ANÁLISE MATEMÁTICA II

ANÁLISE MATEMÁTICA II Caderno de Exercícios CÁLCULO DIFERENCIAL em R n ANO LECTIVO: 2010/2011 CURSOS: ETI, ETI-PL e EI Elaborado pelas docentes: DIANA MENDES ROSÁRIO LAUREANO DMQ Dpto de Métodos Quantitativos 1

1 Domínios de Definição Uma função real (ou escalar) de n variáveis reais, com n 1, é uma função f cujo domínio é um subconjunto de R n e cujo contradomínioéumsubconjuntoder,ouseja, f : D f R n R (x 1,,x n ) D f y=f(x 1,,x n ) R Uma função f :D f R n Rédefinida por uma expressão comn variáveis A designação "função real" indica que o contradomínio é umsubconjuntoder Sef:D f R 2 Rentãoográficodef é Gr(f)= { (x 1,x 2,y) D f R R 2 R y=f(x 1,x 2 ) } R 3 e pode ser pensado como uma superfície no espaço Exemplo1 Afunçãof:R 2 Rdefinidapor f(x,y)=x 2 +y 2, de domínio D f = R 2, tem como gráfico um parabolóide de vértice (0,0,0)Asfunçõesg:R 2 Reh:R 2 Rdefinidaspor g(x,y)=5+x 2 +y 2 e h(x,y)=(x 3) 2 +y 2, respectivamente, têm o mesmo domínio, D g,h = R 2 No entanto, o gráficodegéumparabolóidedevértice(0,0,5)eográficodehéum parabolóidedevértice(3,0,0) Osgráficosdegedehcorrespondema translaçõesdográficodef (translaçãosegundoovector v =(0,0,5) nocasodeg e translaçãosegundoovector v =(3,0,00)no caso de h) Uma função vectorial (ou campo de vectores) de n variáveis reais é uma função f cujo domínio é um subconjunto de R n e cujo contradomínioéumsubconjuntoder m comm 2,ouseja, f : D f R n R m comm 2 (x 1,,x n ) D f (y 1,,y m ) R m em que (y 1,,y m ) = (f 1 (x 1,,x n ),,f m (x 1,,x n )) R m UmafunçãoD f R n R m édefinidaporumsistemademfunções 2

f 1,,f m reais de n variáveis reais, designadas por funções componentesdafunçãof OdomínioD f correspondeàintersecçãodos domíniosdasfunçõescomponentesf 1,,f m,ouseja, D f =D f1 D fm Sef :D f R R 2 entãoográficodef é Gr(f)= { (x,y 1,y 2 ) D f R 2 R R 2 y 1 =f 1 (x) y 2 =f 2 (x) } R 3 epodeserpensadocomoumacurvanoespaço Dada um função real f : D f R n R ou uma função vectorial f :D f R n R m,podemconstituiroseudomíniotodososelementos der n paraos quais é possívelefectuar todas as operações indicadas na(s) expressão(ões) que definem a função Para tal, há que ter em conta as condições seguintes: para u v exigimos v 0 para n u(comnpar) exigimos u 0 parau v exigimos u>0 para log a u exigimos u>0 para tanu exigimos u ± π 2 +2kπ, comk Z para cotu exigimos u ±π+2kπ, comk Z para arcsinu ou arccosu exigimos 1 u 1 Exemplo2 Porexemplo,f:R R\{0} R 2 R 3 definidapor ( f(x,y)=(f 1 (x,y),f 2 (x,y),f 3 (x,y))= x 2 +y 2, x ) y, 1 y+2 tem por funções componentes f 1 (x,y) = x 2 +y 2, f 2 (x,y) = x/y e f 3 (x,y)=1/(y+2) Nesteexemplotem-seD f =R R\{ 2,0} R 2 que corresponde à intersecção D f = D f1 D f2 D f3 = R 2 (R R\{0}) (R R\{ 2})=R R\{ 2,0} 3

11 Exercícios Propostos 1 Dadasasseguintesfunçõesf :D f R 2 R,determineerepresente graficamenteodomíniodedefiniçãod f paracadauma: (a) f(x,y)= 3x 3x+y 2 (b) f(x,y)= 1 (x 2 +y 2 ) (c) f(x,y)= ( x 2 +y 2) 3 (d) f(x,y)= ( x 2 +y 2) 3x (e) f(x,y)=ln(x+y) 4 (x+1) 2 y 2 (f) f(x,y)= 4 y x 2 (g) f(x,y)=ln(1 x+y),comx,y 0 (h) f(x,y)= ln(4 x y) 4 xy 3 1 (i) f(x,y)= 4 (x 2 +y 2 ) (j) f(x,y)=1+ (x y) 2 (k) f(x,y)= 4 y 2 + x 2 4 (l) f(x,y)= 1 x 2 + 1 y 2 (m) f(x,y)= (n) f(x,y)= 1 x 2 +y 2 1 y x (o) f(x,y)= x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) 3 4

