasileiro. Todas as atividades e exemplos que serão apresetados, já foram desevolvidas em diversas classes de séries distitas dos Esios Fudametal e Médio dos Colégios Pedro II e Ferado Rodrigues da Silveira (Colégio de Aplicação da UERJ), bem como as aulas miistradas o curso de Liceciatura em Matemática da Uiversidade Severio Sombra Rio de Jaeiro. Assim sedo, osso pricipal objetivo ao logo do estudo será relacioar coteúdos tradicioais da matemática clássica, como: operações com úmeros decimais, progressões aritméticas, progressões geométricas, logaritmos e equações poliomiais, com os temas fudametais da matemática fiaceira.

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 2 2) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS x JUROS SIMPLES 2.1) INTRODUÇÃO Quado escrevemos qualquer quatidade de úmeros, um após o outro, temos o que chamamos de seqüêcias. As seqüêcias são, freqüetemete, resultado da observação de um determiado fato ou feômeo. Imagie, por exemplo, que uma pessoa acompahasse a variação do dólar (compra) os primeiros dez dias (úteis) do mês de dezembro de 2006. Vejamos o resultado de sua pesquisa a tabela a seguir: Dia útil (dez. de 2006) Dólar (Compra) Dia útil (dez. de 2006) Dólar (Compra) 1º R$ 2,1664 6 º R$ 2,1434 2 º R$ 2,1685 7 º R$ 2,1376 3 º R$ 2,1552 8 º R$ 2,1473 4 º R$ 2,1520 9 º R$ 2,1451 5 º R$ 2,1420 10 º R$ 2,1452 Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordeação, costituem uma seqüêcia. Covecioa-se desigar por uma letra miúscula qualquer (ormalmete a) a qualquer um dos termos de uma seqüêcia, usado como ídice um úmero que deota a posição do termo a seqüêcia. Assim, a otação a 1 represeta o primeiro termo da seqüêcia, que o osso exemplo do dólar é o valor 2,1664. A otação a 10 represeta o décimo termo e assim sucessivamete. Quado desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüêcia, escrevemos a. Você pode usar as seqüêcias para registrar diversas observações, como a produção de uma fábrica em cada mês, o úmero de telefoemas que você dá por dia, a taxa de iflação mesal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, ão teríamos como saber, atecipadamete, por exemplo, a sua cotação o 15º dia útil, ou o 20º dia útil, já que a seqüêcia é variável e depede de diversos fatores ão previsíveis. Em osso curso vamos estudar umas seqüêcias muito especiais. Por sua regularidade, cohecedo algus termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se Progressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüêcia a qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros acrescetado sempre a mesma quatidade. Por exemplo, vamos partir do úmero 7 e acrescetar 3, diversas vezes: 7 10 13 16 19 22... +3 +3 +3 +3 +3 O valor que acrescetamos a cada termo para obter o seguite chama-se razão (R). Portato, esse exemplo, temos: a 1 = 7 e R = 3. Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e suas classificações: 3, 7, 11, 15, 19, 23... Temos R = 4. Uma progressão crescete. 9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5,... Temos R = - 2. Uma progressão decrescete. Você já deve ter percebido que é muito fácil sabermos o valor da razão de uma progressão aritmética. Como a razão é a quatidade que acrescetamos a cada termo para obter o seguite, podemos dizer

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 3 que: A razão de uma progressão aritmética é a difereça etre qualquer termo e o aterior, a partir do segudo termo. Assim, retomado aos dois exemplos ateriores, temos: a 1 a. progressão: a 2 a. progressão: R = 7-3 = 4 R = 11-7 = 4 R = 15-11 = 4 etc. R = 7-9 = - 2 R = 5-7 = - 2 etc. 2.2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A Passemos etão a geeralizar o que vimos os exemplos. Cosidere a seguite progressão aritmética (de agora em diate represetada por PA) de razão R: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6... a +R + R + R + R + R + R... Supoha que você cohece o primeiro termo (a 1 ), e a razão (R). Como faremos para calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades: a 2 + R a 3 + 2R a 4 + 3R a 5 + 4R... a 10 + 9R Vemos etão que, para calcular um termo qualquer (a ) é preciso somar ao 1º termo, ( -1) vezes a razão, ou seja: Fórmula do termo geral: a + ( - 1).R Para eteder bem o que estamos fazedo, imagie que você está o 1º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º. Quatos degraus deve subir? É claro que são 9. Se você está o 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quatos deve subir? Deve subir 24, lógico. Etão, para chegar ao degrau úmero, devemos subir ( -1) degraus. Observe a aplicação dessa fórmula os exemplos seguites. EXEMPLO 1: Escreva a P.A obtida, quado iserimos 5 úmeros etre 1 e 25? Nesse caso, estamos queredo formar uma P.A, com sete termos, sedo que os extremos são os úmeros 1 e 25. Esse tipo de problema é o que chamamos de INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão desta P.A. (1,,,,,, 25). a + ( - 1).R ou a 7 + 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou aida 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.A procurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) EXEMPLO 2: Em jaeiro, de certo ao, Lídia estava gahado R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeu aumetar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quato Lídia estará gahado em dezembro do ao seguite?

