UM MODE~O DE CONTRO~E CTIMO DE ABASTECIMENTO EM

SBA: Conole e Auomação, Vol. 1, Nq 1, pp 72-81. UM MODE~O DE CONTRO~E CTIMO DE ABASTECIMENTO EM P~ANO DE ESTABI~IZAÇ~ ECONOMICA Henique Pacca ~. ~una Univesidade DCC - ICEx CEP 30161 Fedeal de Minas Geais Cx. Posal 702 Tel. BELO HORIZONTE MG (031)4434088 Basil O aigo popbe uma foma inegada de anàlise e ~onole de fluxos de poduos em um dado seo economico. O modelo conempla, de modo consisene, as aividades de poduç~o, anspoe, amazenagem, abasecimeno e comêcio exeio dos poduos em quesao. A fomula~ao ~omo um poblema de conole Oimo sugee sua aplica~ao ao nlvel do planejameno govenamenal, ipicamene no ~onexo de poliicas de esabiliza~ao economica, com açao esaal na infaesuua de anspoe e amazenagem, e com a fixaçao, duane odo o hoizone de planejameno, de peços minímas paa os poduoes e de pe;os mêximos paa os consumidoes. O modelo em demanda dependene dos peços e eflee o compoameno descenalizado dos agenes de poduç~o e de comecializaç.o, com muas condiçoes de oimalidade coincidindo com as condi~~e5 de equillbio economi~o ~ompeiivo, segundo o e5plio neo~là55ico. A meodologia pemie ainda o aameno de indivisibilidade de ecusos, mas exploa a Tunda as popiedades da convexidade, da lineaidade, e da esuua em edes. A gande dimens~o do poblema e sua e5uua alamene decomponlvel (po egiao, poduo e pelodo) sugeem o uso de mêodos de càlculo hieàquico, cujas inepea~~es economicas aduzem, em divesas inséncias, o papel cenal do e5ado na execu~.o do plano e o seu eflexo no compoameno descenalizado dos demais agenes do seo economico focalizado. An Opimal Conol Di.ibuion Madel Economic 8abilizaion Plan fo The pape poposes an inegaed scheme fo govenmenal analysis and poli~y evaluaion ~oncening he flow of poducs of an economie seco. The modal consid.s, in a consisen fom, he podu~ion, anpoaion, soage, disibuion and exenal commece aciviies. The pesenaion as an opimal conol poblem suggess is applicaion whihin he conex of economi~ sabilizaion policies, wih.ae acion in he infasucue of an.poaion and soage and in h. esablishmen of pice bounds (minimal fo poduces and maximal fo consumea). The model has pice dependen demands and eflec5 he decenalized behavio of he podu~ion and disibuion agen5, wih he opimaliy condiion. coinciden ~ih he compeiive economic equilibium condiions. The mehodology pemis ye he eamen of indivisibiliy of esouces, bu fully exploes h& popries Df convexiy, lineaiy and newok su~ue. The lage.~ale of he poblem and is.epaabiliy (by egion, poduc and peiodl induces he use of decomposiion mehods, whose economic inepeaion efle~s he ~enal ole of he sae and is esul in he decenalized behavio of he secoial economic agens. 72

o u.o de mod.lo. ma.maico. em anali.. planejameno economico disingue em duas coen.s cuja conveg.ncia xploada n. aigo, sob a foma de um poblema d. conole Oimo disceo. Pe um lado, o esudo da aloca~ao de ecuso m sisemas d c.nalizados e de.agegados em side o pincipal objeo da escola neoclassica da eoia economica. Pode-se hoje diz. que nesse ema Q modelo Walasiano d. equilfbio compeiivo ê a fomula~ao maemaica mais compleamene aiculada, na foma como em sido esudada com o uso inensivo da convexidade <p. ex., ve Nikaido, 1968). A exisência de soluç~o num modelo convexo Qeal esa povada, sendo ambêm conhecido um mêodc numoico paa encona um pono de equilfbio compeiivo paa a economia em geal, com base num poc.dimeno paa a apoximaçao a um pono fixo num mapa confnuo <Scaf, 1973). Po ouo lado, o