VAIÁVEL COMPLEXA 4. INTEGAÇÃO COMPLEXA 4. Função Complexa de uma Variável eal. Calcule as seguintes integrais: =4 e it dt e wt dt; (e w > ) (c) 2 e imt e int dt; m; n 2 : 2. Calcule as integrais trigonométricas: p t exp it 2 dt e it + i sen t dt (c) cos (it) dt: 4.2 Contornos. epresente as seguintes arcos sob a forma (t) = x (t) + iy (t) ; a t b: O segmento de reta de = a = + 2i: O segmento de reta de = 2 + i a = 2 + 4i: (c) A circunferência j 2ij = 4: (d) A circunferência de raio 5 e centro na origem (e) O arco da parábola y = x 2 de (; ) a (3; 9) : (f) A elipse x 2 + 9y 2 = 9: 2. Em cada caso, identi que e esboce o grá co do contorno descrito por: : (t) = 3i + 3e it ; t : : (t) = t + 3t 2 ; t 2: (c) : (t) = t + (2 i) t; t : (d) : (t) = t + i p t 2 ; t :
2 CÁLCULO EM UMA VAIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUA (e) : (t) = + 2i=t; t < : (f) : (t) = p t 2 + it; t : 3. Seja : (t) = x (t) + iy (t) ; a t b, um arco suave contido no domínio de uma função analítica w = F (). Mostre que d dt [F ( (t))] = F ( (t)) (t) : Use o resultado para concluir que f ( (t)) (t) dt = f ( ) f ( ) : 4.3 Função Complexa de uma Variável Complexa. Em cada caso, calcule 3 2, onde é: o segmento de i até i o arco jj = ; e (c) o arco da parábola y = x 2 de (; ) a (3; 9) : 2. Calcule jj, onde é o arco jj = ; e. E se fosse o segmento de valor da intgral? p 3. Calcule, onde é o arco = exp (i), nos seguintes casos: i até i, qual seria o =2 =2 2 (c) 3: 4. Calcule as seguintes integrais: (c) (d) 2+i x 2 y 2 + i x 2 y 2, é o segmento de 3 + 2i até a origem. jj= y x 2, ao longo da poligonal constituida do eixo y e da reta y = : Log : p, ao longo do arco de circunferência jj = ; Im :
COMPLEMENTOS & EXECÍCIOS 4. INTEGAÇÃO NO PLANO C 3 (e) (f) (g) (h) (i) + 2, ao longo do arco = 2 exp (i) ; 2: jj= 2i i i m () n : exp (), cos : cos 2 : ao longo da poligonal de i até, sobre os eixos coordenados. 5. Dado = x + iy, de na a função w = f () por: 4y; se y > f () = ; se y < : Se é o arco ao longo da curva y = x 3, de = i a = + i; calcule f () : 6. Sem calcular a integral, mostre que:, sendo o segmento de = até = + i; + 2, sendo o arco do círculo jj = 2 de = 2 até = 2i: 3 7. Se a função w = f () é contínua em =, mostre que: 2 lim r! f re i d = 2f () : 8. Se o triângulo de vértices = ; = 3i e = 4, com orientação positiva, mostre que: (exp ) 6: 9. Se é o círculo jj = ; >, orientado no sentido positivo, mostre que: Log 2 ( + ln ) Log 2 lim! 2 = :. Se f () é contínua no círculo r : j j = r, mostre que: 2 f () = ir f + re i e i d: r Use esse fato e dedua que:
4 CÁLCULO EM UMA VAIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUA r = 2i ( ) n = ; n = ; 2; 3; : : : r 4.4 Teoremas Clássicos & Consequências. Determine onde a função w = f () é analítica e usando o Teorema de Cauchy-Goursat dedua que f () = : jj= w = 2 3 w = 2 + 2 + 2 (c) w = exp (d) w = Log ( + 2i) (e) w = tan : 2. Seja a região compreendida entre o círculo jj = 4 e o quadrado de vértices (; ) e (; ), com a fronteira @ orientada no sentido positivo. Em cada caso, explique por quê f () =. f () = 3. Calcule jj= 3 2 + f () = + 2 sen (=2) f (), sendo w = f () dada por: (c) f () = exp (2) (c) (d) cos (e) e 4 + i + 2i 2 2 4. Calcule 4, sendo o círculo j ij = =2: exp : 5. Seja o contorno jj = 3, com orientação positiva, e de na a função 2 2 2 g () = d; jj 6= 3: (f) cosh (3). Calcule os valores de g (2) e g (4i). Qual o valor de g (), para jj > 3? 2 + 2 6. Seja um contorno simples, fechado, regular e de na a função g () = d. Quais os possíveis valores para g ()? Note que g não está de nida nos pontos do contorno : 7. Seja a região delimitada pelo quadrado de vértices = 2 e = 2i e considere a fronteira @ com orientação positiva. Calcule f (), sendo: @ @ f () = exp ( ) 2 i f () = 2 + (c) f () = tan (=2) ( ) 2 ; j j < =2:
COMPLEMENTOS & EXECÍCIOS 4. INTEGAÇÃO NO PLANO C 5 8. Seja w = f () uma função analítica na região delimitada por um contorno simples fechado e seja um ponto fora de. Mostre que f () = f () ( ) 2 : 9. Seja o círculo unitário = e i, orientado de = a =. Se é uma constante real, mostre e que = 2i e usando o resultado conclua que e cos cos ( sen ) d = :. Seja w = f () uma função analítica em um domínio limitado D e suponha que f seja contínua e não constante no compacto D e que f () 6=, em todo ponto de D. Mostre que o valor mínimo de jf ()j não é atingido no interior de. A condição f () 6= ; 8 2, pode ser removida?. Ilustre o Exercício no caso em que f () = ( + ) 2 e é a região delimitada pelo triângulo de vértices = ; = 2 e = i: 2. Seja f () = u (x; y) + iv (x; y), nas condições do Exercício. Mostre que o valor máximo e o valor mínimo da função harmônica u (x; y) é atingido em @D e nunca em um ponto interior da região, a menos que u seja constante. Ilustre a situação com os dados: f () = e e : x ; y : 3. Seja w = f () uma função analítica e limitada no disco j j < r: Se < < r, mostre a desigualdade de Cauchy: f (n) ( ) n! max jf ()j n ; n = ; ; 2; 3; : : : : (4.) 4. Usando (4.), com n = 2; mostre que se f for inteira e jf ()j a jj ; 8; então: f ou existe 6= tal que f () = ; 8: 5. Seja w = f () uma função analítica no disco jj < ; no qual se tem jf ()j Fórmula Integral de Cauchy no contorno n : jj = f (n) () n! n, dedua que: n + jj : Usando a (n + ) + n n, n = ; 2; : : : : (4.2) 6. Calcule as seguintes integrais: I jj=3 cos 2 + 3 I (2 + 3) 2 jj= Log 2 + 2 I (3 2) 2 (c) jj= 2 + + i (4 i) 3 :
6 CÁLCULO EM UMA VAIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUA 7. Suponha que a função f () = p 2 + 4 seja determinada pela condição f () = 2. Se é o quadrado de vértices = i, com orientação positiva, calcule: f () 4 2 + 4 3 f () 4 2 4i (c) (2 2 + ) f () : 8. Seja f () = u (x; y) +iv (x; y) uma função inteira e suponha que u (x; y) seja limitada em 2. Mostre que u (x; y) é constante. 9. Se é o contorno j ij = 2, com orientação positiva, calcule o valor de g (), sendo: g () = 2 + 4 g () = ( 2 + 4) 2 : ESPOSTAS & SUGESTÕES 4.. INTEGANDO FUNÇÃO DE VAIÁVEL EAL :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. Usando primitivas, obtemos: p 2=2 + p 2=2 i: =w: (c) A integral é igual a 2, se m = n, e igual a, caso contrário. 2. i 2 + 2i (c) 2 (e e ) : 3. I = 2 + 3i: 4.2. CONTONOS ::::::::::::::. Usando a parametriação canônica. (t) = t + 2it; t : (t) = 2 + it; t 4: (c) (t) = 4 cos t + (2 + 4 sen t) i; t 2:
COMPLEMENTOS & EXECÍCIOS 4. INTEGAÇÃO NO PLANO C 7 (d) (t) = 5 cos t + 5i sen t; t 2: (e) (t) = t + it 2 ; t 3: (f) (t) = 3 cos t + i sen t; t 2: 2. Em construção 3. Se F () = u (x; y) + iv (x; y), então: d dt [F ( (t))] = d dt [u (x (t) ; y (t))] + i d [v (x (t) ; y (t))] dt = u x x + u y y + i v x x + v y y = (u x + iv x ) x + i (v y iu y ) y = f ( (t)) x + iy = F ( (t)) (t) : 4.3. INTEGANDO FUNÇÃO DE VAIÁVEL COMPLEXA ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. 2i 2i (c) 27 ( + i) 3 : 2. Ao longo arco jj = ; e ; a integral é 2i e ao longo do segmento de i até i a integral é igual a i: 3. 2 p 2i=3 4=3 (c) 4i=3: 4. Em alguns caso, pode-se usar primitivas. 5 3 ( + 5i) : 2 3 + i 2 : (c) : (d) 2 2i: (e) 4 2i (f) A integral vale 2i, se m = n e vale ero, caso contrário. (g) + e: (h) :