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 4 Solução: Se o salário de Lídia aumeta R$ 8,00 todos os meses, etão a seqüêcia dos salários é uma progressão aritmética de razão igual a 8. Vamos Motar uma tabela, para melhor eteder a situação: jaeiro _ a 1 = 270,00 fevereiro _ a 2 = 278,00...... dezembro _ a 12 = jaeiro _ a 13 =... dezembro _ a 24 =? Logo, o que queremos é o valor do 24º termo dessa P.A. Usado a fórmula do termo geral, teremos: a 24 + 23.R a 24 = 270 + 23.8 a 24 = 270 + 184 a 24 = 454 Portato, com esses pequeos aumetos mesais, Lídia estará gahado, em dezembro do ao seguite, R$ 454,00. Uma outra maeira (Recorrêcia) Imagie que você se ecotra o 3º adar de uma escada e que deseja atigir o 9º adar. Quatos adares você terá de subir? É claro que a resposta é 6 adares. Isso, em liguagem matemática pode ser represetado por: a 9 = a 3 + 6. R. De modo geral, se estamos o degrau de úmero e desejamos chegar ao degrau de úmero m, devemos subir (m ) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maeira mais geral de escrever a fórmula, relacioado dois termos quaisquer e ão obrigatoriamete como primeiro termos. Ë a seguite fórmula: a m = a + (m ). R. 2.3) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS SIMPLES Hoje em dia, todos ós usamos uma máquia simples para facilitar ossos cálculos: a máquia de calcular. Além de realizar as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão), a máquia calcula raiz quadrada e tem memória. Vamos ver uma forma iteressate e simples de usar a calculadora para facilitar o trabalho com progressões aritméticas. Como exemplo, vamos cosiderar a progressão aritmética de razão R = 7, começado em a 1 = 9. Para visualizar quatos termos você quiser, digite:

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 5 A primeira vez que você acioar a tecla = a máquia vai mostrar o termo 16 (segudo termo da P.A). Nas outras vezes que você acioar a tecla =, sucessivamete, o visor da máquia mostrará: 23, 30, 37, 44,...até o termo que você desejar. A máquia de calcular também soma os termos de uma progressão aritmética. Se ão forem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastate eficiete. Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujo primeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17. Para obter os 5 termos, procedemos como o exemplo aterior. Devemos apeas, após cada termo que aparecer o visor, apertar a tecla M+. Isto faz com que os termos da progressão sejam acumulados a memória da calculadora. Depois que você apertar pela quita vez a tecla M+, aperte a tecla MR e a soma dos 5 termos da progressão aparecer o visor. O esquema da operação que vamos fazer é o seguite: Iiciado por 15,86 e usado a razão 0,17, você irá obter o valor 81 para soma dos 5 primeiros termos da progressão. Atividades como a descrita acima podem (e devem) ser desevolvidas já as classes do Esio Fudametal. Dessa forma, estaremos ajudado a ossos aluos a desevolverem os primeiros coceitos sobre progressões aritmética, bem como a desevolverem o uso de calculadoras. 2.4) JUROS SIMPLES E PROGRESSÃO ARITMÉTICA Muitas vezes, em ossas aulas de matemática, esiamos aos aluos do esio médio o que são progressões, mostramos as fórmulas, resolvemos exercícios de aplicação e, ormalmete, ão aproveitamos a oportuidade para trabalhar o coceito de juro, bem como suas aplicações em situações de empréstimos ou ivestimetos. As reformas curriculares, os parâmetros curriculares acioais, efatizam que devemos procurar relacioar os coteúdos miistrados com o dia-a-dia das pessoas. Esta é uma excelete oportuidade para ós, professores de Matemática. Crescimeto em PA (Juros Simples) Os juros simples se caracterizam pelo fato de que o valor que é acrescido ao valor iicial a cada período é sempre costate e determiado por i. C 0. Dessa forma, fica caracterizada a seqüêcia dos motates obtidos, uma Progressão Aritmética, de razão igual a i. C 0. Temos que i é a taxa uitária de juros simples (ou taxa de crescimeto aritmético). Ou seja, ao fial de períodos, teremos um acréscimo de C 0.i. Sedo assim, o motate fial de uma aplicação a juros simples, pode ser represetado por: M = 0 C 0 + C 0.i = C.(1 + i ) Vejamos algus exemplos: 1) Qual o motate fial de uma aplicação de R$ 5000,00, a juros simples cotratados à 1,5% ao mês, por 10 meses? Solução: i = 0,015 = 10 C 0 = 5000 M = 5000. (1 + 0,015 x 10) = 5000 x 1,15 = 5750 reais.

