CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof Edilson Neri Júnior Prof André Almeida Aula n o 4: Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital Regra de l'hôspital A regra de l'hôspital, que enunciaremos a seguir, aplicam-se a cálculos de ites que apresentam indeterminações do tipo e Teorema (Regra de l'hôspital Suponha que f e g sejam deriváveis e g ( em um intervalo aberto I que contém a (eceto possivelmente em a Suponha que: ou que Então f( = e f( = ± e g( = g( = ± f( g( = f ( g ( se o ite do lado direito eistir (ou for + ou Em outras palavras: A Regra de l'hôspital diz que o ite de uma função quociente é igual ao ite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas sejam satisfeitas É muito importante vericar as condições relativas aos ites de f e g antes de usar a Regra de l'hospital Observação A Regra de l'hôspital é válida também para os ites laterais e para os ites no innito Eemplo Calcule = = 3 = Eemplo Calcule 5 6 3 + 8 3 4
Cálculo I Aula n o 4 5 6 3 + 8 3 4 = 5 6 3 + 8 3 ( 5 6 3 + 8 3 5 4 8 + 8 4 = ( 4 = 4 3 = 5 4 Eemplo 3 Calcule sen(a sen(a = sen(a a cos(a = = a Observação Algumas vezes é necessário aplicarmos várias vezes a Regra até einarmos a indeterminação, como no eemplo a seguir Eemplo 4 Calcule 4 3 3 + 5 3 3 + 3 Veja que 4 3 3 + 5 3 3 = + 3 4 3 3 + 5 4 3 3 6 + 5 3 3 = + 3 3 = 6 + 3 Aplicando novamente a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: 4 3 3 6 + 5 6 6 3 = = 6 + 3 6 6 Aplicando mais uma vez a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: 6 6 4 6 = = 8 6 6 6 6 = 3 Eemplo 5 Calcule tg( 3 Prof Marcos Diniz Prof Edilson Neri Prof André Almeida
Cálculo I Aula n o 4 Como tg( = e 3 =, temos que: tg( 3 = Aplicando a Regra de l'hôspital, temos que: tg( sec ( 3 = 3 = Aplicando a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: sec ( sec ( tg( 3 = = 6 3 tg( = 3 tg( = 3 sec ( = 3 Observação 3 É importante vericar se o quociente de fato tem a forma ou regra, para não incorrermos em erro antes de aplicarmos a Eemplo 6 Calcule π sen( cos( π sen( cos( = = Portanto, não há indeterminação Eemplo 7 Calcule ( sen( ( = [ ] sen( ( sen( = sen( sen( Aplicando novamente a Regra de l'hôspital; sen( cos( = sen( sen( + cos( = cos( sen( + cos( = sen( cos( + cos( sen( = Eemplo 8 Calcule ( ln + + Prof Marcos Diniz Prof Edilson Neri Prof André Almeida 3
Cálculo I Aula n o 4 Pela regra de l'hôspital, temos que + + + + = [ ] + + = + = Logo, como g(u = ln u é contínua em u =, temos que + + = ln = Eemplo 9 Calcule ( + sen( Reescrevendo o ite dado: ( + = [ ] sen( + ( = ( sen( + sen( e Segue que: + = + ( = + sen( + cos( = ( + = + = + sen( Eemplo Calcule (sec( tg( π Como (sec( tg( = [ ] π vamos reescrever o ite dado: (sec( tg( = π ( π cos( sen( cos( sen( π cos( cos( = π sen( = = sen( = = π cos( Eemplo (Limite Trigonométrico Fundamental Mostre que sen( = Prof Marcos Diniz Prof Edilson Neri Prof André Almeida 4
Cálculo I Aula n o 4 sen( = sen( = cos( = Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 86-88,9-8,7-77,85,86 do livro teto Sugestão de eercícios Resolva os eercícios das páginas 88-9,8-3,78-8,86 e 87 do livro teto Prof Marcos Diniz Prof Edilson Neri Prof André Almeida 5