C. Balsa e A. Satos Capítulo I Eos e Aitmética Computacioal. Itodução aos Métodos Numéicos O objectivo da disciplia de Métodos Numéicos é o estudo, desevolvimeto e avaliação de algoitmos computacioais que pemitam obte, com uma pecisão abitáia, a solução apoimada de um poblema, utilizado um úmeo fiito de opeações aitméticas. Este pimeio capítulo destia-se a estuda os eos associados às gadezas uméicas, omeadamete a sua quatificação em fução das suas oiges. Eistem sobetudo duas gades causas paa os eos: os dados icoectos e os pocessos computacioais. Em poblemas eais, os dados itoduzidos o algoitmo são a maio pate dos casos dados apoimados ecolhidos de váias fomas e como tal têm um eo associado. Esses eos têm váias oiges como po eemplo a utilização de apaelhos de medição defeituosos, eos de leitua, dados isuficietes, etc. O estudo deste tipo de eos ão faz pate do âmbito deste disciplia. Focaemos a ossa ateção apeas os eos esultates do pocesso de cálculo. A todos os poblemas que evolvam cálculo computacioal está itisecamete associada a eistêcia de dois tipos de eo picipais: os eos de aedodameto e os eos de tucatua. Os pimeios esultam do facto de todos os computadoes, icluido as máquias de calcula, usaem uma aitmética disceta paa epeseta os úmeos eais e como tal todos os úmeos são epesetados com uma pecisão fiita. Essa pecisão obiga a que se cometa um eo que vaia cofome o tipo de método usado paa aedoda o úmeo. O eo de tucatua esulta da utilização de métodos de cálculo apoimados ou icompletos e como tal ão eactos. Po eemplo, a utilização de apeas algus temos de uma séie ifiita paa calcula o valo de detemiada fução implica a eistêcia de um eo elativo aos estates temos da séie que foam despezados (tucados).. Eo absoluto e eo elativo Seja o valo eacto de um úmeo e um seu valo apoimado. Diz-se que epeseta com um eo absoluto (eo) Δ dado po Δ = Capítulo I Eos
O quociete Δ Δ Δ = = +Δ C. Balsa e A. Satos epeseta o eo elativo com que epeseta. É usual a epesetação deste eo em pecetagem: Δ 00 % E. Atete paa os seguites úmeos e os coespodetes valoes apoimados que lhes são associados:, = 0.000006 = 0.000005 0.00000, = 600000 = 606000 6000 Δ =, 0. = 0 % Δ =, 0.0 = % Como se pode obseva, apesa do eo absoluto se lagamete maio o segudo caso o eo elativo coespodete é meo do que o pimeio. A impotâcia de um eo é melho obsevada quado quatificada em temos elativos. Na maioia dos poblemas páticos ão é possível detemia o eacto valo de um eo com que um valo apoimado epeseta um valo eacto. Cosidea-se, etão, um limite supeio (um majoate) desse eo. Po outo lado, sempe que houve ecessidade de aedoda o valo de um eo (absoluto ou elativo) esse aedodameto seá efectuado po ecesso de foma gaati que o eo eal seja ifeio ao eo estimado. 3. Eos de aedodameto Ates de pocede à aálise dos eos de aedodameto itoduzimos duas defiições: Decimais coectas: diz-se que um úmeo se ecota epesetado com m decimais coectas quado a sua pate decimal apeseta m decimais e esulta de um aedodameto coectamete efectuado sobe um outo úmeo. Po eemplo, supodo que o úmeo = 0.003 está coectamete aedodado, etão possui cico decimais coectas ( m = 5 ). Algaismos sigificativos: diz-se que um umeo se ecota epesetado com t algaismos (ou dígitos) sigificativos quado está epesetado po t algaismos, cotados da esqueda paa a dieita, a pati do pimeio algaismo difeete de zeo. Po eemplo, supodo que o úmeo = 0.003 está coectamete aedodado, etão possui tês algaismos sigificativos ( t = 3 ). Capítulo I Eos