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 6 Cometário: Como se trata de juros simples, poderíamos ter calculado o gaho fixo mesal, que é igual a 0,015 x 5000 = 75 reais, e multiplicar esse gaho pelo úmero de meses (10 x 75 = 750 reais de juros). Logo, teríamos que o motate será igual a 5000 + 750 = 5750 reais. Devemos icetivar a ossos aluos ovas descobertas, para que eles ão se sitam presos ao uso de fórmulas, poderíamos iclusive, mostrar, após as suas tetativas que o que ocorreu ada mais foi que um acréscimo de 15% (1,5% x 10) aos 5000 reais iiciais. Isso correspode a multiplicar 5000 por 1,15. O valor 1,15 é deomiado fator de aumeto ou fator de correção para 15%. Questões semelhates à que mostramos acima podem (e devem) ser desevolvidas desde a 5ª série do Esio Fudametal, o mometo em que ossos aluos trabalham com cálculos de úmeros racioais a sua forma decimal. 2) Qual a taxa mesal de juros simples que, em uma aplicação por 8 meses, elevou um capital de R$ 3 000,00 para R$ 3 780,00? Solução: 3000 x (1 + 8i) = 3780 1 + 8i = 3780 : 3000 = 1,26 8i = 0,26 ou i = 0,26 : 8 = 0,0325 ou aida 3,25% ao mês. Novamete seria coveiete mostrar a ossos aluos (caso ão percebessem sozihos) que o que foi feito ada mais foi do que se obter o fator de correção correspodete a um aumeto de 3000 para 3780 reais, ou seja, 3780 : 3000 que é igual a 1,26. Esse fator correspode a uma taxa de 26 % para os 8 meses da aplicação, logo, acarreta uma taxa de 3,25% ao mês. 3) Durate quato tempo esteve aplicado, a juros simples, um capital de R$ 1200,00, para gerar um motate de R$ 1500,00, sob taxa fixa de 2,5% ao mês? Solução: O fator de correção foi 1500 : 1200 = 1,25. Tal fator correspode a um acréscimo de 25% sobre o capital iicial do ivestimeto. Como a taxa da aplicação (juros simples) é de 2,5% ao mês, teremos etão que o úmero de meses foi 25 : 2,5 = 10 meses. Caro colega aluo ou professor, Reflita e tete respoder: 1) Vocês cohecem o mercado fiaceiro brasileiro alguma aplicação que teha o comportameto de juros simples? 2) Por que acham que os ossos livros da escola fudametal ou mesmo do esio médio raramete mecioam os juros compostos, ficado com um efoque superficial dos juros simples (que quase ão estão presetes a vida dos brasileiros)? 3) PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS x JUROS COMPOSTOS 3.1) INTRODUÇÃO Cosideremos agora a seguite situação: uma mercadoria, que em 2001 custava 100 reais, teve seu preço reajustado os 4 aos seguites, sob taxa de 10% ao ao, sobre o preço do ao aterior. Vejamos uma tabela represetativa desses preços:

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 7 Ao Preço (R$) 2001 100,00 2002 110,00 2003 121,00 2004 133,10 2005 146,41 Se você pegar sua calculadora e dividir os valores de dois termos cosecutivos dessa seqüêcia, vai observar agora que os quocietes dessas divisões serão todos iguais. Vejamos: 110 : 100 = 1,10 121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10 Se lembrarmos que o úmero decimal 1,10 correspode a 110/100 ou 110%, costataremos que cada preço está sedo reajustado em 10% sobre o preço do ao aterior. Esse tipo de seqüêcias, ode cada termo (a partir do segudo) é obtido através da multiplicação do termo aterior por um fator fixo, deomiado razão (q), é o que chamamos de Progressão Geométrica (PG) e que estudaremos esse capítulo. As progressões geométricas são fudametais para cálculos que evolvem matemática comercial e fiaceira e o valor do diheiro o tempo. Fiaciametos e ivestimetos com parcelas periódicas fixas (prestações ou depósitos) têm os cálculos de todos os seus elemetos obtidos através das progressões geométricas. Esses fiaciametos e ivestimetos são deomiados de Sistema Fracês ou Price. Valem para as progressões geométricas as mesmas otações e coveções que usamos para as progressões aritméticas: a 1 para o primeiro termo; a para o termo geral...etc. A úica difereça de otação que usaremos é que, este caso, deotaremos a razão por q, pois a razão agora é obtida pela divisão de dois termos cosecutivos da seqüêcia, e, você sabe que o resultado de uma divisão é deomiado quociete. Vejamos um exemplo iicial, para fixarmos o que já mostramos. Imagie uma progressão geométrica, de razão igual a 2, começado o úmero 3. x Perceba que, se fosse uma progressão aritmética, de razão igual a 2, começado o três, o crescimeto seria bem mais leto: Você pode perceber, claramete, a mesagem que existe em frases do tipo: A produção de alimetos cresce em progressão aritmética, equato a população mudial cresce em progressão geométrica, que traduz a teoria de Malthus sobre crescimeto demográfico. O sociólogo e ecoomista iglês Thomas Malthus é o primeiro a teorizar sobre o desequilíbrio ambietal. No livro Esaio sobre o pricípio da população, de 1798, estabelece uma relação etre o crescimeto populacioal e o de alimetos, cohecida como lei de Malthus: equato a produção de alimetos cresce em escala aritmética, a população cresce em escala geométrica. Malthus prevê que chegará o mometo em que o cotigete populacioal será superior à capacidade do plaeta de alimetá-lo. Mais tarde, os avaços tecológicos aplicados à agricultura permitem relativizar o rigor da visão malthusiaa. Na atualidade, porém, suas idéias são retomadas com um outro setido: o crescimeto da população mudial aumeta a pressão sobre o meio ambiete e pode torar iviável a vida o plaeta.

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 8 Podemos etão resumir que uma P.G é uma seqüêcia ode cada termo, a partir do segudo, é obtido pelo produto do termo aterior por um fator fixo, deomiado razão. Podemos aida afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo aterior. Em osso estudo, por motivos práticos, os deteremos as progressões geométricas de razões positivas (que é o que ocorre a grade maioria dos exemplos práticos) e, podemos usar a seguite classificação para as P.G. a 1 = 2 e q = 5, teremos a PG: 2, 10, 50, 250,...que é uma progressão crescete. a 1 = 8 e q = ½, teremos a PG: 8, 4, 2, 1, ½,... que é uma progressão decrescete. Ou seja, se a razão é superior a 1, a progressão geométrica é crescete, se a razão é iferior a 1 (e positiva, como já combiamos), a progressão geométrica é decrescete. OBS: É claro que existem progressões geométricas, ormalmete teóricas, cuja razão é egativa. Essas progressões, pelo fato de ter razão egativa, terão seus termos variado de sial e são ditas oscilates. 3.2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G Vamos usar um raciocíio semelhate ao que vimos para as progressões aritméticas. Podemos, dessa forma, iferir que a fórmula para o cálculo de um termo qualquer de uma P.G é: a = a. q 1 (1) FATO CURIOSO: Se você comparar as defiições dos dois tipos de progressões que estamos estudado (aritméticas e geométricas), observará que o que a P.A é uma soma, a P.G se trasforma em uma multiplicação. O que a P.A é uma multiplicação (ou soma de parcelas iguais), a P.G é uma poteciação (ou multiplicação de fatores iguais). Se lembrar também que a razão da P.A é idicada por R, equato que a da P.G é idicada por q, terá um poderoso artifício para trasformar as propriedades e fórmulas obtidas para a P.A, para as propriedades e fórmulas da P.G. Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G: P.A a + R. ( - 1) (1) P.G a = a. q 1 Verifique, a fórmula da P.A se trasforma a da P.G, bastado substituir a soma por produto, a razão R, por q e o produto por uma potêcia. Mas, mesmo sabedo essas fórmulas, é muito mais importate do que elas saber que, como uma escada, quatos saltos devemos dar para ir de um termo ao outro. Somado sempre um valor fixo, o caso da P.A e multiplicado sempre um valor fixo, o caso da P.G.

