Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como mostra o seguinte exemplo.

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1 0. As duas peças de madeira a seguir são iguais. Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como mostra o seguinte exemplo. A justaposição que NÃO pode ser formada com as duas peças dadas é a figura: Resolução: alternativa E É possível perceber que apenas a alternativa (E) não pode ser formada pela justaposição das duas peças de madeira. 0. O quadrado ABCD está repartido em dois quadrados e dois retângulos cujas áreas estão destacadas. A expressão que representa a área do quadrado ABCD é Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

2 (A) x -. (B) x. (C) x -. x. (D) x -. x. (E) x. Resolução: alternativa B A área do quadrado ABCD é dada pela soma das quatro áreas dadas: Área = x² + 6x + 6x + 9 Área = x² + x + 9 Pode-se observar que a área do quadrado ABCD é um trinômio quadrado perfeito. Fatorando a área, tem-se: Área = x² + x + 9 Área = x 0. Duas operadoras de telefonia móvel apresentam suas tarifas: A operadora de Roberto é a SUL-CEL e a operadora de Raquel é RS-CEL. Num certo mês Raquel utilizou 60 minutos da sua operadora, enquanto o valor pago por Roberto durante o mesmo mês foi R$ 9,0. O valor pago por Raquel e a quantidade de minutos falados por Roberto, respectivamente, é (A) R$ 57,90 e minutos. (B) R$ 60,00 e 9 minutos. (C) R$ 66,50 e minutos. (D) R$ 57,90 e 9 minutos. (E) R$ 66,50 e 9 minutos. Resolução: alternativa C Assunto: Função do Grau Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

3 y = ax + b, onde y valor pago a valor por minuto de ligação (coeficiente angular) x quantidade de minutos de ligação b tarifa fixa (coeficiente linear) Operadora SUL-CEL Valor = 0,55tempo +,90 Pelo enunciado, Roberto pagou R$ 9,0 durante um determinado mês: 9,0 = 0,55. x +,90 9,0 -,90 = 0,55x,0 = 0,55x 0,55x =,0,0 x 0,55 0 x 55 x = minutos de ligação Operadora RS-CEL Valor = 0,85tempo + 5,50 Pelo enunciado, Raquel utilizou 60 minutos da sua operadora: y = 0, ,50 y = 5 + 5,50 y = 66,50 reais 0. O retângulo ABCD possui área 0 m². Os lados AB e CD estão divididos em quatro partes iguais, e os lados AD e BC estão divididos em três partes iguais. A área do quadrilátero DEFG é 5 (A) m². 5 (B) m². 6 (C) 5 m². 0 (D) m². 5 (E) m². Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

4 Resolução: alternativa B Assunto: Geometria Plana - Áreas e Polígonos Área triângulo Área retângulo base altura base altura A base do retângulo está dividida em quatro partes iguais, então chamaremos cada parte igual de x, isto é, base do retângulo é x. A altura do retângulo está dividida em três partes iguais, então chamaremos cada parte igual de y, isto é, altura do retângulo é y. A área do retângulo é 0 metros quadrados, então: Área 0 x.y 0 = xy xy = 0 0 xy 5 xy 6 base altura Dividindo a área pintada em dois triângulos (triângulo e triângulo ) e calculando a área base altura de cada triângulo Área, tem-se: Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

5 Triângulo base y altura x base altura Área Área y.x Área xy Triângulo base x altura y base altura Área Área x.y Área 9xy Área do quadrilátero DEFG = Área + Área xy 9xy Área do quadrilátero DEFG = xy 9xy Área do quadrilátero DEFG = 0xy Área do quadrilátero DEFG = Área do quadrilátero DEFG = 5xy como 5 xy 6 5 Área do quadrilátero DEFG = 5. 6 Área do quadrilátero DEFG = 6 5 Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 5

6 05. Resolvendo a expressão algébrica a b a b (A) 0a² - b². (B) 0a² + 5b². (C) a² + ab + 5b². (D) 0a² + ab + 5b². (E) 0a² + 0ab + 5b². Resolução: alternativa D Assunto: Produtos Notáveis x y x.x.y y x y x.x.y y Desenvolvendo os produtos notáveis a b a b a.a.b b = a.a.b b = 9a² + 6ab + b² + a² - ab + b² = 9a² + a² + 6ab - ab + b² + b² = 0a² + ab + 5b², obtém-se a expressão 06. Uma mesa redonda tem,6 m de diâmetro. Para uma festa, a mesa é aumentada colocando-se três tábuas de 0,5 m de largura cada uma, separando a mesa ao meio, como mostra a figura. Sendo a área do círculo igual a Área círculo.r, onde R é o raio do círculo. Usando =, o valor aproximado da área da mesa é (A),9 m². (B), m². (C), m². (D) 7,68 m². (E) 0,08 m². Resolução: alternativa C Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 6

