3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY A teoria de Cauchy-Goursat, desenvolvida na secção 2 (TEORIA DE CAUCHY- GOUR- SAT), permite-nos tirar algumas propriedades importantes sobre as funções f que são diferenciáveis num conjunto aberto U: Uma primeira consequência surge do facto de considerando u Re f(x + iy) e v Im f(x + iy); a função derivada de f; ser dada para qualquer x + iy 2 U; através de qualquer uma das igualdades seguintes: f 0 (x + iy) = + i i : Mas como f 0 é contínua em U; por ser também diferenciável em U; podemos concluir que então são igualmente funções contínuas no aberto = f : x + iy 2 Ug ; e que, por conseguinte, f é uma função holomorfa em U: Logo ter f diferenciável em U é equivalente a que f seja holomorfa em U: 3. FUNÇÕES HARMÓNICAS Uma função real que seja de classe C 2 num conjunto aberto R 2 ; e que satisfaça para cada 2 ; a equação de Laplace @2 + @2 0; 2 2 diz-se uma função harmónica em : Casos concretos de funções harmónicas são-nos dados pelas funções que são parte real ou parte imaginária de uma função, f; que seja holomorfa num dado conjunto aberto, U C; isto é, pelas funções u Re f(x + iy) e v Im f(x + iy); de nidas no aberto = f : x + iy 2 Ug R 2 : Para isso tenhamos em conta que Re f 0 (x + iy) = Im f 0 (x + iy) = e que o Teorema 7 da secção 2.2 (FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY) garante que f 0 também é diferenciável em U: Então destas relações podemos concluir que existirão necessariamente em ; todas as derivadas parcias de segunda ordem, quer de u; quer de

v; e que as correspondentes equações de Cauchy-Riemann são veri cadas. Assim, para qualquer 2 ; @ @ @ @ e também @ @ @ @ ou seja, @ 2 u @2 v @ 2 @ 2 v @ 2 u @ 2 2 u @2 v 2 2 v @2 u : 2 Além disso, ainda por ser uma função diferenciável em U; f 00 é uma função contínua neste conjunto, podendo-se então a rmar que também todas as derivadas de segunda ordem são funções contínuas em ; ou seja que u e v são funçõess de classe C 2 em : Então a igualdade entre as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem permite-nos concluir que, para qualquer 2 ; u @2 u + @2 u 0; 2 2 v @2 v + @2 v 0: 2 2 Logo, em tais circunstâncias, podemos a rmar que, na verdade, u e v são funções harmónicas. Dada uma função harmónica num dado conjunto R 2 ; se existir uma função complexa de variável complexa, f; holomorfa em U = fx + iy : 2 g tal que a função Re f(x + iy); Im f(x + iy) é chamada de harmónica conjugada de u: Notemos ainda que a diferenciabilidade de f 0 leva a que para qualquer x + iy 2 U; f 00 (x + iy) = @ + i @ = @ i @ = @ + i @ = @ i @ 2

ou seja que f 00 (x + iy) = @2 u + v 2 i@2 @2 v 2 i @ 2 v = i @2 u @2 u 2 i@2 @ 2 u v : 2 Mas como ainda pelo Teorema 7 da secção 2.2 (FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY) também f 00 também é holomorfa, existem igualmente todas as derivadas parciais de terceira ordem de qualquer das funções u e v: Prosseguindo continuamente este processo, podemos assim concluir que quer u; quer v; admitem no conjunto ; todas derivadas parciais de todas as ordens. Logo u e v são ambas funções de classe C em : 3.2 TEOREMA DE LIOUVILLE Uma outra consequência simples das fórmulas integrais de Cauchy reporta-se ao teorema seguinte, comummente atribuído ao francês Joseph Liouville (809-899). Teorema (Teorema de Liouville) Qualquer função inteira limitada é constante. Dem.: Com z 2 C; temos para qualquer circunferência, C r (z); de centro em z e raio r > 0; simples e positivamente orientada, f 0 (z) = f(w) 2i (w z) dw: 2 C r(z) Então supondo que jf(z)j M; para qualquer z 2 C; obtemos que jf 0 (z)j M 2 r 2r = M 2 r : Da arbitrariedade de r > 0; concluímos que f 0 é identicamente nula em C: Logo f é constante em C: 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Teorema 2 (Teorema Fundamental da Álgebra) Qualquer polinómio de grau superior a um tem pelo menos uma raiz. Dem.: Seja p(z) = a n z n + ::: + a z + a 0 um polinómio de grau n > e suponhamos que p(z) não admite qualquer raiz. Nestas circunstâncias, temos que p(z) 6= 0; qualquer que seja z 2 C; e por conseguinte a função é uma função inteira. f (z) = p(z) 3