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 9 Cabe aida ressaltar que, a fórmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo iicial que deotaremos por a 0 o que se mostrará bastate vatajoso em diversos exemplos práticos que mostraremos, como a biologia e a matemática fiaceira. Nesses casos, a fórmula assumirá o seguite aspecto: a = a 0. q 3.3) CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Exemplo 1: Sr. Gastão aplicou R$ 1000,00 um ivestimeto que valorizava o seu diheiro 2% ao mês. Quato ele vai ter, 4 meses após o iício da aplicação? Solução: Esse tipo de situação, da Matemática Comercial e Fiaceira, é o que deomiamos JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formará sempre uma Progressão Geométrica, como vimos o exemplo da itrodução, a razão dessa P.G é o que deomiamos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemplo, o fator de correção será igual a 1,02, pois 100% + 2% correspode a 102% ou 1,02. Logo, teremos de calcular o resultado de 1000. (1,02) 4. Na calculadora simples, que ão possui a tecla da poteciação, basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43. O que vimos o exemplo acima é um dos grades usos das progressões em ossa vida a Matemática do Diheiro. As progressões geométricas podem (e devem) ser observadas como seqüêcias de termos com taxa de variação costate (seja para aumeto ou para redução). Assim sedo, podemos dizer que todas as questões de juros compostos, submetidos a uma taxa fixa i, podem ser resolvidas através da fórmula: M = C. F M represeta o motate fial, C represeta o capital iicial e F represeta o fator de aumeto correspodete à taxa fixa i, ou seja, F = 1 + i. Cabe aida lembrar que os motates de um crescimeto a juros compostos variam expoecialmete e teremos também exceletes oportuidades de relacioar a PG com fuções expoeciais e cálculo de logaritmos, temas importates o Esio Médio.

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 10 3.3) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Seja S + = a1 + a2 + a3 +... + a 2 + a1 a Vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade por q. Teremos etão: q.s = a 1.q + a2.q + a3.q +... + a 2.q + a1.q + a.q a 2 a 3 a 4 a 1 a Subtraido a primeira expressão da seguda, teremos: q.s S = a. q - a 1 e agora, colocado o termo S, em evidêcia, teremos: S. (q 1) = a. q - a 1, logo, S = a.q a1 q 1 A fórmula acima pode assumir um outro aspecto, bastado substituir o a pela respectiva expressão do termo geral da P.G. A fórmula da soma dos termos da P.G (fiita) ficará etão: S = (q 1) a1. (q 1) Portato, temos duas expressões distitas para o cálculo da soma dos termos de uma P.G fiita. A escolha de qual usar em cada situação problema depederá obviamete dos parâmetros evolvidos em cada caso. Essa fórmula será muito importate para o cálculo de todas as parcelas evolvidas um fiaciameto pelo Sistema Price. Exemplo 2: Obteha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8,...) Solução: Para este caso, é melhor usarmos a seguda expressão da fórmula da soma da P.G, pois temos o primeiro termo, o úmero de termos que queremos somar e a razão (q = 2). S = (q 1) a1. (q 1) 10 (2 1) = 2. = 2.(1024 1) = 2046 (2 1) 3.4) JUROS COMPOSTOS E FATORES DE CORREÇÃO X PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS QUESTÕES COMENTADAS 1) (Escola Naval) Ações de certa compahia valorizaram-se 10% ao mês, durate cico meses cosecutivos. Quem ivestiu essas ações obteve, durate esses cico meses, um lucro aproximado igual a: SOLUÇÃO: Pelo que já mostramos ateriormete, um crescimeto sob taxa costate de 10% gera motates em Progressão geométrica cuja razão é o fator de aumeto, que esse caso será 1,1. Assim se as ações cresceram, cosecutivamete, durate 5 meses, sob taxa fixa de 10% ao mês, tivemos, represetado o valor iicial da ação por A, um valor fial igual a A.(1,1) 5 A. 1,6105. O Resultado obtido os iforma que tal ação teve um acréscimo aproximado de 61,05%.

