Estatístca Descrtva Cocetos Báscos População ou Uverso Estatístco: coj. de elemetos sobre o qual cde o estudo estatístco; Característca Estatístca ou Atrbuto: a característca que se observa os elemetos da população; Modaldades (compatíves e eaustvas): as dversas formas em que se apreseta a característca estatístca; Amostra: subcojuto fto da população (razões para a recolha de uma amostra: dmesão ecessva da população, estudo de atureza destrutva, ecooma e tempo) Eemplos: ) O Gestor de produção de uma fábrca pretede ter uma dea da percetagem de peças defetuosas que a fábrca produzu em determado período de tempo. A população em estudo é costtuída por todas as peças produzdas pela fábrca durate aquele período de tempo. A característca estatístca tem apeas duas modaldades: peça defetuosa e peça ão defetuosa.
Estatístca Descrtva ) Num estudo de mercado para costrução de um cetro comercal, teressa estudar o redmeto famlar mesal dos habtates de uma determada cdade. A população é costtuída pelas famílas daquela cdade e a característca estatístca é o redmeto famlar mesal. As modaldades do redmeto famlar mesal ão se podem eumerar; são todos os valores desde, por eemplo, 50 cotos até 000 cotos. 3) Uma determada empresa pretede realzar um quérto aos seus trabalhadores, ode lhes é peddo para classfcarem a qualdade do servço do bar/refetóro segudo a segute escala: fraco, razoável, bom ou muto bom. Os trabalhadores da fábrca costtuem a população em estudo, e a característca estatístca é a opão acerca da qualdade do servço do bar/refetóro. Neste estudo o atrbuto pode mafestar-se as segutes modaldades: fraco, razoável, bom ou muto bom.
Tpos de Dados estatístcos. Estatístca Descrtva Quattatvos (por e., o úmero dáro de ascmetos o hosptal de Vseu ou a altura dos aluos da ESTV): Dscretos (úmero fto ou fto umerável de modaldades; por e., o úmero dáro de ascmetos o hosptal de Vseu) Cotíuos (pode assumr qualquer valor um tervalo de úmeros reas; a dstção etre os dos é por vezes arbtrára; por e., altura de um aluo da ESTV) Qualtatvos (por e., cor dos cabelos, estado cvl) 3
Represetação de Dados Estatístca Descrtva População ou amostra de dvíduos. Atrbuto A com p modaldades: A, A,...,A p. Frequêca absoluta ou efectvo da modaldade A, é o º de dvíduos que apresetam a modaldade A. Frequêca relatva da modaldade A f, é a proporção de dvíduos que apresetam a modaldade A, f. p e f. p 4
Represetação Tabular Quadros de Frequêcas Estatístca Descrtva Modaldades Frequêcas absolutas A f / f A f / + f +f Frequêcas relatvas Frequêcas absolutas acumuladas Frequêcas relatvas acumuladas M M M M M A P p f p p / + +...+ p f +f +...+f p Total - - Eemplo : Os dados que se seguem são relatvos às vedas (em cotos) de 30 vededores da ElectroNoLar durate o mês de Outubro passado. 0 30 80 00 0 00 90 70 40 0 40 0 00 00 0 70 90 90 30 50 60 80 70 0 00 0 0 80 00 0 5
