CONJUNTOS NUMÉRICOS Exercícios resolvidos Sendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo: Analisando as retas abaixo, constatamos que a intersecção entre A e B é dada pela área compreendida entre as retas azuis. Logo: = [3;7] Novamente analisando as retas, consta-se que a união entre A e B é dada pela área compreendida entre as retas vermelhas, não contando 9, pois [3;9[ Logo: = [1;9[ Representar na reta real os intervalos: [1;7] [3;9[ Veja que o ponto 9 não estar incluído.
1) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine: 2) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine: 3) Represente na reta real os seguintes intervalos: ]-3;4] [1;4] c) [2; [ d) ]- ;1] CÁLCULO ALGÉBRICO 1) Calcular: Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 = x²+6x+1 (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c) (3x²-1/3) - (6x²-4/5) c) (2a-3ab+5 - (-a-ab+2 2) Efetue e simplifique: Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3 (2a+3.(5a- (x-y).(x²-xy+y²) c) (3x-y).(3x+y).(2x-y) 3) Simplifique: Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy 8a³b²/2ab²
4a³-2a²+8a / 2a c) 18x³y²/6x²y³ 4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é: ( 100 ( 50 (c) 250 (d) -150 (e) -200 5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a: ( -0,1 ( 0,2 (c) -0,3 (d) 0,4 (e) -0,5 Respostas dos testes: 4)E, 5)E 1) Calcule os produtos notáveis: (a+2)(a-2) (xy+3z)(xy-3z) c) (x²-4y)(x²+4y) PRODUTOS NOTÁVEIS d) e) (x+3)² f) (2a-5)² g) (2xy+4)² h) i) (x+4)³ j) (2a+³ l) (a-1)³ Exercício resolvido: Calcule 41.39 usando um produto notável. (40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599 2) Calcule 101.99 usando um produto notável.
FATORAÇÃO 1) Fatorar, colocando os fatores comuns em evidência: Exemplos: ax+2a = a(x+2) a²-b² = (a+(a- a² - 4ab + 4b² = (a-2² 2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1) 3ax-7ay x³ -x² + x c) x³y² + x²y² + xy² d) a²b² - ab³ e) a² + ab + ac + bc f) x² - b² g) x²-25 h) (x²/9 - y²/16) i) x² + 4x + 4 j) a² + 6ab + 9b² l) 144x²-1 m) ab + ac + 10b + 10c n) 4a² - 4 o) x³y - xy³ p) x² + 16x + 64 q) 2x² + 4x + 2 r) ax³ + 2a²x² + a³x Resolução do exercício (e) a² + ab + ac + bc = a.(a+ + c.(a+ = (a+.(a+c)
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de: (x²-9) e (x²+6x+9) (x²+x), (x²-x) e (x³-x) c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4) 2) Simplificar: c) d) 3) Efetuar: 4) Efetuar as multiplicações: c) d)
e) 5) Efetuar as divisões: c) d) 1) Resolva as seguinte equações: EQUAÇÃO DO 1º GRAU Exemplo: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1 Aplicando a propriedade distributiva: 4x+14+9x-15=12x+15-1 4x+9x-12x=15-1+15-14 x=15 Portanto V={15} 2x-3=17 4x+7=x-8 c) 3-7(1-2x)=5-(x-9) d) 3-7(1-2x)=5-(x-9) e) [Sugestão]: Ache o mmc e elimine o denominador f) g) Respostas: (e)1; f)2/7; g)15/2
1) Resolver os seguintes sistemas: SISTEMAS DE EQUAÇÕES c) d) 2) Problemas com sistemas já montados: Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos? x+y=23 2x+4y=82 A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma? x+y=25 x-y=13 c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números? x+y=50 x=2y-1 d) Duas pessoas ganharam juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa? x+y=50 x=1/4y e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira? x=2y x+y=30 3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é? (A) 20g
(B) 25g (C) 35g (D) 40g (E) 45g 4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a: (A) 18 (B) 25 (C) 30 (D) 45 (E) 60 Respostas dos testes: 3)C, 4)D RAÍZES E RADICAIS 1) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não exista, escreva: não existe. h) i) c) j) d) l) e) m) f) n) g) o) Não existem: (, (h)
2) Aplicação das propriedades: Exemplo 1: c) d) [Nota]: 25 = 5² e) Exemplo 2: f) g) [Nota]: h) i) j) Exemplo 3: l) m) n)
Exemplos 4: ; o) p) q) r) Exemplo 5: s) t) Exemplo 6: u) v) x) z) Exemplo 7: a`) b`)
c`) d`) Exemplos 8: e`) f`) g`) h`) i`) POTENCIAÇÃO 1) Efetuar, observando as definições e propriedades: (-2)³ i) j) (0,5)³ c) 500¹ l) 15¹ d) 100º m) e) 0³ n) f) 0º o) g) p) h) q)
2) (Fuvest) O valor de, é: ( 0,0264 ( 0,0336 (c) 0,1056 (d) 0,2568 (e) 0,6256 3) (Fei) O valor da expressão é: ( -5/6 ( 5/6 (c) 1 (d) -5/3 (e) -5/2 4) (UECE) O valor de é ( -15/17 ( -16/17 (c) -15/16 (d) -17/16 5) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão, obtémse: ( 0,16 ( 0,24 (c) 1,12 (d) 1,16 (e) 1,24 Respostas dos testes: 2) B; 3) E; 4)B; 5) D RACIONALIZAÇÃO 1) Racionalize o denominador de cada fração: p) q)
c) r) d) s) e) t) f) u) g) v) h) w) i) x) j) y) k) z) l) a`) m) b`)
n) c`) o) d`) 2) (Fuvest) ( ( (c) (d) (e) Resp: 2)D EQUAÇÃO DO 2º GRAU 1) Complete o quadro conforme o exemplo: Equação Coeficientes a b c 6x²-3x+1=0 6-3 1-3x²=5/2+4x y²=5y 6x²=0 2) Determine as raízes das seguintes equações: x²-3x+2=0 2y²-14y+12=0