desenvolvimeno da pogamaçao linea (Danzig, 1963) em susciado o uso comum de pesquisa op.acional em economia. Emboa nao se possa, com a pogamaçao linea, esolve o modelo geal de equilfbio economico, esa feamena se adapa muio bem a uma.n&li_e.aeia!. Nesse conexo, sua i mpoanci a cesce na medida em que o sao em anãli.. em fomaçao de pe~os muio dependene dos cusos de anpoes. Pode-se enao ia poveio dos eficienes modelos lin e5 de edes, cuja capacidade compuacional da magem ao aameno dos aspeco. espaciais R empoais <p. ex., ve Wigh, 1980).,Al.m di.so, a. devidas exenso.s do poblema linea d. anspoe dao magem amb~ ao a- ameno da indivisibilidade de ecu.0.. N... s.nido, dispoe-.e d. algoimo. Oimo.. de heulsica& muio efici.ne. paa os poblemas de localiza~ao de facilidades <Geoffion ~ Gaves, 1974; Maeus, 1986; Moneosso e ouos, 1985; SA, 1969), conando-se amb&m com a analise economica complemena Koopmans & B.ck~ann, 1979b, 1984b). (Gale, 1960; 1957; Luna, Os modelos de economias capialisas envolvem de fao a inea~ao ene muios poblemas de maximiza Çao, sepaadamene peseguidos po difeenes agenes economicos, A em vez de seem simplesmene um poblema ae maximizaç~o de um indicado da pefeéncia social. AIOm disso, em-se que espeia.0 equillbio ene a ofea e a demanda aos niveis dos peços esabelecidos endogenamene pelo modelo. A possibilidade de se usa fomulaçoes de pogama~~o maemaica que incopoem essas em calculo de equilfbio pacial foi caacelsicas compeiivo inoduzida po Samuelson (1952), que popos um ci~io aificial conhecido po "cuso beneficio social liquido". idêi. chave esa em encona um pogama maemaico cujas condiçoes de oimalidade coincidam exaamene com as condiç~es de equillbio compeiivo que se que deemina. Esa idêia foi exploada oiqinalmene no aameno do poblema de pesquisa de pe~os locais e de fluxos envolvidos ene mecados sepaados espacialmene, com cusos de anspoe do poduo ene os locais e dr ofea e Com fun~~es demanda paa cada mecado. Sabe-se desde enao que ese poblema dr mecados ineconecados conêm deno de si o poblema elassico d. anspoe a mfnimo cu.o, paa o qual s..m.ficien algoimos. 73

1975); oua!:. aplicaç::~es se desinam ã anàlise de poliicas no seo de enegia (Glassey, 1978; Hogan, 1975; Shapio, 1975). Afoa o uso do mêodo simplex paa p09ama~ao quadaica, o calculo desses poblemas de equillbio de peços ambêm em sido feio com sofwae O convencional de pogamaç::~o linea, seja po meio de êcnicas explicias de lineaizaç~o po gelha, ou usando pocedimenos ieaivos de adapaç::~o da demanda. O uso de mêodos de decomposiç~o (ve Geoffion, ou u. 1970), em paicula seguindo o esplio de inepeaç::oes economicas cabveis (Malinvaud, 1967; Luna, 1984a), foi a Onica de abalhos de Luna (1978, Luna Uma evis.o exensiva do desenvolvimeno (1981l. dessa idêia esa no livo de Takayama ~ Judge (1971), que sugee o calculo da solu~ao compeiiva (ou mesmo monopolisa> po pogamaçao quadaica, aavês do uso de funç~es lineaes paa epesena a dependência da ofea e VE1seles espaci ai 5 da demanda em elaç~o aos peços. Junamene com modelos lineaes de analise de aividades de podu;~o, que sevem paa gea impliciamene fun~qes de ofea, a abodagem de oimiza~~o em sido usada em modelos de equilibio economico seoial com divesos poduos. Alguns desses modelos fazem análise de seo aglcola, consiuindo vesoes n~o-espaciais ais como os casos do Mêxico e da Fança (Duloy &: Noon, 1973; Vecueil 8< Fahi, 1969), dos E. como os A. (Hall e ouos, 1968, 1979ã) e de Geomel ~ objeivo dese aigo e discui