De jp(z)j = z n a n + a n + ::: + a z z + a 0 n z n = jzj n an + a n z + ::: + a z n + a 0 z n ; podemos concluir que jp(z)j! +; quando jzj! + e consequentemente que jf (z)j! 0; quando jzj! +: Ou seja, existe R > 0 su cientemente grande tal que jf (z)j < ; quando jzj > R: Porém, sendo f inteira, em particular f é contínua em C; e como tal limitada na bola fechada B R = fz : jzj Rg : Em suma, f é uma função inteira limitada. Mas em tais circunstâncias, o teorema de Liouville, leva-nos a a rmar que f é uma função constante. Mas isto implica que todos os coe cientes do polinómio a; :::; a ; são nulos, e que portanto p(z) é um polinómio de grau zero, o que é absurdo. 3.4 TEORIA DE CAUCHY GLOBAL A teoria de Cauchy permanece válida em condições mais gerais, como mostraremos a seguir com base no conceito de homologia, o qual é construído através do índice de uma linha em C, relativamente a um ponto w =2 im, I(; w) = 2i z w dz: Duas linhas fechadas no aberto U; dizem-se homólogas em U sempre que, I(; w) = I(; w), para cada w =2 U: Se se reduzir a um ponto de U; será homóloga a em U se I(; w) = 0, para cada w =2 U; caso em que se diz homóloga a um ponto de U; ou 0-homóloga em U. O conceito de homologia pode ser estendido de uma maneira formal a conjuntos de linhas, com alguma vantagem prática. A um conjunto nito de linhas = f ; :::; n g chamaremos uma cadeia. Uma cadeia diz-se um ciclo se cada linha que compõe for fechada. Por im = im [ ::: [ im n ; designaremos a imagem da cadeia. Se f for uma função contínua em im, ao valor f = nx k= chamaremos integral de f ao longo de : Por comprimento de entenderemos o valor k f c( ) = nx c( k ): k= 4

