Caracterização espectral de siais caóticos Daiela Mitie Kato e Marcio Eisecrat Resumo Este artigo ivestiga umericamete as características da Desidade Espectral de Potêcia (DEP) de siais caóticos gerados por mapas da amília teda icliada. A iluêcia do expoete de Lyapuov a seqüêcia de autocorrelação e a DEP é avaliada por meio de simulações computacioais. Coclui-se que a bada essecial está diretamete relacioada a esse expoete e que estes siais podem ser passa-altas ou passabaixas, depededo do parâmetro da amília. Estes resultados são relevates para aplicações de siais caóticos em sistemas de modulação digital. Palavras-Chave Comuicações usado caos, geradores caóticos, aalise espectral. Abstract This paper umerically ivestigates characteristics o the Power Spectral Desity (PSD) o chaotic sigals geerated by skew tet maps. The iluece o the Lyapuov expoet o the autocorrelatio sequece ad o the PSD is evaluated via computatioal simulatios. We coclude that the essetial badwidth is strogly related to this expoet ad these sigals ca be low-pass or high-pass depedig o the amily s parameter. These results are relevat whe it comes to applicatios o chaotic sigals i digital modulatio systems. Keywords Chaotic commuicatio, chaos geerators, spectral aalysis. I. INTRODUÇÃO Sistemas diâmicos discretos uidimesioais são modelos matemáticos em que o estado atual é depedete do estado aterior. A ução que relacioa esses estados é chamada de mapa []. Neste artigo, estudam-se umericamete características espectrais de siais caóticos gerados por mapas uidimesioais. Um sial caótico é aperiódico, determiístico e apreseta Depedêcia Sesível às Codições Iiciais (DSCI). A DSCI sigiica que, para duas codições iiciais muito próximas, a cada iteração do mapa, os siais resultates vão se distaciado, torado-se totalmete distitos []. Apesar de sua complexidade, estes siais podem ser acilmete obtidos a partir de sistemas diâmicos discretos uidimesioais. Devido às propriedades que os deiem, costuma-se airmar que os siais caóticos, caracteristicamete, ocupam uma larga aixa de reqüêcias, possuem seqüêcia de autocorrelação impulsiva e que as seqüêcias de correlação cruzada etre siais com dieretes codições iiciais apresetam valores baixos []. Atualmete, existe um grade úmero de áreas desevolvedo pesquisas com a aplicação de siais caóticos [3], [4]. Na Egeharia de Telecomuicações ão é dierete. A partir do trabalho [5], vêm surgido umerosas possibilidades de aplicação desses siais em modulação aalógica e digital, Daiela Mitie Kato e Marcio Eisecrat, Escola de Egeharia, Uiversidade Presbiteriaa Mackezie, São Paulo, Brasil, e-mails: daikato@yahoo.com, marciot@mackezie.br. codiicação e criptograia, etre outras áreas. Veja, por exemplo, [], [6] e suas reerêcias. Um exemplo iteressate de aplicação dos siais caóticos é o Espalhameto Espectral por Seqüêcia Direta (DS-SS - Direct Sequece - Spread Spectrum), em que podem ser aplicados como seqüêcias espalhadoras. Sedo siais bada larga e com DSCI, é possível gerar iiitas seqüêcias com baixo custo []. Apesar da grade quatidade de trabalhos publicados, poucos abordam as características espectrais dos siais caóticos. Algus trabalhos, como [7] [], mostram gráicos da Desidade Espectral de Potêcia (DEP) de siais caóticos de tempo cotíuo gerados por sistemas particulares. O artigo [] utiliza aálise da DEP de siais caóticos de tempo discreto para estudar itermitêcias. Porém, um estudo mais aproudado das características da DEP de siais caóticos, ator udametal para a utilização prática desses siais em Telecomuicações, aida é ecessário. O objetivo deste trabalho é apresetar algus resultados prelimiares sobre as características espectrais de siais caóticos gerados pela amília de mapas teda icliada. Além disso, busca-se relacioar essas características com uma importate medida da caoticidade : o expoete de Lyapuov. Vale ressaltar que estas avaliações oram realizadas de orma empírica e as coclusões são baseadas em simulações computacioais. Esta abordagem, comum o estudo de aplicações de siais caóticos, é justiicada pela diiculdade em se obter resultados aalíticos quado se estuda sistemas itrisecamete ão-lieares, como os em questão. Um mapa teda icliada [3] é composto por dois trechos lieares, com icliações de siais dieretes. Eles se ecotram em um poto que determia o pico da teda. A abscissa desse poto é o parâmetro que deie um mapa a amília. Os siais gerados por estes mapas apresetam comportameto rico e variado, mas aida assim de ácil esquematização. Daí a escolha desta amília estes estudos iiciais. Este trabalho está orgaizado da seguite orma: a Seção II é itroduzida a amília de mapas teda icliada e suas pricipais características. Na Seção III são discutidas as técicas de obteção da DEP de siais caóticos. Na Seção IV é aalisada a relação etre bada essecial e expoete de Lyapuov. Por im, a Seção V, são expostas as coclusões do trabalho. II. A FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA Um sistema diâmico uidimesioal em tempo discreto é deiido pela equação de diereças s( + ) = (s()), () sedo U R o domíio de (s), N e s() U. Para cada codição iicial s() = s, uma órbita ou sial s(, s )
I (s).7.6 (c) (d) s () s () s () s () 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 s 3 4 5 6 7 8 9 Fig.. Mapa teda icliada, órbita do mapa teda icliada s () com s =., (c) órbita do mapa teda icliada s () com s =. e (d) modulo da diereça etre as órbitas s () e s (). é deiido. Quado a codição iicial s estiver subetedida ou ão or relevate, s(, s ) é represetado simplesmete por s(). Neste trabalho, oca-se a amília de mapas teda icliada, uma modiicação do mapa proposto em [3]. Um mapa desta amília é deiido por em que I (s) = s( + ) = I (s()) () + s + +, < s < (3) s +, s < e {, s()} U = (, ). O parâmetro é a abscissa em que se localiza o ápice da teda. Na Figura é ilustrado um exemplo de mapa teda icliada para =.6. Na Figura um sial s () deste mapa com codição iicial s =. é mostrado. Na Figura (c) é apresetado outro sial gerado por este mapa, s (), com s =., ilustrado o coceito de DCSI característico de siais caóticos. Após cerca de 3 iterações, a diereça etre os siais ica da ordem de gradeza dos próprios siais, como mostrado a Figura (d). A DSCI é geralmete veriicada por meio do expoete de Lyapuov. Este expoete mede a taxa de divergêcia expoecial média etre duas órbitas muito próximas. Se o valor do expoete é maior que zero, etão um sial aperiódico é caótico []. O expoete de Lyapuov h de uma órbita s(, s ) é calculado por meio de [] h = lim N ( N N = l (s (, s )) ), (4) em que (s) é a derivada de (s). Pode-se mostrar que, para as órbitas da amília de mapas teda icliada, o expoete de Lyapuov depede apeas do h I.5.4.3...5.5 Fig.. Expoete de Lyapuov para o itervalo (, ). parâmetro, sedo dado por [3] h I = + ( l + ) + l ( ). (5) Na Figura é mostrado um gráico de h I em ução de. Nota-se que, para todos os valores de cotidos o itervalo (, ), o expoete de Lyapuov é positivo. Isto implica que o mapa gera siais caóticos para todos os valores admissíveis de. O máximo valor de h I é l para =. Os mapas I (s) possuem desidade ivariate uiorme idepedetemete do parâmetro [4]. Isto sigiica que os potos dos siais gerados por estes mapas distribuem-se uiormemete o itervalo U = (, ). Coseqüetemete, esses siais possuem média ula e potêcia média de /3 para qualquer valor de [4]. III. DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA Os siais caóticos gerados por um mapa podem ser a- alisados de duas maeiras: (i) como siais idividuais determiísticos ou (ii) como uções amostra de um processo estocástico. Essas duas maeiras levam a dieretes ormas do cálculo da DEP, que são aalisadas esta seção. A. Siais Idividuais Determiísticos Dada a Eq. () e a codição iicial s() = s, o sial s(, s ) ica bem deiido. Desta orma, pode-se calcular sua seqüêcia de autocorrelação R(l, s ) como N R(l, s ) = lim s(, s )s( + l, s ), (6) N N = em que l é um úmero iteiro [5]. Caso +l <, assume-se que s(+l, s ) =. Explicita-se a otação a depedêcia da seqüêcia de autocorrelação com a particular codição iicial s. A DEP S(, s ) é obtida calculado-se a Trasormada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD) de R(l, s ), cosideradose l a variável temporal [5]. Na Figura 3 são ilustrados seis trechos de dieretes órbitas geradas usado as Eqs. () e (3) e suas respectivas DEPs. Para a estimação da DEP oram utilizadas iterações, sedo descartadas as primeiras, resultado em N = 98 amostras. Foram usados =.9, = e =.9 e duas
(c) (d) (e) () s(,π/) s(, π/4) s(,π/) s(, π/4) s(,π/) s(, π/4) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 S(,π/) S(, π/4) S(,π/) S(, π/4) S(,π/) S( π/4.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 Fig. 3. Siais gerados pelo mapa teda icliada e suas respectivas DEPs para s = π/, =.9; s = π/4, =.9; (c) s = π/, = ; (d) s = π/4, = ; (e) s = π/, =.9 e; () s = π/4, =.9. codições iiciais para cada um desses valores. É importate citar que o mapa com = gera órbitas caóticas apeas para codições iiciais irracioais []. Sedo assim, apeas este caso, utilizou-se a propriedade da cojugação [] deste mapa com o mapa quadrático Q (s ()) = s () +. (7) Nos gráicos das DEPs, tato a abscissa quato a ordeada estão ormalizadas. Desta maeira, = equivale a ω = π rad/amostra o tempo discreto e a c = a /, em que a é a reqüêcia de amostragem, o tempo cotiuo. Por meio das simulações computacioais realizadas, podese ierir que: i) para positivo, os siais se comportam como passabaixas e a oscilação o tempo é leta, como se observa, por exemplo, as Figuras 3 e 3; ii) para próximo de zero, os siais são bada larga, como pode ser visto as Figuras 3(c) e 3(d), e iii) para egativo, os siais se comportam como passaaltas e a oscilação o tempo é rápida, como é ilustrado S S () R S (l).8.6.4....3.4.5.6.7.8.9 =.9 =.5 =..5 =.5 =.9 =. = =. =.5 =.9.5 = =. =.5 =.9 8 6 4 4 6 8 l Fig. 4. DEP e seqüêcia de autocorrelação para siais do mapa teda icliada para algus valores de. as Figuras 3(e) e 3(). Além disso, codições iiciais dieretes para um mesmo valor de ão alteram sigiicativamete as características o domíio da reqüêcia. O ato das características espectrais ão depederem das codições iiciais, leva à idéia de se modelar um sial caótico como uma ução amostra de um processo aleatório ergódico, deiido pelo seu mapa gerador. Essa abordagem é discutida a seguir. B. Fuções Amostra de Um Processo Estocástico Os siais caóticos podem ser compreedidos como um processo estocástico, em que cada sial gerado por uma codição iicial dierete represeta uma ução amostra. Neste caso, o mapa deie um processo ergódico [6] e sua seqüêcia de autocorrelação é deiida por R S (l) = E [R (l, s )], (8) em que E[ ] é o operador esperaça matemática. Essa esperaça é tomada sobre todas as codições iiciais que geram órbitas caóticas. A DEP S S () é a TFTD de R S (l) [7], como é eito usualmete em processos estocásticos covecioais. Na Figura 4 são ilustradas estimativas da DEP e da seqüêcia de autocorrelação ormalizadas para dieretes valores de, utilizado órbitas com codições iiciais s distribuídas uiormemete o domíio U, cada uma com N = 44 amostras. Utilizar um valor maior de N ão altera umericamete os resultados obtidos. Na Figura 5 é ilustrado o comportameto geral dessas uções para valores de o itervalo (, ). Aalisado essas iguras, observa-se que: i) quato maior o módulo de, mais estreita é a bada dos siais resultates; ii) o sial de deie se as órbitas geradas têm comportameto passa-baixas ou passa-altas; iii) as DEPs de siais gerados por mapas com valores de opostos apresetam simetria em relação a =.5, como pode ser visto a Figura 4;
DEP.8.8.6.6 B.5.4.4..5.5...4.6.8 R S (l).5.5 l B.5...3.4.5.6.7 h I Fig. 5. DEP e seqüêcia de autocorrelação para siais do mapa teda icliada para valores de o itervalo (-,). Fig. 6. Bada essecial em ução de e do expoete de Lyapuov. iv) para >, R S (l) decai mootoicamete com l, e para <, R S (l) oscila, idicado que, este caso, para quase quaisquer e s, as amostras s(, s ) e s(+, s ) têm siais dieretes. Estes resultados podem ser melhor quatiicados utilizadose o coceito de bada essecial. IV. BANDA ESSENCIAL A bada essecial B é deiida como a largura de bada em que 95% da potêcia do sial está cocetrada [8]. Neste trabalho, a bada essecial oi dividida por.95, sedo apresetada de orma ormalizada. Assim, um ruído braco, cuja potêcia está distribuída uiormemete por todo o espectro, possui B =. Para qualquer outro processo, < B <. Pela Eq. (5), o valor de deie o expoete de Lyapuov. Na Figura 4, vê-se que este parâmetro está diretamete relacioado à largura de bada do sial. Coseqüetemete, é possível relacioar a bada essecial com o parâmetro e com o expoete de Lyapuov, como ilustrado a Figura 6. No gráico 6, costata-se que se obtém um processo ruído braco para = e um processo de bada extremamete estreita para. É importate ressaltar que, em todos os casos, o expoete de Lyapuov é positivo e assim, as uçõesamostra aperiódicas destes processos são siais caóticos. Esta relação etre B e é justiicada pelo ato de que, observado a Figura, quato meor, maior o valor do expoete de Lyapuov, o que sigiica que os siais com codições iiciais próximas divergem mais rapidamete. Desta maeira, os siais se toram totalmete distitos após poucas iterações, levado a uma seqüêcia de autocorrelação impulsiva. Sedo a DEP calculada pela TFTD da seqüêcia de autocorrelação, tem-se um sial bada larga, ou seja, com B elevado. Assim, escolhedo-se um valor de adequado, pode-se obter um sial caótico bada larga ou estreita, passa-altas ou passa-baixas e com a bada essecial desejada. Estes resultados cotrariam o que se costuma airmar sobre os siais caóticos que ocupam largas aixas de reqüêcia e que sua ução de autocorrelação é represetada a orma de um impulso. Por isso é importate estudar mais proudamete o espectro desses siais pesado em aplicá-los em Telecomuicações. V. CONCLUSÕES Com as características usualmete cohecidas dos siais caóticos, é possível aplicá-los em diversas áreas da Egeharia de Telecomuicações, como discutido a Seção I. Com a realização deste trabalho, mostrou-se, por meio de simulações computacioais, a possibilidade de se gerar siais caóticos bada estreita, com bada essecial bem deiida, sem prejuízo a caoticidade. Além disso, eles podem apresetar seqüêcia de autocorrelação ão impulsiva. Notou-se também que o parâmetro e o expoete de Lyapuov estão ortemete relacioados com a bada essecial B. Desta maeira, tedo uma bada essecial desejada, acilmete pode-se obter e um mapa liear por partes associado que gera esta órbita. Estuda-se atualmete a possibilidade de que as características espectrais de siais caóticos gerados por um determiado mapa, sejam expadidas para siais gerados por um mapa cojugado a este. A cojugação relacioa um sial de um determiado mapa ao sial de um outro mapa por meio de uma ução bijetora []. Assim, os resultados apresetados aqui poderão ser geeralizados para outros mapas uidimesioais. O poto mais relevate observado este trabalho, é que caos ão é siôimo de bada larga e seu espectro ecessita de um estudo mais aproudado, quado se pesa em aplicações práticas dos mesmos a área de Telecomuicações. AGRADECIMENTOS Os autores gostariam de agradecer ao apoio iaceiro recebido do MackPesquisa (udo de icetivo à pesquisa do Istituto Presbiteriao Mackezie). Agradecem também à Proa. Maria D. Mirada e ao Pro. José R. C. Piqueira pelas motivates discussões sobre os resultados obtidos este trabalho.
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