UNIDADE II UNIDADE II O Plano: Sistema de Coordenadas Cartesianas
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. Aplicações: O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos. Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos g e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões que, para não colidirem, são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.
No plano cartesiano, o eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados, compreendendo o conjunto dos números reais de ordem 2 2 ( R ). Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x, y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto, observando primeiramente o eixo x e, posteriormente, o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes (em sentido anti-horário): 1º quadrante = x > 0 e y > 0 2º quadrante = x < 0 e y > 0 3º quadrante = x < 0 e y < 0 4ºquadrante=x>0ey<0 e 0
Localizando pontos no plano cartesiano: A(4, 3) x = 4 e y = 3 B(1, 2) x = 1ey= 2 C( 2, 4) x = 2 e y = 4 D( 3, 4) x = 3 e y = 4 E(3, 3) x = 3 e y = 3 Fonte: Mundo Educação
A ferramenta computacional GeoGebra é indicada para todas as principais aplicações da Geometria Analítica. Trata-se de um software simples e interativo, com vasta documentação, gratuito, multiplataforma e em Português. O site do fabricante disponibiliza as versões de execução direta, via Internet (http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html) e, ainda, a versão de instalação multiplataforma (http://www.geogebra.org/cms/en/installers). Exercício 1: baseado no slide anterior, plote os pontos A, B, C, D e E. Solução: 1. À partir do software GeoGebra, habilite a exibição da malha cartesiana (Exibir/malha); 2. digite, na caixa de texto Entrada, o ponto A (A=(4,3)). Repita o mesmo procedimento para os outros 4 pontos; 3. Após, salve o arquivo, para posteriores atividades.
Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B. Podemos observar que os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb) possuem coordenadas. Note a formação do triângulo-retângulo ABC, onde os lados BC e AC são os catetos e AB a hipotenusa. Desta forma, a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da álgebra e de conhecimentos geométricos, podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas, onde: Cateto BC: yb ya Cateto AC: xb xa Hipotenusa AB: distância (D)
Pelo Teorema de Pitágoras temos: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Assim, teremos: Exemplo 1 Dado os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles. Solução: xa = 2, xb = 4, ya = -3, yb = 5
Exemplo 2 Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9). Solução: xa = -2, xb = -5, ya = 3, yb = -9 Cálculo da distância entre dois pontos através do GeoGebra: 1. Plote os pontos A e B do exemplo 1, no gráfico; 2. Através da lista de comandos (próximo à caixa de texto Entrada), selecione o comando Distância; 3. Na caixa de texto Entrada, dentro dos colchetes do comando, digite as letras A,B, representando a ordem de entrada dos pontos A e B ou; 4. Escolha a opção Segmento definido por dois pontos, na barra de ferramentas; clique no ponto A e, logo em seguida, no ponto B. Isso gerará a aparência gráfica melhor visualizável. 5. Repita os mesmos passos para os pontos P e Q do exemplo 2. A seguir, o gráfico resultante dos dois exemplos. Fonte: Mundo Educação
Gráfico da distância entre dois pontos, gerado pelo GeoGebra:
Cálculo da distância entre dois pontos, através do SciLab 1. Insira os 4 pontos em 4 variáveis. Baseado no exemplo 1: xa = 2, xb = 4, ya =-3, yb = 5; 2. Utilize a função sqrt() para encontrar a raíz quadrada dos pontos: D = sqrt ((xbxa)^2+(yb-ya)^2). O resultado deverá ser aproximadamente 8,25, o mesmo obtido pelo GeoGebra. Repita os mesmos passos para o exemplo 2. OBS: Apesar de ser possível plotar o gráfico das distâncias entre os pontos no SciLab, isso exigiria um esforço de programação, o que não é o objetivo dessa disciplina. Sendo assim, recorreremos sempre ao GeoGebra para o esboço dos gráficos analíticos.
FIM DA PARTE 1,unidade 2 FAZER LISTA DE EXERCÍCIOS 6 (próximo slide)
1 Encontrar, através da fórmula da distância, a distância entre os seguintes pontos, no R 2 : A) A(1,2) e B(3,-4) B) C(-3,-3) e D(9,1) C) E(7,2) e F(2,7) E) G(3,4) e H(-4,3) F) I(9,1) e J(-3,-3) G) K(2,7) e L(7,2) OBS: Só serão válidos os itens que apresentarem o cálculo detalhado das distâncias. 2 Esboce o gráfico com todos os pontos e suas respectivas distâncias, utilizando o GeoGebra. 3 Dado o sistema de equações lineares abaixo: A) B) x + y = 2 2x + 4 y = 6 5x + 9 y = 1 2x + 4 y = 8 x + y = 2 e 8x + 10 y = 8 x + 9 y = 10 e 6x + 2 y = 4 Resolva os sistemas de equações lineares por Gauss-Jordan e, em cada um dos pares de cada item (A e B), monte os pontos e calcule a distância entre eles. Após, esboce o gráfico com todos os pontos e suas respectivas distâncias, utilizando o GeoGebra. OBS: Só serão válidos os itens que apresentarem os passos de Gauss-Jordan e o cálculo detalhado das distâncias.