Se for um ciclo, consideraremos o índice de em relação a um ponto w =2 im, como sendo o número inteiro nx I( ; w) = I( k ; w): k= Deste modo, diremos que dois ciclos e 2 são homólogos no aberto U, se I( ; w) = I( 2 ; w) para cada w =2 U. Um ciclo dir-se-á homólogo a um ponto de U ou 0-homólogo em U se I( ; w) = 0; para cada w =2 U: Posto isto, podemos enunciar a seguinte versão do teorema de Cauchy. Teorema 3 (Teorema de Cauchy Global) Seja f uma função holomorfa no aberto U e um ciclo 0-homólogo em U. Então: (i) f(z)i( ; z) = f(w) dw; para cada z 2 Unim ; 2i w z (ii) f = 0: Dem.: Comecemos por observar que (i) ) (ii): Na verdade, tomando um ponto z 0 2 Unim ; através de F (z) = (z z 0 )f(z), constituímos uma função diferenciável em U e, por (i), f(z)dz = F (z) dz = F (z 0 )I( ; z 0 ) = 0: 2i 2i z z 0 ) Iniciemos a demonstração de (i) com a formulação da função auxiliar g : U U! C, dada por 8 < f(w) f(z) ; se w 6= z; g(w; z) = : w z f 0 (z); se w = z: Trata-se de uma função contínua em U U: Na verdade, a esse respeito, apenas os pontos do tipo (u; u); u 2 U, poderão merecer dúvidas. Ora, qualquer que seja " > 0; pela continuidade de f 0 ; existe > 0; tal que jz uj < ) jf 0 (z) f 0 (u)j < "; facto que mostra ser jg(w; z) g(u; u)j < "; sempre que jz uj < e w = z: Por outro lado, para z e w tais que 0 < jz uj < ; 0 < jw uj < ; de f(w) f(z) = f 0 (v)dv e f 0 (u) = f 0 (u)dv: w z [z;w] [z;w] obtemos, jg(w; z) g(u; u)j = w z [z;w] (f 0 (v) f 0 (u)) dv < " c([z; w]) = "; jw zj o que prova a continuidade de g em U U: Deste facto resulta que, para cada w 2 U; xo, a função de nida por (z) = g(w; z); é diferenciável em U: Na verdade, possuirá, quando muito uma singularidade em z = w; mas por aplicação do teorema de Goursat, atendendo a que é contínua, teremos R @ = 0; para cada triângulo, ; contido em U; permitindo então o teorema de Morera concluir a diferenciabilidade de em U: 5

2) Tomemos agora a função, de nida em U, através de h(z) = g(w; z)dw: 2i Para z 2 Unim ; temos h(z) = 2i f(w) dw f(z)i( ; z); w z pelo que (i) equivale a mostrar que h é identicamente nula em Unim : A função h é contínua em U: Na verdade com z 0 2 U; se B(z 0 ; r) for uma bola fechada de centro em z 0 e raio r > 0; contida em U; atendendo a que, pela sua continuidade, g é uniformemente contínua no limitado e fechado im B(z 0 ; r); temos que para cada " > 0; existe 0 < r tal que jg(w; z) g(w; z 0 )j < 2" c( ) ; para (w; z) 2 im B(z 0 ; ). Como tal, jh(z) h(z 0 )j < 2" c( ) = ": 2 c( ) Além de contínua, h é holomorfa em U; já que é holomorfa em cada bola aberta contida em U: De facto, se for uma linha qualquer fechada contida nessa bola; temos h(z)dz = g(w; z)dw dz = g(w; z)dz dw; 2i 2i por aplicação do teorema de Fubini, atendendo à continuidade de g e a que os integrais em causa se resumem a integrais em intervalos fechados ou somas nitas de integrais deste tipo. Mas como para cada w 2 U, a função (z) = g(w; z) é, como vimos, diferenciável em U; e a bola considerada é um conjunto convexo, temos pelo teorema de Cauchy que R h(z)dz = 0; o que permite concluir por aplicação do teorema de Morera que h é holomorfa em U: 3) Seja agora W = fz 2 Cnim : I( ; z) = 0g : W é um conjunto aberto porque I( ; z) é uma função contínua na variável z que apenas toma valores inteiros e como é um ciclo homólogo a um ponto em U; temos que CnU W; o que implica, em particular que U [ W = C. Por outro lado, sabemos que a função F (z) = f(w) 2i w z dw é holomorfa em Cnim e, por conseguinte, também em W; além de que F (z) = h(z); se z 2 U \ W: Deste modo a função h(z); se z 2 U; H(z) = F (z); se z 2 W; 6