C. Balsa e A. Satos Devido a limitações dos apaelhos de cálculo, as epesetações que dos úmeos que dos esultados das opeações evolvedo esses úmeos sofem aedodametos. Eistem váios métodos de aedodameto (aedodameto simético, po cote, po defeito, etc). O método mais coecto (que miimiza o eo) é o aedodameto simético. É também o método usado pela maio pate dos computadoes actuais, fabicados de acodo com as omas stadad defiida pelo sistema iteacioal IEEE (Istitute of Electical ad Electoics Egiees). É também esse o método que adoptaemos este cuso. Aedodameto simético Paa epeseta, po aedodameto, um úmeo eal com um úmeo fiito de algaismos, adopta-se o seguite pocedimeto:. elimiam-se os algaismos situados à dieita do algaismo situado sobe a última odem decimal que se petede mate. se o pimeio algaismo da pate elimiada fo ifeio a 5, o úmeo obtido é a vedadeia epesetação, após aedodameto, do úmeo dado 3. se o pimeio algaismo da pate elimiada fo ão ifeio a 5, adicioa-se (uma uidade) ao algaismo da última odem decimal cosevada. O úmeo assim obtido é a vedadeia epesetação, após aedodameto, do úmeo dado. E. Repesetem-se os úmeos dados coectamete aedodados com as decimais idicadas e calculem-se os eos absolutos (e os espectivos limites supeioes de eo majoates do eo) associados. = =3.4596536 π, π, 6 = =3.4596536 m = = 3.4, Δ 0.006, Δ 0. 0 6 m = = 3.4593, Δ 0.00000046, Δ 0 3 = =.443563, m = 3 =.44, Δ 0.000, Δ 0.3 0 = =, 5 0.008700 777 m = = 0.009, Δ 0.0000030, Δ 0.3 0 = 98.88000, m = = 98.88, Δ 0.0000, Δ 0. 0 = 0.09979649, m = 4 = 0.0998, Δ 0.000007, Δ 0. 0 = 0.0864948, m = 4 = 0.086, Δ 0.000049, Δ 0 = 0.50000, m = = 0.3, Δ 0.050, Δ 0 m Capítulo I Eos 3
C. Balsa e A. Satos Pode obseva-se que o eo absoluto é sempe ifeio a 0.5 0 m, pois se está coectamete aedodado po aedodado (po aedodameto simético) com eo absoluto seá sempe Δ 0 m míimo de decimais coectas ( m ) em. decimais o seu. A pati do majoate do eo absoluto sabemos qual o úmeo Nota, aida, que sempe que se tate da epesetação de um limite supeio de eo, o aedodameto deve se efectuado po ecesso a um dígito, isto é, adicioado (uma uidade) ao pimeio algaismo sigificativo e ejeitamos os estates algaismos. Este seá o pocedimeto habitual que usaemos este cuso paa epeseta o majoate do eo absoluto. m Notação de poto flutuate Nos computadoes os úmeos eais são epesetados po um sistema de úmeos de poto flutuate. Diz-se que um úmeo está epesetado em otação de poto (ou vígula) flutuate se está escito a foma = ± f b E em que f : é a chamada matissa (ou facção) b : a base (a base usual é a base decimal, b = 0 ) E : o epoete. É sobejamete cohecida das calculadoas a otação cietífica, em que f < 0 Uma das vatages do uso da otação cietífica é a de que todos os algaismos que itegam a matissa são sigificativos. Nos poblemas de Aálise de Eos é usual a utilização da otação de poto flutuate omalizada, em que 0. f < Usado a otação omalizada, todos os algaismos que itegam a pate decimal da matissa são sigificativos. Cosideado seguite elação ete dígitos sigificativos t e decimais coectas E o epoete da base 0 a otação omalizada veifica-se a m= E t. m E.3 Capítulo I Eos 4