(p) f(x,y)=arcsin y x (q) f(x,y)=ln ( 1 x 2) +cos(xy) (r) f(x,y)= x+y x 2 y (s) f(x,y)= xy x + y (t) f(x,y)= ( 4 x 2 y 2) xy 2 DetermineodomíniodedefiniçãoDdecadaumadasseguintesfunções: 1 se (x,y) talquex+y>0 ln(x+y) (a) f(x,y)= 1 x y se (x,y) talquex+y 0 (b) f(x,y)= x 2 +y 2 ln(x 2 +y 2 ) sex 2 +y 2 <1e(x,y) (0,0) 0 se(x,y)=(0,0) ln ( y x 2) se x 2 +y 2 2 (c) f(x,y)= 1 x 2 y 2 se x 2 +y 2 <2 2x 3 +3y 4 (d) f(x,y)= 2x 3 y 3 se (x,y) (0,0) 1 se (x,y)=(0,0) (e) f(x,y)= ln(3x+y) se (x,y) talque3x+y>0 1 x+y se (x,y) talque3x+y 0 5

x 2 +y 2 (f) f(x,y)= 3y 2 se (x,y) talquex 3y x 0 se (x,y) talquex=3y ln ( x 2 +y 2) se y 1 (g) f(x,y)= 2y 1 1 se y=1 xyexp x y, (x,y) (0,0) x+y (h) f(x,y)= 0, (x,y)=(0,0) 3 Considereafunçãovectorialf :D f R 2 R 2 definidapor f 1 (x,y)=y+ x x 2 f(x,y) 1 f 2 (x,y)= xy 1 Determine o domínio de definição de f e represente-o graficamente 4 Considere a função f(x,y)=ln(xy 1)+ 9 (x 1) 2 y 2 Determine o domínio de definição da função f e represente-o graficamente 5 ParaoconjuntoA= { (x,y) R 2 :x+y 1 y x 1 y 0 }, considere a função x y f(x,y)= 2 se (x,y) A +1 1 se (x,y)/ A Determineodomíniodedefiniçãodafunçãof 6 Determine o domínio de definição D f de cada uma das seguintes funções: 6

(a) f(x,y)= x2 sin 2 (y)+y 3 cos 2 (x) x 4 +y 4 +2x 2 y 2 2y 2 se (x,y) talquey x (b) f(x,y)= 3x+y 1 se (x,y) talquey=x (c) f(x,y)= (d) f(x,y)= xy x 2 y 2 se x ±y 0 se x=±y x 3 +4y 2 x 2 5y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y)=(0,0) 2 Limites e Continuidade ConsidereemR n,comn 1,adistânciaeuclidianadefinidapor d[(x 1,,x n ),(a 1,,a n )] R n= (x 1,,x n ) (a 1,,a n ), ou seja, d[(x 1,,x n ),(a 1,,a n )] R n= (x 1 a 1 ) 2 + +(x n a n ) 2 R + 0 EmR(n=1)estadistânciapodetraduzir-sepelomódulodadiferença entre os pontos, d(x,a) R = (x a) 2 = x a Dado um ponto (a 1,,a n ) de R n e um número real positivo ε, a bola aberta de centro em (a 1,,a n ) e raio ε, que se denota por B ε (a 1,,a n )oub((a 1,,a n ),ε),éoconjuntodetodosospontos (x 1,,x n ) R n cuja distância ao ponto (a 1,,a n ) é inferior a ε, ou seja, B ε (a 1,,a n )={(x 1,,x n ) R n d[(x 1,,x n ),(a 1,,a n )] R n<ε} 7

Paran=1abolaabertaéosegmentoderecta]a ε,a+ε[,enquanto para n = 2 é o interior do círculo de centro (a 1,a 2 ) e raio ε, pois obtemos (x a 1 ) 2 +(y a 2 ) 2 <ε 2 Paran=3abolaabertaéointeriordaesferadecentro(a 1,a 2,a 3 )e raioε,pois (x a 1 ) 2 +(y a 2 ) 2 +(z a 3 ) 2 <ε 2 Seja D R n Um ponto (a 1,,a n ) R n é um ponto de acumulaçãodedse emqualquerbolaabertab ε (a 1,,a n )decentro (a 1,,a n )existepelomenosumpontodeddistintode(a 1,,a n ), ouseja, ε>0, (x 1,,x n ) D\{(a 1,,a n )}talque (x 1,,x n ) B ε (a 1,,a n ) OconjuntodetodosospontosdeacumulaçãodoconjuntoDdesignase por derivado de D e denota-se por D Umpontoquenão éde acumulação de D diz-se um ponto isolado Assim, um ponto (a 1,,a n ) R n é de acumulação do conjunto D se em qualquer sua "vizinhança" existe pelo menos um outro ponto (diferente dele) que pertence a D Na verdade, tal implica que em qualquervizinhançade(a 1,,a n )existeminfinitospontosded,ou seja, ε>0, B ε (a 1,,a n ) Déumconjuntoinfinito Sejam f : D f R 2 R uma função real de duas variáveis reais e (a,b) um ponto de acumulação de D f Diz-se que l R é o limite def noponto(a,b)seesóseparatodoδ>0existeumε=ε(δ)> 0 (dependente do δ tomado) tal que d(f(x,y),l) < δ sempre que d((x,y),(a,b)) < ε e (x,y) D f \{(a,b)}, ou seja, δ > 0, ε = ε(δ)>0talque d((x,y),(a,b)) R 2<ε (x,y) D f \{(a,b)} = d(f(x,y),l) R <δ Considerando a distância euclidiana, tem-se l =lim (x,y) (a,b) f(x,y) seesóse δ>0, ε=ε(δ)>0talque (x a) 2 +(y b) 2 <ε (x,y) D f \{(a,b)} = f(x,y) l <δ 8