encontra-se bem de nida em todo o plano complexo e nessa qualidade é mesmo uma função inteira. 4) Se mostrarmos que H(z)! 0 quando jzj! +; provamos, em particular que H é limitada, e como tal constante, pelo teorema de Liouville. Da própria condição no in nito resulta então que H é identicamente nula em C, o que prova ser h = 0 em U: Para tal, comecemos por notar que sendo im um conjunto limitado, qualquer ponto z 2 U com jzj su cientemente grande se acha em W. Assim, para z tal que jzj > r; é H(z) = F (z) e, por conseguinte, Ora, se r > max w2im jh(z)j 2 max w2im jf(w)j max w2im jw zj c( ) jwj ; temos para w 2 im ; qualquer, jw zj jzj r; donde jh(z)j 2 max jf(w)j c( ): w2im jzj r Logo fazendo jzj! +; obtemos H(z)! 0; o que completa a demonstração do teorema. Observemos que este teorema é válido quando o ciclo é constituído por uma única linha fechada homóloga a um ponto em U. Nestas circunstâncias (ii) exprime um resultado mais geral que a versão indicada do teorema de Cauchy, o mesmo sucedendo a (i) relativamente à primeira fórmula integral de Cauchy. Notando que uma linha de Jordan, ; num aberto U; tal que int U; é homóloga a um ponto de U, pois CnU ext; obtemos a seguinte versão do teorema de Cauchy para linhas de Jordan: Corolário 4 Se f é uma função holomorfa no aberto U e é uma linha de Jordan em U; cujo interior se encontra contido em U, então f = 0: Para a homologia entre ciclos temos: Corolário 5 Se f é uma função holomorfa no aberto U e e 2 são dois ciclos homólogos em U então f(z)dz = f(z)dz: Dem.: Se = f ; :::; n g e 2 = f 2 ; :::; 2n g ; basta tomar o ciclo = ; :::; n ; 2 ; :::; 2n ; o qual é homólogo a um ponto de U, pois I( ; z) = I( ; z) I( 2 ; z) = 0; para cada z =2 U: Então pelo teorema vem f(z)dz = 0 = f(z)dz f(z)dz: 2 2 7

3.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Sejam e duas funções harmónicas num conjunto aberto R 2 : Mostre que a função complexa de variável complexa dada por @ @ @ f (x + iy) = + i + @ é holomorfa em U = fx + iy : 2 g : 2. Seja u x 3 3xy 2 5y: a) Veri que que u é uma função harmónica em R 2 : b) Determine, v a harmónica conjugada de u tal que v (0; 0) = 0: 3. Considere a função v e x2 y 2 cos (2xy) : a) Veri que que v é harmónica em R 2 : b) Determine uma função inteira f; tal que f (0) = i e Im f (x + iy) = v : 4. Justi que que em R 2 ; v 2xy é harmónica conjugada de u x 2 y 2 : 5. Mostre que não existe uma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 : 6. Sabendo que num conjunto R 2 ; v é harmónica conjugada de u; determine uma harmónica conjugada de v em : 7. Seja p (z) um polinómio de grau n: Para que valores de n é possível que =p (z) seja uma função inteira? 8. Considere as seguintes linhas do plano complexo: (t) = 2 ei2t ; t 2 [0; 2] ; 2 (t) = 3e i2t ; t 2 [0; 2] ; 3 (t) = e i2t ; t 2 [0; 2] : Quais destas linhas são homólogas entre si nos seguintes conjuntos abertos do plano complexo: a) U = fz : jzj > =3g : b) U = fz : jz 2j > =2g \ fz : jz + 2j > =2g : 8

9. Sejam z 0 ; z 2 C e r < jz z 0 j =2 e C r (z 0 ) ; C r (z ) circunferências de raio r e centros em z 0 e z ; respectivamente, simples e positivamente orientadas. Seja uma linha de Jordan contendo no seu interior C r (z 0 ) e C r (z ) : Justi que que: (z z 0 ) (z z ) dz = C r(z 0 ) (z z 0 ) (z z ) dz + C r(z ) (z z 0 ) (z z ) dz: 0. Seja f uma função holomorfa no conjunto aberto U = fz : jzj > g e designe-se por E a elipse simples e positivamente orientada dada pela equação x2 + = : 4 9 Justi que que f (z) E z dz = f (z) dz (n 2 ) n C r zn para qualquer circunferência, C r ; simples e positivamente orientada de centro na origem e raio r > : 3.5. RESOLUÇÕES. Como e são de classe C 2 ; as funções u @ @ @ @ v + são ambas de classe C : Além disso são veri cadas as equações de Cauchy-Riemann. Na verdade de concluímos que @2 @ 2 2 @2 @2 + 2 atendendo à igualdade das derivadas cruzadas e a que, por se harmónica, se tem Analogamente, de resulta que @ 2 @2 : 2 2 @2 @ 2 2 @2 @2 + 2 : Logo f é holomorfa em U = fx + iy : 2 g : 9

