Tópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 1: Espaços Vetoriais

Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico ET-DMAT Prof. Maria Eugênia Martin Tópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 1: Espaços Vetoriais Exercício 1. Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais reais. Se as operações não forem explicitadas considere as usuais. Caso o conjunto não for um espaço vetorial real diga quais axiomas não são satisfeitos. 1. O conjunto de todas as funções reais tais que f (0) = f (1) 2. O conjunto das funções reais tais que f (0) = 1 + f (1) 3. O conjunto das funções reais crescentes. 4. O conjunto das funções reais pares. 5. O conjunto das funções reais ímpares. 6. O conjunto das funções reais contínuas em [0, 1] tais que 1 0 f (x)d x = 0 7. O conjunto das funções reais contínuas em [0, 1] tais que 1 0 f (x)d x 0 8. O conjunto dos vetores (x, y, z) em 3 tais que x = 0 ou y = 0 9. O conjunto das matrizes reais 2 2 cujo determinante é zero 10. O conjunto das matrizes reais 2 2 que são simétricas, i.e. A = A t 11. O conjunto dos vetores (x, y, z) 3 que satisfazem a equação linear a 1 x + a 2 y + a 3 z = 0. 12. O conjunto de todas as matrizes reais 2 2 da forma a a + b a + b b 13. O conjunto das matrizes reais 3 3 triangulares superiores, i.e, o conjunto das matrizes da forma: a b c 0 d e 0 0 f 14. 3 com as operações (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) e α (x 1, x 2, x 3 ) = (α x 1, x 2, x 3 ) 15. O conjunto V = {(a, b) 2 : a, b > 0} com as operações (a, b) + (c, d) = (ac, bd) α (a, b) = (a α, b α ), α Exercício 2. Mostre que o conjunto ( 2) dos elementos a + b 2 com a, b é um espaço vetorial sobre com as operações: (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 α (a + b 2) = α a + α b 2, α 1

Exercício 3. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo. Mostre que: 1. O vetor nulo 0 é único. 2. O vetor oposto v a cada vetor v V é único. 3. 0 v = 0 para todo vetor v V e que α 0 = 0 para todo α. 4. 1 v = v para todo v V. 5. Dados α, v V temos α v = 0 α = 0 ou v = 0. 6. Dados α, v V temos α v = v α = 1 ou v = 0. Exercício 4. Prove que o axioma de comutatividade da soma pode ser deduzido dos outros axiomas. Exercício 5. Em 2 mantenhamos a definição de produto α v de um número por um vetor mas modifiquemos, de três maneiras diferentes, a definição de soma u + v de vetores u = (x, y) e v = (x, y ). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados: 1. u + v = (x + y, x + y) 2. u + v = (x x, y y ) 3. u + v = (3x + 3x, 5x + 5x ) Exercício 6. Mostre que pode ser visto como um espaço vetorial sobre. (Dica: use o fato que existe uma bijeção de em e defina novas operações em ) Exercício 7. Sejam W 1 e W 2 subespaços de um -espaço vetorial V. Mostre que W 1 W 2 e W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 : w i W i, i = 1, 2} são subespaços de V. Mostre que, em geral, W 1 W 2 não é um subespaço vetorial de V. Caso isso aconteça, prove que necessariamentew 1 W 2 ou que W 2 W 1. Exercício 8. Considere o subconjunto S das funções de (, ) que são soluções da equação diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) = 0 onde a 0, a 1,..., a n 1. Mostre que S é um subespaço vetorial de (, ). Exercício 9. Dado o conjunto de todas as sequências com x i com adição coordenada a coordenada e multiplicação por escalares coordenada a coordenada. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de? 1. O conjunto das sequências com apenas um número finito de coordenadas diferentes de zero. 2. Nenhuma coordenada igual a 1. Nos próximos itens = 3. O conjunto das séries de Cauchy, ou seja, as sequencias tais que dado ε > 0 existe N > 0 tal que x n x m < ε para n, m > N. 4. As sequências tais que n=1 x n <. 5. As sequências limitadas, i.e. as sequencias (x n ) n para as quais existe M > 0 tal que x n M para todo n. Exercício 10. Dado S um subespaço de V e v V. O conjunto v +S = {v +s : s S} é chamado subespaço afim de V. 1. Quando um subespaço afim de V é subespaço de V? 2

2. Mostre que dois subespaços afim x + S e y + S ou são iguais ou são disjuntos. Exercício 11. Seja X V um subconjunto de um -espaço vetorial V. Mostre que X = { v F α v v : F X é um subconjunto finito e α v, v F}. Exercício 12. Mostre que, para cada inteiro n 3, é possível encontrar um conjunto gerador de 3 com n elementos. Mostre também que não existe nenhum conjunto gerador de 3 com menos de 3 elementos. Exercício 13. Mostre que se é um conjunto gerador de um espaço vetorial V e que se é um conjunto que contém, então é um conjunto gerador de V. Exercício 14. Dado um -espaço vetorial V e subconjuntos X, Y V. Mostre que 1. Se X é LI e Y X então Y é LI. 2. Se X é LD e X Y então Y é LD. Exercício 15. Considere o subconjunto X = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} 2. Mostre que: 1. X é um subconjunto LD do -espaço vetorial 2. 2. X é um subconjunto LI do -espaço vetorial 2. Exercício 16. Seja V = X mostre que existe uma base Y de V tal que Y X. Exercício 17. Ache uma base de M m n ( ) como espaço vetorial sobre. Qual é a dim (M m n ( ))? Exercício 18. Considere 2 como -espaço vetorial. Mostre que o conjunto {(z 1, z 2 ), (w 1, w 2 )} 2 é LD se e somente se z 1 w 2 = z 2 w 1. Exercício 19. Se = 2, o subconjunto {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} de 3 é LD? e se = 13? Exercício 20. Considere 3 como -espaço vetorial. Sob que condições impostas a α os vetores (0, 1, α), (α, 0, 1) e (1 + α, 1, α) formam uma base de 3? Exercício 21. Seja V = (, ) o -espaço vetorial de todas as funções de em. Prove que { f 1, f 2, f 3 } é LI em V onde f 1 (x) = 1, f 2 (x) = e ix = cos(x) + i sin(x) e f 3 (x) = e i x para cada x. Exercício 22. Seja V um espaço vetorial sobre e considere no conjunto V = {(u, v) : u, v V } as seguintes operações de adição e multiplicação por um número complexo: 1. Mostre que V é um espaço vetorial sobre. (u 1, v 1 ) + (u 2, v 2 ) = (u 1 + u 2, v 1 + v 2 ) (α + iβ) (u, v) = (αu β v, βu + αv) 2. Seja {v 1, v 2,..., v n } V um subconjunto LI. Mostre que {(v 1, 0), (v 2, 0),..., (v n, 0)} e {(0, v 1 ), (0, v 2 ),..., (0, v n )} são subconjuntos LI em V. Exercício 23. Para um -espaço vetorial V, denotaremos por V o conjunto V visto como -espaço vetorial. Mostre que se {v 1, v 2,..., v n } for um subconjunto LI em V então {v 1, v 2,..., v n } e {v 1, v 2,..., v n } {iv 1, iv 2,..., iv n } são subconjuntos LI em V. Exercício 24. Seja S o -espaço vetorial do Exercício 8. Mostre que dim S = n. Dica: Use o Teorema de Existência e Unicidade de soluções: Considere a equação y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) = 0 (0.1) onde a 0, a 1,..., a