01 / 08 / 12 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. Definição Resumo Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: R R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0. Em que a é o coeficiente de x²; b é o coeficiente de x; c é o termo independente. Quando a função é completa, os coeficientes a, b e c não são nulos, e função incompleta aquela em que os coeficientes b ou c ou ambos são nulos. 1 Observe os exemplos: 1) f(x) = 3x² + 5x +2 -> é função quadrática completa onde a=3, b= 5 e c=2 2) y= x² - 25 -> é função quadrática incompleta onde a=1 b=0 c=-25 1.1 Raízes ou zeros da função quadrática Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar f(x) a zero. Teremos então: ax² + bx + c A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau. As raízes da equação são determinadas utilizando-se a fórmula resolutiva. (Letra grega: delta) é chamado de discriminante da equação. Observe que o discriminante terá um valor numérico, do qual temos de extrair a raiz quadrada. Neste caso, temos três casos a considerar: Exemplos: 1-Resolva as equações do 2º grau: a) -7x² + 6x + 1 = 0 2-Determine os zeros das funções reais a seguir: a) x² + 3x + 5 =0 3-Determine o valor de p r para que a função y = px² + 2x 1 a) tenha duas raízes reais e distintas. b) tenha duas raízes reais e iguais. c) não tenha raízes reais. a) para que a função tenha duas raízes reais e distintas, o discriminante deve ser um número positivo.
2 b) para que a função tenha duas raízes reais e iguais, o discriminante deve ser igual a zero. c) para que a função não tenha duas raízes, o discriminante deve ser negativo. 1.2 Gráfico da função quadrática O gráfico, de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. O sinal do coeficiente a determina a concavidade dessa parábola. Dada a função y= ax² + bx + c, cujo gráfico se define: Resumindo: O termo independente Na função y =ax² + bx + c, se x = 0 temos y = c. Os pontos em que x = 0 estão no eixo y, isto significa que o ponto (0, c) é onde a parábola corta o eixo y. 1.3 Vértice da parábola Máximos e mínimos da função É o ponto da curva correspondente à ordenada (yv) máxima ou mínima. Observe os vértices nos gráficos abaixo:
3 Coordenadas do vértice As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 1.4 Conjunto Imagem Conhecendo a ordenada do vértice da parábola é possível determinar o conjunto imagem da função. Em a, a parábola tem concavidade voltada para cima, portanto o vértice é o ponto mínimo da função. Se projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo y, obteremos valores de y maiores ou iguais a -1, conforme mostra a figura I; neste caso, o conjunto imagem é: Figura I: Na figura II, a parábola tem concavidade voltada para baixo, então o vértice é o ponto máximo da função. Ao projetarmos qualquer ponto sobre o eixo y, teremos valores de y menores ou iguais a 2. O conjunto imagem será: Figura II: Resumindo: Se a função f(x)= ax² + bx + c com a>0, temos como conjunto imagem: Se a função f(x)= ax² + bx + c com a<0, temos como conjunto imagem: Exemplo 1: Construa os gráficos da função f(x) = 2x² - 3x + 1, determinando o respectivo conjunto imagem:
4 Determinando as raízes da função, igualando-a a zero função, ou seja, f(x)=0. Encontrando o valor do discriminante: Utilizando a fórmula resolutiva do 2º Grau: Agora determinamos as coordenadas do vértice da parábola. Para x = 0, temos que o ponto em que a parábola corta o eixo y é c = 1. Exemplo2: Considere a função imagem o valor de máximo ou de mínimo. Calculando as raízes da função:, determine as raízes, a sua representação gráfica, o conjunto Como, não existem raízes reais que satisfaçam a equação, então a parábola não intercepta o eixo x. Observe que a= - 1/3, portanto a parábola tem concavidade voltada para baixo e estará abaixo do eixo x. Note que a função não possui raízes reais, porém existe um gráfico para representá-la. Determinando as coordenadas do vértice da parábola. Quando x = 0, temos que a parábola corta o eixo y em c =-9. Determinando o conjunto imagem da função:
5 1.5 Estudo do sinal de uma função do 2º grau Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, significa determinar os valores reais de x para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0. O estudo do sinal da função quadrática depende do coeficiente quadrática depende do coeficiente a e do discriminante Dada a função f(x) = y = ax² + bx + c, para saber os sinais de y, determinamos as raízes (se existirem) e analisamos o valor do discriminante. Poderemos ter: Considere x 1 < x 2 e o discriminante positivo: Considere x 1 < x 2 e o discriminante igual a zero: Considere x 1 < x 2 e o discriminante menor do que zero: Exemplo: Estude o sinal de cada função: Como a =1, a concavidade da parábola está voltada para cima. Temos então:
6 2- Inequação do 2º grau na variável x É toda desigualdade que pode ser escrita da seguinte forma: ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c 0; ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c 0. Veja o exemplo abaixo: Para resolver esta inequação, devemos fazer o estudo do sinal da função e determinar os valores de x para que a função seja menor ou igual a zero. Exemplo 1: Exemplo2: Exemplo 3: x² - 4x + 3 > 0 3x² - x + 1 <0 Para resolver esta inequação, devemos fazer o estudo do sinal da função e determinar os valores de x para que a função seja positiva. 2.1- Inequação Produto Para resolvê-las, iremos fazer o estudo do sinal separadamente, transportar os sinais para um quadro, efetuar o produto dos sinais e determinar o(s) conjunto(s) que satisfaz(em) a desigualdade pedida. Vejamos o exercício resolvido Encontre as raízes de cada equação e façamos o estudo de cada função separadamente:
7 Transportamos os sinais obtidos para um quadro, onde a primeira linha é destinada aos sinais de f(x), a segunda aos sinais de g(x) e a terceira ao produto dos sinais de onde será extraído o conjunto solução da inequação. Lembre-se de que as raízes devem ser colocadas em ordem crescente e simbolizadas com uma bolinha preta (intervalo), e nesse caso esse intervalo obrigatoriamente fechado pois a desigualdade a ser resolvida contém o sinal de igualdade ( ). Exemplo 2: 2.1- Inequação Quociente Observe o exemplo: Para resolvê-las, iremos fazer o estudo do sinal separadamente, transportar os sinais para um quadro, efetuar a divisão dos sinais e determinar o(s) conjunto(s) que satisfaz(em) a desigualdade pedida. Veja o exemplo a seguir:
8 Exemplo 1: Exemplo 2: Sejam f(x) = - x² + 2x 3 e g(x)= x² + 3x, calcule o valor de x para que Em f(x), qualquer que seja o valor de x, a função é negativa. Transportamos os sinais para o quadro, lembrando que, como a função g(x) está no denominador da fração, temos de indicar as raízes de g(x) - 3 e 0 com intervalo aberto, garantindo assim que o denominador não se anulará. Referência: BOSQUILHA, Alessandra.Minimanual compacto de matemática : teoria e prática. Ensino médio/ Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003. SMOLE, Kátia C. Stocco. Matemática: Ensino Médio / Kátia Cristina Stocco e Maria Ignez de Souza V. Diniz 6ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2010. Contribuição: Professor do Inst. Federal Farroupilha Mauricio Lutz.