C. Balsa e A. Satos.05 0 6 Repesete, em otação de vígula flutuate omalizada, os úmeos.345,. Com quatos algaismos sigificativos está cada um deles epesetado?.3450 = 0.3450 0 : 6 algaismos sigificativos : t = 6 0 0.0003450 e 0.0003450 = 0.3450 0 3 : 4 algaismos sigificativos : t = 4 = 6.05 0 0.05 0 : 3 algaismos sigificativos : t = 3 Obsevamos igualmete que a elação m= E t se veifica em todas os casos (veifique!). E.4 Vamos epeseta os úmeos dados coectamete aedodados com os t algaismos sigificativos idicados (usado a otação omalizada) e calcula os eos elativos (e os espectivos limites supeioes de eo majoates do eo) associados a cada aedodameto. = π = 3.4596536 = 0.34596536 0 t = 3 = 0.34 0 Δ 0. 0 0.7 0 3 = π = 3.4596536 = 0.34596536 0 t = 7 = 0.34593 0 Δ 0.6 0 6 7 = =.443563 = 0.443563 0 t = 4 = 0.44 0 Δ 0.3 0. 0 3 = = 777 0.008700 = 0.8700 0 t = 3 = 0.9 0 Δ 0.3 0.4 0 3 = 98.88000 = 0.9888000 0 t = 4 = 0.9888 0 Δ 0. 0. 0 = 0.09979649 = 0.9979649 0 t = 3 = 0.998 0 Δ 0. 0. 0 3 = 0.0864948 = 0.0086 0 t = 6 = 0.0086 0 Δ 0 5.0 0 6 = 0.50000 = 0.050000 0 3 t = 4 3 = 0.03 0 Δ 0 5.0 0 Podemos obseva que o majoate do eo elativo é sempe ifeio a 5.0 0 t e como tal se está aedodado com t algaismos sigificativos, etão 5.0 0 t. Tal como efectuamos este eemplo, este cuso utilizaemos, o máimo, um algaismo sigificativo paa o eo absoluto ( Δ ) e dois algaismos sigificativos paa o eo elativo ( ). Capítulo I Eos 5
C. Balsa e A. Satos A otação de poto flutuate utilizada pelos computadoes paa epeseta úmeos eais tem pecisão, isto é, um úmeo eal é epesetada com um úmeo fiito de dígitos. Como tal o cojuto de todos os úmeos icluídos o sistema de otação de poto flutuate é disceto. Mas em cotapatida o cojuto dos úmeos eais é cotíuo. Isto acaeta um eo de aedodameto a epesetação de algus úmeos cujo valo eacto apeas é epesetado atavés de uma pecisão ifiita. Po eemplo, o úmeo iacioal π apeseta um úmeo total de dígitos ifiito e como tal a sua epesetação o sistema de poto flutuate implica sempe um ceto eo de aedodameto que vaia de computado paa computado. A caacteística esposável po este eo é desigada po uidade de aedodameto, pecisão máquia ou épsilo máquia ( ε maq ) e é detemiada pelo úmeo de algaismos que compõe a matissa usada pelo sistema de poto flutuate. Paa o sistema de poto flutuate biáio defiido pelo IEEE, usado pela gade maioia dos computadoes, tem-se ε maq 0 7 em pecisão simples e 6 ε maq 0 em pecisão dupla. Outa limitação do sistema de poto flutuate é que, paa além de se disceto, é também fiito. Como tal úmeos ecessivamete gades ou ecessivamete pequeos ão têm epesetação este sistema. Estes limites, desigados po udeflow e oveflow, são detemiadas pelo úmeo máimo de algaismos que o sistema de poto flutuate pemite iclui o campo destiado ao epoete ( E ). Estas caacteísticas vaiam igualmete cofome o tipo de omas adoptadas pelos fabicates de computadoes (paticulamete dos micopocessadoes). Resumido, as tês gadezas que caacteizam um sistema de umeação de poto flutuate possuem a seguite elação de odem de magitude: 0 < udeflow < ε maq < oveflow 4. Eos de tucatua O eo de tucatua é a difeeça ete o esultado vedadeio (obtido com os dados dispoíveis usado um algoitmo eacto) e o esultado poduzido po um algoitmo que calcula uma solução apoimada a pati dos mesmos dados. São eemplo deste tipo de pocessos de cálculo apoimados a tucatua de séies ifiitas, a substituição de deivadas po difeeças fiitas ou o temia de uma sequêcia iteativa ates da covegêcia. Neste capítulo aalisaemos o caso do eo de tucatua do coteto das séies uméicas e da apoimação de fuções atavés do poliómio de Taylo. Muitos métodos uméicos baseiam-se em pocessos de cálculo evolvedo séies ifiitas mas apeas é possível cosidea um úmeo fiito de pacelas, i.e., o pocesso de cálculo é tucado (cotado) um ceto poto do seu desevolvimeto. Capítulo I Eos 6
E.5 C. Balsa e A. Satos Cosidea como apoimações de: e = =! = 0.6487707003 A apoimação ao valo eal da soma da séie depede do úmeo de pacelas cosideadas. Quato mais pacelas tive a séie mais dígitos coectos teemos o esultado fial: e e 5 =.6486979666667.6487! = 0 0 =.64877068737.6487707! = 0 e 3 =! = 0.6487707003 Mas também e 953 =! = 0.6487707003 pelo que se coloca a seguite questão: Quatas pacelas devem se cosideadas paa cálculo da soma de uma séie covegete, com eo ifeio a um limite peviamete fiado? A esposta depede do tipo de séie e do citéio usado a veificação da sua covegêcia. 4.. Soma de uma séie uméica covegete Po simplificação de liguagem, a pati deste mometo, quado se mecioa séie uméica deve-se etede que se tata de uma séie uméica covegete. Como calcula a sua soma, com um eo ifeio a um limite peviamete fiado? Séie alteada: ( ) = a Numa séie alteada, o eo absoluto da soma temo despezado, isto é Δ S é ifeio ao valo absoluto do pimeio Δ T = ( ) a. S Como tal, se petedemos que o eo absoluto seja ifeio a uma ceta toleâcia ( ΔS tol ), a séie seá tucada a pati do temo de odem se T ( ) = a tol. E.6 Capítulo I Eos 7
C. Balsa e A. Satos de: Quatas pacelas devem se cosideadas paa calcula, com cico decimais coectas, o valo = ( )! 0.5 0 O cálculo com cico decimais coectas equivale a que o eo absoluto seja ão supeio a (a toleâcia máima é tol = 0.5 0 ). Pelo que vamos impo a codição T ( ) tol 0 0.!! Resolvedo po tetativas: ( )! 0 Temo T 7 = ( )! 0.50 0 0 Falso -0.50000 00000-0.50000 00000-0.50000 0.3 0 0 Falso 0.500 00000-0.37500 00000-0.37500 3 0. 0 - Falso -0.0083 33333-0.39583 33333-0.39583 4 0.6 0 - Falso 0.0060 4667-0.393 9667-0.3933 5 0.6 0-3 Falso -0.0006 0467-0.39348 95833-0.39349 6 0. 0-4 Falso 0.0000 704-0.39346 7889-0.39347 7 0.6 0-5 Vedadeio -0.00000 550-0.39346 9430-0.39347 8 0.97 0-7 Vedadeio 0.00000 00969-0.39346 9335-0.39347 Assim, paa obte uma pecisão de 5 decimais coecta são ecessáias sete pacelas, i.e, ( ) 7 ( ) = = 0.39347!! = = Capítulo I Eos 8