Tabela de frequêcas - dados ão agrupados Freq. absolutas Freq. relatvas f Freq. absolutas acumuladas Freq. relatvas acumuladas 70 3 3/30 3 3/30 80 3 3/30 6 6/30 90 3 3/30 9 9/30 00 6 6/30 5 5/30 0 5 5/30 0 0/30 0 4 4/30 4 4/30 30 /30 6 6/30 40 /30 8 8/30 50 /30 9 9/30 60 /30 30 Total 30 - - Estatístca Descrtva Tabela de frequêcas com dados agrupados. Classes de valores Freq. absolutas Freq. relatvas f Freq. absolutas acum. Freq. relatvas acum. [60, 80[ 3 3/30 3 3/30 [80, 00[ 6 6/30 9 9/30 [00, 0[ /30 0 0/30 [0, 40[ 6 6/30 6 6/30 [40, 60[ 3 3/30 9 9/30 [60, 80[ /30 30 30/30 Total 30 - - Os tervalos de classe podem ter a mesma ampltude ou ampltudes dferetes depededo da atureza dos feómeos a estudar. Agrupar os dados mplca perda de formação. Regras prátcas para a determação do º de classes: Regra de Sturges º de classes +log 0 ()/log 0 () Outra º de classes (usualmete empregue quado >5). 6
Represetação gráfca Dagrama de barras Dados Não Agrupados Polígoo de frequêcas Estatístca Descrtva Frequêca absoluta 7 6 5 4 3 0 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 Vedas Represetação gráfca das frequêcas acumuladas Frequêca absoluta 7 6 5 4 3 0 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 Vedas Frequêcas relatvas acumuladas 0,8 0,6 0,4 0, 0 60 70 80 90 00 0 0 30 40 50 60 70 Vedas 7
Estatístca Descrtva Dados Agrupados Hstograma No hstograma tomamos rectâgulos justapostos, cada um com base proporcoal à ampltude da classe respectva e altura h dada por: (frequêcas absolutas) a+ a h f (frequêcas relatvas) a+ a A área de cada rectâgulo é etão proporcoal à frequêca da classe respectva: (frequêcas absolutas) área do - ésmo rectâgulo f (frequêcas relatvas) A área total do hstograma é gual a se foram usadas frequêcas absolutas e gual a se foram usadas frequêcas relatvas. Note-se porém que, quado as classes têm todas a mesma ampltude é costume, para facltar a represetação, tomar para altura de cada rectâgulo a frequêca absoluta ou relatva da classe a que respeta. 8
Estatístca Descrtva Hstograma Polígoo de frequêcas Freq. absolutas 0 8 6 4 0 60-80 80-00 00-0 0-40 40-60 60-80 Vedas Freq. absolutas 0 8 6 4 0 50 70 90 0 30 50 70 90 Vedas Polígoo de frequêcas acumuladas Freq. relatvas acumulada 0,8 0,6 0,4 0, 0 60 80 00 0 40 60 80 Vedas 9
Meddas Descrtvas Estatístca Descrtva Meddas de Localzação ou de Tedêca Cetral Estas meddas dão-os uma dea do cetro ou localzação da dstrbução dos dados. Méda artmétca Sejam,,..., p os valores dsttos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêca absoluta e frequêca relatva f. Etão a méda artmétca represeta-se por e é dada por: f. Para dados agrupados em classes toma-se para o poto médo da -ésma classe; e f serão, aturalmete, a frequêca absoluta e relatva da -ésma classe, respectvamete. 0
Estatístca Descrtva Eemplo : A tabela de frequêcas que se segue é relatva ao úmero de peus produzdos por da a fábrca MAVOR, para uma amostra de 30 das. Freq. absoluta Freq. relatva f Freq. abso. acum. Freq. relat. acum.s 8 0.06667 0.06667 36 0 3 0. 5 0.6667 60 5 0.6667 0 0.33334 05 4 7 0.3333 7 0.56667 68 5 6 0. 3 0.76667 50 8 4 0.3333 7 0.9 9 3 0. 30 87 Total 30 - - 78 A méda de peus produzdos daramete, para os 30 das cosderados é: 78 3.9333. 30
Estatístca Descrtva Medaa Trata-se do valor que dvde o cojuto de dados, ordeados por ordem crescete, em duas partes guas. Isto é, a medaa, como o própro ome dca, é o poto medao de um cojuto de dados ordeados em ordem crescete. Sejam,,...,, observações ordeadas por ordem crescete dos seus valores, e que costtuem o cojuto de dados em aálse. ( + ) se é mpar Me + + se é par 30 + 30 + 5 + 6 4 + 4 Eemplo, como é par: Me 4. Para dados agrupados em classes, procuramos a classe medaa, sedo esta tal que a sua frequêca absoluta (resp. relatva) acumulada é / (resp. /) e a frequêca absoluta (resp. relatva) acumulada da classe ateror é < / (resp. /). Depos de ecotrada a classe medaa, [a j, a j+ [, ecotra-se a medaa por terpolação lear: j / Me a j + ( a j+ a j ) j