2.a) Veri quemos que 8 2 R 2 se tem Ora por diferenciação obtemos Logo u 0: 3x2 3y 2 @ 2 u ; 6x; 2 6xy 5; @ 2 u 6x: 2 u @2 u + @2 u 6x 6x = 0: 2 2 2.b) Procuremos uma função inteira f tal que A função Re f (x + iy) = u : v Im f (x + iy) será então uma harmónica conjugada de u: Tendo a atenção a diferenciabilidade de f; as funções u e v relacionam-se entre si pelas equações de Cauchy-Riemann. Isto é, v será tal que Assim, temos que e 3x2 3y 2 ; 6xy + 5: 8 2 R2 : Então por primitivação em ordem a y e a x; respectivamente, concluímos que v 3x 2 y y 3 + c (x) ; v 3x 2 y + 5x + c 2 (y) onde c (x) e c 2 (y) designam funções exclusivamente dependentes das variáveis x e y; respectivamente. Por comparação podemos então concluir que v 3x 2 y + 5x y 3 + K; onde K é uma qualquer constante real. Da condição v (0; 0) = 0 podemos a rmar que K = 0 e que portanto v 3x 2 y + 5x y 3 : 3.a) Pelas regras de derivação temos que 2xex2 cos (2xy) e x2 y 2 2y sin (2xy) ; 0

@ 2 v 2ex2 2 cos (2xy)+4x 2 e x2 y 2 cos (2xy) 8xye x2 y 2 sin (2xy) e x2 y 2 4y 2 cos (2xy) ; 2yex2 cos (2xy) e x2 y 2 2x sin (2xy) ; @ 2 v 2ex2 cos (2xy)+4y 2 e x2 y 2 cos (2xy)+8xye x2 y 2 sin (2xy) e x2 y 2 4x 2 cos (2xy) : 2 Logo, na verdade v e x2 y 2 cos (2xy) : v @2 v + @2 v 0: 2 2 3.b) Procuremos uma função u tal que f (x + iy) = u + iv seja uma função inteira. As equações de Cauchy-Riemann indicam-nos que u deverá ser tal que Assim temos que e 8 2 R2 : 2yex2 cos (2xy) 2xe x2 y 2 sin (2xy) ; 2xcex2 cos (2xy) + e x2 y 2 2y sin (2xy) : Da primeira destas relações, observemos que pela regra de derivação do produto de funções o que implica que 2yex2 = e x2 y @ 2 = @ e x2 cos (2xy) 2xe x2 y 2 sin (2xy) ; @ sin (2xy) ex2 y 2 sin (2xy) ; u e x2 y 2 sin (2xy) + c (y) ; sin (2xy) ; onde c (y) é uma qualquer função dependente apenas da variável y: Analogamente da segunda relação temos que 2xex2 cos (2xy) + 2ye x2 = e x2 y @ 2 sin (2xy) = @ e x2 y 2 sin (2xy) ; y 2 sin (2xy) @ e x2 y 2 sin (2xy)

