Cálculo Diferencial e Inegral I - Turma C 6 e Junho e 5 Quesão................................................................................ 7 Calcule as inegrais abaixo: ( ) πx (a) ( poins) x cos Soluion: Por pares u = x, v = cos( πx). ( ) ( ) πx πx x cos = x sin π ( ) πx sin π = π + 4 ( ) π π (cos cos()) = π 4 π. (b) ( poins) x + x Soluion: Subsiuição u = + x, emos u = x. x + x = 5 x u u = 5 u u u = = ( ln 5 + ln ) 5 ( u )u (c) ( poins) xe x Soluion: Consiere o limie Temos xe x = xe x, com a subsiuição u = x, u = x. e u u = eu = e. Daí, o limie isso com exise e poe ser calculao, e moo que a inegral original é e xe x = lim =. () ( poins) x ln x
Soluion: A função x ln x é esconínua em x =, enão evemos examinar com +. Por pares com u = ln x e v = x. Temos Daí, (e) (5 poins) x ln x = x ln x x = ln. 4 ln lim ln = lim + + / = lim / + / = lim + =. x ln x = lim + x ( + x )[ln( + x )] ln 4 = 4. Soluion: Subsiuição u = + x, u = x, aí, fazeno v = ln u, v = u. u x ( + x )[ln( + x )] = u[ln u] u = v v = v + C Também poe fazer ireo v = ln( + x ), v = = ln u + C = ln( + x ) + C x + x. x ln x (f) (5 poins) x + 4x 4 x 4 + x Soluion: Temos que fazer por frações parciais. O enominaor é x 4 +x = x (x +), enão x + 4x 4 x 4 + x = A x + B x + Cx + D x + que á x + 4x 4 = A(x + x) + B(x + ) + Cx + Dx = x (A + C) + x (B + D) + Ax + B B = 4 e A = 4 saem imeiaamene. C = A = e D = B = 4. Enão x + 4x 4 4 4 x + 4 = x 4 + x x x + x + = 4 ln x + 4 x x x + + 4 x + = 4 ln x + 4 x ln(x + ) + 4 arcan(x) + C Page
Quesão................................................................................ Consiere a região limiaa enre as curvas y = x 8x + 6 e y = x 6x + 9. (a) ( poins) Calcule a área essa região. Soluion: As curvas se inercepam quano x 8x + 6 = x 6x + 9, iso é x x =, ou seja x = ( ± 4)/ = ±. Como exisem uas inersecções, os limies a inegral são e - a. Basa saber quem esá por cima. Poemos esenhar, ou calcular num valor, ipo em x =. A = [x 6x + 9 x + 8x 6] = ( = 7 + 9 + 9 x + x + = ) + = 9 + = [ ] x + x + x (b) ( poins) Calcule o volume o sólio obio roacionano essa região em orno a rea x =. Soluion: r h x Page
O raio é r = x +, e a alura é h = x + x +. Enão o volume é V = = π π(x + )( x + x + ) x + x + 5x + [ ] = π x4 4 + x + 5x + x [ = π 8 4 + 9 + 45 ( + 9 4 + 5 )] ( 8 + = π + 45 5 + + ) 4 ( = π + + + ) = π 64 = 8π Quesão................................................................................ 5 Consiere o cone e gerariz l e ângulo θ enre a gerariz e o eixo e simeria. A figura abaixo ilusra o cone: θ l Enconre seu volume em função e l e θ, usano inegral e sólio e revolução por seções circulares. Soluion: Colocano o bico o cone na origem e o eixo e simeria sobre o eixo x, vemos que o cone é a revolução e uma função afim a forma y = mx. b l θ a Em função o ângulo θ e e l, emos a = l cos θ e b = l sin θ. A inclinição a rea é an θ. Enão f(x) = x an θ. Page 4
Para calcular o volume por seções circulares, o raio a seção na posição x é f(x), e x vai e a a = l cos θ. Enão o volume é V = l cos θ πf(x) = = π an θ l cos θ l cos θ π(x an θ) = π an θ = πl sin θ cos θ = l cos θ π(l sin θ) l cos θ. x Quesão 4................................................................................ + Calcule a erivaa e g() = arcan(ln( + πx 8 )) e Soluion: O Teorema Funamenal o Cálculo nos iz que Daí, fazeno u = +, emos u u a f(x) = f(u) g () = g = g u ( u u ) = arcan(ln( + πx 8 )) u e [ + ] = arcan(ln( + πu 8 )) + = arcan(ln( + π( + ) 4 )). + Page 5
Derivaas (xn ) = nx n (ex ) = e x (ln x) = x Inegrais x n = xn+ + C, n n + e x = e x + C sin x = cos x + C Regras e erivação (sin x) = cos x (cos x) = sin x (arcan x) = + x cos x = sin x + C = ln x + C x = arcan x + C + x Regra o prouo Regra o quociene Regra a caeia Regras e écnicas e inegração Regra a subsiuição [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) b a [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) [f(g(x))] = f (g(x))g (x) f(g(x))g (x) = g(b) g(a) f(u)u Inegral por pares f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x) ou uv = uv vu Page 6