7 Assunto: Geometria Plana - Áreas, Polígonos e Círculos Área retângulo Área círculo base altura (raio) A área da mesa aumentada é dada pela área da mesa fechada adicionada a três tábuas (retângulos). dados do exercício: diâmetro da mesa (D) =,6 m raio da mesa (R) = 0,8 m (a medida do raio é a metade da medida do diâmetro) base da tábua retangular (b) = diâmetro =,6 m altura da tábua retangular (h) = 0,5 m = Área da mesa aumentada = Área da mesa fechada +.(Área da tábua) Área da mesa aumentada =.R.b.h Área da mesa aumentada =. 0,8.,6. 0,5 Área da mesa aumentada =. 0,6. 0,8 Área da mesa aumentada =,9 +, Área da mesa aumentada =, metros quadrados 07. Quatro formigas atravessam uma sala coberta de lajotas retangulares todas iguais. O trajeto de cada formiga é mostrado na figura em negrito. Os percursos das formigas Cenilda e Dionélita, respectivamente, são (A) 65 dm e 85 dm. (B) 80 dm e 8 dm. (C) 65 dm e 8 dm. (D) 80 dm e 85 dm. (E) 8 dm e 85 dm. Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 7

8 Resolução: alternativa B Assunto: Geometria Plana - Teorema de Pitágoras e Retângulos Teorema de Pitágoras hipotenusa cateto cateto O percurso da formiga Atimbica foi 5 diagonais do retângulo 5D = 65 D = 5 65 D = dm (decímetros) O percurso da formiga Bentinha foi 5 diagonais do retângulo e alturas do retângulo 5D + h = h = h = 85 h = h = 0 0 h = h = 5 dm Para determinar a medida da base do retângulo, aplicamos o Teorema de Pitágoras hip² = cat² + cat² D b h b 5 69 = b² b² = b² = - b² = b = a medida de um lado não pode ser negativo, então a solução será positiva b = b = dm O percurso da formiga Cenilda foi 5 bases do retângulo e alturas do retângulo percurso de Cenilda = 5b + h percurso de Cenilda = Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 8

9 percurso de Cenilda = percurso de Cenilda = 80 dm O percurso da formiga Dionélita foi diagonais do retângulo, bases do retângulo e alturas do retângulo percurso de Dionélita = D + b + h percurso de Dionélita = percurso de Dionélita = percurso de Dionélita = O retângulo da figura abaixo está repartido em oito quadrados. O menor quadrado tem cm de lado e o maior quadrado tem área (A) 96 cm². (B) 69 cm². (C) cm². (D) cm². (E) 5 cm². Resolução: alternativa A Assunto: Geometria Plana - Quadrado O menor quadrado tem lado cm, o lado do quadrado A é formado por lados de cm. O lado do quadrado A é cm. O lado do quadrado B é formado pelo lado do quadrado A somado com o lado do menor quadrado ( cm). O lado do quadrado B é cm + cm = 5 cm. O lado do quadrado C é formado por dois lados do quadrado B somado com o lado do quadrado A. O lado do quadrado C é 5 cm + 5 cm + cm = cm. Área do maior quadrado é a área de C Área do quadrado C = lado² = ² = 96 cm² Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 9

10 09. A tabela abaixo apresenta as regiões brasileiras e as suas respectivas áreas, aproximadamente, em quilômetros quadrados. Com base na tabela, a área da região Sul é aproximadamente (A) 56% da área da região Sudeste. (B) 58% da área da região Sudeste. (C) 60% da área da região Sudeste. (D) 6% da área da região Sudeste. (E) 6% da área da região Sudeste. Resolução: alternativa D Assunto: Porcentagem e Regra de Três Área Sudeste = Área Sul = Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 0