Sejam f : D f R 2 R e (a,b) um ponto de acumulação de D f A aproximação a um ponto (a,b) pode fazer-se através de qualquer uma das infinitas direcções do plano Como tal, quando ocorrem indeterminações há que considerar os limites direccionais e os limites sucessivos (ou iterados) que são casos particulares de limites relativos Tem-se: Limites sucessivos (ou iterados): [ ] lim lim f(x,y) e lim x a y b y b [ ] lim f(x,y), x a cada um constituído por dois limites sucessivos numa só variável; Limites direccionais: seocaminhoéumarectanão-verticaldedeclivemquepassa noponto(a,b),entãoolimitedireccionalé lim (x,y) (a,b) y=m(x a)+b f(x,y)= lim x a f(x,m(x a)+b), um limite numa só variável(x); seocaminhoéumaparáboladeeixoverticalquetemoponto (a, b) como vértice, então o limite direccional é, lim (x,y) (a,b) y=k(x a) 2 +b f(x,y)= lim x a f ( x,k(x a) 2 +b um limite numa só variável(x); se o caminho é uma parábola de eixo horiontal que tem o ponto(a, b) como vértice, então o limite direccional é lim (x,y) (a,b) x=k(y a) 2 +b f(x,y)= lim x a f ( k(y a) 2 +b,y ) ), um limite numa só variável(y) seocaminhoéqualqueroutracurvaquepassenoponto(a,b) tem-se outro limite direccional 9

O cálculo destes limites, que são em número infinito, indicam acerca de um possível"candidato" a limite l(se todos são iguais) ou permitem concluirainexistênciadelimitenoponto(a,b)(seexistempelomenos dois com valores diferentes) Adefiniçãodelimiteexige que existametenhamomesmovalor todos os limites da função f restringida a qualquer um desses caminhos possíveis Como é impossível calcular todos esses limites relativos, só o uso da definição permite concluir a existência do limite lim (x,y) (a,b) f(x,y) Para tal, são fundamentais as desigualdades com módulos e as igualdades com módulos x = x 2 x 2 +y 2 y = y 2 x 2 +y 2 x±y x + y 2 x 2 +y 2 x 3 y 3 ( x 2 +y 2) 3/2, x y = x y x y = x y,paray 0 Sejam f : D f R 2 R, g : D g R 2 R e (a,b) R 2 um pontodeacumulaçãodosdomínios D f ed g Seexistiremoslimites lim (x,y) (a,b) f(x,y)elim (x,y) (a,b) g(x,y)então: limitedasomaedadiferençadefunções lim (f±g)(x,y)= lim f(x,y)± lim g(x,y); (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) limitedoprodutodefunções lim (f g)(x,y)= lim f(x,y) lim g(x,y); (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) 10

limitedoprodutodeumafunçãoporumaconstantek R lim (k f)(x,y)=k lim f(x,y); (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) limite do quociente de funções f lim (x,y) (a,b) g (x,y)= lim (x,y) (a,b)f(x,y) lim (x,y) (a,b) g(x,y) sempre que lim (x,y) (a,b) g(x,y) 0 e g(x,y) 0 para todo o (x,y) D g Sejamf :D f R 2 Re(a,b) R 2 umpontodeacumulaçãoded f Afunçãof diz-secontínuanoponto(a,b)seesósesãoverificadas as três condições seguintes: existeaimagemf(a,b),ouseja,(a,b) D f ; existeolimitelim (x,y) (a,b) f(x,y); sãoiguaisoselementosgarantidosemi eii,istoé, lim f(x,y)=f(a,b) (x,y) (a,b) Afunçãodiz-secontínuaseforcontínuaemtodosospontosdoseu domínio Acontinuidadedef noponto(a,b)traduz-senoessencialpor: "sempre que se tomam objectos (x,y) suficientemente próximos de (a,b) obtêm-sevaloresf(x,y)dasimagenstãopróximosdef(a,b)quanto sequeira" Sejamf :D f R 2 Re(a,b) R 2 umpontodeacumulaçãoded f A função f diz-se prolongável por continuidade no ponto (a, b) (ouquef temnoponto(a,b)umadescontinuidaderemovível)seesó se são verificadas as duas condições seguintes: (a,b) / D f (logonãoexisteaimagemf(a,b)); existecomvalorfinito(comonúmeroreal)olimite Sejalovalordestelimite lim f(x,y) (x,y) (a,b) 11

Define-seafunçãof,designadaporprolongamentoporcontinuidadede f aoponto(a,b),por f(x,y) se (x,y) D f f (x,y) l se (x,y)=(a,b) comdomíniod f =D f {(a,b)} Note-sequeD f D f,poisd f = D f {(a,b)}e(a,b) / D f Sejamf :D f R 2 Re(a,b)umpontodeacumulaçãodeD f A funçãofdiz-sedescontínuanoponto(a,b)sefnãoécontínuanem prolongável por continuidade nesse ponto Neste caso, o ponto(a, b) diz-se um ponto de descontinuidade da função f Qualquer função polinomial é uma função contínua, independentemente do número de variáveis Tais funções podem ser designadas por funções elementares Sejamf :D f R 2 R,g:D g R 2 Re(a,b) D f D g Sef eg são contínuas no ponto (a,b) então são contínuas nesse ponto as funções f,f+g,f g,f g,k f (parac R)e f g seg(x,y) 0 paratodo(x,y) D g Sejam f : D f R n R m e g : D g R m R p funções tais que f(d f ) D g (portantoafunçãocompostag f estábemdefinida)e (a 1,,a n ) D f Sefécontínuanoponto(a 1,,a n )egécontínua em f(a 1,,a n ) então a função composta g f também é contínua em(a 1,,a n ) CASOPARTICULAR:Sejamf:D f R 2 R,g,h:D R R taisqueg(d) h(d) D f e(a,b)=(g(c),h(c)) g(d) h(d) D f umpontoobtidoapartirdovalorrealc D Sef écontínuano ponto (a,b) e g e h são contínuas em c então a função composta F definida por F(t)=f(g(t),h(t)) tambémécontínuaemc CASO PARTICULAR: Sejam f : D f R 2 R, g,h : D R 2 R tais que g(d) h(d) D f e (a,b) = (g(c,d),h(c,d)) g(d) h(d) D f umpontoobtidoapartirdoponto(c,d) D Se 12