uma meodologia que englobe a analise de equillbio de peços espaciais com a considea~~o da indivisibilidade de ecusos necessaios ao seo economico em esudo. Iso ê feio aav.s da fomula~~o de um poblema de conole Oimo disceo, inoduzido na poxima se~~o, que incopoa, de modo consisene com as leis do mecado, as aividades de podu~~o, anspoe, amazenagem, abasecimeno e comêcio exeio dos poduos do seo. Em divesas inséncias o modelo ê uma genealiza~ao de abalhos ciados acima, numa linha que ena a~opla as quesoes de localiza~~o e de demandas senslveis aos pe~os (Elenkoe, 1977; Wagne ~ Falkson, 1975). Depois de uma se~~o sobe as condiç~es de oimalidade discuimos êcnicas de esolu~ao baseadas na genealiza~ao do mêodo de de~omposiçao de Bendes CGeoffion, 1972), de foma paalela à poposa po Fan~a & Luna (1982), paa o modelo de localizaçao com demandas esocàsicas. Veemos como que o popio mêodo de m j b en~o solu~~o ajuda a analisa o papel cenal do esado na execuçao do plano de esabilizaç~o e o seu eflexo no compoameno descenalizado dos demais agenes do seo economico em esudo. Indice paa o empo; Indice paa e9i~o, ambêm usado sob A paa difeencia a egi~o; n Indice paa poduo final (bem desejado pelos consumidoes); Indice paa maêia pima; Indice de aividade de poduç::ao; vea da nlvais da disponibilidade de ecusos imoveis na egiao no pelodo (ea O uma componene lpica); veo de peços no mecado inenacional (a componene n se efee A classe de bens n); 74

d veo de cusos de ~nspoe T k 1 paa os divesos acos no pelodo, evenualmene incluindo axas e subsidies, e com cada componenene associada ao comêcio exeio endo sido somad. ou subaida do pe~o inenacional, confome o fluxo do poduo coespondene seja de impoaçao ou expoaçao; coespondene maiz de incidência dos fluxos ineegionais e do comêcio exeio dos poduos, suposamene invaiane no empo; vea em que a n-êsima componene ~pesena a capacidade pad~o de cada unidade de amazenameno do bem n a se insalada em, (ambêm foma de maiz mai liscul o) ; escio sob a diagonal, com K coespondene vea onde cada componene epesena o cuso pad~o da unidade de amazenameno em ques~o, no pelado ; ~~~~! y!~~y~!~ ~~ ~~~~~9 e z veo de esoques de bens na egi~o no inicio do peiodo ; vea de capacidades de amazenameno dos divesos poduos na egiao no inlcio de ; ~~~~~ y~~!~y!!! ~~ ÇQ~~~Ql! q f vea de quanidades de bens consumidos na egi~o, em ; vea em que cada elemeno x indica o nlvel de opeaçao da vea anspoe; j aividade de poduçao j na egiao no pelodo ; de nlveis de aividade de 75 u a vea de peços dos bens finais dos consumidoes de em ; vea dos pe~os impuados paa as maêias pimas (ecusos) na egi~o no pelodo ; vea em que cada componene epesena o n~meo d. un1d.d amazenadoas do bem n a seem in.aladas em no peodo. Paa cada egi~o ~ suposamene conhecida, pa~ cada peodo da hoizone de planejameno, uma que expessa a invesa da funçao de expessa po funç~o inedependência ene as demandas e as peços dos bens finais~ Esa funçaa deve e invesa, que seja pa sua vez inegavel, de foma que seja concava a fun~~o esulane da inegal da invesa~ Assim sendo, po azbes de odem pàica nos ineessa aa dieamene c (x ) = $ (q) demanda, p.a oda egiao e odo pelodo. g (. ) h (. ) (1) funçao convexa que epesena o cuso oal das aividades de poduç~o na egi~o no peodo ; funç~o veoia1 convexa onde a n-êsima componene epesena a quanidade poduzida do bem final n, na egi~o no peodo ; funç~o veoial convexa onde a m-êsima componene epesena a quanidade consumida do ecuso m na egi~o, no pelodo.