n 1. Dados A 0, A 1,..., A n 1, existe uma única solução y : da equação (0.1) verificando y(0) = A 0, y (0) = A 1,..., y (n 1) (0) = A n 1 (condições iniciais da equação (0.1)). Construa n soluções que formarão uma base do espaço das soluções de (0.1), da seguinte forma: considerando as condições iniciais A 0 = 1 e A 1 = = A n 1 = 0 o TEU garante que existe uma única solução y 1 : de (0.1) que verifica as condições y 1 (0) = 1 e y 1 (0) = = y(n 1) 1 (0) = 0. Repita o procedimento considerando as condições iniciais A i = 1 e A j = 0 para todo j i com i variando de 1 a n 1. 3

Exercício 25. Seja um subconjunto de um espaço vetorial V. Mostre que é LD se e somente se existir v que pode ser escrito como combinação linear dos elementos de \ {v}. Exercício 26. Seja V um -espaço vetorial não nulo de dimensão finita e seja W V um subespaço próprio de V. Mostre que dim W < dim V. Exercício 27. Considere 3 como espaço vetorial sobre e sobre. Em cada caso, seja = {(i, 1 i, 2), (2, 1, i), (5 2i, 4, 1 i)} um subconjunto de 3. 1. é um conjunto LI? 2. Decida se (3 + i, 4, 2) pertence ao subespaço gerado por. Exercício 28. Seja V um espaço vetorial sobre de dimensão não necessariamente finita e seja um conjunto LI em V. Mostre que se existir um elemento v V que não seja combinação linear de elementos de, então o conjunto {v} é LI. Exercício 29. Seja P n (x) o conjunto de todos os polinômios com coeficientes num corpo de grau menor igual a n. Mostre que: 1. 1, x,...x n é uma base para P n (x). As coordenadas do polinômio nessa base são os seus coeficientes. 2. 1, x a, (x a) 2,....(x a) n uma base de P n (x). Se char( ) = p > n então as coordenadas do polinômio p(x) nessa base são {p(a), p (a), p (a) 2,... p(n) (a) n! }. Exercício 30. Seja V um -espaço vetorial. Mostre que: 1. Os vetores v 1, v 2 são L.I. se e somente se v 1 v 2 = 0. 2. Prove que v 1 v 2 v 3 = 0 não implica que os vetores v 1, v 2, v 3 sejam LI. 3. Dado S = {s 1,..., s n } V. Prove que S é L.I. se e somente se S\s i S para todo s i S. 4. Prove que se A, B V. Então A + B = A B. Exercício 31. Determine se os espaços abaixo têm dimensão finita. Se sim determine a dimensão e uma base para o espaço: 1. O conjunto de todas as sequências reais. 2. O conjunto das sequências reais que satisfazem a k = a k 1 + a k 2 para k 3. 3. n visto como um espaço vetorial sobre e visto como um espaço vetorial sobre. 4. O conjunto das sequências com apenas um número finito de termos não nulos. 5. O conjunto das soluções do sistema linear homogêneo: 5x + y + 2z 3w = 0 6x + y 3z + 2w = 0 3x + y + 12z 13w = 0 6. O espaço dos polinômios de grau menor que p em n variáveis. 7. O conjunto das funções em (X, ), X < que se anulam em todos os pontos de um subconjunto X 0 X. Exercício 32. Dado um corpo. Um subcorpo é um subconjunto de que é corpo quando restringimos as operações de a. 1. Mostre que é espaço vetorial sobre. 4