8 CÁLCULO EM UMA VAIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUA (i) 2 sen 2. 5. I = 2 + 3i: 6. No arco, temos que j=j e, portanto: jj jj jj = : No arco, temos + 2 jj 2 = 3. Logo, + 2 jj j + 2 j jj = 3 3 L () = 3 : 7. Dado " >, seja >, tal que f re i f () < "; 8 e < r < : Assim, 2 f re i 2 d 2f () f re i f () d < 2": 8. No triângulo, temos x = e (), de modo que e x e jj = jj 4. Assim: (e ) (e x + jj) jj ( + 4) jj = 5 L () = 6: 9. No contorno : = exp (i) ; <, temos: Log jlog j jj 2 2 2 jln + ij jj 2 (ln + jj) jj = 2 (ln + ) jj = 2 (ln + ) : Segue de, com! : 4.4. TEOEMAS CLÁSSICOS & CONSEQUÊNCIAS :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. Se uma função w = f () é analítica em uma região delimitada por um contorno ; simples, fechado e suave (curva de Jordan), então f () = : Em cada caso, representamos por a região onde f () é analítica. = f 2 C : 6= 3g : = 2 C : 6= i p 2 :
COMPLEMENTOS & EXECÍCIOS 4. INTEGAÇÃO NO PLANO C 9 (c) = C. (a função f() é inteira.) (d) = CnE: (a função f() é analítica fora do semi-eixo E = [x e y = 2].) (e) = f 2 C : 6= k + =2g : 2. As singularidades da função estão fora da região [ @. 3. Nos casos, (d), (e) e (f) o resultado segue da Fórmula Integral de Cauchy. Em e (c) a integral é, pelo Teorema de Cauchy-Goursat. 2i (d) 2i (e) i ( p e ) (f) 2i: 4. Fatorando o polinômio 4 e considerando f () = 2 4 = f () i 5. Temos que g (2) = 8i e se jj > 3, então g () = : 2 3 + i 2 i encontramos: == 2if (i) = 8: 6. g () = ou g () = 2i 2 + 2 : 7. i=2 (c) i sec 2 ( =2) 8. esolva por etapas, observando a posição do ponto em relação à região delimitada por : (i) Se o ponto for exterior à região, então os integrandos são analíticos e as integrais serão nulas. (ii) Se o ponto é interior á região, segue da Fórmula integral de Cauchy que as duas intgerais valem 2if ( ) : 9. Diretamente da Fórmula Integral de Cauchy, com f () = exp (), encontramos: exp () = 2i:. Aplique o princípio do Módulo Máximo à função analítica g () = [f ()]. O máximo de jg ()j é o mínimo de jf ()j. A condição f () 6= ; 8, não pode ser removida, como ca evidente considerando a função f () = ; no disco jj, para a qual jf ()j atinge seu valor mínimo na origem.
CÁLCULO EM UMA VAIÁVEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUA. Temos jf ()j 2 = (x + ) 2 + y 2 e o valor máximo de jf ()j é M = 4, atingido nos pontos = e = i da fronteira de. 2. Note que u (x; y) = e x cos y não tem pontos críticos no interior da região, de modo que os extremos são atingidos em pontos da fronteira da região. 3. Consequência direta da Fórmula Integral de Cauchy. 4. x 5. Sobre o contorno n temos = n + e da Fórmula Integral de Cauchy, resulta: jj 2 f (n) () f () = n! n n+ jf ()j n + n+ jj n+ jj n jj n n jj n + n+ = (n + ) L ( n n ) = 2 (n + ) + n n : 6. 4i=33 (c) i=32: 7. É fundamental a escolha do ramo de Log, para podermos aplicar a Fórmula Integral de Cauchy. Após a fatoração do denominador, encontramos: p " p # 2 + 4 4 ( + 3=2) ( =2) = 2i 2 + 4 p = 7 4 ( + 3=2) 8 i =2p 5 (c) i p 2=7: ==2 8. Se u (x; y) é limitada, então a função g () = exp [f ()] é inteira e limitada, já que jg ()j = exp [u (x; y)]. Segue do Teorema de Liouville que g (), e, portanto, u (x; y), é constante. 9. =2 =6: