Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/
Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.
É a função que associa a cada X(S) um número f() que deve satisfazer as seguintes propriedades: f() 0 f (). d
A coleção dos pares (, f()) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X.
Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f() seja uma função densidade de probabilidade (fdp). f() c. se 0 c.c.
Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: - f()d - c. d
Tem-se: - c. d c - d c - c - - c c
,5,0 f() 0,5 0,0 -,5 -, -,0-0,8-0,5-0, 0,0 0, 0,5 0,8,0,,5 - X
P ( a < X < b ) b a f ( )d y a b a < X < b
P ( a < X < b ) b a f ( ) d Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f() entre os pontos a e b.
Se X é uma VAC, então: P ( X a ) a a f ( ) d 0 P (a < X < b ) P (a X < b ) P (a < X b ) P (a X b )
Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. f () se 0 c.c.
A probabilidade solicitada é dada por: P ( 0, 5 < X < 0, 5 ) 0,5-0,5 d 0,5-0,5 d 0,5-05 [ (0,5) (-0,5) ], 50 %
(a) Epectância, valor esperado µ E(X) f () d (b) Variância σ V(X) f ()d f ()d (µ) µ f ()d ( ) f ()d E(X ) E(X)
(iii) Desvio Padrão σ (µ) f ()d f ()d µ E(X ) E(X) (iv) O Coeficiente de Variação γ σ/µ
(c) Assimetria γ [µ µ µ + µ ]/σ (d) Curtose γ E[(X - µ) 4 ]/σ 4 [µ 4 4µ µ + 6µ µ µ 4 ]/σ 4 -
Se X é um VAC então o k-ésimo momento de X é dado por: k µ E(X ) f () d k k e o k-ésimo momento central de X é obtido por: ' k k µ E(X ) (µ) f () d k
Considerando que o momento de ordem k de X é E(X k ) µ k, pode-se epressar a epectância e as demais medidas em função desse resultado. Tem-se, então:
Calcular o valor esperado, a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas.
Determinar a epectância e o desvio padrão da variável X dada por: f () se 0 c.c.
µ E (X ). 4 4 - -.f()d - 4.d 4 - - 4 d 4-4 0 4 -
0,60 5 5 5 d d. ) E ( ) E ( 5-5 5 X E (X ) X 5 5-5 - - 4 - + σ
O desvio padrão de X será, então: σ E ( ) E (X ) X 0,60 0 0,77
É a função F() definida por: F() P(X ) f(u)du A F() é a integral da f() até um ponto genérico.
Considerando a função abaio como a fdp de uma VAC X, determinar F(). f () se 0 c. c.
A F() é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: F( ) 0 u du se se se < - >
Vamos determinar o valor da integral em u : du du F() ] [u u u u +
Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: F() 0 + se se se < - >
+ F(),0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, 0,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5
O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é um função que fornece a Integral.
Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X ) F() P(X > ) F() P( < X < ) F( ) F( )
Observação: Se X é uma VAC então o momento de ordem k é dado por: E(X k ) k f()d
Uniforme Eponencial Normal t (Student) χ (Qui-Quadrado) F (Fisher/Snedecor)
Uma VAC X é uniforme no intervalo [a; b] se assume todos os valores com igual probabilidade. Isto é, se f() for: f() b a se a b 0 c.c.
Seja X uma VAC com distribuição uniforme no intervalo [; 6], isto é, X ~ U(; 6). Então a fdp é dada por: f () 6-0 4 c. c. se 6
Fdp da U(; 6) 0,0 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 0 4 6 8 0
A função F() é dada por: F() 0 b a a se < a se a se > b b
Seja X uma uniforme no intervalo [; 6], então a FDA de X é dada por: F() 0 4 se < se se > 6 6
,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, 0,0 0 4 5 6 7 8
E(X) +.f ()d b a b a d b b a a b (b a a) (b a).( b + (b a) a) a + b
σ V(X) E(X ) E(X) a) (b a b a b d a b ()d.f ) E(X b a b a +
A variância será então: 4 ) a b ( ab b a ) a b ( a b b a ) a b ( a b X ) E ( ) X E ( X ) V ( + + σ
γ 0 γ -6/5
Uma variável aleatória T tem uma distribuição eponencial se sua fdp for do tipo: f (t) λ.e 0 λ.t t t < 0 0
O tempo de trabalho sem falhas de um equipamento (em horas) é dado pela função, abaio. Determinar a probabilidade de que o equipamento não falhe durante as primeiras 50 horas. f (t) 0,0 0 e -0,0t c. c. se t 0
A probabilidade solicitada é dada pela integral da função no intervalo T < 50, isto é: P (T < 50 ) 50 0 0,0 e -0,0t dt 0,0. 50 0 e -0,0t dt 0,0. e -0,0t 0,0 50 0 e -0,5 9,5 %
,0 E(,0),5 E(,0),0 E(0,5) 0,5 0,0 4 5 6 7 8 9 0
A função F(t) é dada por: F(t) 0 - e - λ t se se t < 0 t 0 Obs.: Tente determinar!
O tempo de trabalho sem falha de um equipamento (em horas) é uma eponencial de parâmetro λ 0,0. Determine a probabilidade de ele funcionar sem falhas por pelo menos 50 horas.
A FDA para esta fdp é dada por: F(t) - e -0,0t A probabilidade solicitada é dada por: P(T 50) F(50) - e -0,0.50 - e -0,5 9,5%
,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,0 E(,0) E(,0) E(0,5) 0,0 0,0 0,00 0 4 5 6 7 8 9 0
E (T ) + t.f (t)dt 0 t. λ e λt dt [ te λt ] 0 + 0 e λt dt te λt e λt λ 0 λ Foi utilizado integração por partes
σ V(T) E(T ) E(T) λ λ λ λ λ + λ λ λ λ λ + 0 t 0 t t 0 0 t. dt dt dt. (t)dt.f ) E( e t te ] e t [ e t t T
A variância será então: λ λ λ λ λ σ E(T) ) E(T V(T)
Seja T uma VAC com distribuição eponencial de parâmetro λ. Determinar o valor mediano da distribuição.
Conforme visto a mediana é o valor que divide a distribuição de forma que: P(T < me) P(T > me) 50%.
Tem - se F(t) P(T < t) e λt. Então : P(T < me) F(me) e e λme λme 0,5 e λme 0,5 0,5 λme ln(0,5) Assim me - ln(0,5) λ ln() λ
γ γ 6