f é contínua no ponto (a,b) e g e h são contínuas em (c,d) então a função composta F definida por tambémécontínuaem(c,d) 21 Exercícios Propostos F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y)) 1 Calculeosvaloresdeα R\{0}eβ Rdemodoquesejacontínua emx=0afunção sin(αx) x se x<0 f(x)= α+β se x=0 exp(αx) cosx βx+xsinx se x>0 2 Sejaafunção f(x,y)= x+y 6x y2 Calculeolimitedefnoponto(1,2) 3 Sejaf afunção f(x,y)= xy x 2 +y 2, (x,y) (0,0) 1, (x,y)=(0,0) Estudeolimitedef naorigemdoseixos 4 Estudeaexistênciadolimitedafunçãodefinidapor noponto(0,0) 5 Verifiqueseafunção f(x,y)= xy f(x,y)= (x 2 +y 2 ) 3 xy x 2 y 2 temlimitenoponto(x,y)=(0,0) se (x,y) talquex ±y 1 se (x,y) talquex=±y 13

6 Estudeacontinuidadedafunçãof definidapor sin ( x 2 +y 2) f(x,y)= x 2 +y 2 se(x,y) (0,0) 1 se(x,y)=(0,0) 7 Considereafunçãof definidapor x 4 y 3 f(x,y)= x 4 +y 8 se(x,y) (0,0) 0 se(x,y)=(0,0) Averigúeseafunçãof écontínuanoponto(0,0) 8 Considereafunçãof definidapor x 2 y f(x,y)= x 2 +y 2 sexy<0 ln(xy+1) sexy 0 Averigúeacontinuidadedef empontosdoeixodosxxcomabcissa positiva 9 Considereafunçãof definidapor 2x 3 y 3 f(x,y)= x 2 +y 2 α se(x,y) (0,0) se(x,y)=(0,0) Existe algum valor de α R para o qual a função f é contínua? Justifique 10 Considereafunçãof:D R 2 Rdefinidapor x 2 +y 2 ln(x f(x,y)= 2 +y 2 sex 2 +y 2 <1e(x,y) (0,0) ) 0 se(x,y)=(0,0) Estude a continuidade da função f na origem 14

11 Considereafunçãof:R 2 Rdefinidapor sin ( x 3 +y 3) f(x,y)= x 2 +y 2 se(x,y) (0,0) 2 se(x,y)=(0,0) Estude a continuidade da função f na origem 12 Considereafunçãof:R 2 Rdefinidapor xy n +py x f(x,y)= 2 +y 2 se(x,y) (0,0) 0 se(x,y)=(0,0) ondenéumnúmeronaturalepumnúmeroreal Mostrequeafunção f écontínuaem(0,0)seesósen 2ep=0 13 Verifiqueseécontínuanaorigemdoseixosafunçãof definidapor x 3 +4y 2 f(x,y)= x 2 5y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y)=(0,0) 14 Estude da continuidade da função f definida por y 2, (x,y) (0,0) f(x,y)= x+3 0, (x,y)=(0,0) 15 Dadaafunçãof:R 2 R 2 definidapor z 1 = x 4 2y+2 f z 2 = y 3 x 2 +1 estude-a quanto à continuidade no ponto(0, 0) 16 Diga, justificando, se é prolongável por continuidade no ponto(0, 0) a função xy f(x,y)= x 2 +y 2, 15

17 Estude a continuidade da função f definida por 3x 2 +y 2 f(x,y)= x 4 +y 4, x 4 +y 4 0 0, x 4 +y 4 =0 18 Sejaf afunção 3x 3 +2y 3 f(x,y)= x 2 +y 2, (x,y) (0,0) 0, (x,y)=(0,0) Estude-a quanto à continuidade 19 Considereafunçãof definidapor x 2 y se (x,y) talquey xsinx f(x,y)= y+xsinx 1 se (x,y) talquey= xsinx Provequeafunçãof nãoécontínuaem(0,0) 3 DerivadaseDiferenciaisde1 a Ordem Seja D um subconjunto de R 2 Um ponto (a,b) R 2 é um ponto interioradseexisteumabolaabertab ε (a,b)decentroem(a,b)e raioεcontidaemd,ouseja, ε>0 B ε (a,b) D O conjunto de todos os pontos interiores ao conjunto D designa-se por interior de Dedenota-seporInt(D) OconjuntoDdiz-seaberto setodososseuspontossãointeriores,d=int(d) Assim,umponto(a,b) R 2 éinterioraoconjuntodselhepertencee tambémpertencemadtodosospontosder 2 "suficientementepróximos"de(a,b) Numa função real de duas variáveis reais z =f(x,y) cada uma das variáveisxeyéumavariávelindependente(zéavariáveldependente na função f) Como tal, é possível variar x mantendo y como constante,evice-versa Éoquesepretendecomaseguintedefiniçãode derivada parcial 16