Moda É o valor mas frequete um cojuto de dados. {, 3, 4, 4, 5} Mo4 (dstrbução umodal); {,, 3, 4, 4, 5} Mo e 4 (dstrbução bmodal); Eemplo Mo4. Estatístca Descrtva Havedo mas de valores modas, a dstrbução dz-se multmodal. Quado os dados estão agrupados em classes, a classe modal é aquela que tem maor frequêca por udade de ampltude. Nestes casos ão podemos determar o valor eacto da moda pos ão sabemos como estão dstrbuídas as observações detro de cada classe. Podemos, o etato, obter uma apromação da Moda usado uma das segutes fórmulas: j+ Fórmula de Kg: Mo a j + ( a j+ a j ) + Fórmula de Czuber: Mo a j j+ j j ( ) ( ) ( a ) j a j + j + + j j j j+ ode, [a j, a j+ [ é a classe modal; j é a freq. abso. desta classe; j+ e j- são, resp., a freq. abso. da classe ateror e posteror à modal. 3
Estatístca Descrtva Meddas de Localzação ão Cetral Quats: Q p A medaa dvde o cojuto de dados em duas partes guas. Quado o cojuto de dados ordeados é dvddo em 4 partes guas, os potos de dvsão são chamados os quarts: Q /4, º quartl valor que tem cerca de 5% dos dados abao dele; Q /4, º quartl valor que tem cerca de 50% dos dados abao dele trata-se da Medaa; Q 3/4, 3º quartl valor que tem cerca de 75% dos dados abao dele. Podemos ada calcular os quts, decs, percets, Cálculo do quatl de ordem p, Q p : Dados ão agrupados em classes Sejam,,...,, observações ordeadas por ordem crescete dos seus valores. Se p ão é um tero, etão Q p k, ode k é o tero medatamete segute a p. Caso cotráro, sedo p um tero, etão Q p ( p + p+ )/. Cálculo do quatl de ordem p, Q p : Dados agrupados em classes Seja [a j, a j+ [ a classe que cotém Q p,.e., que cotém o valor ao qual correspode a frequêca absoluta (resp. relatva) acumulada de p (resp. p). Por terpolação lear obtém-se Q p : Q p j p a j + j+ j ( a a ) j 4
Estatístca Descrtva Meddas de Dspersão Eemplo: Duas empresas cocorretes com sede em Vseu, obtveram os segutes lucros os 5 últmos aos: Lucros em udades moetáras (u. m.) Empresa 0 3 4 6 Empresa 7 5 0 9 4 O lucro médo das duas empresa os últmos 5 aos é o mesmo, 3 u.m., o etato a Empresa apreseta uma maor varabldade os lucros do que a Empresa. Empresa 4 0 3 6 Empresa 7 4 5 0 3 9 5
Estatístca Descrtva 6 O tervalo terquarts, [Q /4, Q 3/4 ] cotém 50% das observações. A ampltude deste tervalo, ampltude terquarts, é uma medda de dspersão. As meddas de dspersão mas utlzadas são o desvo padrão e a varâca que defmos a segur. Sejam,,..., p os valores dsttos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêca absoluta e frequêca relatva f. Se estes dados costtuem observações fetas sobre toda a população, a varâca deota-se por σ e é calculada da segute maera: p p f ) ( ) ( σ, ou equvaletemete, p p f σ. Se, pelo cotráro, o cojuto de dados costtu uma amostra da população, etão a varâca deota-se por s e é dada por: p s ) ( p s. O desvo padrão é a raz quadrada da varâca e deota-se por σ ou por s.