2.4 Modelo As vaiàveis e funç~es definidas paa odas as egi~es podem se composas em veaes globais elaivos a oda a economia do pais, de foma a se pode esceve, de maneia condensada, o seguine poblema de conole Oimo disceo no empo: Min L [- $ (q ) dq + + c (x) + d f + I y J sujeio às equaç~es de esado e = e + g (x ) - T f - q +l z = z + +l e sujeio As esi~oes no esado o < e - - e < z no conole x > O, - f > O - y > O, ineio - h (x ) < b - paa odo palado = 1, 2,..., T supondo-se dadas as c:ondiçoes iniciais elaivas a = o. (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) o c:iêio (2) pode se inepeado pela maximiza~~o do beneficio liquido do seo, enendido como sendo a difeen~a ene o beneficio popocionado aos consumidoes e o cuso oal das aividades de poduç~o e disibuiç~o dos pelodo, c (x ) oal de poduç~o bens. Paa epesena o cada cuso (soma paa odas as.gi~.s); ese ê po sua vez somado com o cuso oal de disibuiçao d' f (que inclui o cuso de an.- poe e o d&fici comecial com o exeio), e com o cuso oal dos invesimenos em infaesuua paa amazenagem. A minimizaç~o desses cusos paa odo o hoizone de planejameno, com o devido descono da inegal da inve&a da cuva de demanda (medida de beneficio), al como poposo em (2). envolve uma sêie de agumenos meodologicos que, junamene com uma fomula~~o esàica do modelo, jà foam discuidos e efeenciados em Luna (1978). As v.iaveis de esado envolvem essencialmene aividades de amazenameno, veis pelo acoplameno no empo. E' sendo naualmene esponsaineessane obseva que essas vai Avais, apaecem al como foam definidas, nao expliciamene no ciêio, podendo inclusive se eliminadas do modelo, po subsiuiç~o. De fao, com (4) pode-se obe ecusivamene z a pai dos y,e de (3) em-se subsiuiçao dessas expe.s~es em (5) nos conduz a um pogama maemaico sem esiçoes de igualdade, onde n~o apaecem as vaiàveis de esado aqui definidas. Veemos a segui que 05 dos insumos e dos poduos u pe~os e s~o, a igo, vaiaveis duais desse pogama maemaico. Tomamos a libedade de chamà-ias ambêm de vaiàveis de conole do sisema (noa que os elacionados a esao mais a dieamene veaes adjunos) face A enome impoancia dos pe~os nos mecanismos de conole auomaico descenalizado, ema da poxima seç~o, onde assumimos abalha com o pogama maemàico sem esi~~es de igualdade, com as vaiàveis de esado nao apaecendo expliciamene. 76

d paa (,"') ( 10) A fim de 5implifi~a A analise, suponhamos que odos os invesimenos em amazenagem, onde exise a difl~il ques~o da indivisibilidade das unidades a.insala, sejam feios pelo goveno. Nesse conexo fica maia fa~il exploa a ~onvexidade embuida no modelo, ja que a hipoese de ~onv&xidade ê fundamenal no devido uso da eoia economica. mene veia Com &S5e esplio de~oe Y A id.ia de se fixa as ' vilillem paicula a naual pelado. As coepondenes condi n1veis de solu~ao Oima do poblema pojeado no espaço desas vaiàveis. Esa seç~o discue en~o os mecanismos de mecado que pemiem ao sisema mane-se em ono da soluçao Oima do sub-poblema associado as vaiaveis x ' f e q ApOxima seçao mosa como que a scluçao Oima global pode se ~al~ulada de foma hieaquica, nao cabendo nese aigo a analise de passiveis siuaç~es em que se podeia elaxa a hipoese de complea açao do esado nos invesimenos em amazenagem. Assumindo-se a das fun~oes em-se Tuc:ke que s~o difeenciabilidade paa a oimalidade do sub-poblema