UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL CÁLCULO VETORIAL

OBJETIVOS DO CURSO UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL CÁLCULO VETORIAL Fonece ao aluno as egas básicas do cálculo vetoial aplicadas a muitas gandezas na física e engenhaia (noção de campo, foças, velocidades, etc) Tais egas auxiliaão o aluno em disciplinas complementaes O aluno teá noção de álgeba vetoial, deivada diigida, gadiente, divegência e otacional O cálculo integal aplicado a vetoes também seá visto PROGRAMA 1) Álgeba vetoial 1a) Soma e difeença vetoiais; poduto de um escala po um veto; poduto escala; 1b) Poduto vetoial; expessão de um veto em coodenadas catesianas; 1c) Tiplo poduto escala, tiplo poduto vetoial, etc 2) Funções vetoiais de uma vaiável 2a) Continuidade; 2b) Deivada de uma função vetoial 3) O opeado (nabla) 3a) Gadiente; 3b) Divegente; 3c) Rotacional 4) Integais de linha, de supefície e de volume 5) Teoemas integais 5a) Teoema da divegência 5b) Teoema de Geen 5c) Teoema de Stokes BIBLIOGRAFIA 1) KREYSZIG, E Matemática Supeio Livos Técnicos e Científicos Editoa Ltda, Vol 1 Rio de Janeio, 1969 2) WILYE, J Advanced Engineeing Mathematics MacGaw-Hill Book Company, New Yok, 1960 1

1 Álgeba vetoial Na análise vetoial tatamos de entidades que possuem módulo (ou magnitude), dieção e sentido entidades vetoiais ex Foça, F (possuem módulo, velocidade, V dieção e sentido) aceleação, A entidades escalaes ex volume, (possuem magnitude m assa, apenas) tabalho 11 Soma e difeença vetoiais Sejam A e B dois vetoes Fig 1 - Soma e difeença vetoiais A soma vetoial é mostada na Fig 1 A difeença vetoial ente dois vetoes é a A B = A+ B soma do pimeio com o negativo do segundo, ou seja, ( ) Popiedades: - a soma vetoial é comutativa, ou seja, A + B = B + A A+ B + C = A+ B+ C - a soma vetoial é associativa, ou seja, ( ) ( ) 12 Poduto de um escala po um veto Pelo poduto de um escala a e um veto A entende-se o veto aa cujo compimento é o poduto de a pelo módulo ou magnitude de A e a dieção é a mesma do veto A 2

Fig2 - Poduto de um escala po um veto 13 Poduto escala Po definição, é um escala esultante do poduto dos módulos de dois vetoes vezes o cosseno do ângulo ente eles A B A B cosθ = ABcosθ Logo, o poduto escala ente dois vetoes é o poduto do módulo de um deles pela pojeção do outo sobe o pimeio Fig 3 - Significado do poduto escala 3

Se A = 1, logo A B = B cosθ = Bcosθ que é justamente a pojeção (ou componente) de B na dieção do veto unitáio A Po outo lado, se A = B, logo 2 2 cosθ = cos0= 1 A A = A = A Popiedades: - o poduto escala é distibutivo sobe a soma, A ( B+ C) = A B+ A C - o poduto escala é comutativo, A B = B A Obseve que, se o poduto escala de dois vetoes é zeo, não significa que um ou cosθ = 0 Logo, se A B = 0, A ou B tem módulo nulo ou A e B são outo veto é o veto nulo, há uma teceia possibilidade ( ) então no mínimo um dos vetoes ( ) pependiculaes 14 Poduto vetoial Se A e B são dois vetoes então o poduto vetoial, A B, é um veto V cujo módulo é o poduto dos módulos de A e B vezes o seno do ângulo ente eles, cuja dieção é pependicula ao plano fomado po A e B e cujo sentido é o de apeto de um paafuso de osca dieita, quando apetado de A paa B, atavés do meno ângulo ente A e B Fig 4 - Poduto vetoial Dado que B sinθ é a altua do paalelogamo deteminado po A e V = A B, que é ABsinθ, é a áea do paalelogamo B, então o módulo de Popiedades: - o poduto vetoial é distibutivo sobe a soma, A ( B+ C) = A B+ A C - o poduto vetoial não é comutativo e sim anti-comutativo, A B = B A Além do mais, se A B = 0 então ao menos um dos vetoes ( A ou B) tem módulo nulo ou A B sinθ = 0 e são paalelos ( ) 4

15 Expessão de um veto em coodenadas catesianas Paa isso deve-se defini uma tíade de vetoes unitáios i$, $ j e k$ diecionados espectivamente, ao longo dos eixos x, y e z Logo, xi$, yj $ e zk$ epesentam vetoes de compimentos x, y e z cujas dieções são aquelas dos espectivos eixos Fig 5 - Repesentação de um veto em coodenadas catesianas :,, é dado po R = xi$ + yj $ + zk$ De uma foma mais geal, se as componentes de qualque veto, ao longo dos eixos x, y e z são a, 1 a e 2 a, então o veto pode se escito como 3 A= a i$ + a $ 1 2 j + a3k$ Se B = bi$ + b $ 1 2 j + b3k$, então A± B= ( a ± b ) i$ + ( a ± b ) $ 1 1 2 2 j + ( a3 ± b3 ) k$ Logo, dois vetoes são iguais se e somente se suas espectivas componentes são iguais Potanto, qualque equação vetoial implica em tês equações escalaes Dado que o poduto escala de dois vetoes pependiculaes é zeo, então i$ $ j = $ j k$ = k$ i$ = 0 Além do mais, sabendo que A A A 2 = = A 2, então Um veto da oigem até um ponto genéico P ( x y z) Sabendo que i$ i$ = $ j $ j = k$ k$ =1 A B = a i + a j + a k bi + b j + b k ( $ $ $ 1 2 3 ) ( $ $ $ 1 2 3 ) = abi$ i$ + abi$ $ j+ abi$ k$ + ab $ 1 1 1 2 1 3 2 1j i$ + ab $ 2 2j $ j+ ab $ 2 3j k$ + abk$ 3 1 i$ + abk$ 3 2 $ j+ abk$ 3 3 k$ Logo, A B = a1b1+ a2b2+ a3b3 Em paticula, se 2 A= B, A A= A = a + a + a ou A = A= a + a + a 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 5

Po outo lado como A B = ABcosθ, logo, A B ab 1 1+ ab 2 2+ ab 3 3 cosθ = = AB 2 2 2 2 2 a + a + a b + b + b 1 Paa o poduto vetoial, tem-se i$ i$ = j$ j$ = k$ k$ = 0 ; i$ j$ = j$ i$ = k$ ; j$ k$ = k$ j$ = i$ ; k$ i$ = i$ k$ = j$ Dado que o poduto vetoial é distibutivo sobe a soma, então a expessão A B = a i$ + a j$ + a k$ b i$ + b j$ + b k$ 2 3 1 2 2 3 ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) fica A B= abi$ i$ + abi$ j$ + abi$ k$ + abj$ 1 1 1 2 1 3 2 1 i$ + ab 2 2j $ j$ + abj$ 2 3 k$ + abk$ 3 1 i$ + abk$ 3 2 j$ + abk$ 3 3 k$ = ( ab ab) i$ ( ab ab) $ 2 3 3 2 1 3 3 1 j+ ( ab 1 3 ab 3 1) k$, esultado esse que é pecisamente o deteminante da matiz i$ $ j k$ A B = a1 a2 a3 b1 b2 b3 A popiedade da anticomutatividade do poduto vetoial está elacionada ao fato de que o intecâmbio ente duas linhas de um deteminante muda o sinal do esultado EXEMPLOS 1) Utilizando métodos vetoiais deiva a lei dos cossenos paa o tiângulo abaixo 6

solução: Num tiângulo de lados A, B e C, com θ sendo o ângulo ente A e B, a lei dos cossenos diz que 2 2 2 C = A + B 2 ABcosθ Adotando os lados do tiângulo como vetoes, têm-se C = A B Tomando o poduto escala do veto C po ele mesmo, tem-se C C = A B A B ( ) ( ) O lado esquedo dessa última expessão é igual a C 2 No lado dieito vamos utiliza as popiedades da distibutividade sobe a soma e da comutatividade Tem-se, então C C = C 2 = A B A B = A A 2 A B+ B B, ou seja, 2) Se os vesoes $, $, $ ( ) ( ) 2 2 2 C = A + B 2 ABcosθ cqd i j k fomam a base do sistema ( xyz) base do sistema ( x y z ),, e os vesoes i $, j $, k $ fomam a,,, os dois sistemas coodenados tendo oigens comuns, obte po métodos vetoiais as equações de tansfomação ente os dois sistemas 7

solução: R é o veto que vai da oigem dos dois sistemas a um ponto P genéico de coodenadas ( xyz,, ) num sistema e ( x, y, z ) no outo sistema Repae que o poduto escala do veto R com os vesoes i $, j $ k $ x, y, z x = R i$ = ( xi$ + yj$ + zk$ ) i$ = xi$ i$ + yj$ i$ + zk$ i$ ; y = R j$ = ( xi$ + yj$ + zk$ ) j$ = xi$ j$ + yj$ j$ + zk$ j$ ; z = R k$ = xi$ + yj$ + zk$ k$ = xi$ k$ + yj$ k$ + zk$ k$ e vai da as componentes de R no sistema ( ) ( ) Repaem que os podutos escalaes ente os vesoes i $ i $, j $ i $,, j $ k $ e k $ k $, que apaecem nas tês expessões acima, são justamente os cossenos dos ângulos ente os váios eixos dos dois sistemas PRODUTOS VETORIAIS ENVOLVENDO TRÊS VETORES As opeações possíveis de seem ealizadas, envolvendo tês vetoes, são as seguintes A B C, A B C, A B C, A B C, ( A B) C A B C é uma opeação que não tem significado pois ealizado, inicialmente, o poduto escala ente Ae B ( ou Be C) a póxima opeação seia o poduto escala de um C ou A - e essa opeação não é definida escala po um veto - no caso ( ) ( A B) C A B C sem significado! A ( B C ) A B C é uma opeação definida se o poduto vetoial é ealizado pimeio, ou seja, A ( B C) Como o esultado dessa opeação, envolvendo tês vetoes, é um escala dá-se o nome de tiplo poduto escala Dado que ( A B) C não tem sentido, é comum designa o tiplo poduto escala po A B C, eliminando todos os paênteses 8

Geometicamente, o tiplo poduto escala A B C epesenta o volume do paalelepípedo tendo os vetoes A, B e C como aestas adjacentes Se B e C são os vetoes da base do paalelepípedo o veto B C é pependicula à base com módulo igual à áea da base A altua do paalelepípedo é a pojeção do veto A sobe o veto B C Logo, A B C, cujo valo é justamente a magnitude de B C vezes a pojeção de A sobe B C, é numeicamente igual ao volume do paalelepípedo Se θ < π 2 (ou seja, B C e A estão do mesmo lado do plano fomado po B e C ) então cosθ é positivo assim como o tiplo poduto escala Se Tocamos a odem dos vetoes Be C, ou seja, se quisemos calcula A C B, o poduto C B esulta um veto que tem o sentido oposto ao veto B C, potanto, A B C = A C B Como o volume do paalelepípedo não depende da face escolhida como base (veja a póxima figua), logo A B C = B C A = C A B, A B C = A C B = B A C = C B A 9

Essas duas últimas elações podem se memoizadas atavés de uma ega simples Dispondo os vetoes A, B e C ao edo de um cículo note que qualque pemutação cíclica num deteminado sentido não altea o esultado do tiplo poduto escala Se a pemutação evete o sentido oiginal então o esultado muda de sinal Além do mais, como a toca de fatoes no poduto escala não altea o esultado, então, usando o pimeio e teceio membos da penúltima equação, tem-se A B C = C A B = A B C, 10

que mosta que em qualque tiplo poduto escala o ponto e a cuz podem se comutados sem alteação no valo do poduto Po essa azão, é costume omiti esses símbolos e ABC Se os vetoes A, B e C são co-planaes eles esceve o tiplo poduto escala como [ ] fomam um paalelepípedo de volume nulo Da mesma foma, se o volume é nulo os vetoes são co-planaes Então [ ABC ] = 0 é uma condição necessáia e suficiente paa que tês vetoes A, B e C sejam co-planaes Em paticula, se dois fatoes do tiplo poduto escala têm a mesma dieção, o poduto é zeo Analiticamente, se A = a i$ + a $ j + a k$ 1 2 3, B = bi$ + b $ j + b k$ 1 2 3, e C = c1i$ + c $ 2 j + c3k$, tem-se, i$ $ j k$ A B C = ( a i$ + a $ j + a k$ 1 2 3 ) b1 b2 b3 c c c Logo [ ABC] 1 2 3 ( ) ( ) ( ) = a b c b c a bc b c + a bc b c 1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1 a1 b1 c1 = b1 b2 b3 c c c 1 2 3 A B C é uma opeação constituída de dois podutos vetoiais, definida qualque que seja a odem de ealização desses podutos, com a essalva de que os esultados finais seão difeentes Como o esultado dessa opeação, envolvendo tês vetoes, é um veto dáse o nome de tiplo poduto vetoial ( A B) C A B C tem significado! A ( B C ) Suponha o caso geal de tês vetoes A, B e C que difeem em módulo e dieção Vamos considea o tiplo poduto vetoial A ( B C) Da definição do poduto vetoial é clao que A ( B C) é pependicula a A e a B C Mas B C é, po si só, pependicula ao plano de B e C, e, então, qualque veto que é pependicula a B C, tal como A B C, estaá no plano de B e C ( ) A figua a segui mosta a intepetação geomética do tiplo poduto vetoial Veifica-se que A ( B C) está no plano de B e C e, potanto, pode se escito como uma combinação linea de B e C, isto é A B C = bb+ cc ( ) 11

É possível pova que b = A C e c = A B, o que esulta as seguintes popiedades A ( B C) = ( A C) B ( A B) C ( ) ( ) ( ) ( ) A B C = C A B = C B A+ C A B Opeações envolvendo mais de tês vetoes podem se obtidas, sem dificuldades, A B C D pode se tomado como o A, Be C D, o que esulta na identidade de dado o conhecimento pévio Po exemplo, ( ) ( ) tiplo poduto escala ente os tês vetoes ( ) lagange A B C D = A C B D A D B C ( ) ( )( ) ( )( ) pode se pensado como o tiplo poduto Da mesma foma, ( A B) ( C D) vetoial ente os tês vetoes ( A B), C e D ou ente A B ( C D) duas expessões abaixo A B C D ABD C ABC D A B C D = CDA B CDB A ( ) ( ) = [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ], e, o que esulta nas Analisando estas duas últimas expessões veifica-se que ( A B) ( C D) é um veto que tem a dieção da intesecção ente o plano de A e B com o plano de C e D 12

FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL Se t é uma vaiável escala e se paa cada valo de t, definida num dado intevalo, há um veto coespondente, digamos V, dizemos que V é uma função vetoial de t e escevemos Vt () Uma vez que a componente de um veto em qualque dieção é conhecida quando o veto é conhecido, segue que, se V é uma função de t, são também funções de t as suas componentes nas dieções i$, $ j e k$ Então podemos esceve Vt V ti$ V tj $ V tk$ (1) () = ( ) + ( ) + ( ) 1 2 3 Em paticula, Vt () é contínua se as funções escalaes V ( t) V ( t) V ( t), e são 1 2 3 contínuas Se a vaiável independente t de uma função vetoial Vt ( ) muda de uma quantidade t, a função vetoial Vt, () em geal, vai muda de magnitude (módulo) e dieção Em outas palavas, coespondendo a um incemento t tem-se um incemento vetoial Vt () Vt Vt t Vt () = ( + ) () ( ) ( ) ( ) = V ( t) i + V ( t) j + V ( t) k [ V t t i$ V t t $ j V t t k$ 1 2 3 ] -[ V ( t) i$ V ( t) $ 1 2 j V3( t) k$ ] = + + + + + + + $ $ $ (2) 1 2 3 13

A deivada de uma função vetoial Vt ( ) é definida po dv t lim = lim dt t 0 t t 0 t () Vt ( + t) Vt ( ) Vt ( ) ou, usando (2), tem-se dv () t V1( t) V ( t) V ( t) = lim i$ 2 + lim $ 3 j + lim k$ dt t 0 t t 0 t t 0 t dv1() t dv ( t) dv ( t) = i$ 2 + $ 3 j + k$ (3) dt dt dt O difeencial de uma função vetoial Vt ( ) é definido po dv t dv t i$ dv t $ j dv t k$ (4) () () + ( ) + ( ) Em paticula, paa o veto 1 2 3 Rt xti$ yt $ j ztk$, (5) () () + () + ( ) ( ) que é o veto que vai da oigem ao ponto xt ( ), yt ( ), zt ( ), tem-se que o difeencial de Rt ( ) seá dr t dx t i$ dy t $ j dz t k$ (6) () () + () + ( ) FÓRMULAS ENVOLVENDO DERIVADAS DE FUNÇÕES VETORIAIS,, e ϕ ϕ, têm-se Dados U = U( t) V = V( t) W = W( t) = ( t) du ( ± V) du dv = ± (7) dt dt dt d( ϕv) dϕ dt dt V dv = + ϕ (8) dt du ( V) du V U dv = + (9) dt dt dt du ( V) du V U dv = + (10) dt dt dt 14

duvw [ ] du dt dt VW U dv dt W UV dw = + + (11) dt du [ ( V W) ] du dv dw = ( V W) + U W + U V (12) dt dt dt dt Um exemplo simples de função vetoial é dado pelo conjunto de vetoes desenhados da oigem a todos os pontos de uma cuva C sobe a qual a vaiável escala é um paâmeto Um ponto genéico sobe C está associado a um único valo do paâmeto t, digamos t = t 1, e um único veto está associado com a oigem que é o veto Vt ( 1 ) Essa coespondência ente os valoes de t e os vetoes Vt ( ) é claamente uma função vetoial como foi definida po nós Po outo lado, se alguns valoes da função vetoial contínua Vt ( ) são desenhados a pati da oigem, seus pontos finais ião defini a cuva C cujos pontos estão em coespondência com os valoes da vaiável escala t dv () t Esse ponto de vista leva-nos a uma intepetação geomética da deivada dt 15

Uma vez que t é um escala então do veto () infinitesimal da cuva C Vt t Vt A figua a segui mosta que a dieção de ( ) ( ) é um veto que tem a mesma dieção Vt é aquela de uma coda Logo, quando t se apoxima de zeo, a dieção do veto ( ) dv t dt ( ) Vt e do veto Vt t apoxima da dieção da tangente a cuva C Isto é, é um veto tangente a cuva C, cuva essa que é o luga geomético dos pontos finais dos vetoes Vt ( ) Em paticula, se a vaiável escala t é o compimento de aco s de C, medida a pati de um ponto de efeência sobe C, tem-se dv ds V coda infinitesimal de C = lim = lim = 1 s 0 s s 0 aco infinitesimal de C Conclui-se que se s é o compimento do aco da cuva C, cuva essa definida dv ( s) pelos pontos teminais de Vs, () então é um veto unitáio e tangente à cuva C ds () se 16

O OPERADOR Suponha que φ( x, y, z) seja uma função de posição possuindo pimeias deivadas paciais com elação a x, y e z em alguma egião definida do espaço Suponha que R = xi$ + yj $ + zk$ seja o veto que vai da oigem até o ponto genéico P: ( x, y, z) O valo da função φ no ponto Q: ( x + x, y+ y, z + z), nas vizinhanças do ponto P, pode se obtido pela expansão de Taylo φ φ φ φ 2, 12 4 34 x y z { temo constante 14444244443 temos de altas odens ( x+ x, y+ y, z + z) = φ( x, y, z) + x + y + z + O( ) temos lineaes onde o temo constante e as deivadas paciais dos temos lineaes são calculados no ponto P O temo O( 2 ) epesenta os temos de 2 a odem em diante na expansão de Taylo Se nos movemos do ponto P paa o ponto Q a função φ iá se altea de uma quantidade φ cujo valo exato seá φ φ φ φ = φ( x+ x, y+ y, z + z) φ( x, y, z) = x + y + z + O( 2 ) (1) x y z 17

Se dividimos φ po s ( s R é a distância ente P e Q) vamos obte a medida da taxa de vaiação de φ com a distância φ φ x φ y φ z = + + + O( 2 ) (2) s x s y s z s Po exemplo, se φ( x, y, z) é a tempeatua num ponto genéico P ( x y z) :,, então φ / s é a taxa média de mudança da tempeatua, em gaus Celsius po unidade de compimento, no ponto P na dieção em que s é medida Quando s tende paa zeo (ou seja, s é tão pequeno quanto um infinitésimo ds) tem-se dφ φ dx φ dy φ dz = + +, (3) ds x ds y ds z ds onde os temos de mais altas odens tendem a zeo pois contêm podutos de infinitésimos A elação (3) é conhecida como deivada diecional de φ O pimeio fato que multiplica cada um dos tês temos à dieita depende da função φ e das coodenadas do ponto onde a deivada é calculada O segundo fato de cada temo à dieita depende apenas da dieção onde a deivada está sendo calculada Essa obsevação sugee que dφ / ds pose se pensado como o poduto escala de dois vetoes: um dependendo de φ e das coodenadas do ponto e outo dependendo da dieção de ds dφ φ ds x i φ y j φ z k dx ds i dy ds j dz = $ + $ + $ $ + $ + ds k $ (4) A pimeia função vetoial do lado dieito de (4) é conhecida como gadiente de φ e é algumas vezes escito na foma opeacional φ φ φ φ φ x i $ $ y j z k $ + + x i $ $ y j z k $ = + + = 1444 24443 veto opeacional Dessa foma, (4) pode se eescita dφ ds = φ dr ds (5) 18