Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Tarefa Intermédia nº 9 versão A Nome: Nº Turma Data: 0/06/01 Classificação: A Professora: 1. Sabe-se que o número complexo z0 = cis é uma das raízes cúbicas de um complexo w. 1.1. Represente w na forma algébrica. 1.. Determine, na forma trigonométrica, as restantes raízes cúbicas de w.. Determine k IR de modo que o número complexo 1 ki z = seja um imaginário puro. 1+ i. Resolva, em C, a equação z z + 81= 0. Considere, em C, conjunto dos números complexos, os números z e w tais que:.1. Determine ( z ) 10... Calcule ( w) i z π = cis e w = i + e apresente o resultado na forma trigonométrica... Seja t um número complexo, cujo módulo é e um dos argumentos é α. Determine o valor de π π α,, sabendo que t é solução da equação, em C, x i = 0. Questões 1.1 1..1.. Total Cotações 15 15 15 15 15 10 15 100 Professora: Rosa Canelas 1
Professora: Rosa Canelas
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Tarefa Intermédia nº 9 versão A Proposta de resolução 1. Sabe-se que o número complexo z0 = cis 1.1. Representemos w na forma algébrica. é uma das raízes cúbicas de um complexo w. 5 5 15 z0 w z0 cis w cis w cis w 7 cos isen π π π π π = = = = = + 7 7 w = 7 i w = i 1.. Determinemos, na forma trigonométrica, as restantes raízes cúbicas de w. Dado que as imagens das três raízes se situam numa circunferência de centro na origem e raio e que os seus argumentos diferem de π 5π e ainda que é um ângulo do º quadrante 5π π 5π π podemos dizer que as raízes são: z0 = cis z1 = cis + z = cis, simplificando fica π 7π z0 = cis z1 = cis z = cis 1 1. Determinemos k IR puro. ( 1 ki)( 1 i) ( )( ) de modo que o número complexo + z = = = = + 1+ i 1+ i 1 i 1+ 5 5 1 ki 1 i ki ki 1 k k z é imaginário puro quando 1 z é imaginário puro quando k = 1 ki z = seja um número imaginário 1+ i 1 k k 1 1 = 0 0 k = k 1 k = 5 5 i. Resolvamos, em C, a equação z z + 81= 0 ( ) ( ) ( ) ( ) z z 81 0 z cis cis cis 81 cis 81cis + = = ρ θ ρ θ ρ θ = ρ θ = π ρ = ρ = 81 π π π + kπ z = cis z = cis θ = π + k π,k Z θ =,k { 0,1, } Professora: Rosa Canelas
. Considere, em C, conjunto dos números complexos, os números z e w tais que:.1. Determinemos ( z ) 10. z π = cis e w = i Comecemos por escrever z na forma algébrica para podermos depois fazermos a subtração: π 1 z = cis = + i = 1+ i Calculemos agora z = 1+ i = + i e passemos z à forma trigonométrica: + i = 9 + = 1 e tgθ = e θ º Q permite concluir que π 5π θ = π = 6 6 Finalmente ( ).. Calculemos ( w) i ( ) 10 10 5 50π π z = 1cis = 1 cis = 88 cis 6 6 + e apresentemos o resultado na forma trigonométrica. ( ) w + i w = i então ( i) + i = + i + i = i + i = i = + = e ( ( )) ( ) Como i concluir que arg( i) tg arg i = = 1 arg i º Q podemos π 5π = π + = e finalmente i = cis.. Seja t um número complexo, cujo módulo é e um dos argumentos é α, isto é, t = cisα. Determinemos o valor de π π α,, sabendo que t é solução da equação, em C, x i = 0. Vamos então resolver π + k π π π 5π { } x i = 0 x = i x = cis x = cis,k 0,1 x = cis x = cis Considerando que π π α, terá de ser π α =. 5 Professora: Rosa Canelas
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Tarefa Intermédia nº 9 versão A Critérios de classificação 1. 0 1.1. 15 Escrever z = w w = z 5 0 0 Calcular cis 5 Apresentar o resultado na forma pedida 5 1.. 15 z1 7π = cis 1 π z = cis 1 7 8. 15 Calcular na forma algébrica z 6 Escrever Re( z) = 0 Im ( z) 0 Calcular o valor de k 5. 15 Reconhecer a necessidade de utilizar a forma trigonométrica ρ cis( θ ) ρcis( θ ) = 81 cisπ 6 Calcular o produto Igualar os complexos Dar a resposta. 0.1. 15 Passar z à forma trigonométrica Subtrair z Professora: Rosa Canelas 5
Passar z à forma trigonométrica Calcular a potência Dar a resposta.. 10 Substituir w Calcular i Calcular o simétrico e o conjugado Passar o resultado à forma trigonométrica.. 15 Resolver a equação x i = 0 10 Encontrar a solução pedida 5 Total 100 Professora: Rosa Canelas 6