convexo. As ela~~rs ene os gadiene& d. fun~ao objeivo e das esiçoes se escevem: p = $ (q) ~ (x ), g (x ) e h (x ) as condiçoes de Kuhnnec:essAias & suficienes paa odo, (1) + O) o O) paa (, o) o onde, em (9), o sinal pa.. fun~oes de podu~~o gadienes, omados linha; e em (10), (,'" ) bens; o O) <o,) i pe~edido indicam como ( 11> ( 12) das seus veaes (11) e (12) (,o) e (o,> epesen am, especivamene, conjunos de acos ineegionais, de expoaçao e de impaaçao, os enquano que elaivos aos divesos e O) o indicam coespondenes cusos dos fees de expoa~~o e de impoa~ao, no ~Oes de ~omplemenaidade de folga 5:10: l ~ '" d + O Ol (x ) Condiç~es + ' u i g (x)] x = O + i h '" f f o (x ) = O = O o p ]' f = O, de complemenaidade de folga associadas aos equisios de demanda e As limiaçoes dos amazens egionais (13) (14) (15 ) (16) ( 17) onde (14), (15) e (16) o~oem, es i ~ (x ) + ' u i h (x ) P i g (x) paa odo, (9) ' u b h (x ) ] = O ( 18) 77

pecivamene, paa os conjunas de acas (,~), (,o) e (o,>, associados aos ~luxo& ineegionais, de expoa~ao e de impoa~ao a cada pelodo; e onde (17) e (18) ocoem paa cada egiao e pelodo. As condi~oes de oimalidade delineadas acima, que incluem naualmene do pimai paa y as condi~oes de viabilidade ineio dado [(6) e (7) e as inequa~oes de balan~o de poduos, esulanes da subsiui~ao de (3) e (4) em (5)J, coespondem a um equillbio compeiivo. As inequa ~Oes de balan~o de poduos nao pemiem excesso de demanda (ou de amazenagem) em qualque egiao, e (17) so pemie pe~o (ou aluguel) posiivo se n~o houve excesso de ofea (ou folga na amazenagem). As esi~oes (6) manêm as aividades egionais deno dos popios conjunos de possibilidade de podu~ao, enquano que (18) so pemie pe~o posiivo paa ecuso escasso. As condi~oes (9) aesam que, em equillbio, nenhuma aividade de poduçao pode da luco maginal, hã movimeno de capial paa a As esi~oes (10), 5en~o aividada; de ~ao, noamos que cada elemeno dessa desigualdade veoia1 afima que o cuso maginal paa opea uma aividade o lado esquedo de (9), epesenando a soma do cuso maginal de enadas iesias com o valo maginal dos ecusos esiosj nao ê meno do que o beneficio maginal esulane da opea~ao da aividade [o lado dieio de (9), que ê o valo maginal dos poduosj. As equa~oes de complemenaidade (13) asseguam, po sua vez, que somene seao opeadas as aividades paa as quais o cuso maginal ê igual.0 beneficio maginal. (li> e <12>, 78 Junamene com as coespondenes equa~oes o modelo aqui poposo ê de muio gande dimensao, m sua esuua basane apopiada paa o uso adequado de mêodos de oimiza~ao com decomposi~ao. Pode-se ve que, fixados os invesimenos em amazen. gem Y e imposas quoas egionais de excesso de demanda, o poblema fica dividido em duas paes alamene sepaàveis. Po um lado, cada subsisema economico egional ê isolado das demais egi~es, endo, po sua vez, sepaabilidade no empo e ene os seoes de pdduç~c e de consumo. Po ouo lado, uma sêie de poblemas c1~ssicos de anspoe, um paa cada classe de bens, po sua vez espaso ~ace à malha viaia e ao aspeco empoal, coesponde a e~icienes acoplamenos dos sub-sisemas economicos egionais. A sepaabilidade acima cogiada nos leva a mêodos de coodena~ao po quoas. A fixa~ao pua e simples dos y pode, po SUA vez, engenda o uso de mêodos de coodena~ao pelos pe~os, na esolu~ao do poblema convexo de gande dimensao embuido no modelo. de complemenaidade de folga (14), (15) e (16), esipulam as condi~oes paa equillbio no compoameno compeiivo dos agenes de disibui~.o. Nao exise nenhum aco onde uma aividade de anspoe pode da luco, e 50 ê posslvel fluxo posiivo aavês de aco cuja difeen~a de pe~os ene os nos de desino e de eigem ê exaamene igual ao cuso de anspoe. Na CAsa esaico, ambas as abodaqens paa a esolu~.o do poblema convexo de equillbio econo-