Citéio de D Alembet: C. Balsa e A. Satos Se a uma séie de temos positivos a fo aplicado o citéio da azão (ou D Alembet), a = + séie seá covegete se: a a < O úmeo de pacelas suficiete paa calcula a soma S, com eo absoluto Δ ifeio a tol é dado pela seguite codição: S R = a tol E.7 Calcula, com sete decimais coectas, o valo de =! ( ) O cálculo com sete decimais coectas equivale a dize que a toleâcia máima paa o eo absoluto é 0.5 0 7. Pelo citéio de D Alembet, coclui-se que a séie é covegete pois a+ = = a ( + )( + ) < Cohecido o valo de, é possível detemia (po tetativas) o úmeo de pacelas ( ) 7 suficiete paa calcula a séie com a pecisão eigida ( tol 0 ) esolvedo em odem a a seguite desigualdade: R = a 0 7! ( ) 0 7 Tal como o eemplo ateio, vamos esolve po tetativas (iteações): Capítulo I Eos 9
! 0 7! ( ) ( ) T = 5 = C. Balsa e A. Satos! ( ) 0.45 0 - Falso 0.5000000 000 0.5000000 000 0.5000000 0.38 0 - Falso 0.046666 667 0.546666 667 0.546667 3 0. 0-3 Falso 0.003888 889 0.5430555 556 0.5430556 4 0.3 0-5 Falso 0.000048 06 0.5430803 57 0.5430804 5 0.5 0-7 Vedadeio 0.000000 756 0.5430806 37 0.5430806 6 0.9 0-9 Vedadeio 0.0000000 0 0.5430806 348 0.5430806 Assim, com a pecisão de 7 decimais coectas: 5 ( ) = = ( ) = =!! 0.5430806 Citéio de Cauchy: Se a uma séie de temos positivos = a fo aplicado o citéio de Cauchy, a séie seá covegete se: a = < O úmeo de pacelas suficiete paa calcula a soma S, com eo absoluto Δ ifeio a tol é dado pela seguite codição: S R = tol E. 8 Calcula, com cico decimais coectas, o valo de = 5.8 Pelo citéio de Cauchy, coclui-se que a séie é covegete pois que a = < 5.8 Cohecido o valo de, é possível detemia (po tetativas ou aaliticamete) o úmeo de pacelas suficietes paa calcula a soma da séie com a coecção eigida: R = 0 0 4.8 5.8 Capítulo I Eos 0
C. Balsa e A. Satos 4.8 5.8 0.5 0 T = 5.8 8 = 5.8 0. 0 0 Falso 0.74 3793 0.74 3793 0.74 0.36 0 - Falso 0.097 656 0.04 0309 0.04 3 0.6 0 - Falso 0.005 564 0.076 55705 0.077 4 0. 0 - Falso 0.00088 36658 0.084 9363 0.085 5 0.8 0-3 Falso 0.0005 365 0.0830 595 0.0830 6 0.3 0-4 Falso 0.0000 6683 0.083 78608 0.0833 7 0.55 0-5 Falso 0.00000 4590 0.0833 3898 0.0833 8 0.94 0-6 Vedadeio 0.00000 07809 0.0833 3707 0.0833 9 0.6 0-6 Vedadeio 0.00000 0346 0.0833 33053 0.0833 Assim, com a pecisão de 5 decimais 8 = = 5.8 5.8 = = 0.0833 O úmeo de pacelas suficietes paa calcula a soma da séie com a pecisão eigida podeia, este caso, se detemiado aaliticamete: 0 0 4.8 5.8 5 0 l +.4 7.05 l 5.8 = 8 4.. Poliómio de Taylo Muitas das séies uméicas utilizadas paa apoimação de fuções chamadas tascedetes (logaítmicas, epoeciais, tigoométicas, etc) deivam da Fomula de Taylo também cohecida po séie de Taylo, que tem o ome do matemático iglês Boo Taylo (685-73). Se está póimo de a e f uma fução que admite + deivadas ete a e veifica-se Capítulo I Eos
C. Balsa e A. Satos ( ) ( + ) f '( a) f ''( a) f ( a) f ( z) + f ( ) = f( a) + ( a) + ( a) + + ( a) + ( a),!!! ( + )! ode z é um úmeo ete poliómio de Taylo de gau que apoima a fução a e. A soma dos + temos do membo dieito costitui f em too do poto a, isto é, ( ) '( ) ''( ) ( ) f a f a f a P ( ) = f( a) + ( a) + ( a) + + ( a).!!! P ( ), o Os temos de odem supeio ou igual a + são agupados o temo após tucatua ( + ) f ( z) R = ( a ) ( + )! +. R que epeseta o esto Podemos, pois, esceve f ( ) = P ( ) + R ( ). Assim se queemos apoima f ( ) pelo poliómio de Taylo ifeio a tol devemos impo a seguite codição: P ( ) com um eo absoluto Δ S R tol. Paa gaati que o esto R é meo que tol deve sempe cosidea-se o seu maio valo (majoate de R ), em temos absolutos, paa valoes de z compeedidos ete a e. E.9 Vamos apoima o valo de l(,) utilizado o poliómio de Taylo do teceio gau ( = 3) paa apoima a fução f ( ) = l( ) em too do poto a =. Se = 3 etão ecessitamos das quato pimeias deivadas de f f( ) = l( ) f() = 0 f '( ) = f '() = f ''( ) = f ''() = f '''( ) = f '''() = 3 6 6 f ( ) = f ( z) = z (4) (4) 4 4 O poliómio de Taylo de gau 3 é Capítulo I Eos