c) -x²+7x-10=0 d) 5x²-x+7=0 e) y²-25=0 f) x²-1/4=0 g) 5x²-10x=0 h) 5+x²=9 i) 7x²-3x=4x+x² j) z²-8z+12 = 0 2) Determine o valor de k nas equações, de modo que: x² - 12x + k = 0, tenha duas raízes reais e iguais 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes. 3) Complete o quadro: Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = - b/a Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a Soma das Produto das Equação raízes raízes x² - 6x + 9 = 0 6 9 x² - 2x + 3 = 0 2x² + 5x - 8 = 0 x² + 5x -24=0-5 24 5-6 -6-3 4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias: c)
d) e) f) 5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais: x² - (a+1) + x = 0 x² - (a+m) + am = 0 c) y² - by - 2b³ = 0 d) ax² - (a²+1) + a = 0 e) x² - 3rx + 2r² = 0 6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas: c) d) e) 7) Resolução de equações irracionais: Primeiramente devemos eliminar o radical Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical Exemplo: x - 1 = x² - 6x + 9
x² - 7x +10 = 0 Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2 Verificação: Substitua os valores das raízes em ambos os membros e verifiquem se a igualdade é satisfeita Para x=5 1º membro: 2º membro: x-3 = 5-3 = 2 Como o 1º membro é igual ao 2º membro, X 1 =5 é solução da equação. Para X 2 =2 1º membro: 2º membro: x-3 = 2-3 = -1 Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução da equação Portanto, V={5} Nunca se esqueçam de fazer a verificação... c) d) e) 8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é? Resposta: 8) 11
FUNÇÃO DO 1º GRAU 1) Represente graficamente a função definida por: f(x) = 2x-1 f(x) = -1/2x+3 c) f(x) = 4x d) f(x) = 1/3x+2 e) f(x) = -3x+6 2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações: f(x) = 2x+5 f(x) = -x+2 c) f(x) = 1/3x+3 d) f(x) = 1-5x e) f(x) = 4x EXERCÍCIO RESOLVIDO: Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo: Uma equação do 1º grau é definida por y=ax+b com Pelo gráfico, conclui-se que: Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2
Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função) Substituindo os valores em y=ax+b: 0 = -4a + 2 a = 1/2 Logo, a expressão é y = 1/2x+2. 3) As figuras abaixo representam os gráficos de funções, de R em R, determine as expressões que as definem. Respostas: 3: y= -1/2x+2; y = x-1
FUNÇÃO DO 2º GRAU 1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa: f(x)= x² - 4x + 5 f(x)= x² +4x - 6 c) f(x)= 2x² +5x - 4 d) f(x)= -x² + 6x - 2 e) f(x)= -x² - 4x +1 2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes: f(x)= 3x² - 7x + 2 f(x)= -x² + 3x - 4 c) f(x)= -x² + 3/2x + 1 d) f(x)= x² -4 e) f(x)= 3x² Não existe zeros em ( 3) Construa o gráfico das seguintes funções: f(x)= x² - 16x + 63 f(x)= 2x² - 7x + 3 c) f(x)= 4x² - 4x +1 d) f(x)= -x² + 4x - 5 e) f(x)= -2x² +8x- 6 4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t. Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola? c) Esboce o gráfico que represente esta situação. Respostas: 4: 4s; 16m]
PROBLEMAS Exercício resolvido: O problema clássico das torneiras Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque? Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora: A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanque A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6 Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t = V Portanto t = 6horas 1) (Fuvest) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determine o número. 2) (Vunesp) Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcule a importância. 3) (Unicamp) Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número. 4) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57. 5) (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um lote de peças iguais, um comerciante pagou R$8.000,00 a naus do que pagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preço do lote todo? 6) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque? Respostas: 1)12; 2)R$200.000,00; 3)9; 4)28 e 29; 5) R$30.000,00; 6) 4min 7) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número? 8) Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?
9) A metade do quadrado de um número menos o dobro desse número é igual a 30. Determine esse número. 10) Se do quadrado de um número subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse número? 11) O produto de um número positivo pela sua terça parte é igual a 12. Qual é esse número? 12) Determine dois números consecutivos ímpares cujo produto seja 195. 13) A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um? 14) Qual é o número inteiro positivo cuja metade acrescida de sua terça parte é igual ao seu quadrado diminuído 134? 15) Calcule as dimensões de um retângulo de 16cm de perímetro e 15cm² de área. 16) A diferença de um número e o seu inverso é 8/3. Qual é esse número?