11 áreas das regiões Sudeste Sul porcentagem 00% x x = % % x % x % x 97 x 6,% 0. O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio, quando esse marca horas e 0 minutos é (A) 80. (B) 75. (C) 70. (D) 65. (E) 60. Resolução: alternativa D Assunto: Geometria Plana - Ângulos O ponteiro grande do relógio forma 80 (metade da circunferência) com a hora. O ponteiro pequeno forma 5 (cada hora possui 0, e o ponteiro pequeno está no meio das horas e divisão de 60 por horas no relógio) com a hora. O menor ângulo formado pelos ponteiros é a diferença do ângulo formado pelo ponteiro maior e do ângulo formado pelo ponteiro menor. ângulo ponteiro maior ângulo ponteiro menor Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

12 . A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina como mostra a pesquisa a seguir, realizada com os jogadores profissionais dos dois principais clubes de futebol de Porto Alegre. De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos dois clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente (A) %. (B) 8%. (C) 5%. (D) 60%. (E) 68%. Resolução: alternativa B Assunto: Regra de Três Direta e Porcentagem total de jogadores = = jogadores jogadores com Ensino Médio = 5 Aplicação de regra de três direta jogadores 5 porcentagem 00% x. x = 5. 00% 5.00% x 500% x x 8,% Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

13 . Triângulo isósceles é o triângulo que possui dois lados congruentes e dois ângulos congruentes. O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BÂC mede 0 O triângulo BCD é isósceles de base BD. A medida do ângulo DĈA é (A) 0. (B) 5. (C) 5. (D) 50. (E) 55. Resolução: alternativa C Assunto: Geometria Plana - Triângulos e Ângulos () Os ângulos da base do triângulo ABC são iguais x = y + z () A soma dos ângulos internos do triângulo BCD é igual a 80º x + x + z = 80º x + z = 80º () A soma dos ângulos internos do triângulo ABC é igual a 80º 0º + y + z + x = 80º Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

14 Atribuindo () em () x y z 0º y z x 80º 0º y z x 80º x 0º + x + x = 80º 0º + x = 80º x = 80º - 0º x = 50º 50º x = x = 75º Resolvendo () x + z = 80º. 75º + z = 80º 50º + z = 80º z = 80º - 50º z = 0º Resolvendo () y é o ângulo D ĈA = 5º x = y + z 75º = y + 0º -y = 0º - 75º -y = -5º y = 5º DĈA. A tabela abaixo mostra uma composição da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

15 Pela composição acima, podemos deduzir que a fórmula que calcula a soma dos ângulos internos em função do número de lados n de um polígono é (A) (n - ).90º. (B) (n - ).80º. (C) (n - ).80º. (D) n.80º. (E) (n - ).90º. Resolução: alternativa C Observando os polígonos e a soma dos ângulos internos de cada um, chega-se a conclusão da fórmula: Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Fórmula (n - ).80º. Simplificando a expressão (A). (B) 6. (C). (D)., obtém-se (E) 6. Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 5

16 Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 6 Resolução: alternativa A. 5. Porto Alegre tem um novo sinal de trânsito que é fácil de fazer e fácil de entender. Na faixa de pedestres que não tem sinaleira, estique o braço, espere os carros pararem e atravesse com segurança. fonte: Numa quadra há carros e motos no total de veículos e 90 pneus. Contabilizando apenas dois pneus por moto e quatro pneus por carro, o número total de carros nessa quadra é (A). (B) 7. (C). (D). (E) 0.

17 Resolução: alternativa D Assunto: Sistema de equações do grau Seja C o número de carros e M o número de motos nesse estacionamento. Cada carro possui pneus e cada moto possui pneus. C M C M 90 Da primeira equação, temos C + M = C = - M Aplicando C = - M na segunda equação C + M = 90.( - M) + M = M + M = 90 -M + M = M = -6 M = 6 6 M M = motos C = - M C = - C = carros 6. Na figura abaixo um quadrado de lado 8 metros e um quadrado pintado cuja área é (A) 5 m². (B) 50 m². Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 7

18 (C) 9 m². (D) 8 m². (E) 6 m². Resolução: alternativa B Assunto: Geometria Plana - Áreas e Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras Área quadrado = L hipotenusa cateto cateto A medida do lado do quadrado pintado é a hipotenusa (maior lado do triângulo retângulo) do triângulo retângulo de catetos 7 metros e metro. Aplicando o Teorema de Pitágoras é possível encontrar a medida do lado do quadrado pintado. hip² = cat² + cat² L = 7² + ² L = 9 + L = 50 m² Não é necessário determinar a medida do lado do quadrado, pois área solicitada no exercício. L já é a 7. O poço da tirinha acima tem capacidade de armazenar x litros de água. Adicionando 6 x 5x litros de água, o poço que já continha litros de água, passa a ter litros de água. O 8 valor de x, em litros, é Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 8