P3 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 3 3 = + +. Substituido po, temos um valo apoimado de l(,) C. Balsa e A. Satos P = + + =. 3 3 l(,) 3(,) 0 (0,) (0,) (0,) 0,09533333333333 Paa sabemos quatas decimais eactas eistem esta apoimação calculamos um majoate paa o eo absoluto ΔS 4 (0,) 0,000 ΔS R3 = < = 0,00005 < 0,5 0, 4 4z 4 sigificado que a apoimação é válida até pelo meos à quata casa decimal l(,) 0,0953. 5. Poblemas popostos. Sejam, y, e z tês quatidades eactas. Po aedodameto, obtiveam-se as seguites apoimações: 3 y.3 z 0.0003 a) Cote o úmeo de casas decimais e o úmeo de algaismos sigificativos coectos as apoimações dadas. b) Calcule os limites supeioes de eos absolutos e elativos em cada caso. c) Comete os cálculos efectuados as alíeas ateioes.. Dados os seguites úmeos: a -63.45 b 0.0006345 c 63.45 0-7 d -63.45 0 7 e -00 0-57 f 00 0 57 g 0.000895 h -0.000589 0-5 i -0.058 0-5 a) Esceva-os em otação de vígula flutuate omalizada. b) Idique o úmeo de algaismos sigificativos de cada um. c) Detemie os espectivos majoates dos eos absolutos e elativos. 3. Dados os seguites úmeos: a = b = 3 3 c = 9 d = 0.77 77 e = -6 - f = e 3 a) Repesete-os com t=3 e t=5 algaismos sigificativos coectos. b) Detemie os eos absolutos e elativos coespodetes às váias situações da alíea ateio. Capítulo I Eos 3
C. Balsa e A. Satos 4. Dados os seguites úmeos e os espectivos eos absolutos Δ ou elativos associados, esceva-os coectamete aedodados (use otação omalizada): Δ.3456789 0.4 0-5 -------- 3.456789 0.8 0-5 -------- 3.456789 ------- 4 0-5 3.456789 ------- 8 0-5 5. Detemiado peviamete o úmeo de pacelas ecessáias ( ), calcule com cico decimais ( m = 5 ) coectas o valo das seguites séies: a) c) e) g) i) = b) 5 = 7 + ( ) d) = ( + ) ( + )... ( ) = ( + ) ( + )... ( +) = π + cos 3 ( + )! ( ) h) ( 5 3 ) = + + ( )! j) = 3! 5! 7!... ( + )! ) l)!! = f) = =!! ( ) + ( ) ( ) ( 5 + 3 )! = 3 5 7... + = 3 ( ) o 6. Calcule um valo apoimado de cos(47 ), utilizado o poliómio de Taylo com esto de gau 3 elativo à fução f ( ) = cos( ), em too de a = π 4. Idique o gau de coecção do esultado obtido. 7. Utilizado o poliómio de Taylo de f ( ) = l( + ), em too de a = 0, calcule l (5 / 4) com cico casas decimais coectas. 8 π 8. Petede-se calcula uma apoimação do úmeo eal c = si com tês casas π 8 si( ) decimais coectas, atavés do poliómio de Taylo que apoima a fução f( ) =. a. Detemie o meo úmeo de temos a cosidea o desevolvimeto, de modo a obte a coecção efeida. b. Detemie o valo de c de acodo com a alíea ateio e estime um majoate do eo cometido. Capítulo I Eos 4
6. Bibliogafia C. Balsa e A. Satos Michael T. Heath. Scietific Computig a Itoductoy Suvey. McGaw-Hill, New Yo, 00 (http://www.cse.uiuc.edu/heath/scicomp/). Soowsy E.W., Cálculo com Geometia Aalítica, Volume. Capítulo I Eos 5