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 11 2) Qual a taxa fixa de uma aplicação fiaceira, sob juros compostos, que eleva um ivestimeto de R$ 1200,00 para R$ 1608,11, em 6 meses? 1200. F 6 = 1608,11 F 6 1608,11 = 1,34 1200 6 Assim, F 1,34 1,05 SOLUÇÃO: Como obtivemos um fator de correção igual a 1,05, cocluímos que a taxa da operação fiaceira foi de 5% ao mês. 4) MATEMÁTICA FINANCEIRA E LOGARÍTMOS Um outro excelete mometo de abordarmos a Matemática Fiaceira as classes do Esio Médio é quado estivermos esiado os logaritmos. Em todas as questões cuja icógita for o tempo de realização de um feômeo que cresce ou decresce sob taxa costate, recairemos em equações expoeciais, ormalmete com bases diferetes. É esse mometo que precisaremos de aplicar os logaritmos. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES BÁSICAS DOS LOGARITMOS x A) b = a log a = x b B) log (a.b.c...) = log a + log C) log (a :b) = log a - log b D) log a =.log a EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: b + log c +... 1) Apliquei R$ 1800,00 a juros compostos de 3% ao mês. Depois de um certo tempo acumulei um motate de R$ 2213,77. Qual foi o prazo ecessário para que tal fato ocorresse? (Iformação: log 1,03 0,0128 e log 1,23 0,0899) 1800. (1,03) = 2213,77 (1,03) = 2213,77 : 1800 (1,03) 1,23 SOLUÇÃO: Aplicado logaritmos decimais e depois a propriedade D, teremos: log (1,03) log 1,23. log (1,03) log 1,23, logo, log1,23 0,0899 = 7 meses log1,03 0,0128 2) Uma bomba de vácuo retira cerca de 2% do ar cotido um recipiete em cada bombada que é dada. Quatas bombadas (aproximadamete) serão ecessárias para que o ar cotido o

A Matemática da Educação Básica e a Matemática Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá 12 recipiete fique reduzido a apeas 20% do volume iicial? (Iformação: log 0,2 0,699 e log 0,98 0,0098). SOLUÇÃO: Podemos cosiderar que o volume iicial do recipiete seja, por exemplo, 100 litros e que ficará reduzido a 20 litros (20% do volume iicial). Como em cada bombada há uma redução de 2% do volume aterior, teremos que o fator de multiplicação (redução) para essa questão é 0,98 (100% - 2%). Logo, 100. (0,98) = 20 (0,98) 20 = = 0,2 100 Aplicado logaritmos, a base 10, teremos:. log 0,98 = log 0,2 log 0,2-0,699 = = 71,33 log 0,98-0,0098 Logo, como ão podemos defiir fração de bombada, serão ecessárias, aproximadamete, 71 bombadas a bomba de vácuo. 3) Quato tempo levará um capital qualquer, aplicado a juros mesais e sob taxa de 4%, para dobrar de valor, cosiderado que a aplicação foi a juros compostos (Iformação: log 2 0,301 e log 1,04 0,017) SOLUÇÃO: Podemos cosiderar o capital iicial igual a 1 e o motate fial igual a 2, ou C e 2C, tato faz, já que sempre recairemos a mesma equação, após as simplificações adequadas. Logo, 1. (1,04) = 2 Aplicado logaritmos decimais, teremos: log (1,04) = log 2 ou,. log (1,04) = log 2 log 2 0,301 = = log1,04 0,017 17,7 meses É claro que uma classe do Esio Médio, se os aluos estiverem autorizados e habituados a utilizarem as calculadoras cietíficas (o que deveria sempre ocorrer), os valores dos logaritmos ão precisariam ser dados como iformação e os aluos os procurariam, coforme a ecessidade, diretamete as máquias de calcular.