2. Suponha que V é um subespaço m-dimensional sobre. Suponha que é um espaço n-dimensional sobre. Qual a dimensão de V sobre? Exercício 33. Prove que se L é um subespaço de V e dim(l) = dim(v ) <, então L = V. Exercício 34. Prove que em qualquer conjunto de vetores S existe um subconjunto S linearmente independente tal que S = S. Exercício 35. Dado V espaço vetorial sobre os complexos e seja {u, v, w} V um subconjunto LI. Prove que {u + v, v + w, u + w} é LI. Exercício 36. Mostre que é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre. Exercício 37. Dado L um espaço n-dimensional sobre um corpo finito com q-elementos. 1. Calcule o número de subespaços k-dimensionais em L, para 1 k n. 2. Calcule o número de pares de subespaços L 1 e L 2 com dim(l 1 ), dim(l 2 ) e dim(l 1 L 2 ) fixos. Exercício 38. Prove que se L 1, L 2, L 3 são subespaços de um espaço vetorial V então: 1. L 1 + L 2 = L 2 + L 1 2. L 1 + (L 2 + L 3 ) = (L 1 + L 2 ) + L 3 3. Existe um elemento neutro para a adição de subespaços? Exercício 39. Prove que se é base para V e = 1 2 então V = 1 2. Exercício 40. Prove que a soma L = L 1 + L 2 +....L n é soma direta se e somente se a união das bases de L i produz uma base para L. Exercício 41. Seja P n ( ) o conjunto dos polinômios com coeficientes em de grau menor ou igual a n. 1. Prove que o conjunto de todos os polinômios pares L 1, i.e, p(x) = p( x), e o conjunto de todos os polinômios impares L 2, i.e, p(x) = p( x) são subespaços vetoriais. 2. Prove que P n ( ) = L 1 L 2. 3. Ache o subespaço complementar a L 3 = {p(x) P n ( ) : p(1) = 0}. Exercício 42. Seja W = {(z, z) : z } 2. Mostre que W é um subespaço de e encontre subespaços W e W de 2 tais que W W = W W = 2 e W W = {0}. Exercício 43. Prove que para qualquer n dim(l 1 + L 2 +... + L n ) < dim(l 1 ) + dim(l 2 ) +... + dim(l n ) Exercício 44. Prove que para quaisquer subespaços L 1 e L 2 dim(l 1 ) + dim(l 2 ) = dim(l 1 + L 2 ) + dim(l 1 L 2 ) Exercício 45. Uma bandeira é uma sequência estritamente crescente de subespaços encaixantes L 0 L 1... L n..., e que uma bandeira é dita maximal em V se L 0 = {0}, L i = V e se nenhum subespaço M puder ser inserido entre L i e L i+1, ou seja se L i M L i+1 então M = L i ou M = L i+1. 1. Seja 0 = V 0 V 1... V n = W 1 uma bandeira maximal para W 1 e 0 = L 0 L 1... L m = W 2 uma bandeira maximal para W 2. Mostre que 0 V 0 V 1... V n V n L 1 V n L 2... V n L m = W 1 W 2 = V é bandeira maximal para V. Conclua que dimensão da soma direta de espaços vetoriais de dimensão finita tem dimensão finita igual a soma das dimensões. 5

2. Seja 0 F 0 F 1... F n... V uma bandeira (não necessariamente finita) maximal para V. Prove (sem usar lema de Zorn) que V possui base. Exercício 46. Seja V = W 1 W t e sejam i W i para cada i = 1,..., t. Considere = 1 t. 1. Mostre que se i for LI para cada i = 1,..., t então é LI. 2. Mostre que se i for uma base de W i para cada i = 1,..., t então é uma base de V. Exercício 47. Seja V um -espaço vetorial e W um subespaço de V. Mostre que o conjunto V /W é um espaço vetorial e que as operações de soma e produto por escalar estão bem definidas (i.e. não dependem da escolha do representante da classe). Exercício 48. Dado S um subespaço de V e seja {s 1, s 2,...., s n } uma base para S, como você construiria a partir dessa base uma base para V /S. Exercício 49. Dê um exemplo de um espaço vetorial de dimensão infinita V e um subespaço W de V de dimensão infinita tal que V /W tenha dimensão finita. Exercício 50. Dados dois espaços vetoriais V, W sobre. Definimos V W como o conjunto {(v, w) : v V e w W } munido das operações (v 1, w 1 ) + (v 2, w 2 ) = (v 1 + v 2, w 1 + w 2 ) λ(a, b) = (λa, λb). Prove que V W é espaço vetorial. O espaço V W é chamado soma direta externa de V e W. 6