Sejam f : D f R 2 R e (a,b) R 2 um ponto interior a D f A derivada parcial de primeira ordem da f em ordem a x no ponto (a,b), que se denota por x (a,b) (ou f x (a,b)), é dada pelo limite(em R) x (a,b)=lim f(a+h,b) f(a,b) h 0 h Analogamente, a derivada parcial de primeira ordem da f em ordemaynoponto(a,b),quesedenotapor y (a,b)(ouf y(a,b)), édadapelolimite(emr) y (a,b)=lim f(a,b+h) f(a,b) h 0 h Estas derivadas parciais possuem uma interpretação geométrica simples Considere curvas sobre a superfície do gráfico da função z = f(x,y)queresultamdecortessobreessasuperfícieporplanosverticaisquepassemnoponto(a,b,f(a,b)) SejaC 1 acurvaparalelaaoplanoxoz queresultadaintersecçãoda superfíciedográficodafunçãoz=f(x,y)comoplanoverticaly=b (éacurvaemqueoplanoverticaly=b"corta"asuperfíciedográfico) Assim,aderivadaparcialdefnoponto(a,b)emordemaxéodeclive darectatangenteaestacurvac 1 emx=a SobreacurvaC 1 afunção z=f(x,y)nãovariacomy (y=b,poisc 1 éográficodafunçãode umavariávelz=f(x,b)emqueseconsiderayconstanteigualab)o que mostra que a derivada parcial x (a,b) medeataxadevariaçãodef noponto(a,b)nadirecçãoesentidodo eixo dos xx(por unidade de comprimento), ou seja, mede a taxa de variaçãodef quandoseatribuium"acréscimo"aoponto(a,b)na1 a coordenada Poroutrolado,sejaC 2 acurvaparalelaaoplanoyoz queresultada intersecçãodasuperfíciedográficodafunçãoz=f(x,y)comoplano vertical x = a (é a curva em que o plano vertical x = a "corta" a superfíciedográfico) Assim,aderivadaparcialdef noponto(a,b) 17

emordemayéodeclivedarectatangenteaestacurvac 2 emy=b SobreacurvaC 2 afunçãoz=f(x,y)nãovariacomx(x=a,poisc 2 éográficodafunçãodeumavariávelz=f(a,y)emqueseconsidera xconstanteigualaa)oquemostraqueaderivadaparcial y (a,b) medeataxadevariaçãodef noponto(a,b)nadirecçãoesentidodo eixo dos yy (por unidade de comprimento), ou seja, mede a taxa de variaçãodef quandoseatribuium"acréscimo"aoponto(a,b)na2 a coordenada Emmuitassituações,ocálculodaderivadaparcialemordemaxnum ponto (a, b) é feito pelas muitas regras usuais de derivação ordinária considerando a variável y como constante (após obter a expressão geral da derivada parcial calcula-se o seu valor para (x,y) = (a,b)) Analogamenteparaocálculodaderivadaparcialemordemay num ponto(a,b) Noentanto,quandoafunçãof édefinidaporimposição noponto(a,b)ou(a,b)éumpontoquepertenceà"curvademudança de ramos", apenas é possível o cálculo directo pela definição Aexistênciadederivadasparciaisdeprimeiraordemdevalorfinitode f numponto (a,b) nãoimplicaacontinuidade de f nesseponto (no entanto implica continuidade relativamente a essa variável) Considere sas seguintes proposições relativas à continuidade PROPOSIÇÃO: Sejam f :D f R 2 Re(a,b) R 2 um ponto interiorad f Seasduasfunçõesderivadasparciaisdeprimeiraordem def existemesãolimitadasnospontos(x,y)deumabolacentrada em(a,b)entãoafunçãof écontínuanoponto(a,b) PROPOSIÇÃO: Sejam f :D f R 2 Re(a,b) R 2 um ponto interiorad f Seasduasfunçõesderivadasparciaisdeprimeiraordem de f existem e são finitas no ponto (a,b) e todas, excepto uma, são limitadas nos pontos (x,y) de uma bola centrada em (a,b) então a funçãof écontínuanoponto(a,b) Sejam f : D f R 2 R e (a,b) R 2 um ponto interior a D f Seasduasderivadasparciaisdeprimeiraordemdef noponto(a,b) existemesãofinitas,define-seogradientedef noponto(a,b),que sedenotapor gradf(a,b)ou f(a,b)( lê-senabla),comosendoo 18

vector dessas derivadas parciais, ( ) gradf(a,b)= x (a,b), y (a,b) O vector gradiente de f no ponto (a,b) é o vector cujas projecções sobre os eixos coordenados são as correspondentes derivadas parciais de primeira ordem de f nesse ponto(a projecção do vector gradiente sobreoeixodosxxéaderivadaparcialdeprimeiraordem x (a,b)e aprojecçãodovectorgradientesobreoeixodosyyéaderivadaparcial deprimeiraordem y (a,b))pois gradf(a,b)= x (a,b) e 1 + y (a,b) e 2 emqueb={ e 1, e n }={(1,0),(0,1)}éabasecanónicadeR 2 31 Exercícios Propostos 1 Considereafunçãof definidapor f(x,y)= 2x x 2 +y 2 Calcule,pordefinição,asderivadasparciais (1,1)e y x (1,2) 2 Dadaafunçãorealf definidapor f(x,y)= xy+ x y calcule,pordefinição,ovalordasderivadasparciais x e y noponto (2,1) 3 Dadaafunção f(x,y)= x+y x 2 +y 2, (x,y) (0,0) 0, (x,y)=(0,0), calculeasderivadasparciais (0,0)e x y (0,0) 19

4 Dadaafunçãorealf definidapor 3x 2 y 2 f(x,y)= x 4 +y 4 se(x,y) (0,0) 0 se(x,y)=(0,0), calculeovalordasderivadasparciais x e y naorigem 5 Considere a função f(x,y)= xy x 2 y 2, x ±y 4, x=±y Calculeovalordasderivadasparciais ( 2, 2)e x y ( 2, 2) 6 Determineovalorde x (0,0)sendo 2x 3 +3y 4 f(x,y)= 2x 3 y 3, (x,y) (0,0) 1, (x,y)=(0,0) 7 Sejaf :R 2 Rafunçãorealdefinidapor f(x,y)= { exp(xy) se(x,y) (0,0) 3 se(x,y)=(0,0) Definaasfunçõesderivadasparciais (x,y)e x y (x,y) 8 Sejaf afunçãorealdefinidaporf(x,y)=x 2 y 3y (a) Determine a expressão geral do diferencial de f (b) Calculenoponto(4,3)oacréscimo f eodiferencialdf,paraos acréscimos 001 e 002 das variáveis x e y, respectivamente (c) Determine um valor aproximado da imagem f(103, 199) sem aplicar directamente neste ponto a expressão que define a função f 20

9 Calculeasderivadasparciaisde1 a ordemdasseguintesfunções: (a) f(x,y)= x4 y 4 xy (b) f(x,y)= exp(x 5y 2 ) y 2 (c) f(x,y)=lnsin x+α y 10 Dadaafunçãodefinidaporz(x,y)=xytan y x,mostrequex x z x (x,y)+ z y (x,y)=2z(x,y) 11 Sejaf afunçãodefinidapor x 2 y f(x,y)= x 4 +y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y) (0,0) Determineaderivadaparcial y (x,y) 12 Dadaafunção 2x 2 y 3 f(x,y)= x 2 +y 2, (x,y) (0,0) 0, (x,y)=(0,0), determineaderivadaparcial x (x,y) 13 Calcular os diferenciais totais das seguintes funções: (a) f(x,y)=y 2 ln x y parax=y=2,dx=04edy= 03 (b) f(x,y)=xsin(ax) ycos(by) (c) z=lntan y x 21

(d) z=x 2 +y 2 2x+4yparax=3,y=1,dx=01edy= 02 (e) z=xyexp(x 2y) (f) z=sin 2 (x)+cos 2 (y) 14 Dadaafunção f(x,y)=x y +ln 2 (xy), calcule o diferencial de primeira ordem desta função no ponto (1, 1), para dx=001edy= 02Interpreteteoricamenteoresultadoobtido 15 Considere a função f(x,y)= x 3 +4y 2 x 2 +5y 2, (x,y) (0,0) 0, (x,y)=(0,0) Determinedf e f noponto(1,2)comdx= 01edy=001 16 Sejaf afunção f(x,y)= 5 x+lny Calcule um valor aproximado de f(321, 12) 4 Diferencialidade Sejam f : D f R 2 R uma função real de duas variáveis reais e (a,b) R 2 umpontointeriorad f Afunçãof diz-sediferenciável no ponto (a,b) se e sóse existemesãode valorfinito as derivadas parciais (a,b)e x f(x,y) lim (x,y) (a,b) y (a,b)eainda [ f(a,b)+(x a) (a,b)+(y b) ] x y (a,b) =0 (x,y) (a,b) O limite anterior significa que a expressão f(a,b)+(x a) x (a,b)+(y b) y (a,b) é uma boa aproximação de f(x,y) para pontos (x,y) próximos de (a,b) 22

Poroutrolado, z=f(a,b)+(x a) x (a,b)+(y b) y (a,b) éaequaçãodoplanoquepassanoponto(a,b,f(a,b))equetem ( ) n = x (a,b), y (a,b), 1 como vector director Assim, a diferenciabilidade de f no ponto(a, b) traduz-se geometricamente na existência de um plano, designado por planotangenteaográficodef noponto(a,b,f(a,b)),queéuma boa aproximação da superfíciedefinida por z =f(x,y) (a superfície do gráfico da função f) numa vizinhança do ponto (a,b,f(a,b)) O vector n édesignadoporvector normal aoplanotangente A recta normal ao plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)) designa-se por recta normal ao gráfico de f no ponto (a,b,f(a,b)) Tem comovectordirectorovectornormal n Considerandoasmudançasdevariávelx a=hey b=k,acondição para diferenciabilidade de f no ponto(a, b) lim (x,y) (a,b) f(x,y) f(a,b) (x a) (a,b) (y b) x y (a,b) =0 (x a) 2 +(y b) 2 traduz-se em lim (h,k) (0,0) f(a+h,b+k) f(a,b) h (a,b) k x y (a,b) =0 h 2 +h 2 Comotal,f édiferenciávelnoponto(a,b)seesóse emque lim h 0,k 0 ε(h,k) =0 (1) h 2 +k2 ε(h,k)=f(a+h,b+k) f(a,b) h x (a,b) k y (a,b) (2) 23

ou seja, f(a+h,b+k) f(a,b)=h x (a,b)+k y (a,b)+ε(h,k) Na prática, para estudar a diferenciabilidade de f num ponto (a, b), obtem-seε(h,k)apartirdaigualdade(2)eaverigua-seseolimiteem (1)énulo Aexistênciadederivadasparciaisdeprimeiraordemdef numponto (a,b) interior a D f garante a existência de duas rectas tangentes ao gráficodef noponto(a,b,f(a,b)),paralelasaosplanoscoordenados xoz e yoz No entanto, tal não é suficiente(embora necessário) para garantiraexistênciadeumplanotangenteaográficodef noponto (a,b,f(a,b)) Paratalénecessárioquef sejadiferenciávelem(a,b) Qualquer função polinomial é uma função diferenciável, independentemente do número de variáveis Sejam f : D f R 2 R, g : D g R 2 R e (a,b) Int(D f ) Int(D g ) Sef egsãodiferenciáveisnoponto(a,b)entãosãodiferenciáveisnessepontoasfunções: f+g,f g,f g,k f (parak R) e f g seg(x,y) 0paratodoo(x,y) D g Aanálisedolimite(iguala0)queéexigidoparaadiferenciabilidade num ponto, conduz à proposição seguinte PROPOSIÇÃO: Sejam f :D f R 2 Re(a,b) R 2 um ponto interiorded f Seafunçãof édiferenciávelnoponto(a,b)entãoa aproximação f(a+h,b+k) f(a,b) h x (a,b)+k y (a,b) éválida no cálculo de valores aproximados da função f emtorno de (a,b) Assim, é possível calcular valores aproximados das imagens por f em pontos(a+h,b+k)próximosde(a,b)apartirdaimagemf(a,b)e dasderivadasparciaisdeprimeiraordemdef noponto(a,b), f(a+h,b+k) f(a,b)+h x (a,b)+k y (a,b) 24

Emconcreto,seafunçãof édiferenciávelnoponto(a,b),define-seo diferencial de primeira ordem(ou simplesmente diferencial) de f noponto(a,b)para osacréscimoshek dasvariáveisxey, quesedenotapordf(a,b),comosendo df(a,b)=h x (a,b)+k y (a,b) Éusualanotaçãodxedy(emvezdehedek,respectivamente)para osacréscimosdasvariáveisxeynaexpressãododiferencialdef num ponto(a,b),ouseja,éusualconsiderar df(a,b)=dx x (a,b)+dy y (a,b) Sejam f : D f R 2 R uma função real de duas variáveis reais e (a,b) R 2 umpontointeriorad f Adiferença f(a+dx,b+dy) f(a,b) designa-seporacréscimodafunçãof noponto(a,b)relativoaos acréscimos dx e dy das variáveis x e y, respectivamente, e denota-se por f Conclui-se da Proposição acima que o diferencial de primeira ordem def noponto(a,b)éumaboaaproximaçãodoacréscimodafunção f noponto(a,b)relativoaosacréscimosdxedy dasvariáveisxey, respectivamente, f(a,b) = f(a+dx,b+dy) f(a,b) dx x (a,b)+dy y (a,b)=df(a,b) Esta aproximação deve entender-se do seguinte modo: se dx e dy forem acréscimos relativamente pequenos quando comparados com a e b, entãodf(a,b)éumaboaaproximaçãode f(a,b) Assim,odiferencial deprimeiraordemdef noponto(a,b)permiteobtervaloresproximadosdasimagensporf empontos(a+dx,b+dx)próximosde(a,b), f(a+dx,b+dy) f(a,b)+df(a,b) 25

Sejam f : D f R 2 R uma função real de duas variáveis reais e (a,b) R 2 umpontointeriorad f Seafunçãof édiferenciávelno ponto(a,b)entãof écontínuanesseponto Temos Diferenciabilidade em (a, b) = Continuidade em (a, b) A implicação inversa não é válida: existem funções contínuas num ponto sem que sejam diferenciáveis nesse ponto (a diferenciabilidade é "mais exigente" que a continuidade) No entanto, se é conhecido que determinada função não é contínua num ponto (a,b) então está garantido que ela também não é diferenciável nesse ponto, Descontinuidade em (a, b) = Não-diferenciabilidade em (a, b) (pelanegaçãodaimplicação,(d C) ( C D)) Aexistênciadederivadasparciaisdeprimeiraordemdef numponto (a,b)interiorad f devalorfinitosãocondiçãonecessáriaparaadiferenciabilidade de f em (a, b) No entanto, a existência de derivadas parciais de primeira ordem de f num ponto (a,b) interior a D f de valorfinitonãogarante,sóporsi,adiferenciabilidadedef em(a,b) Note-se ainda que existência de tais derivadas parciais de valor finito nemsequergaranteacontinuidadedef em(a,b) Condiçãosuficientedediferenciabilidade Sejamf :D f R 2 R uma função real de duas variáveis reais e (a,b) R 2 um ponto interiorad f Seexistemesãodevalorfinitoasderivadasparciaisde primeira ordem de f no ponto (a,b) e se uma das funções x (x,y) e (x,y) é contínua numa bola aberta de centro (a,b) então f é y diferenciável no ponto(a, b) PROPOSIÇÃO: Sejamf :D f R 2 Rumafunçãorealdeduas variáveis reais e (a,b) R 2 um ponto interior a D f Se a função f é diferenciável no ponto(a, b) então as derivadas parciais de primeira ordemdefnoponto(a,b)sãofinitas Alémdisso,asfunçõesderivadas parciaisdeprimeiraordem x (x,y)e y (x,y)sãocontínuasnoponto (a,b) 26