19 (A) 88. (B) 9. (C) 96. (D) 00. (E) 0. Resolução: alternativa C Assunto: Equação do grau x x 6 5x 8 5x 6 8 x 6.8 5x 8 8 x 88 5x 8 8 x + 88 = 5x x - 5x = -88 -x = -88 x = 88 aplicando o m.m.c. 88 x = x = 96 litros de capacidade 8. O resultado da expressão (A). (B). (C). (D). (E) 5. 9 é Resolução: alternativa C Assunto: Radiciação, Potenciação e Racionalização 9 6 Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 9

20 8. 9. Um elevador pode levar 0 adultos ou crianças. Se 5 adultos já estão no elevador, o número de crianças que podem ainda entrar é (A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 0. Resolução: alternativa A Assunto: Regra de Três Adultos 0 5 Crianças x 0. x = 5. 0x = x = 0 x = 8 Então, 5 adultos correspondem a 8 crianças. A capacidade do elevador é crianças e tem-se a capacidade de 8 crianças (mesma capacidade de 5 adultos), logo, o número de crianças que podem ainda entrar nesse elevador é Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 000 e também as projeções para 050. Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 0

21 Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 000 a 050, (A) A população do Brasil duplicará. (B) A população da China diminuirá. (C) A população do Paquistão crescerá mais de 00%. (D) A população dos EUA não se modificará. (E) A população do Brasil diminuirá. Resolução: alternativa C Observando as alternativas: (A) falso. Se a população do Brasil duplicasse, logo em 050 deveria ter 0 milhões de habitantes e ficaria na quarta posição de países mais populosos. (B) falso. Em 000 a população da China era.75 milhões de habitantes e a previsão para 050 é de 6 milhões de habitantes, isto é, a provisão é de aumento da população. (C) verdadeiro. Em 000 a população do Paquistão era menor que a do Brasil (menor que 70 milhões de habitantes) e a previsão para 050 é de milhões de habitantes, um crescimento de mais de 00%. (D) falso. A população dos EUA em 000 era 8 milhões de habitantes e deverá passar para 97 milhões de habitantes, a população deverá modificar pela análise do gráfico. (E) falso. Pela análise do gráfico não é possível saber o que acontecerá com a população do Brasil em 050, logo não é correto afirmar que aumentará, diminuirá ou permanecerá inalterada.. Juntando quatro trapézios iguais de bases 0 cm e 50 cm, como o da figura ao lado, pode-se formar um quadrado com um buraco quadrado no meio. A área de cada trapézio, em cm é 0cm 5 o 5 o 50 cm Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

22 (A) 00. (B) 50. (C) 00. (D) 50. (E) 00. Resolução: alternativa E Assunto: Geometria Plana - Áreas e Polígonos Juntando os quatro trapézios, obtemos a figura: A área da figura pintada (quatro trapézios) é dada pela área do quadrado de lado 50 cm menos a área do quadrado de lado 0 cm. Área dos quatro trapézios = Lado lado Área dos quatro trapézios = 50 0 Área dos quatro trapézios = Área dos quatro trapézios = 600 cm² A área de cada trapézio é divisão de 600 cm² por quatro (número de trapézios) Área de cada trapézio = cm². Alexandre, Bruno e Cristiano ganharam um total de R$ 50,00 lavando carros. Eles ganharam quantidades diferentes de dinheiro. Como eles são muito amigos decidiram dividir o dinheiro ganho em partes iguais. Para isto, Alexandre deu metade do que ganhou Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

23 para dividir em partes iguais entre Bruno e Cristiano. Como Bruno ficou com muito dinheiro, deu R$ 0,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Cristiano deu R$,00 a Alexandre. Quanto Cristiano ganhou antes da divisão? (A) R$ 76,00. (B) R$ 5,00. (C) R$,00. (D) R$ 50,00. (E) R$ 00,00. Resolução: alternativa C Assunto: Equações dinheiro de Alexandre A dinheiro de Bruno B dinheiro de Cristiano C A + B + C = 50 Alexandre doou a metade que ganhou a ser dividido em partes iguais para Bruno e Cristiano. Como Alexandre doou a metade do que tinha, ficou com A e a metade da doação é A. dinheiro de Alexandre A A dinheiro de Bruno B A dinheiro de Cristiano C Bruno deu 0 reais a cada um dos outros. dinheiro de Alexandre A + 0 A dinheiro de Bruno B - 0 A dinheiro de Cristiano C + 0 Cristiano deu reais a Alexandre para que todos ficassem com o mesmo valor, isto é, R$ 50,00 por pessoa. Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

24 dinheiro de Alexandre A A dinheiro de Bruno B - 0 A dinheiro de Cristiano C Então o dinheiro final de Alexandre é R$ 50,00 A = 50 A + = 50 A = 50 - A = 8 A 8 = A 76 = A = 76 reais Então o dinheiro final de Bruno é R$ 50,00 A B - 0 = B - 0 = 50 B 9-0 = 50 B - = 50 B = 5 reais Como A + B + C = C = C = 50 C = 50-7 C = reais Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br

25 . Analise as afirmações: I - 7. II - m. m III - (a b).(a b) a Estão corretas b (A) apenas a afirmação I. (B) apenas a afirmação II. (C) apenas a afirmação III. (D) apenas as afirmações I e III. (E) apenas as afirmações II e III. Resolução: alternativa B Assunto: Radiciação, Fatoração e Produtos Notáveis. I = 7 falso m II -. m m m ( ).( m ) m ( ).( m) m verdadeiro III - (a b).(a b) a b Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 5

26 (a b).(a b) b a ( a b).(a b) b.a aplicando o produto notável ou a distributiva a² ab ab b² b. a a² b² b. a falso. O número inteiro positivo a e o número a localizam-se na reta da seguinte maneira: A soma desses dois números é 5 (A). 7 (B). 5 (C). 7 (D). (E) 0. Resolução: alternativa B Assunto: Equação do grau a a 5 5 a a a² 5a a a a² 5a a² 5a 0 aplicando o m.m.c. Aplicando a fórmula de Báskara, sendo A =, B = -5 e C = - Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 6

27 x a - B - (-5) 5 a B -.A.C.A 5 89 a a a' 8 a' 8 a = solução (-5) (-) 5 7 a" 8 - a" 8 a" não é solução, pois a > 0 A soma dos dois números é a a Um campeonato com quatro times de futebol de Porto Alegre terminou com o seguinte resultado: Equipe Número de Pontos Amendoim F.C. 7 Bandala S.C. 5 Caramelo F.C. Dinamite F.C. 0 Observação: no campeonato, cada equipe joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time vencedor ganha pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha ponto. Sabe-se que Amendoim e Caramelo levaram apenas gol, cada um. Além disso, Bandala e Dinamite marcaram apenas gol, cada um, enquanto que Amendoim marcou gols. O resultado da partida Amendoim Dinamite, nessa ordem, foi (A) 0. (B). (C) 0. (D) 0 0. (E). Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 7

28 Resolução: alternativa B Dinamite perdeu todos os jogos (ficou com zero pontos) e Bandala marcou apenas um gol (na vitória sobre Dinamite - pelo enunciado Dinamite perdeu para todos os times). Bandala tem cinco pontos, logo, não perdeu nenhum jogo (ganhou uma - vitória sobre Dinamite - e empatou os outros jogos - de zero a zero, pois marcou apenas um gol). Amendoim Amendoim Amendoim 0 0 Bandala Caramelo Dinamite Bandala Bandala Caramelo 0 0 Caramelo 0 Dinamite Dinamite Caramelo levou apenas um gol (na derrota no jogo contra Amendoim - como Amendoim ganhou duas partidas e empatou uma com Bandala). Amendoim marcou três gols (um contra Caramelo e dois contra Dinamite). Amendoim Amendoim Amendoim 0 0 Bandala 0 Caramelo _ Dinamite Bandala Bandala Caramelo 0 0 Caramelo 0 Dinamite _ 0 Dinamite Amendoim levou apenas um gol (no jogo contra Dinamite - pois, não levou gol de Bandala e nem de Caramelo). Amendoim Dinamite Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 8

29 RASCUNHOS Olimpíadas de Matemática - Colégio João Paulo I - OMJPI 009 joaopaulo.com.br 9