F 5/MS55 - Métodos Matemáticos da Física I/Métodos de Matemática Aplicada I UNICAMP Nome: GABARITO a Prova (//). Nesta questão, foi dada a superfície z = a x y, para z, e pedia-se para calcular a integral de superfície r ds de duas maneiras diferentes: (a) Parametrizando a superfície como x = a cos(φ) sin(θ), y = a sin(φ) sin(θ), z = a cos (θ). Inicialmente, repare que a superfície é um parabolóide. Por exemplo, para a = obteríamos a seguinte superfície: Escrevemos r como sendo r = a cos(φ) sin(θ) i + a sin(φ) sin(θ) j + a cos (θ) k, e os vetores tangentes ao ponto (θ, φ) na superfície são dados por Com isso, o elemento de área d S é E r d S fica d S = r θ r φ r θ = a cos(φ) cos(θ) i + a sin(φ) cos(θ) j a cos(θ) sin(θ) k r φ = a sin(φ) sin(θ) i + a cos(φ) sin θ) j = a 3 cos(θ) sin (θ) cos(φ) i + a 3 cos(θ) sin (θ) sin(φ) j + a cos(θ) sin(θ) k r d S = a cos(θ) sin 3 (θ) cos (φ) + a cos(θ) sin 3 (θ) sin (φ) + a cos 3 (θ) sin(θ) = a cos(θ) sin 3 (θ) + a cos 3 (θ) sin(θ) Integrando em < φ < π, < θ < π/, π r ds = a dφ π/ [ sin = πa ( π/ [ θ cos θ + ) = 3πa ( cos(θ) sin 3 (θ) + cos 3 (θ) sin(θ) ) dθ π/ ) = πa ( +
(b) O teorema da divergência nos diz que r ds = r d, onde é o volume definido pela superfície fechada do parabolóide dado (no intervalo < z < a ), fechado pelo disco x + y a no plano z =. Ou seja, o parabolóide com uma tampa. O valor de r é calculado de maneira trivial em coordenadas cartesianas como sendo 3 (verifique); em outros sistemas de coordenadas, logicamente obtemos o mesmo valor, r = 3, mas as contas são um pouco maiores. Como este valor é uma constante, ele pode sair da integral, e ficamos com r d = 3 (volume definido pela superfície) O volume é calculado facilmente se imaginarmos que ele é composto por várias fatias de volume (πρ )dz. Cada fatia é um círculo de raio ρ e altura dz, com < z < a. O volume fica: Portanto, a (πρ )dz = a (π(a z) )dz = π (a ) a = πa r d = 3πa Obtivemos o mesmo resultado do item (a), embora a superfície dada no item (a) seja aberta. Isso ocorre por que a integral que calculamos no item anterior não tem contribuição na direção k, e assim a tampa que acrescentamos ao parabolóide no item (b), mesmo que estivesse presente no item (a), não alteraria o resultado.. Dado um circuito RLC, com a diferença de voltagem sobre o resistor igual a R = Ri, com R o valor da resistência (uma constante) e i = dq ; sobre o capacitor temos C = Q, e sobre o indutor C a diferença de voltagem é L = L di. A voltagem fornecida pela fonte é (t) = sin(φt), e além disso é dito que (t) = R + C + L. Queremos encontrar a solução geral para Q(t). Temos: (t) = R + C + L sin(φt) = Ri + Q C + L di Como i = dq di, temos = d Q, e a equação acima pode ser reescrita em termos de Q: L d Q Resolvemos primeiro a equação homogênea: + R dq + Q C = sin(φt) cuja equação auxiliar é dada por L d Q + R dq + Q C =, As raízes da equação acima são dadas por Lr + Rr + C = r, = R ± R L/C, L Dependendo dos coeficientes R, L e C, as raízes r e r podem ser complexas, reais e distintas, ou reais repetidas. A solução da equação homogênea é Q H (t) = c exp(r t) + c exp(r t)
Agora precisamos apenas encontrar uma solução particular para a equação diferencial. Como temos uma função seno do lado direito da EDO, tentamos uma solução particular da forma As derivadas de Q p são Q p (t) = A sin(φt) + B cos(φt) dq p = Aφ cos(φt) Bφ sin(φt) d Q p = Aφ sin(φt) Bφ cos(φt) Substituindo na EDO, conseguimos determinar os coeficientes A e B L [ Aφ sin(φt) Bφ cos(φt) + R [Aφ cos(φt) Bφ sin(φt) + A sin(φt) + B cos(φt) = sin(φt) Portanto, A = + BφR Lφ e, equivalentemente: B = AφR Lφ Tomando um valor qualquer para A, por exemplo A =, determinamos B, e com isso encontramos uma solução