e que por conseguinte u e x2 y 2 sin (2xy) + c 2 (x) ; para uma qualquer função c 2 (x) que apenas dependa da variável x: Comparando os dois resultados obtidos podemos então concluir que para uma qualquer constante real u e x2 y 2 sin (2xy) + K; e que f (x + iy) = e x2 y 2 sin (2xy) + K + ie x2 y 2 cos (2xy) : Por m a condição f (0) = i ca equivalente a K + i = i; donde resulta que K = 0: Logo f (x + iy) = e x2 y 2 sin (2xy) + ie x2 y 2 cos (2xy) : 4. Facilmente se observa que f (x + iy) = u + iv = x 2 y 2 + i2xy = x 2 + i2xy + i 2 y 2 = (x + iy) 2 : Como f (z) = z 2 é obviamente uma função holomorfa, de u Re f (x + iy) ; v Im f (x + iy) concluímos que u e v são de facto harmónicas conjugadas. 5. Supondo que existia uma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 : num certo conjunto U C; então a função y 4 + x 2 teria de ser necessariamente harmónica em = f : x + iy 2 Ug : Ora por derivação temos que o que implica que @ 2x; @ 2 2; 2 @ @ 2 4y3 ; 2 2 ; @2 2 + @2 2 2 + 2: Ora como 6= 0; 8 2 R 2 ; temos que não é harmónica em nenhum conjunto R 2 : Logo não existe nenhuma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 : 2

6. Se v é harmónica conjugada de u; num certo conjunto R 2 ; então existe uma função f; holomorfa em U = fx + iy : 2 g ; tal que u Re f (x + iy) ; v Im f (x + iy) ; 8 2 : Assim, além de serem harmónicas temos que u; v 2 C em e que são veri cadas as equações de Cauchy-Riemann e 8 2 : O que se pretende é determinar uma função w 2 C em para a qual exista uma função g holomorfa em U tal que v Re g (x + iy) ; w Im g (x + iy) ; 8 2 : Nestas condições devem igualmente ser satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann: @w e @w ; 8 2 : Assim w será tal que, para qualquer 2 ; o que implica que @w @w : w u + K: Logo w = u é uma harmónica conjugada de v: 7. Se n > 0 então pelo teorema fundamental da Álgebra, p (z) possui pelo menos uma raíz z 0 : Nessas circunstâncias não pode de nir-se em z 0 um valor para =p (z) ; já que lim z!z 0 p (z) = ; facto que não permite que aquela função seja diferenciável em z 0 : Quando n = 0; tem-se p (z) = c e este entrave não acontece se for c 6= 0: Logo =p (z) será uma função inteira se e só se p (z) for um polinómio de grau zero não identicante nulo. 8.a) Seja w =2 U; isto é w tal que jwj =3: Temos que I ( ; w) = I ( 2 ; w) = 2; I ( 3 ; w) = 2: Logo em U; apenas e 2 são homólogas. 8.b) Seja w =2 U; isto é w tal que jw + j =2 ou jw j =2: Temos agora I ( ; w) = 0; I ( 2 ; w) = 2; I ( 3 ; w) = 0: Logo em U; apenas e 3 são homólogas. 3

9. A função f (z) = (z z 0 ) (z z ) é holomorfa em U = Cn fz 0 ; z g : Os ciclos = fg e 2 = fc r (z 0 ) ; C r (z )g são homólogos pois e I ( ; z 0 ) = I (; z 0 ) = ; I ( 2 ; z 0 ) = I (C r (z 0 ) ; z 0 ) + I (C r (z ) ; z 0 ) = + 0 = ; I ( ; z ) = I (; z ) = I ( 2 ; z ) = I (C r (z 0 ) ; z ) + I (C r (z ) ; z ) = 0 + = Como tal, pelo Corolário 5 temos (z z 0 ) (z z ) dz = 2 (z z 0 ) (z z ) dz; ou seja, (z z 0 ) (z z ) dz = C r(z 0 ) (z z 0 ) (z z ) dz + C r(z ) (z z 0 ) (z z ) dz: 0. Para qualquer n 2 ; a função f (z) =z n é holomorfa em U: Além disso E e C r são linhas homólogas em U já que I (E; w) = I (C r ; w) = ; para cada w =2 U: Logo pelo Corolário 5 temos que f (z) z dz = f (z) n C r z n E dz: 4