41 Exercícios Propostos 1 Considere a seguinte função: f(x,y)= xy x 2 +y 2, (x,y) (0,0) 0, (x,y)=(0,0) Verifique se a função f é diferenciável na origem 2 Dadaafunçãof definidapor x 2 sin(y)+y 2 sinx f(x,y)= x 2 sey x 2 +y, 1 sey= x 2 determineovalordasderivadasparciais (0,0)e x y (0,0)eestude adiferenciabilidadedef em(0,0) 3 Sejaf :R 2 Rafunçãorealdefinidapor 2x 3 y 3 f(x,y)= x 2 +y 2 se(x,y) (0,0) α se(x,y)=(0,0) (a) Considerandoα=0,determineasderivadasparciaisde1 a ordem def naorigem (b) Estude a diferenciabilidade de f na origem (c) Paraα=0,definaasderivadasparciaisde1 a ordemdafunção f 4 Considere a função 2y 5 +x 2 y 3, (x,y) (0,0) f(x,y)= x 2 +y 2 1, (x,y)=(0,0) (a) Estudeacontinuidadedafunçãof noponto(0,0) 27

(b) Combasenoresultadodaalíneaa)quepodeconcluirquantoà diferencialidade da função f em(0, 0)? Justifique 5 Sejaf :R 2 Rafunçãorealdefinidapor sin ( x 3 +y 3) f(x,y)= x 2 +y 2 se(x,y) (0,0) 2 se(x,y)=(0,0) (a) Calculeasderivadasparciais (0,0)e x y (1,0) (b) Estude a diferenciabilidade da função f na origem 6 Sejaf afunçãodefinidapor f(x,y)= x y 1, y 1 0, y=1 Mostrequeafunçãof nãoédiferenciávelnoponto(2,1) 7 Considereafunçãof:R 2 Rdefinidapor comβ R f(x,y)=β+ x2 y 2 x 2 +y 2, (a) Indiqueodomíniodafunçãof (b) Mostre que f(x,y) é prolongável por continuidade na origem e determine o valor a atribuir à imagem de (0,0) na função prolongamento (c) Estude, no ponto (0, 0), a diferencialidade da função prolongamento definida na alínea anterior (Nota: se não respondeu à alíneaanterior,consideref(0,0)=β=1) 8 Considereafunçãorealf :R 2 Rdefinidapor xy n +py f(x,y)= x 2 +y 2 se(x,y) (0,0) 0 se(x,y)=(0,0) ondenéumnúmeronaturalepumnúmeroreal 28

(a) Calculeaderivadaparcial x (0,0) (b) Estude a diferenciabilidade da função f na origem 5 Regra de Derivação da Função Composta Sejamf :D f R n R m eg:d g R m R p funçõesvectoriaistais quef(d f ) D g (portantoafunçãocompostag f estábemdefinida) e(a 1,,a n )umpontointeriorad f Sef édiferenciávelnoponto (a 1,,a n )egédiferenciávelemf(a 1,,a n ) Int(f(D f ))então a função composta g f também é diferenciável em (a 1,,a n ) e é válidaaregra da cadeia(ouregra da função composta)quese traduz pela seguinte igualdade entre matrizes Jacobianas(definição no Capítulo 11) J(g f)(a 1,,a n ) =Jg(f(a } {{ } 1,,a n )) } {{ } Jf(a 1,,a n ) } {{ } matriz p n matriz p m matriz m n CASOPARTICULAR:Sef :D f R R 2 éumafunçãovectorial devariávelrealdiferenciávelemaeg:d g R 2 Réumafunçãoreal deduasvariáveisreaisdiferenciávelem(b,c)=f(a)=(f1(a),f2(a)), então a função composta F definida por F(t)=g(f 1 (t),f 2 (t)) g(u,v) (representamososargumentosf 1 (t)ef 2 (t)poruev,respectivamente) édiferenciávelemaeasuaderivada(total)é 1 ] t (a) F (a) = df [ g dt (a)= u (b,c) g v (b,c) 1 2 = g u (b,c) 1 t (a)+ g v (b,c) 2 t (a) = g u (b,c) u t (a)+ g v (b,c) v t (a) 2 t (a) CASOPARTICULAR:Sef:D f R 2 R 2 éumafunçãovectorialdevariávelrealdiferenciávelem(a,b)eg:d g R 2 Réuma 29 2 1

funçãorealdeduasvariáveisreaisdiferenciávelem(c,d)=f(a,b)= (f1(a,b),f2(a,b)),entãoafunçãocompostaf definidapor [ F x F(x,y)=g(f 1 (x,y),f 2 (x,y)) g(u,v) (representamososargumentosf 1 (x,y)ef 2 (x,y)poruev,respectivamente) é diferenciável em(a, b) e é válida a igualdade matricial 1 1 ] ] x y F y 1 2 = [ g u g v 1 2 sendo as derivadas parciais da primeira e da terceira matrizes calculadas no ponto (a,b) e as da segunda matriz calculadas no ponto (c,d)=f(a,b)=(f 1 (a,b),f 2 (a,b)) Portanto, e 2 x 2 y 2 2 F g (a,b) = (c,d) 1 x u x (a,b)+ g(c,d) 2 v x (a,b) F y = g u (c,d) u x (a,b)+ g v (c,d) v x (a,b) (a,b) = g u (c,d) 1 y (a,b)+ g v (c,d) 2 y (a,b) = g u (c,d) u y (a,b)+ g v (c,d) v y (a,b) ParacadafunçãoF queresultedacomposiçãodeoutrasfunçõeséconveniente a construção de um esquema em "árvore" que ilustre todas as dependências entre as funções envolvidas A leitura desse esquema permite a aplicação correcta da regra da cadeia: considera-se a soma dascontribuiçõesrelativasacadacaminhoeacadaumdestesoproduto de derivadas 51 Exercícios Propostos 1 Considere a função composta f(x,y)=tan ( x 2 +y 2) em que x = t 2 3t e y = lnt Determine a expressão da derivada (total)f (t) 30,