Estatístca Descrtva Eemplo Como dspomos de uma amostra, temos: s p. Frequêcas Frequêcas absolutas relatvas f 8 0.06667 36 648 0 3 0. 60 00 5 0.6667 05 05 4 7 0.3333 68 403 5 6 0. 50 3750 8 4 0.3333 336 9 3 0. 87 53 Total 30 78 7494 Etão a varâca e o desvo padrão são, respectvamete, s ( 7494 30 3.9333 ) 0.6867 (u.m.) e 06867 3. 69 9 s u.m.. 7
Coefcete de dspersão e de varação Estatístca Descrtva Meddas de dspersão absolutas: epressas a mesma udade dos dados a que se referem Meddas de dspersão relatvas: depedetes da udade de medda dos dados a que se referem A varâca e o desvo padrão são meddas de dspersão absolutas. Se pretedermos comparar a dspersão de dos cojutos de dados que ão estejam epressos a mesma udade de medda, teremos de adoptar uma medda de dspersão relatva, por eemplo: Coefcete de dspersão: cd s ou σ Coefcete de varação: cvcd 00% Estes coefcetes só se empregam quado a varável toma valores de um só sal. 8
Descrção smultâea de dos atrbutos Estatístca Descrtva 9
Estatístca Descrtva Por vezes a População que se pretede estudar, aparece sob a forma de pares de valores, sto é, cada dvíduo ou resultado epermetal, cotrbu com um cojuto de dos valores. É o que acotece, por eemplo, quado se cosdera para cada aluo caddato ao Eso Superor, a ota fal de Matemátca e a ota da Prova Específca. Como represetar e orgazar este tpo de formação? Através de uma represetação gráfca Através de uma represetação tabular 0
Estatístca Descrtva Represetação gráfca Dagrama de Dspersão É uma represetação gráfca para os dados bvarados, em que cada par de dados (,y) é represetado por um poto de coordeadas (,y), um sstema de eos coordeados. Este tpo de represetação é muto útl, pos permte realçar algumas propredades etre os dados, omeadamete o que dz respeto ao tpo de assocação etre os s e os y s. Eemplo: Cosdere os segutes dados, que represetam o úmero de faltas ão autorzadas por ao e a dstâca (em km) a que os empregados de determado armazém estão de casa. Costrua o Dagrama de dspersão e comete-o.
Estatístca Descrtva Dstâca (Km) Nº de Faltas y 8 3 5 4 8 6 7 8 6 0 3 5 4 4 4 8 y 9 8 7 6 5 4 3 0 0 5 0 5 0 [Km] Cometáro: O gráfco mostra uma lgera assocação, de setdo cotráro, etre o º de faltas e a dstâca. Assm, quato maor é a dstâca, meor é a tedêca para faltar!
Represetação tabular Estatístca Descrtva Outro processo de orgazar a formação correspodete a dados bvarados é utlzado uma tabela de cotgêca. De uma maera geral, uma tabela de cotgêca é uma represetação dos dados, quer de tpo qualtatvo, quer de tpo quattatvo, especalmete quado são de tpo bvarado, sto é, podem ser classfcados segudo dos crtéros. O aspecto de uma tabela de cotgêca é o de uma tabela com lhas, correspodetes a um dos crtéros, e com coluas, correspodete ao outro crtéro. 3
Eemplo: Estatístca Descrtva Num quérto realzado a 50 dvíduos, estes tveram de assalar o seo, M ou F, e o estado cvl - soltero, casado, vúvo ou dvorcado. Para resumr a formação cotda a amostra, costruu-se a segute tabela de cotgêca: Estado Cvl Soltero Casado Vúvo Dvorcado Total F 38 36 7 8 M 40 4 4 0 68 Total 78 50 5 7 50 Da aálse da tabela podemos trar algumas coclusões, tas como: - O úmero de dvíduos do seo masculo e solteros é 40 - O úmero de dvíduos do seo masculo é 68 3- O úmero de dvíduos vúvos é 5 4