particular Q p (t). A solução geral é dada pela soma da solução homogênea e da solução particular: 3. (a) A equação diferencial x d y(x) dx é escrita na forma padrão como Q(t) = Q H (t) + Q p (t) + (x x) dy(x) dx + y(x) = d y(x) dx + (x x) dy(x) x dx + x y(x) = Olhando a equação acima, vemos que x = é um ponto singular; para classificar essa singularidade como regular ou irregular, devemos analisar o comportamento de xp(x) e x q(x) em x = : s(x) = xp(x) = x avaliando em x = : s() = t(x) = x q(x) = avaliando em x = : t() = Como s(x) e t(x) definidas acima são analíticas em x =, este ponto singular é classificado como regular. amos encontrar uma solução para y(x) em torno de x = utilizando o método de Frobenius: y(x) = a n x n+r, y (x) = (n + r)a n x n+r, y (x) = (n + r )(n + r)a n x n+r n= n= Observe que a equação dada na forma padrão pode ser reescrita como y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) y (x) + s(x) x y (x) + t(x) x y(x), com s(x) = xp(x) e t(x) = x q(x); assim, ficamos com y (x) + s(x) x y (x) + t(x) x y(x) = = (n + r )(n + r)a n x n+r + s(x) (n + r)a n x n+r + t(x) x x a n x n+r n= n= n= = (n + r )(n + r)a n x n+r + s(x)(n + r)a n x n+r + t(x)a n x n+r = = n= n= [(n + r )(n + r) + s(x)(n + r) + t(x) a n x n+r n= 3 n= n=
Para que a expressão acima seja igual a zero, devemos ter cada termo igual a zero. Lembrando que o método de Frobenius exige que a, para x = devemos necessariamente ter que o termo entre colchetes acima é nulo: (r )r + s()r + t() = = (r )r r + = r 3r + = As raízes da equação quadrática obtida para r são r = e r =. Construímos a relação de recorrência para os a n e a resolvemos utilizando a maior raiz. (n + r )(n + r)a n x n+r + s(x)(n + r)a n x n+r + t(x)a n x n+r = n= n= n= n= (n + )(n + )a n x n+r + (x )(n + )a n x n+r + a n x n+r = (n + )(n + )a n x n+r + (n + )a n x n+r (n + )a n x n+r + a n x n+r = n= n= O único termo que não está multiplicando x n+r na equação acima é o segundo termo; fazemos um shift no seu índice trocando n por n, e obtemos (n + )(n + )a n x n+r + (n + )a n x n+r (n + )a n x n+r + a n x n+r = n= n= n= n= n= n= [(n + )(n + )a n + (n + )a n (n + )a n + a n x n+r = n= [((n + )(n + ) (n + ) + ) a n + (n + )a n x n+r = n= [((n + )(n + ) + ) a n + (n + )a n x n+r = n= [((n )(n + ) + ) a n + (n + )a n x n+r = n= [( n + n ) a n + (n + )a n x n+r = n= a n = (n + ) n + n a (n + ) n = n(n + ) a n = a n n amos escrever os primeiros coeficientes para ver a forma que eles assumem: a = a a = a =! a a 3 = 3 a = 3! a = 3! a O termo geral a k é dado por a k = ( )k a, e a solução é k! y (x) = a n x n+r = x n= n= ( ) n a x n = a x e x n! (b) Queremos encontrar a segunda solução em torno de x =. Observe que quando resolvemos a equação quadrática para r, encontramos as raízes e, e portanto a diferença entre as raízes é um número inteiro. Isso nos diz que não é garantido que ao substituir a raiz que ainda não usamos na n= n=
série de Frobenius conseguiremos uma solução y (x) que seja L.I. com a y (x) obtida. Usaremos o método da derivada. Para isso, precisamos escrever y como função de x e de r. Do item anterior: Em termos de r, encontramos a n = r + n a n, n a = r a, a = r a = Com isso, y(x, r) é escrita como y(x, r) = a [ x r r xr+ + E, como (r r ) = (r ), Então r [(r r )y(x, r) = r(r ) a, a 3 = r + a = r(r ) xr+ (r r )y(x, r) = a [(r )x r x r+ + r xr+ a [x r + (r )x r ln r x r+ ln r r xr+ ln r + E y (x) = r [(r r )y(x, r) avaliado em r = r = : (r + )r(r ) a,... (r + )r(r ) xr+3 +... r (r + ) xr+3 + (r + )r xr+3 +... r(r + ) xr+3 r(r + ) xr+3 ln x +... y (x) = a (x + x ln x x 3 + x 3 ln x + x + x x ln x +...) = ( ln x)a (x x 3 + ) ( x +... + a x x 3 + 3 ) x +... ( = y (x) ln x + a x x + 3 ) x3 +... 5