mico ja foam dealhadas po Luna 11978, 1979a), sendo diea sua Qenealiza~aD p.. o as y A inoduç:o das nese aigo agenes economicos. ca&c dinamico. vai&veis in.ieve um popo&io duplo. Pimeio, de lemba que A genealizaç:o do mêodo de decomposiç:o de Bendes lgeoffion, 1972) se aplica ao diflcil poblema de localiza~o de ecusos indivislveis em seoes economicos espacialmene disibuldos. Segundo, de enfaiza a impoência da a~~o do esado no calculo e implemena~~o da solu~~o Oima, inclusive como foma de encaminha o bom andameno do compoameno descenalizado dos divesos A possibilid~de de sucesso no uso do m~odo de decomposiç::o de Bendes foi consagada po Geoffion &: Gaves (1974), ao esol"e gandes poblemas de localiza~~o de cenos de disibuiç*o de divesos bens. A inepeaçao economica coespondene ambêm jà foi discuida com ceo dealhe (Luna, 1979b), cabendo aqui apenas delinea os aspecos ineenes A genealiza~~o que oa aamos. o mêodo, de pojeç~o e lineaiza~~o exena, simula uma sequência acional de esudos de casos. A cada ciclo de comunica~ao a cenal de planejameno pop~e uma salu~~o paa os invesimenos em infaesuu., e ecebe de vola, de um oganismo de esudos do mecado, os coespondenes pe~os espaciais que maneiam o seo em equillbio economicc. A infoma;~o de pe~os acumulada pela cenal pemie-lhe efina subesimaivas de cusos no seo, que avaliadas ao lado dos conhecidos cusos esuuais oienam novas poposas, aê que se idenifique uma $oluç:~o Oim.a. o ideal de infl.aç:.o zeo em planos de es.abiliza~.o economica laid.a e ouos, 19861 Lopes, 1986) casa muio bem com a pos~ibilidade de uso de meodologias de analise de equil!bio economico seoial. A pespeciva de SR e, com o choque heeodoxo, maio esabilidade nos salaias, pe;os dos inbumos _ axas de cambio d~o muio m.io pode de pevis.o 80& madelo~ maemàicos, libeando-os de diflceis medidas de cusos financeios imposo& pela infla~~o. ApOpia poliica de pe~os mini mos pa. os poduoes e de abelameno de peços màximos paa os consumidoes ajuda a enquada as vai~veis deno de limies bem ajusados, podendo-se melho avalia a enabilidade e o isco dos poduos e o pode de compa dos consumidoes. Po seu uno, acediamo» que o popio sucesso de um plano de esabilizaç~o economica depende, alêm do fundamenal 'supoe poliico, de um feamenal maemãico-compuacional do ipo discuido aqui. A necessidade de se esabelece, a pioi, peços, axas e subsidios condizenes com um possivel equillbio ene a ofea e a demanda, a impo~ncia em se abela valoes espaciais consisenes com os cusos de anspoes, e a necessidade de prseza na aç~o eguladoa do esado (p. ex., na impoaç~o) s~o algumas az~es que jusificam o uso desses modelos de conole Oimo de abasecimeno. A meodolo~ia possui nau.lmene su.s limiaçoes, e ambem ineessanes em.s de pesquisa. Ene as qu&6 Oes nao efeenciadas aneiomene, lembamos o diflcil poblema de agega~ao de dados lgeipot, 1982; LunA & MAeus, 198:5). 79

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